力學小論文：pb05000830孔熙-中國科學技術大學

1、力學小論文：pb05000830 孔熙彎曲的時空以洛倫茲變換為核心的相對論，使人們的時空觀念發(fā)生了巨大的變化，它不僅預言了洛倫茲收縮，而且得出了“同時的相對性”、“運動時鐘變慢”、“質(zhì)能關系”等一系列新穎的結(jié)論。一、狹義相對論兩個慣性S和S之間的洛侖茲變換： （1）S系沿x軸正向相對于S系以勻速v運動。逆變換： （2）同時的相對性： （3）反過來： （4）由此可看出，在S系中同時發(fā)生的事件，只要不在同一地點，在S系中看，這兩件事就不同時發(fā)生。運動時鐘變慢： （5）質(zhì)能關系： (6)相對論還指出，物質(zhì)的質(zhì)量和能量之間存在本質(zhì)聯(lián)系： （7）靜止質(zhì)量為的物體具有能量（8）由（7）、（8），可以算出運

2、動物體的動能： （9）閔可夫斯基把相對論寫成四維時空的形式，從而把時空看成一個整體。如果令洛倫茲變換可寫為：（10）式中 （11）相對論中聯(lián)系不同慣性系的坐標變換式洛倫茲變換，。在相對論中，矢量被定義為在洛倫茲變換下與坐標一樣變的量，即如（10）那樣變的量。二階張量被定義為在洛倫茲變換下按以下規(guī)律變化的量： （12）所有的力學量和電學量都可以寫成張量，所有的力學規(guī)律（除萬有引力外）和電磁學規(guī)律都可以寫成張量方程。所以，除去萬有引力定律外，力學規(guī)律和電磁學規(guī)律都滿足洛倫茲變換和相對性原理，都符合相對論。值得注意的是能量和動量一起可以構(gòu)成四維動量： （13）四維閔可夫斯基時空的一個點，用（t,x,

3、y,z）四個坐標表示稱為一個事件。三維空間的一個點，由于時間的不斷發(fā)展，在四維時空中都會描繪出一根線。圖1中A、B、C三條世界線，A描述三維空間中的一個不動點，B描述一個勻速直線運動的點，C描述一個變速運動的點。ds為世界線上兩點之間的“距離”。由于不可能畫出時空的四個維度，所以沒有畫出z軸坐標描述的那一維空間。在四維時空中，閔可夫斯基注意到了時間與空間的差異，考慮了光和質(zhì)點的速度表達式，把四維時空兩點之間的“距離”表示為： （14）ds通常稱為兩點的間隔。由于兩點總可以用世界線相連，所以ds又可以看成世界線的線元。有 t （15） 表明從點1到點2的運動速度正 好是光速，這段間隔正好描述光信

4、 A B C 號的運動，稱類空間隔。 ds ds ds 不難看出： 類空間隔x 類光間隔 圖1 四維時空中的世界線 類時間隔 時空中任取一點p，與p的間隔類光的點組成如圖2所示的錐面，成為p點的光錐。 光錐內(nèi)部的點與p點的時間間隔都是類時的，與p點以亞光速信號聯(lián)系。上半光錐內(nèi)部點處在p點的未來，而下半光錐內(nèi)部的點處在p點的過去。上半光錐上的點也處在p點的未來，從p點發(fā)出的光信號可以到達它們，下半光錐類似。光錐外部的點與p點類空，只有超光速信號才能到達，或從它們到達p。而相對論認為，光速是信號傳遞的最大速度，所以光錐外部的點與p點沒有因果關系。我們考察在S系中靜止的一個質(zhì)點。由于它在S系中不動，

