翻譯Particle-BasedAnisotropicSurfaceMeshing

1、 Particle-Based Anisotropic Surface Meshing摘要本文介紹了一種基于粒子的各向異性表面網(wǎng)格劃分方法。給定一個輸入多邊形網(wǎng)格賦予了一個黎曼度量和指定數(shù)量的頂點，該方法生成一個度量適應網(wǎng)格。主要思想包括映射各向異性空間為高維各向同性的一個，稱為“嵌入空間”。網(wǎng)格的頂點是由均勻采樣的表面，在這個高維嵌入空間，并通過優(yōu)化的能量函數(shù)的準牛頓算法的采樣進一步正規(guī)化。所有的計算可以重新表示在嵌入的點積空間，和連接不同空間的映射的矩陣。這種轉(zhuǎn)換使得它不需要顯式表示嵌入空間中的坐標，并提供有效計算的所有必需的能量和力的表達式。通過能量優(yōu)化，它自然會導致在原來的空間所需的各

2、向異性粒子分布。通過計算的限制的各向異性，然后生成的三角形Voronoi圖和其對偶Delaunay三角剖分。我們比較我們的研究結(jié)果定性和定量與國家的最先進的在各向異性表面網(wǎng)格劃分的幾個例子，使用標準的測量標準。1引言各向異性嚙合提供了一種高度靈活的控制方式網(wǎng)格生成，通過讓用戶規(guī)定一個方向和密度場，肉牛的形狀，大小和網(wǎng)格對齊。在流體動力學模擬中，通常需要有細長的網(wǎng)格單元，具有期望方向和長寬比由一個黎曼度量張量場 alauzet和loseille給定2010 。對于曲面造型，在逼近理論中證明了二者的最佳逼近光滑曲面有一個給定的三角形的數(shù)目時，實現(xiàn)的各向異性三角形遵循曲率特征值和特征向量張量辛普森1

3、994；Heckbert和花環(huán)1999 。這可以從圖2中的橢球面容易看出的兩個主曲率Kmax /平方公里的比例接近1靠近橢球的兩端，高達100中間部分。沿方向的各向異性三角形在橢球體中部最小曲率提供最好的近似，而各向同性的三角形是必要的，在其兩端。在本文中，我們提出了一種新的各向異性網(wǎng)格劃分方法表面賦予了一個黎曼度量。我們依靠particlebased的方案，其中每對相鄰顆粒的裝備高斯能量。它已被證明威肯和Heckbert1994 把這個成對的高斯能量最小化，導致粒子的均勻各向同性分布。計算各向異性網(wǎng)格上配備的黎曼度量概念的表面，我們利用一個高維的“嵌入空間”納什1954；柯伊伯1955 。我

4、們的方法優(yōu)化的位置頂點，或顆粒，通過均勻采樣的輸入表面的高維嵌入。這個嵌入是設(shè)計的這樣一種方式，當投影回原來的空間（通常是二維或三維），均勻采樣變各向異性的尊重輸入度量。直接引用到更高的三維嵌入是避免重新表達所有的計算中的條款在高維空間中的點積，以及連接不同空間的映射的矩陣?；诖酥匦卤磉_式，我們得到原則的能量和力模型，有效地計算在原來的流形上的準牛頓優(yōu)化算法。最后，三角形是由計算限制各向異性Voronoi圖和提取其連接部件的雙重。本文提出了以下的貢獻，有效地產(chǎn)生高品質(zhì)的各向異性網(wǎng)格：它介紹了一種新的基于粒子的各向異性制劑嚙合。它定義成對的高斯能量和力量在粒子之間，并制定能源優(yōu)化的高維“嵌入空

5、間”。我們進一步展示了如何各向異性嚙合可以轉(zhuǎn)化為各向同性的嚙合在這個高維嵌入空間（美國證券交易委員會。3.1）。這個能量被設(shè)計成這樣一種方式，粒子均勻地分布在這個高維空間的表面上。當能量被優(yōu)化，相應的粒子在原來的歧管將實現(xiàn)所需輸入度量的各向異性采樣。它提出了一種計算上可行的和有效的方法為我們的能量優(yōu)化（美國證券交易委員會。3.2）。高維能量函數(shù)和它的梯度被映射回原來的空間，其中的粒子可以直接優(yōu)化。這種計算方法避免了計算的需要高維嵌入空間。這樣的能量優(yōu)化策略顯示了非常快速的收斂速度，而不任何需要明確控制粒子的人口（例如，插入或刪除粒子以滿足所需的各向異性。2背景及相關(guān)作品2.1各向異性的定義各向

6、異性表示距離和角度扭曲。幾何，距離和角度可以用點積測量：V，W，這是一個雙線性函數(shù)映射對矢量對點產(chǎn)品是對稱的，積極的，明確的（SPD）。如果點積與另一個SPD雙線性形式所取代，然后各向異性空間的定義。我們認為，一個度量M（。），即一個SPD雙線性形式，定義在域RM。換句話說，在一個給定的點x，點積兩向量V和W之間的V，WM（X）。在實踐中，度量可以表示為一個對稱的米×米矩陣米（×），在這種情況下，點產(chǎn)品成為：v, wM(x) = vT M(x)w. (1)The metric matrix M(x) can be decomposed with Singular Value

