復(fù)變函數(shù)課件：5-2 留數(shù)(Residue)

1、& 1. 留數(shù)的定義留數(shù)的定義& 2. 留數(shù)定理留數(shù)定理& 3. 留數(shù)的計算規(guī)則留數(shù)的計算規(guī)則2 2 留數(shù)留數(shù)(Residue)1. 留數(shù)的定義留數(shù)的定義定義定義設(shè)設(shè)z0為為f (z)的孤立奇點，的孤立奇點， f (z)在在z0鄰域內(nèi)的鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)中負冪次項洛朗級數(shù)中負冪次項(z- z0)1的系數(shù)的系數(shù)c1稱為稱為f (z)在在z0的留數(shù)，記作的留數(shù)，記作Resf (z), z0 或或 Res f (z0)。由留數(shù)定義由留數(shù)定義, Resf (z), z0= c1 (1) nnnzzczf)()(0設(shè)設(shè) cciczzdzcdzzfc1012)( 逐逐項項積積分分得得

2、：線線對對上上式式兩兩邊邊沿沿簡簡單單閉閉曲曲),)(00在在其其內(nèi)內(nèi)部部包包含含的的弧弧立立奇奇點點是是zczfz)2()(21),(Re10dzzficzzfsc 故故2. 留數(shù)定理留數(shù)定理)3(),(Re2)()(,)(,121 nkkcnzzfsidzzfcczfzzzczfc 上上解解析析內(nèi)內(nèi)及及在在除除此此以以外外限限個個弧弧立立奇奇點點內(nèi)內(nèi)有有有有在在是是一一條條簡簡單單閉閉曲曲線線設(shè)設(shè)定理定理,), 2 , 1(,圍圍繞繞內(nèi)內(nèi)的的弧弧立立奇奇點點，將將曲曲線線互互不不相相交交的的正正向向簡簡單單閉閉用用互互不不包包含含kkzcnkc 證明證明Dcznz1z3z2 nkknkcc

3、zzfsdzzfidzzfin11),(Re)(21)(21 nccccdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()(21由復(fù)合閉路定理得：由復(fù)合閉路定理得：用用2 i 除上式兩邊得除上式兩邊得: nkkczzfsidzzf1),(Re2)( 故故得證！得證！A 求沿閉曲線求沿閉曲線c的積分，歸之為求在的積分，歸之為求在c中各孤立中各孤立奇點的留數(shù)。奇點的留數(shù)。 一般求一般求Resf (z), z0是采用將是采用將f (z) 在在 z0鄰域內(nèi)展開鄰域內(nèi)展開成洛朗級數(shù)求系數(shù)成洛朗級數(shù)求系數(shù)c1的方法的方法,但如果能先知道奇點但如果能先知道奇點的類型，對求留數(shù)更為有利。的類型，對求留數(shù)更為有利。

4、0),(Re0)(010 zzfsczzi為為可可去去奇奇點點若若以下就三類奇點進行討論：以下就三類奇點進行討論：3. 留數(shù)的計算規(guī)則留數(shù)的計算規(guī)則規(guī)則規(guī)則有以下幾條有以下幾條為極點時，求為極點時，求若若),(Re)(00zzfszziii 規(guī)則規(guī)則I)4()()(lim),(Re,)(0000zfzzzzfszfzzz 的的一一級級極極點點是是若若級極點級極點的的是是若若mzfz)(0規(guī)則規(guī)則II)5()()(lim)!1(1),(Re01100zfzzdzdmzzfsmmmzz 1000),(Re)()()( czzfszzczfzziinn展開展開為本性奇點為本性奇點若若事實上事實上，由

5、條件，由條件)0( ,)()()()()(0101012020 mmmczzcczzczzczzczf得得乘乘上上式式兩兩邊邊以以,)(0mzz mmmmmzzczzczzcczfzz)()()()()(00101010 )( !)!1()()(101011zzmcmzfzzdzdmmmm階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)得得兩兩邊邊求求.)5(,)!1()()(lim10110式式移移項項得得 cmzfzzdzdmmmzzA當當m=1時，式時，式(5)即為式即為式(4).)6()( )(),(Re,)(0)( ,0)(,0)(,)(),()()()(00000000zQzpzzfszfzzQzQzpzzQzpzQ

6、zpzf 且且的的一一級級極極點點是是處處解解析析在在設(shè)設(shè)規(guī)則規(guī)則III事實上事實上，,)(1,)(0)( 0)(0000的的一一級級極極點點為為從從而而的的一一級級零零點點為為及及zQzzQzzQzQ )0)()()(1)(1,000 zzzzzzzQ 處處解解析析且且在在因因此此),0)(,)()()()(1)(000 zgzzpzzgzgzzzf且且解解析析在在故故 得得證證！)0)( ()( )()()()(lim)()(lim),(Re000000000 zQzQzpzzzQzQzpzfzzzzfszzzz 由由規(guī)規(guī)則則級級極極點點的的為為則則,)(0zfz 22)1(25:zdzz

7、zz計計算算例例1解解102)1(25)(2 zzzzzzzf和一個二級極點和一個二級極點的內(nèi)部有一個一級極點的內(nèi)部有一個一級極點在在2)1(25lim)(lim0),(Re200 zzxzfzfszz 由由規(guī)規(guī)則則)1(25)1()!12(1lim 1),(Re221 zzzzdzdzfszII由由規(guī)規(guī)則則22lim)25(lim211 zzzzz0 1),(Re20),(Re2)(2 zfsizfsidzzfz 2:14 zcdzzzc正正向向計計算算例例2解解內(nèi)內(nèi)，都都在在圓圓周周個個一一級級極極點點有有cizf , 1:4)(23414)( )(zzzzQzP 由規(guī)則由規(guī)則041414

8、1412),(Re),(Re 1),(Re 1),(Re214 iizfsizfszfszfsidzzzc 故故 13coszdzzz計計算算例例3解解的的三三級級奇奇點點有有一一個個0cos)(3 zzzzfiizfsidzzzz )21(20),(Re2cos1321)(coslim21)()!13(1lim0),(Re03220 zzfzdzdzfszz由由規(guī)規(guī)則則)(tanNnzdznz 計計算算例例4解解), 2, 1, 0(21,20coscossintan kkzkzzzzz即即解得解得令令 0csc)(cot21212 kzkzzz 得得由由法法則則為為一一級級極極點點III,

9、21 kz), 1, 0(1)(cossin21,tanRe21 kzzkzskz ninizsizdznknz4)2(2)(tanRe2tan21 故由留數(shù)定理得：故由留數(shù)定理得：A(1)要靈活運用規(guī)則及洛朗級數(shù)展開來求留要靈活運用規(guī)則及洛朗級數(shù)展開來求留數(shù)，不要死套規(guī)則。數(shù)，不要死套規(guī)則。6sin)()()(zzzzQzPzf ,)(001cos)0(0sin)0(0)cos1()0( 0)0(000的的三三級級零零點點是是由由于于zpzzpzpzppzzz 如如是是f (z)的三級極點。的三級極點。:)(級級數(shù)數(shù)展展開開作作若若將將Laurentzfsinlim)!13(10),(Re30zzzzfsz 由規(guī)則由規(guī)則! 510 ,sinRe6 zzzs zzzzzzzzzz1! 511! 31)! 51! 31(1sin35366-該方法較規(guī)則該方法較規(guī)則II更簡單！更簡單！! 51)cos(lim! 5