人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)三角形相似

1、ABCDEF1. 對應(yīng)角對應(yīng)角_, 對應(yīng)邊對應(yīng)邊的兩個(gè)的兩個(gè) 三角形三角形, 叫做相似三角形叫做相似三角形 相等相等成比例成比例2. 相似三角形的相似三角形的, 各對應(yīng)邊各對應(yīng)邊。對應(yīng)角相等對應(yīng)角相等成比例成比例如果如果 ABC DEF, 那么那么A=D, B=E, C=FEFBCDFACDEAB、兩個(gè)全等三角形一定相似嗎？為什么？、兩個(gè)全等三角形一定相似嗎？為什么？、兩個(gè)直角三角形一定相似嗎？為什么？、兩個(gè)直角三角形一定相似嗎？為什么？ 兩個(gè)等腰直角三角形呢？兩個(gè)等腰直角三角形呢？、兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？為什么？、兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？為什么？ 兩個(gè)等邊三角形呢？兩個(gè)等邊三角形呢？相

2、似比是多少？相似比是多少？300450ABC106125182它們是相似三角形嗎？為什么？它們是相似三角形嗎？為什么？A6BC5382476如果如果 ABC ADE,那么你能找出哪些角那么你能找出哪些角的關(guān)系？的關(guān)系？A = A,B = ADE,C = AED.邊呢？邊呢？ADEBCADABAEACDEBC=DE BC如圖如圖,DE/BC,且且D是邊是邊AB的中點(diǎn)的中點(diǎn),DE交交AC于于E, ADE與與ABC有什么關(guān)系有什么關(guān)系?說明理由說明理由.相似相似ABCDE證明證明:在在ADE與與ABC中中A= A21BCDEACAEABAD DE/BCADE=B, AED=C過過E作作EF/AB交交

3、BC于于F可證可證DBFE是平行四邊形是平行四邊形21ACAEABADFADE EFCDE=BF,DE=FC21BCDEADEABC結(jié)論結(jié)論: :三角形的中位線截得的三角形與原三角形相似三角形的中位線截得的三角形與原三角形相似2. 如圖如圖,DE/BC, ADE與與ABC有什么關(guān)系有什么關(guān)系?說明理由說明理由.相似相似ABCDE證明證明:在在ADE與與ABC中中A= ABCDEACAEABAD DE/BC ADE=B, AED=C過過E作作EF/AB交交BC于于FDBFE是平行四邊形是平行四邊形ACAEABADFDE=BFBCBFACAE則BCDEACAE定理：定理：平行于三角形一邊的直線和其

4、他兩邊相交平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似所構(gòu)成的三角形與原三角形相似ADEABC平行于三角形一邊的直線與其它兩邊平行于三角形一邊的直線與其它兩邊(或延長線或延長線)相交相交,所得的三角形與原三角形所得的三角形與原三角形_.相似相似“A”型型 “X”型型 （圖（圖2）DEOBCABCDE（圖（圖1）請寫出它們的對應(yīng)邊的比例式請寫出它們的對應(yīng)邊的比例式 已知：如圖，已知：如圖，ABEF CDABEF CD，CDABEFO3圖中共有圖中共有_對相似三角形。對相似三角形。 EOFCOD ABEF AOB FOE ABCDEFCDAOB DOC 如圖，如圖，ABC 中

5、，中，DEBC，GFAB，DE、交于點(diǎn)，則圖中與、交于點(diǎn)，則圖中與ABC相相似的三角形共有多少個(gè)似的三角形共有多少個(gè)?請你寫出來請你寫出來.解： 與ABC相似的三角形有相似的三角形有3個(gè)個(gè):A ABCDEFGOw 如圖如圖,已知已知DE BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm, BAC=450,ACB=400. (1)求求AED和和ADE的大小的大小;(2)求求DE的長的長.（2）).(75.4330507050,.70305050,cmDEDEBCDEACAE所以即ADBEC解: (1)DE BCADEABCAED=C=400.ADEABC在在ADE中中, ADE=1800-4

6、00-450=950.如圖，在如圖，在ABC中，中，DGEHFIBC，（1）請找出圖中所有的相似三角形；）請找出圖中所有的相似三角形；（2）如果）如果AD=1，DB=3，那么，那么DG：BC=_。ABCDEFGHIADGAEHAFIABC1：4 相似三角形的定義相似三角形的定義 相似比的性質(zhì)相似比的性質(zhì) 相似三角形判定的預(yù)備定理相似三角形判定的預(yù)備定理1. 對應(yīng)角對應(yīng)角_, 對應(yīng)邊對應(yīng)邊的兩個(gè)三角形的兩個(gè)三角形,叫做相似三角形叫做相似三角形 .相等相等成比例成比例2. 相似三角形的相似三角形的, 各對應(yīng)邊各對應(yīng)邊。對應(yīng)角相等對應(yīng)角相等成比例成比例3.3.如何識(shí)別兩三角形是否相似如何識(shí)別兩三角形