7、Decomposition (SVD) into:M(x) = R(x)T S(x)2R(x), (2)where the diagonal matrix S(x)2 contains its ordered eigenvalues,and the orthogonal matrix R(x) contains its eigenvectors. We notethat a globally smooth field R(x) may not exist for surfaces ofarbitrary topology.對于度量設(shè)計，我們使用以下2個選項：（1）在我們的一些實驗中，我們開始設(shè)

8、計一個平滑的縮放場（×）和一個旋轉(zhuǎn)磁場的旋轉(zhuǎn)（×），這是光滑的區(qū)域以外的那些奇點，并組成他們到（×）=（×）（×）和米（×）=（×）×（×），這和杜等人是一樣的鋁。 2005 。它們被定義在曲面的切空間上。假設(shè)S1和S2在兩對角項（x）對應的切空間的兩個特征向量，S2和S1。我們簡單的叫S2 S1作為拉伸比。這個過程將發(fā)揮作用后來當用戶指定所需的輸入度量（美國證券交易委員會。5）。（2）注意到，如果用戶由用戶提供，則分解為問（×）是非唯一的。等效分解法（×）=問：（x）（x）是不去任何

9、給定矩陣Qo（x）= O（x）Q（x），（×）是一個米×米的正交矩陣。換句話說，問（×）是唯一的旋轉(zhuǎn)。然而，它很容易證明，如果SPD度量m（x）是給定的，它的平方根Q（x）=M（X）也是一個SPD矩陣，和這種分解是唯一的（ 1985 的喇叭和約翰遜7.2.6定理）和光滑（ 1968 的Freidlin 2定理）。（×）是一個對稱的仿射映射：q（×）=（×）（×）×）= q（×）。在美國證券交易委員會。5.1，我們使用“網(wǎng)格字體”的例子來顯示，在我們的框架中，q（×）可以很好地工作，給出一個用戶指

10、定的光滑度量字段米（×）。It is interesting to note that if the metric tensor field is given as:M(x) = (x) m 2 · I,where (x) : R and I is the identity matrix, then M(x) defines an isotropic metric graded with the density function (x).給出的度量字段M（x）和一個開放的曲線C，長度被定義為切向量的長度的積分用公制米（×）。然后，各向異性距離2點之間的數(shù)據(jù)，可以被

11、定義為長度的（可能是非唯一）最短的曲線，連接和Y。2.2以前的作品各向異性Voronoi圖：通過用公制定義的一個點的產(chǎn)品來代替，各向異性可以計算幾何中，引入標準概念的定義例如，Voronoi圖和Delaunay三角剖分。最一般的設(shè)置是由曼Voronoi圖 2000 ，取代leibon和Letscher定義的各向異性距離數(shù)據(jù)挖掘（×）的距離。一些理論上的結(jié)果是眾所周知的，尤其是曼Voronoi圖承認有效的雙只有2維 boissonnat等人。2012 。然而，一個實際的執(zhí)行情況仍在達到 Peyre等人。2010 。為此，兩簡化用于計算各發(fā)電機的Voronoi單元西：VorLabelle

12、(xi) = y|dxi(xi, y) dxj(xj, y), jVorDu(xi) = y|dy(xi, y) dy(xj, y), jwhere:dx(y, z) = (z y)T M(x)(z y).第一個定義vorlabelle 2003 Shewchuk貝兒和容易分析的理論。二次曲面的平分線，已知的封閉形式，和一個可證明的正確的Delaunay細化算法可以定義。如此定義的各向異性Voronoi圖（AVD）也可以看作一個投影高維動力圖 boissonnat等人。2008A 。這個第二定義vordu 杜、王2005 是最適合于勞埃德松弛法在計算中的應用各向異性Voronoi結(jié)構(gòu)。質(zhì)心Vo

13、ronoi及其各向異性的版本：一個質(zhì)心Voronoi（無級變速器）是一個Voronoi圖這樣每個點西恰逢其Voronoi質(zhì)心細胞。無級變速器可以通過勞埃德松弛勞埃德1982 或準牛頓能量優(yōu)化求解劉等人計算。2009 。它產(chǎn)生一個常規(guī)采樣杜等人。1999，從中一個很好的形狀各向同性元素Delaunay三角網(wǎng)被提取。在表面嚙合的情況下，可以推廣這個定義通過使用短程Voronoi圖 2004 科恩Peyre和表面。使計算更簡單便宜的，它有可能取代短程Voronoi圖與受限Voronoi圖（RVD）或約束Delaunay三角網(wǎng)（RDT），在 1994 定義Edelsbrunner和Shah并通過幾個網(wǎng)

14、格算法，看到他們和雷 2010 此處參考文獻。因此受限Voronoi鑲嵌可以定義杜等人。2003 。隨著計算受限Voronoi圖的一種有效算法，限制無級變速器可用于各向同性表面網(wǎng)格燕等人。2009 。CVT是無級變速器（裝甲戰(zhàn)車技術(shù)進一步推廣到各向異性）杜等。 2005 用定義vordu在式（4）。在每一個勞埃德迭代，各向異性Delaunay三角剖分與給定的黎曼度量需要建構(gòu)，這是一個耗時的運行。瓦萊特等人。 2008 提出了一種離散逼近通過聚類的密集預三角的頂點的裝甲戰(zhàn)車技術(shù)域。這個離散的版本比杜等人快得多。連續(xù)的裝甲戰(zhàn)車技術(shù)方法，在輕度退化為代價網(wǎng)格質(zhì)量。太陽等。 2011 介紹了六角形的閔

