山西省太原市高中數(shù)學競賽解題策略幾何分冊第27章戴維斯定理

1、第27章戴維斯定理戴維斯定理三角形的每邊所在直線上有一對點（可以重合），若每兩對點同在一圓上，則三對點（六點）都在同一圓上（題設中的圓與該線切于重合的點，則為重合的對點）證明若所說三圓不重合，則根據(jù)根軸的性質（共點或平行），三角形的三條邊就得共點或互相平行，但這明明不可能，所以三圓非合一不可下面給出如上定理的應用例子例l自直角三角形斜邊上高線中點作三邊的平行線，與三邊相交得到的六個交點共圓證明如圖，設為的斜邊上的高線的中點，過點分別與，平行的線交這三邊于，聯(lián)結，由，四點共圓知，則這說明，四點共圓，又注意到是的中點，分別是，的中點，那么于是，從而，四點共圓同理，四點共圓故由戴維斯定理，知，六點共

2、圓注：也可先證、四點共圓，再證、四點共圓（）最后證、四點共圓，而證得六點共圓例2（試題）已知是銳角的垂心，以邊的中點為圓心，過點的圓與直線相交于，兩點；以邊的中點為圓心，過點的圓與直線相交于，兩點；以邊的中點為圓心，過點的圓與直線相交于，兩點，證明：、六點共圓證明如圖，設、分別為邊、的中點，又設以為圓心過點的圓與以為圓心且過點的圓的另一個交點為，則又，則于是知點在上由切割線定理，得，知、四點共圓同理，、及、分別四點共圓故由戴維斯定理，知、六點共圓例3（2005年中國國家隊集訓測試題）設銳角的外接圓為過點、作的兩條切線，相交于點連結交于點，點、分別在邊、上，使得，（1）求證：、四點共圓；（2）若

3、記過、的圓的圓心為，類似地定義、，則直線、共點證明如圖欲證、共圓，只需證由于，于是，又只需證注意到，則故、四點共圓（2）設是的共軛重心（即三條共軛中線的交點，滿足，）過分別作，如圖所示，則、六點共圓，證明如下：由與位似，易知（因，）于是由（1）的結論，知、四點共圓同理，、以及、分別四點共圓故由戴維斯定理，知、六點共圓設此六點圓的圓心為，由于與的位似中點是，故直線過點同理，直線、也過點結論獲證例4一三角形每邊（所在直線）上有一對點，這些點與對頂點的聯(lián)線均等長求證：六條聯(lián)結線的中點共圓證明如圖，分別為的三邊，、所在直線上的點，且又，分別為，的中點，令，分別為，、的中點，、分別為，的中點由于、，、，

4、每四點共線，所以，有同理， 從而，即知，四點共圓同理，及，分別四點共圓因，在的三邊上，由戴維斯定理，知，在以直線與的交點為圓心的圓上注：若等于的外接圓直徑時，以及此例中的為的垂心時，這12個點共圓事實上，上例中，為垂心時，為外心，此時兩圓有共同的垂心為圓心，圓上六點，其半徑長為設的半徑為，當定長為三角形外接圓直徑時，點關于的冪為，則故兩圓半徑相等例5若圓內接凸四邊形的對邊乘積相乘，則過對角線交點引直線平行于四邊形的每邊與兩鄰邊相交的八點共圓證明如圖，設凸四邊形內接于圓，與交于點令，則由托勒密定理，有又由題設，則設為的中點，由注意到，即，知于是過作直線交的延長線于，使，則，有設交于，注意到（即），及為中點，知為的中點，對及截線應用梅涅勞斯定理，有將式代入上式，并注意，有過點作的平行線的交點如圖，由，有同理，于是將代入得，從而、共圓同理，、共圓設直線與交于點，注意到，知、四點共圓于由戴維斯定理，知、六點共圓同理，、六點共圓故、這八點共圓練習題二十七1證明九點圓定理：三角形三條高的垂足、三邊的中點，以及垂心與頂點的聯(lián)線的中點，這九點共圓2證明泰勒圓定理：三角形每邊上的高線垂足在另兩邊上的射影，這六點在同一個圓周上3由一已知