7、是否相似? ? DEBC ADE ABC w 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。DEOBCABCDE思考思考: :有沒有其他簡單的辦法判斷兩個(gè)三角形相似有沒有其他簡單的辦法判斷兩個(gè)三角形相似? ?ACCABCCBABBA 是否有ABCABC？ABCCBA三邊對應(yīng)成 比例已知已知:如圖如圖ABC和和ABC中中AB:AB=AC:AC=BC:BC.求證求證:ABCABC證明證明: :在在ABCABC的邊的邊AB(AB(或延長線或延長線) )上截取上截取AD=AB,

8、 AD=AB, ABCABCDE過點(diǎn)過點(diǎn)D D作作DEBCDEBC交交ACAC于點(diǎn)于點(diǎn)E.E.又又AB:AB=BC:BC=CA:CAAB:AB=BC:BC=CA:CAAD:AB=AE:AC=DE:BC,AD:AB=AE:AC=DE:BC,ADEADEABC ABC AD=ABAD:AB=AB:ABAD=ABAD:AB=AB:ABDE:BC=BC:BC,EA:CA=CA:CA.DE:BC=BC:BC,EA:CA=CA:CA.因此因此DE=BC,EA=CA.DE=BC,EA=CA.ABCABCABCABCADEADE ABCABC例例1 1：在：在ABC和和ABC中，已知：中，已知：(1)AB6

9、cm， BC8 cm，AC10 cm，AB18 cm，BC24 cm，AC30 cm試判定試判定ABC與與ABC是否相似，并說明理由是否相似，并說明理由 (2) AB=12cm， BC=15cm， AC24cm AB16cm，BC20cm，AC30cm，如圖已知AEACDEBCADAB試說明試說明BAD=CAE.BAD=CAE.ADCEBAEACDEBCADAB解ABCABCADEADEBAC=BAC=DAEDAEBACBACDAC=DAC=DAEDAEDACDAC即即BAD=CAEBAD=CAE答案是答案是2:1不相似，請說明理由。，求出相似比；如果它們相似嗎？如果相似，和如圖在正方形網(wǎng)格上

10、有222111ACBACB4:2=5:x=6:y4:x=5:2=6:y4:x=5:y=6:2要作兩個(gè)形狀相同的三角形框架要作兩個(gè)形狀相同的三角形框架,其中一個(gè)三角形其中一個(gè)三角形的三邊的長分別為的三邊的長分別為4、5、6,另一個(gè)三角形框架的另一個(gè)三角形框架的一邊長為一邊長為2,怎樣選料可使這兩個(gè)三角形相似怎樣選料可使這兩個(gè)三角形相似?這個(gè)這個(gè)問題有其他答案嗎問題有其他答案嗎?4562 平行于三角形一邊的直線與其他兩邊平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或延長線或延長線)相交相交,所構(gòu)成的三角形與原三角所構(gòu)成的三角形與原三角形相似形相似; 三邊對應(yīng)成比例的三邊對應(yīng)成比例的,兩三角形相似兩三角形相似

11、.相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法判斷兩個(gè)三角形相似判斷兩個(gè)三角形相似, ,你有哪些方法你有哪些方法方法方法1：通過定義（不常用）：通過定義（不常用）三 個(gè) 角 對 應(yīng) 相 等三 邊 對 應(yīng) 成 比 例方法方法2：通過平行線。：通過平行線。方法方法3：三邊對應(yīng)成比例。：三邊對應(yīng)成比例。DCBA如果有一點(diǎn)如果有一點(diǎn)E在邊在邊AC上，那么點(diǎn)上，那么點(diǎn)E應(yīng)該在什應(yīng)該在什么位置才能使么位置才能使ADEABC相似呢？相似呢？ ADAB ？此時(shí)，如果一個(gè)三角形的兩條如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)夾角相等，那么

12、這兩個(gè)三角形三角形一定相似嗎？一定相似嗎？ A = AEAEAC=？3131n已知已知:如圖如圖ABC和和ABC中中,AA , A ,AB:AB=AC:AC.n求證求證:ABCABCABCABCED證明證明:在在ABC的邊的邊AB、AC(或它們的延長線或它們的延長線)上分別截取上分別截取AD=AB,AE=AC,連結(jié)連結(jié)DE.A=A, 這樣這樣,ADE ABC.AB:AB=AC:AC AD:AB=AE:ACDEBCADEABCABCABC相似三角形的識(shí)別相似三角形的識(shí)別 ABC A B C如果一個(gè)三角形的如果一個(gè)三角形的兩條邊兩條邊與另一個(gè)三角與另一個(gè)三角形形的的兩條邊對應(yīng)成比例兩條邊對應(yīng)成比例