15、可夫斯基度量為裝甲戰(zhàn)車技術(shù)優(yōu)化，為了抑制鈍角三角形。相比這些裝甲戰(zhàn)車技術(shù)方法，我們基于粒子在能量優(yōu)化方案避免了中間的迭代AVD的建設(shè)，從而顯示了更好的性能在美國證券交易委員會。6.1高維空間中的曲面網(wǎng)格劃分：嵌入在高維空間中的一致嚙合面也已在文獻卡納斯和Gortler 2006Kovacs等人的研究。2010；征收bonneel 2012´。Levy和´工作bonneel 2012 是我們最相關(guān)的，因為兩者都可以被看作是在高維嵌入空間中的能量優(yōu)化框架。他們延長了CVT的計算一個6D空間以達到曲率適應。特別是，在三維表面上的各向異性嚙合轉(zhuǎn)化為各向同性表面上嵌入在6D空間，可C

16、VT配備Voronoi平行直線枚舉征收bonneel 2012´有效地計算。然而，它不為用戶提供靈活的控制，通過輸入度量張量場的各向異性。我們的方法是設(shè)計來處理更多一般各向異性嚙合的情況下，用戶所需的度量是規(guī)定?；贒elaunay三角剖分細化：在Delaunay三角網(wǎng)的點插入各向異性版本已成功地應用于許多實際應用 borouchaki等人。這borouchaki等人。1997b；Dobrzynski和弗雷2008 。boissonnat等人。 2011 2008b；介紹了Delaunay細化的框架，它是基于目標制定圍繞每一個頂點的恒星組成的三角形正三角與西度量。整齊為“縫合”相鄰的

17、頂點的星星，提出了細化算法，以增加新的頂點，逐步實現(xiàn)最終各向異性嚙合。我們的方法是不同的，包括優(yōu)化的網(wǎng)格中的所有頂點。另一個區(qū)別是我們計算的連接組件的雙重交會對接燕等人。2009 代替RDT。在美國證券交易委員會6.3的結(jié)果進行了比較?；诹Ｗ拥母飨虍愋跃W(wǎng)格劃分：土耳其 1992 介紹了排斥點網(wǎng)格的樣本多邊形網(wǎng)格的目的。后來擴展Witkin和Heckbert 1994 誰用配成對的粒子高斯能量樣本與控制隱式曲面。邁耶等。 2005 制定能源核作為一種改進的有限支持余切函數(shù)，顯示核心幾乎是尺度不變相比，高斯核。后來擴展到處理自適應，各向同性網(wǎng)格的計算機輔助設(shè)計模型布朗森等。2012 隨著粒子在參

18、數(shù)中的移動每一個曲面的空間。所有這些方法都只是針對表面各向同性采樣。處理各向異性網(wǎng)格，博森Heckbert 1996 納入度量張量為距離函數(shù)d（x，y），和用F（x，y）=（1D（x，y）4）·exp（D（x，y）4）模型的粒子之間的吸引力和排斥力作用。島田和他的同事們提出了基于物理的“泡沫”標準的二階系統(tǒng)組成的群眾，阻尼器，和線性彈簧島田和樂隊的1995；該等。1997；山川和島2000 。他們用一個有界立方函數(shù)的距離來模擬氣泡間的作用力，并進一步把球泡轉(zhuǎn)換為各向異性嚙合的擴展到橢球形的。兩博森等人。與島田等人的作品。需要動態(tài)的人口控制計劃，自適應插入或刪除某些區(qū)域中的粒子/氣泡。

19、因此，如果初始沒有一個很好的估計所需粒子數(shù)要填充域，它需要很長的時間來收斂。本文提出的方法是非常相似的想法自適應平滑粒子流體動力學（ASPH）夏皮羅等。1996 利用粒子間的高斯核各向異性平滑張量。然而，在美國證券交易委員會。3.3，ASPH直接制定能源在原來的空間沒有利用嵌入空間概念。來計算力顆粒，不同的度量張量的梯度，必須被忽略由于數(shù)值困難。這種治療將導致不準確的在計算網(wǎng)格中的各向異性如圖4所示，當有輕微或顯著的變化的度量。逼近理論的關(guān)系：它已經(jīng)在逼近 d'azevedo理論研究1991，2002 ；Shewchuk各向異性與一個給定的分段線性函數(shù)的最佳逼近的數(shù)量相關(guān)三角元素。最優(yōu)

