國慶專題講義幾何--3、4五大模型與構(gòu)造思想

1、第三、四講 幾何五大模型與構(gòu)造思知識點(diǎn)撥小升初必考知識點(diǎn)五大模型隨著小升初考察難度的增加，幾何問題變得越來越難，一方面，幾何問題仍是中學(xué)考察的重點(diǎn)，各個學(xué)校都更喜歡幾何思維好的學(xué)生，這樣更有利于小學(xué)和初中的銜接；另一方面，幾何問題由于類型眾多，很多知識點(diǎn)需要提前學(xué)，這就加快了學(xué)生知識的綜合運(yùn)用，而這恰恰是重點(diǎn)中學(xué)所期望的幾何問題是小升初考試的重要內(nèi)容，分值一般在1214分(包含1道大題和2道左右的小題)尤其重要的就是平面圖形中的面積計算幾何從內(nèi)容方面，可以簡單的分為直線形面積(三角形、四邊形為主)、圓的面積以及二者的綜合其中直線形面積所涉及的五大模型近年來考的比較多，值得我們重點(diǎn)學(xué)習(xí)例題精講模

2、型一、三角形的等積變化我們已經(jīng)知道三角形面積的計算公式：三角形面積底高從這個公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積如果三角形的底不變，高越大(小)，三角形面積也就越大(小)；如果三角形的高不變，底越大(小)，三角形面積也就越大(小)；在實(shí)際問題的研究中，我們還會常常用到以下結(jié)論：等底等高的兩個三角形面積相等；兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如左圖 夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖；反之，如果，則可知直線平行于等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；三角形面積等于與它等底等高的平行

3、四邊形面積的一半；兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比等積變化拓展鳥頭模型兩個三角形中有一個角相等或互補(bǔ)，這兩個三角形叫做共角三角形共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比如圖在中，分別是上的點(diǎn)如圖 (或在的延長線上，在上)，則 圖 圖【例 1】 (四中考題)如右圖，已知陰影部分面積為5平方厘米，的面積是 平方厘米 【鞏固】 圖中三角形的面積是180平方厘米，是的中點(diǎn)，的長是長的3倍，的長是 長的3倍那么三角形的面積是多少平方厘米？ 【鞏固】 如圖，在長方形中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，如果厘米，厘米，求三角形的面積【鞏固】

4、 如圖，在三角形ABC中，厘米，高是6厘米，E、F分別為AB和AC的中點(diǎn)，那么三角形EBF的面積是多少平方厘米？【例 2】 (第七屆”希望杯”二試六年級)如圖，在三角形中，已知三角形、三角形、三角形的面積分別是89，28，26那么三角形的面積是 【例 3】 如右圖，正方形的面積是，正三角形的面積是，求陰影的面積 【鞏固】 在長方形內(nèi)部有一點(diǎn)，形成等腰的面積為16，等腰的面積占長方形面積的，那么陰影的面積是多少？【例 4】 如圖，四邊形的面積是平方米，求四邊形的面積 【鞏固】 如圖，將四邊形的四條邊、分別延長兩倍至點(diǎn)、，若四邊形的面積為5，則四邊形的面積是 【例 5】 如圖，在中，延長至，使，延

5、長至，使，是的中點(diǎn)，若的面積是，則的面積是多少？模型二、任意四邊形模型任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”)：或者蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系【例 6】 (人大附中考題)如圖，邊長為1的正方形中，求三角形的面積 【例 7】 如圖，已知正方形的邊長為10厘米，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，求三角形的面積 【例 8】 (清華附中入學(xué)測試題)如圖相鄰兩個格點(diǎn)間的距離是1，則圖中陰影三角形的面積為 【例 9】 如圖，在中，已知、分別在邊、上，與相交于,若、和的

6、面積分別是3、2、1，則的面積是 模型三、相似三角形(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ；所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的平方；連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應(yīng)的底邊長的一半相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因?yàn)閮蓷l平行線而出現(xiàn)的相似三角形【例 10】 在圖中的正方形中，分

7、別是所在邊的中點(diǎn)，的面積是面積的幾倍？ 【例 11】 (”華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)精英邀請賽)如圖，四邊形和都是平行四邊形，四邊形的面積是，則四邊形的面積_【例 12】 圖中的大小正方形的邊長均為整數(shù)(厘米)，它們的面積之和等于52平方厘米，則陰影部分的面積是 【例 13】 正方形的面積是120平方厘米，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，四邊形的面積是 平方厘米 模型四、梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)：；的對應(yīng)份數(shù)為梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道，通過構(gòu)造模型，直接應(yīng)用結(jié)論，往往在題目中有事半功倍的效果(具體的推理過程我們可以用將在第九講所要講的相似模型進(jìn)行說明)【例

8、14】 如下圖，一個長方形被一些直線分成了若干個小塊，已知三角形的面積是，三角形的面積是，求四邊形的面積【鞏固】如圖，長方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5，四邊形2的面積為36，則三角形1的面積為_ 【例 15】 已知是平行四邊形，三角形的面積為6平方厘米則陰影部分的面積是 平方厘米【鞏固】 右圖中是梯形，是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米 【例 16】 如圖，在正方形中，、分別在與上，且，連接、，相交于點(diǎn)，過作、得到兩個正方形和，設(shè)正方形的面積為，正方形的面積為，則_ 【例 17】 如下圖，在梯形中，與平行，且，點(diǎn)、分別是和的中

9、點(diǎn)，已知陰影四邊形的面積是54平方厘米，則梯形的面積是 平方厘米模型五、燕尾定理在三角形中，相交于同一點(diǎn)，那么上述定理給出了一個新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因?yàn)楹偷男螤詈芟笱嘧拥奈舶?，所以這個定理被稱為燕尾定理該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運(yùn)用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑.通過一道例題證明一下燕尾定理：如右圖，是上任意一點(diǎn)，請你說明：【解析】 三角形與三角形同高，分別以、為底，所以有；三角形與三角形同高，；三角形與三角形同高，所以；綜上可得. 【例 18】 如圖，四邊形是矩形，、分別是、上的點(diǎn)，且，與相交于，若矩形

10、的面積為，則與的面積之和為 【例 19】 如右圖，三角形中，且三角形的面積是，則三角形的面積為_，三角形的面積為_，三角形的面積為_ 【鞏固】 如右圖，三角形中，且三角形的面積是，求三角形的面積【鞏固】 如圖，中，那么的面積是陰影三角形面積的 倍 【鞏固】 如圖在中，,求的值【鞏固】 如右圖，三角形中，且三角形的面積是，求角形 的面積【例 20】 三角形ABC的面積為15平方厘米，D為AB中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，求陰影部分的面積【例 21】 如右圖，中，是的中點(diǎn)，、是邊上的四等分點(diǎn)，與交于，與交于，已知的面積比四邊形的面積大平方厘米，則的面積是多少平方厘米？【鞏固】 如圖，中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，若的面積為1，那么四邊形的面積是_ 【例 22】 如圖，三角形的面積是，三角形被分成部分，請寫出這部分的面積各是多少? 【鞏固】如圖，的面積為1，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)、是邊的三等分點(diǎn)，那么四邊形的面積是多少？ 課后作業(yè)練習(xí)1. 如圖，三角形ABC的面積是24，D、E和F分別是BC、AC和AD的中點(diǎn)求三角形DEF的面積練習(xí)2. 如圖，平行四邊形，