5、從空間看，是一個點，dx=dy=dz=0，（14）約化（16）圖2 光錐圖 由此我們定義 （17）為此質(zhì)點的固有時間。二、彎曲的時空洛倫茲變換告訴我們，時間與空間有內(nèi)在聯(lián)系。“能量動量張量”的表達式和“質(zhì)能關系式表明，質(zhì)量與運動不可分割，光速不變原理和相對性原理告訴我們，一切慣性系平權。所以絕對時空的概念被愛因斯坦拋棄了。拋棄絕對時空導致了一個新的困難：慣性系如何確定？不僅如此，萬有引力不能納入相對論的框架。在對以上兩個問題的反復思考下，愛因斯坦提出了廣義相對性原理和等效原理作為建立新理論的基石。（1）狹義相對性原理一切參考系都是平權的?；锢硪?guī)律在任何坐標系形式下都不變廣義協(xié)變原理。（2）任

6、意參考者測量光速都是c。（3）等效原理。廣義相對論，相較于狹義相對論，進一步指出時間空間與能量動量之間的關系。廣義相對論認為，能量動量的存在，會使四維時空彎曲。1.廣義坐標變換設一個時空區(qū)域同時被舊坐標系和新坐標系所覆蓋，其中，c是光速，t與t是時間。新舊坐標之間的關系可表示為 （18）每一個新坐標都是四個舊坐標的函數(shù)。微分（18）式，得到廣義坐標變換下微分的變換關系 （19）這里采用了愛因斯坦慣例。 （19）的逆變換為 （20）定義在坐標變換中不變的量為標量。在廣義坐標變換下，向坐標微分元一樣變換的量，稱為逆變矢量， （21）在廣義坐標變換下，變換規(guī)律為 （22）的量稱為協(xié)變矢量。容易看出，

7、逆變和協(xié)變矢量都有四個分量組成。在廣義坐標變換下按 變換的量分別稱為逆變張量、協(xié)變張量、混合張量。2.張量的運算： （26） （27）縮并運算： （28）3.度規(guī)張量在四維時空中，我們把兩點間的距離推廣為“間隔”。在直角坐標系中，它可表示為 （29）間隔的平方應與坐標微元的二次方有關 （30）但左邊是標量，而右邊是逆變矢量，必須讓坐標微分元與一個二階協(xié)變張量縮并 （31）張量稱度規(guī)張量共十六個分量，可用矩陣表示 （32）它是一個對稱張量。3、時間與空間在廣義相對論中，跟據(jù)等效原理，可對時空中的任意觀測者A引入相對于他瞬時靜止的互補慣性系B，并仿照狹義相對論，定義靜止于B系中的“真實鐘”為坐標鐘

8、，它所記錄的時間為慣性系中所固有的時間。由狹義相對論系B的固有時間為 (33)微分幾何告訴我們 （34）所以，我們可以合理的定義觀測者A的固有時間圖3 觀測者A與B （35） 的世界線 下面我們來考察相對于某一個坐標系靜止的觀測者，尋找它的坐標時間和固有時間之間的關系。由（29）和（35），不難得到此關系為 （36）在圖4中，假定A與B空間相鄰點，光信號從B射向A，再從A射向B，所需坐標時間為 （37）未假定光速的各向同性，所以不一定等于，在B引入局部慣性系相應的固有時間為圖4 固有距離的測量 （38）在局部慣性系中，光速各向同性等于c，因此，兩相鄰點的純空間距離為 （39）此即用標準尺測得的

9、純空間距離。由（40）得（41）帶入（38）可得（42）其中是純空間度規(guī)。4、短程線A、B之間的一根曲線長度可用積分給出 （43）由變分原理得到 (44)沿曲線人選一個標量參數(shù)并注意到上式可寫為 （45）其中拉格朗日函數(shù) L=（46）而廣義速度將（46）帶入拉格朗日方程 （47）可得短程線方程 （48）它也是廣義相對論中的運動方程。5、場方程時空曲率=能量動量（49）物質(zhì)的能量動量可寫成二階張量。時空曲率可寫成?？梢园亚蕪埩靠s并，得到一個二階張量 （50）稱Ricci張量，它是對稱張量，有十個獨立分量。代入（49） (51)用逆變張量寫出就是（52）應滿足能量動量守恒定律 （53）由（54）此式用三維空間的矢量寫出來就是 其中是能量密度，是能流密度，M是動量密度，三維空間的張量（i，j=1，2，3）是動量流密度。（55）、（56）分別是能量