20、網(wǎng)格的各向異性特點，優(yōu)化算法，可以設(shè)計到最好的近似給定函數(shù)。通過loseille和alauzet 2011A介紹連續(xù)網(wǎng)格的概念；由于提供線性插值誤差和網(wǎng)格方之間的關(guān)系，這導致了高效的各向異性網(wǎng)格自適應算法。各向異性網(wǎng)格和近似理論之間的關(guān)系也被研究了高階有限元素米爾博和科恩2010；米爾博和科恩2012 ，這導致了一個高效的貪婪的分割算法生成最優(yōu)網(wǎng)格。其他相關(guān)工作：本文僅側(cè)重于各向異性的三角網(wǎng)格劃分不同于其他處理各向異性的四個主網(wǎng)格阿里亞茲等人。2003；Kovacs et al.。2010；征收與劉´2010；張等。2010 。各向異性的概念也被適用于藍色噪聲樣本生成李等人。2010

21、 。3粒子方法考慮到每一個頂點作為一個粒子，粒子間的勢能決定了粒子間的作用力。當每一個粒子的作用力就變成了平衡，粒子達到最佳平衡狀態(tài)的均勻分布。處理各向異性網(wǎng)格，利用概念“嵌入空間” 1955 納什1954；柯伊伯。在這樣的高維嵌入空間，度量是一致的和各向同性的。當力量在這個嵌入空間中的每一個粒子達到平衡，原始流形上的粒子分布將表現(xiàn)出所需各向異性?；究蚣埽航o定的氮粒子與它們的位置= =西|我= 1。.n 表面上這是嵌入在RM的空間，我們定義粒子之間的粒子間的能量，我和：eij = E西XJ242。（5）這里，稱為內(nèi)核的寬度，是固定的標準偏差高斯核。在美國證券交易委員會。4.1我們將討論如何選

22、擇一個適當大小的。顯然，eij =俄籍。關(guān)于XJ的梯度的概念可以認為是力基金粒子在粒子上的應用：fij概念XJ =（十一XJ）22 E西XJ242。（6）類似于牛頓的運動第三定律，我們fijfij。我們要注意，公式公式（6）是相似的粒子斥力和吸引力的威肯和Heckbert 1994思想。通過最小化總能量E =我J=我的概念與LBFGS 劉和Nocedal 1989 ，我們可以得到一個均勻各向同性采樣，其中每個粒子的作用力達到平衡。它是在附錄中顯示，這個粒子為基礎(chǔ)的能量配方基本上是相當于法塔勒的核的配方 2011 ，為均勻各向同性。不過法塔勒的方法不處理各向異性的情況。非均勻各向同性的情況下，我

23、們的分析在附錄中顯示的差異尊重人的做法，從理論觀點和實驗結(jié)果。3.1各向異性情況圖3的左上方圖像顯示一個二維度量的表示字段米顯示一組點（黑點）和他們的相關(guān)單位圓（的豆形曲線，對應于集等距的點到每個黑點）。左下角圖3顯示了由這樣的度量域控制的理想網(wǎng)格：三角形邊的長度，在各向異性的距離，是接近相等。對于這個簡單的例子，圖3，可以看到，左上方的圖像可以被視為表面的頂部圖像“看到”從上面。換句話說，通過嵌入平面二維域作為一個曲面在三維，可以重鑄的各向異性網(wǎng)格為各向同性的嚙合表面嵌入在高維空間問題。在一般情況下，對于一個任意的度量米，高維空間需要納什1954；柯伊伯1955 。我們現(xiàn)在認為表面映射到是嵌

24、入在一個更高的維度空間RM。我們只稱RM作為本文的嵌入空間。假設(shè)映射函數(shù)：，哪里RM，RM，和MM.我們表示粒子的位置上這面X = 西|西=（西），i = 1。.氮。均勻采樣可以通過改變粒子間的計算能量函數(shù)的概念（5）公式如下，因此定義的概念：eij = E系2Jx 2。（7）關(guān)于XJ的概念，即梯度，在嵌入力基金空間，可以定義為：fij概念XJ =（十一XJ）22 E西XJ242。（8）3.2我們的計算方法我們在本節(jié)沒有提到如何優(yōu)化的概念在嵌入空間的坐標。從美國證券交易委員會的介紹。2.1，我們已經(jīng)看到了介紹各向異性意味著改變點積的定義。如果我們考慮了兩種小位移V和W從一個給定的位置X，然后轉(zhuǎn)

25、化為v = J（x）VW = J（x）W，其中J（x）表示Jacobian矩陣在X。在體積和瓦之間的點積：V，W= VT J（x）T J（x）W = VT M（x）W（9）換句話說，給定的嵌入功能，各向異性M對應于第一基本形式。如果我們現(xiàn)在假設(shè)各向異性米（×）是已知的，但不是嵌入函數(shù)，它仍然是可以計算兩個向量之間的內(nèi)積在一個給定的點上嵌入空間。我們的力量近似背后的想法可以解釋如下。我在一個給定的粒子，不同的相鄰的一對（我，J1）和（我，J2）可以配備不同的指標（如mij1和mij2以及不同的雅可比矩陣Jij1和jij2）。兩者之間的區(qū)別J噴墨編碼局部粒子即度量的變化Jij包括“度量”