13、，并且，并且夾角相等夾角相等，那，那么這兩個(gè)三角形么這兩個(gè)三角形相似相似 。ABACA BA C( (兩邊對應(yīng)成比例且夾角兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似相等，兩三角形相似) )A = A ABCABC想一想：如果對應(yīng)相等的角不是兩條對應(yīng)想一想：如果對應(yīng)相等的角不是兩條對應(yīng)邊的夾角，那么兩個(gè)三角形是否相似呢？邊的夾角，那么兩個(gè)三角形是否相似呢？ABCDEF1、已知ABC和 ABC,根據(jù)下列條件 判斷它們是否相似.(2) A45，AB=12cm， AC=15cm A45，AB16cm，AC20cm（1）A=120,AB=7cm,AC=14cm, A=120,AB=3cm,AC=6cm; =

14、 =1.5FEAE36542、判斷圖中判斷圖中AEBAEB和和FECFEC是否相似？是否相似？ 解：AEBFEC 1 12 1.5BECE4530 FEAEBECE54303645EAFCB123.在正方形在正方形ABCD中，中，E為為AD上的中點(diǎn)上的中點(diǎn), F是是AB的四分一等分點(diǎn)，連結(jié)的四分一等分點(diǎn)，連結(jié)EF、EC；AEF與與DCE是否相似是否相似?說明理由說明理由.ABCDFE4、已知：如圖，已知：如圖，BD、CE是是ABC的高，的高， 試說明試說明 ADEABC。ABCDE 平行于三角形一邊的直線與其他兩邊平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或延長線或延長線)相交相交,所構(gòu)成的三角形與原

15、三角所構(gòu)成的三角形與原三角形相似形相似; 三邊對應(yīng)成比例三邊對應(yīng)成比例,兩三角形相似兩三角形相似.相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法 兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形兩三角形相似相似.CAABBC A=A， B=B ABC ABC相似三角形的識(shí)別相似三角形的識(shí)別(兩個(gè)角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似兩個(gè)角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似)例例1如圖所示，在兩個(gè)直角三角形如圖所示，在兩個(gè)直角三角形ABC和和ABC中，中，BB90，AA，判斷這兩個(gè)判斷這兩個(gè)三角形是否相似三角形是否相似 CBACBA 例題欣賞例題欣賞解：解： BB90（已知），已知），AA（已知），已知）

16、， ABCABC（兩個(gè)角分別對應(yīng)兩個(gè)角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）相等的兩個(gè)三角形相似） 例例2. 如圖，如圖，ABC中，中， DEBC，EFAB， 試說明試說明ADEEFC. AEFBCD例題分析例題分析解解: DEBC，EFAB（已知），已知）， ADEBEFC （兩直線平行，同位角相等）兩直線平行，同位角相等）AEDC. （兩直線平行，同位角相等）兩直線平行，同位角相等） ADEEFC. （兩個(gè)角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)角分別對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）兩個(gè)三角形相似）例例3.3.弦弦ABAB和和CDCD相交于相交于o o內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)P,P,求證求證:PA:PAPB=PCPB=PCPDPDAB

17、CDPO證明:連接AC、BDA、D都是CB所對的圓周角 A=D同理: C=BPACPDBPBPCPDPA即PAPB=PCPDCADB3.找出圖中所有的相似三角形找出圖中所有的相似三角形ACD CBD ABC你能寫出對應(yīng)邊的比例式嗎你能寫出對應(yīng)邊的比例式嗎?A AB BD DC C圖圖 3 3填一填填一填（1）如圖）如圖3，點(diǎn)，點(diǎn)D在在AB上，當(dāng)上，當(dāng) 時(shí)，時(shí)， ACDABC。（2）如圖）如圖4，已知點(diǎn)，已知點(diǎn)E在在AC上，若點(diǎn)上，若點(diǎn)D在在AB上，則滿足上，則滿足 條件條件 ，就可以使，就可以使ADE與原與原ABC相似。相似。 A AB BC CE E圖圖 4 4 ACD B ( (或者或者

18、ACB ADB) )DE/BCD D( (或者或者 C ADE) )( (或者或者 B ADE) )D D如圖，在如圖，在RtRtABCABC的一邊的一邊ABAB上有一點(diǎn)上有一點(diǎn)P(P(點(diǎn)點(diǎn)P P與點(diǎn)與點(diǎn)A A，B B不重合），過點(diǎn)不重合），過點(diǎn)P P作直線作直線截得的三角形與截得的三角形與ABCABC相相似，想一想滿足條件的直似，想一想滿足條件的直線共有多少條？試畫出圖線共有多少條？試畫出圖形并簡要說明理由形并簡要說明理由. .思考：若三角形為任意三角形，點(diǎn)P為三角形任意一邊上的點(diǎn)，則這樣的直線有幾條？我們來試一試我們來試一試EABDC C解：解： A= A ABD=C ABD ACB AB : AC=AD : AB AB2 = AD AC AD=2 AC=8 AB =43.已知如圖，已知如圖， ABD=C AD=2 AC=8，求，求AB ABC CDDBC CA184 21225、如圖：在、如圖：在Rt ABC中，中， ABC=900，BDAC于于D 若若 AB=6 AD=2 則則AC= BD= BC=4、已知：如圖，已知：如