26、的一部分（qij）和“嵌入”旋轉(zhuǎn)部分（我們）（方程（19）。我們將在中用來切平面嵌入空間中的原始空間。我們的方法采用鄰近度量qij的精確變化，和接近嵌入旋轉(zhuǎn)wij無線在式（19）。因此，嵌入旋轉(zhuǎn)的變化被忽略在每個粒子的附近，但度量的變化。綜上所述，我們可以優(yōu)化的均勻各向同性采樣與近似的能量方程（12）和力（21）采用L-BFGS算法公式。他們都使用粒子計算位置X，連同度量M.如果M是由用戶，我們利用它的平方根問代替Q在式（21）。雖然我們利用優(yōu)雅的“嵌入空間”的概念，以幫助開發(fā)我們制定的各向異性嚙合，我們不需要計算這樣一個嵌入空間。3.3嵌入空間的重要性各向異性網(wǎng)格的局部定義的黎曼度量m，仿射

27、變換的三角形為“單位”的空間，而執(zhí)法轉(zhuǎn)化為均勻的等邊三角形。因此，它是自然的，直接定義的能量優(yōu)化問題，在這個“單元”空間。然而，每個點上的指標可以是不同的。沒有建立一個連貫的“單位”的空間，我們無法描述這些本地的“單位”空間的仿射副本可以“縫合”在一起。我們的方法一致認為所有這些地方“單位”的空間表面嵌入到高維空間。我們的能量在式（7）的設(shè)計是通過定義“各向異性”的仿射變換的三角形在應均勻等邊（應均勻分布的顆粒）。這個定義也導致軍隊式的非常有效的計算（21）。我們要強調(diào)的是：不使用這個嵌入空間，能量函數(shù)的定義和相應的力公式與各向異性的定義是不一致的網(wǎng)格，從而導致不正確的結(jié)果。如果我們不使用這個

28、高維嵌入空間，能量最直觀的表述將式（12）。我們詳細說明，并給出一些比較下面。忽略度量的梯度（ASPH的方法）：我們需要注意的是公制米ij在式（12）是依賴于粒子xi和xj的位置。因此，力的制定將涉及我關(guān)于XJ的梯度，這是數(shù)值很難計算。在自適應方法光滑粒子流體動力學（ASPH）夏皮羅等人。1996 ，他們用粒子高斯核和納入各向異性平滑內(nèi)核定義粒子間的勢能，這類似于方程（12）。然而，在他們的論文中提到（美國證券交易委員會。2.2.4 夏皮羅等人。1996）公制術(shù)語的梯度計算梯度等粒子間能量時忽略。從而導致以下ASPH力公式：b ij Mij(xi xj)22 e(xixj )T Mij (xi

29、xj )42不難看出，公式（24）與式（21）只需更換qij與我。因此，如果度量領(lǐng)域是不恒定的，這兩者力將導致不同的局部極小。我們的方法在公式（21）只忽略了在每個粒子的鄰域嵌入旋轉(zhuǎn)的變化，而變化的指標占。正如我們在圖4實驗中所證實的那樣，這有一個可測網(wǎng)格質(zhì)量的可測性。忽略了矩陣的變化：另一個近似是應用偽逆的矩陣在方程的矩陣表示（14）。在式（14）是不同的，你知道不同的鄰居如果我們近似JIJ吉在式（14），然后運用集偽逆，我們到達配方（無領(lǐng)導嗎或qij）如下：F B ij（西XJ）22 E我們強調(diào)差異與我們的方法：這種變化是近似JIJ吉在式（14），而我們的方法逼近我們的無線在式（19）。正

30、如上面提到的，你知道有“度量”部分和“嵌入”旋轉(zhuǎn)qij部分我們。因此，姬JIJ近似將“擦除”相鄰顆粒間度量的變化。要看他們對各向異性網(wǎng)格生成的不同影響，我們在二維正方形域進行能量優(yōu)化三選擇的力量：（1）我們的力量在式（21）；（2）的在式（24）和pH的力；（3）式中的力（25）。如圖在圖4中，二維正方形域配備背景張量場：M（x）=診斷伸展（x）2,1 ，其中場拉伸（x）是在0.577,9 范圍。在這個實驗中，我們使用空間非均勻性度量領(lǐng)域，如果米（×）是空間均勻的，然后所有的三個力量將導致相同的粒子配置。生成質(zhì)量的比較測量各向異性網(wǎng)格顯示在圖4，與三角形區(qū)域的質(zhì)量加雷亞，角度直方圖，

31、GMIN，gavg，min，AVG，%30，這是在美國證券交易委員會的定義。4.5。顏色編碼三角區(qū)我們的方法的質(zhì)量顯示，計算三角形的面積使用我們的力量是均勻的（所有接近1），這意味著三角形的大小是符合所定義的所需的密度度量張量。從這個實驗中，我們可以看到表演式中使用我們的能量優(yōu)化（21）生成的理想各向異性網(wǎng)格，同時使用其他2個優(yōu)化的能量在式（24）和替代力量方程（25）不能，這說明在嵌入空間中制定能量優(yōu)化我們的近似導致間的力量的原則制定。4實現(xiàn)和算法細節(jié)我們的基于粒子的方法是歸納算法。1下面。幫助再現(xiàn)我們的結(jié)果，我們進一步詳細的每個組件的算法和實施問題。4.1內(nèi)核寬度粒子間的能量定義在式（5）

32、取決于選擇該固定核寬。在2距離這個能量峰的斜坡，它是接近零更小或更大距離。如果選擇過小則顆粒幾乎停止當他們傳播分離約52，因為有幾乎沒有粒子之間的力量。如果選得太大附近的顆粒不能互相排斥和由此產(chǎn)生的采樣模式將是窮人。在這項工作中，我們選擇成比例平均每個粒子的“半徑”當他們在均勻分布：= C| / n，其中|表示的區(qū)域在嵌入空間表面，N是粒子數(shù)，和C是一個常系數(shù)。注意我們的目標是讓粒子均勻、各向同性采樣。從我們的廣泛實驗中，我們發(fā)現(xiàn)最好的各向同性網(wǎng)格質(zhì)量對可以實現(xiàn)在C0.3。任何輸入度量場M（X），對面積：| =det M（x）DS。在這項工作中，輸入曲面都是三角形網(wǎng)格，在每個頂點上定義了度量。

33、對于每一個三角形ABC的頂點A，B，和C，我們只是近似的地區(qū)嵌入空間：|ABC | =det（M（x）+ M（3XB）+ M（XC）·| ABC，（26）在|ABC |在原有的表面面積。經(jīng)過總結(jié)區(qū)域的三角形嵌入空間|，我們可以集= 0.3|氮實驗。在我們的實施中，對于每一個粒子，我們只計算五標準附近的粒子的相互影響偏差（5），并使用近似近鄰（ANN） 1997 山圖書館和艾莉亞快速搜索這樣的街區(qū)。我們的實驗表明，這樣的截斷高斯核（5范圍）是很好的實踐，并產(chǎn)生規(guī)律粒子的六角形圖案，類似于CVT 杜結(jié)果等。1999；劉等。2009 。在各向異性的鄰近搜索空間，我們利用人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的數(shù)據(jù)結(jié)

34、構(gòu)，在較大范圍內(nèi)找到歐氏近鄰，然后我們修剪假鄰居關(guān)于規(guī)定的度量。4.2粒子優(yōu)化算法對于任何輸入度量字段米（×），我們使用的自適應初始化瓦萊特等人的策略。 2008 ，分發(fā)初始樣本基于密度DET的概率位置（x）。我們采用L-BFGS算法 1989 劉Nocedal優(yōu)化樣本位置。它是一個準牛頓算法，可以快速找到最小的能量為我們的粒子為基礎(chǔ)的采樣。對于每一次迭代的L-BFGS優(yōu)化，我們更新式中總能量E（13），通過計算其梯度更新總力F EI適用于每一個粒子我在式（22）。這個梯度在式（22）采用L-BFGS優(yōu)化器使用也需要投影到切空間T的表面：|= F T F EI EI EI·

35、F n（西） n（西），（27）凡在西的表面是單位正常的。在L-BFGS優(yōu)化，樣品需要約束表面上。在每一次迭代，更新后的網(wǎng)站XJ需要投影到離他們最近的位置上，如果他們的表面的邊界。這個優(yōu)化過程是迭代，直到收斂，滿足指定的停止條件，例如，梯度或最大位移的大小顆粒小于閾值。ALG。1展示了我們的細節(jié)各向異性粒子優(yōu)化。4.3網(wǎng)格生成粒子位置優(yōu)化后，最終輸出網(wǎng)格所產(chǎn)生的各向異性Voronoi圖的雙（AVD）杜、王2005 限制表面上燕等人。2009 。部件的連接受限Voronoi對偶圖和拓撲控制確保組件是光盤（可能是插入點）閆等。2009；征收與劉´2010 。這確保了在神經(jīng)定理 1948

36、Borsuk同倫等價。但我們不自 1994 Edelsbrunner和Shah的條件不能滿足確保同胚，這被認為是一個限制。請注意，網(wǎng)格只需要能量優(yōu)化后的一次計算。因此，在所有以前的方法基于裝甲戰(zhàn)車技術(shù)的顯著優(yōu)勢，自他們需要計算在每一次迭代的優(yōu)化AVD過程。我們比較的計算速度和質(zhì)量生成的網(wǎng)格與現(xiàn)有的各向異性網(wǎng)格方法在美國證券交易委員會。6。4.4擴展至6D的表面我們的粒子為基礎(chǔ)的優(yōu)化框架，可以很容易地擴展處理6d嵌入情況建議由Levy和朱古力´尼爾 2012 。Levy和bonneel的方法的基本思想是´使用嵌入：R6定義的：（x）= x，y，z，SNX，SNY，SNZ ，（

37、28）其中x = x，y，z T，N（x）= NX，紐約，新西蘭 T是正常，和（0，）是一個用戶定義的參數(shù)指定所需的曲率各向異性。征收與bonneel解決´限制問題等6 CVT表面，而在我們的框架，我們可以簡單地使用方程的能量進行優(yōu)化（7）和式（8）的力量，因為嵌入的功能是已知。在能量優(yōu)化，最終網(wǎng)可以通過計算受限Voronoi圖和雙重構(gòu)三角剖分，利用Voronoi平行直線枚舉。4.5質(zhì)量測量要測量各向同性的三角網(wǎng)格質(zhì)量，我們使用的標準由Frey和borouchaki 1997 建議。三角形的質(zhì)量由G = 23的測量PH值，這里的三角區(qū)，磷是它的半周長，和小時是其最長的邊的長度。Gmi

38、n是三角形的最小質(zhì)量，并gavg是平均質(zhì)量。min是所有三角形的最小角，最小的角度，和AVG是所有三角形的最小角平均。%30是三角形的最小角小于30。在本文中，還提供了角度直方圖顯示所有生成三角形的角。在各向異性的表面網(wǎng)格，每個三角形ABC我們使用它的近似度量M（ABC）= M（x）+ M（3XB）+ M（XC）。然后我們使用相應的Q（ABC）或Q（ABC）矩陣的三角ABC點，并使用上述各向同性網(wǎng)格質(zhì)量的測量（Gmin，gavg，min，AVG，%30和角度直方圖）檢查如何關(guān)閉它是相對于一個正三角形嵌入空間。我們加雷亞還定義了以下地區(qū)質(zhì)量每個三角形我，評價他們的領(lǐng)域是如何統(tǒng)一仿射變換拷貝：加雷

39、亞（我）=N j = 1 T |我| J | / NT，（29）在NT是三角形和|我|總數(shù)的地區(qū)仿射變換三角形。在最優(yōu)各向異性嚙合，每個三角形都|我|相同的地區(qū)。因此，最好的價值加雷亞的產(chǎn)生的各向異性三角形1。5結(jié)果我們實現(xiàn)我們的算法，使用微軟視覺+ + +2010、MATLAB R2010a版本。在二維域劃分的實驗是在MATLAB編碼，而嚙合面編碼用碳+ +。對于硬件平臺，在美國證券交易委員會的實驗。5.3與英特爾在筆記本電腦上的OpenMP并行執(zhí)行測試（R）核心（TM）CPU酷睿i7-3720QM和2.60ghz，8線程（4個內(nèi)核）。其他實驗測試的單芯與英特爾在桌面計算機上的實現(xiàn)（R）至強

40、x5160CPU與完全。用戶提供他們所需的輸出數(shù)量所有試驗點5.1嚙合在二維域與給定的指標圖2顯示了一個二維正方形域的網(wǎng)格劃分結(jié)果與5、000樣品，給出一個統(tǒng)一的度量M（x）=診斷伸展（x）2，1 ，凡伸展（×）= 000，1。圖3顯示了6、000個樣本的二維正方形域的各向異性網(wǎng)格劃分結(jié)果。不同的度量張量m（x）=診斷伸展（x）2，1 ，其中拉伸（x） 1，100 。圖7顯示了20，000粒子在二維域的“網(wǎng)格字體”配備復雜的張量場，這一嚙合結(jié)果包括各向同性（變密度梯度）和各向異性的圓形張量場。各向異性距離等值線每個黑點在紅色圓圈和橢圓的兩個“放大”的部分。在圖8中，我們使用了“網(wǎng)格字

41、體”的例子，如圖7所示。給出了嚙合結(jié)果之間的比較：（1）和R（X），我們用Q（x）= s（x）R（x）在平衡力（21）；和（2）給出了M（x），我們用Q（x）=M（x）在平衡力（21）。在“縮放”部分的“網(wǎng)格字體”的例子，我們可以看到他們的網(wǎng)格質(zhì)量是非常接近彼此。如果（×），在各向同性區(qū)域，計算從米（×）（×）不能給我們一個獨特的和順利的領(lǐng)域的問題（十），因為兩者在M的奇異值分解，特征值（x）是等價的。在這種情況下，我們應該使用q（×），而不是問美國證券交易委員會。2.1。5.2嚙合在三維表面與給定的指標圖9顯示了各向同性網(wǎng)格的人的頭部表面通過背景密度場

42、控制（x）= |公里| + 2 | Kmax |，Kmin和Kmax是主曲率。原始輸入有53面，696個三角形，并重新劃分10，000粒子運行在100次迭代（505.79秒）。為了測試三維表面的各向異性嚙合，我們使用下面的度量張量：M = Vmin，Vmax，n 診斷（S12，S22，0） Vmin，Vmax，n ，（30）其中Vmin和Vmax的主曲率方向，正單位表面正常。S1和S2的兩用戶控制沿主方向的拉伸因子。在圓紋曲面實驗（圖1）和橢球面（無花果。2和10）的曲率為基礎(chǔ)的度量張量計算田野。我們使用的度量公式（30）與S1 =KMIN和S2 =Kmax，Kmin和Kmax是主曲率。圖1中

43、的圓紋曲面表面具有各向異性的拉伸比S2S1 1,18 。圖10顯示了一個橢球的各向異性嚙合隨著大伸縮比S2表面S1 1100 。本俱樂部和手表面（圖1）和汽車表面（圖11）在用戶指定的伸縮因子的重新劃分。如建議阿里亞茲等人的。 2003 ，拉普拉斯平滑應用到的拉伸的因素和方向，以確保輸入的平滑度度量域。桌棋類游戲1給出了三維表面網(wǎng)格統(tǒng)計與給定的指標。5.3嚙合在適應6D表面曲率正如美國證券交易委員會所討論的。4.4，我們可以很容易地擴展我們的粒子為基礎(chǔ)的到6嵌入空間實現(xiàn)curvatureadapted各向異性網(wǎng)格優(yōu)化，建議由Levy和朱古力´尼爾 2012 。在這個實驗中，我們實現(xiàn)了

44、我們的各向同性的6D用OpenMP并行編程優(yōu)化算法，自每個粒子的能量和力的計算是獨立的和可以很容易地并行化。我們的算法是運行在一個四核（8個線程）CPU正如上面提到的，類似的環(huán)境設(shè)置和bonneel征收工作下。´圖12顯示的機制表面各向異性網(wǎng)格50，000粒子。輸入表面有714個，508個三角形，和計算時間38.97sec 100迭代。圖13顯示60的F1表面各向異性網(wǎng)格，000顆粒。原始輸入面有1，005，993個三角形，并計算時間54.93sec 100迭代。角直方圖如圖所示為各向同性的三角形在6D空間質(zhì)量。作為比較，征收bonneel的vorpaline算法-´所以用

45、OpenMP并行。同樣的實驗在他們的論文中在英特爾的測試機（R）（TM）i7-2720qm CPU核心2.20ghz，8線程與超線程激活。這兩者表面上他們都跑5次迭代之后勞埃德30次迭代的LBFGS。該機制以28.92sec F1表面和表面以35.93sec在他們的平臺?？梢钥闯?，對于每次迭代，我們的粒子為基礎(chǔ)的計算更有效（38.97sec/100iter < 28.92sec / 35iter），自它只是需要總結(jié)粒子間的能量和力量，而不是計算受限Voronoi圖。然而，這cvtfigure 12：與50000輸出頂點的各向異性網(wǎng)格機制表面產(chǎn)生的粒子為基礎(chǔ)的優(yōu)化在6D空間?；谀芰績?yōu)化可

46、以收斂更快，更少的數(shù)量迭代。6比較在這一節(jié)中，我們展示了我們的對比分析和實驗與其他的各向異性網(wǎng)格劃分方法，包括裝甲戰(zhàn)車技術(shù)方法（秒。6.1），其他粒子為基礎(chǔ)的方法（美國證券交易委員會。6.2）Delaunay細化的方法（秒。6.3）。要與其他的各向異性三角法進行比較，我們使用相同數(shù)量的輸出頂點。6.1比較與裝甲戰(zhàn)車技術(shù)我們比較所產(chǎn)生的表面網(wǎng)格質(zhì)量和計算速度的方法和兩個裝甲戰(zhàn)車技術(shù)方法之間：杜三角形裁剪策略杜、王2005 和等等人王的方法。離散裝甲戰(zhàn)車技術(shù)方法等等人。2008 。所有這三種方法都是使用微軟視覺+ + +2010。在下面的比較，我們只通過50次迭代，并重新取樣8，000個頂點的圓紋

47、曲面表面拉伸比S2S1 1，18 。圖14和標簽。2顯示比較結(jié)果。一方面，我們方法提供了類似的網(wǎng)格質(zhì)量與裝甲戰(zhàn)車技術(shù)方法。另一方面，我們的方法有更快的計算速度。從標簽。2，我們可以看到我們的方法是125左右比杜王連續(xù)裝甲戰(zhàn)車技術(shù)方法更快的時間，和比等等人快5.5倍左右的離散裝甲戰(zhàn)車技術(shù)方法。輸入圓紋曲面表面細剖，因此仍等人的。方法不需要計算進一步細分為預處理。我們要注意，由于它的離散性，等等的。裝甲戰(zhàn)車技術(shù)方法不高度各向異性拉伸工作如果輸入的三角網(wǎng)格是不夠好（見圖15）。我們執(zhí)行仍等人進一步比較的方法上。單位正方形的圓形各向異性張量場：m（x）= R（X）T診斷（拉伸（x）2，1）R（x），（

48、31）與旋轉(zhuǎn)磁場的研究（×）和拉伸場拉伸（×）圖15（一）。方域離散化，920，50三角形，并用相同的20個，000個樣本初始化。圖15（乙）顯示我們的融合各向異性嚙合結(jié)果，圖15（三）顯示網(wǎng)格的計算仍等人的離散裝甲戰(zhàn)車技術(shù)。方法。當它們的方法收斂，我們可以看到，他們所產(chǎn)生的各向異性網(wǎng)格質(zhì)量遠不如我們的而使他們產(chǎn)生的網(wǎng)格min和接近于零。為了進一步測試他們的方法，我們增加的數(shù)量的域三角形的509，184，但其生成的網(wǎng)格的質(zhì)量仍然是差強人意：4.1851eGmin = 005，gavg = 0.7245，min = 0.0017，AVG = 38.6006，30= 21.75%。使用509，把184個三角形區(qū)域，所需要的時間瓦萊特等人的方法。13，195.80秒，這是近10倍比我們的方法計算結(jié)果在圖15（乙）。6.2與其它基于粒子的方法比較在本小節(jié)中，我們比較的收斂速度和生成的二維各向異性網(wǎng)格質(zhì)量的方法和其他兩個粒子為基礎(chǔ)的方法之間：博森Heckbert的方法 1996 與島田等人的方法 1997 。所有這三種方法是使用MATLAB R