-基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及四則運(yùn)算

1、1.2.1-1.2.2基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則一、復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí)1.1.導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何幾何意義：意義： 曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率曲線在某點(diǎn)處的切線的斜率; ;( (瞬時(shí)速度或瞬時(shí)加速度瞬時(shí)速度或瞬時(shí)加速度) )物理物理意義：意義： 物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)度。物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)度。2 2、由定義求導(dǎo)數(shù)（三步法、由定義求導(dǎo)數(shù)（三步法）步驟步驟: :);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值)(, 0)3(xfxyx當(dāng)00()( )( )limlimxxyf xxf xfxyxx 在不致發(fā)生混淆時(shí)，在不

2、致發(fā)生混淆時(shí)，導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)也簡(jiǎn)稱為也簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)000( )()( ).yf xxfxfxx 函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值二、新課二、新課 由函數(shù)由函數(shù)f(x)在在x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到, f(x0) 是一個(gè)確定的數(shù)是一個(gè)確定的數(shù). 那么那么, 當(dāng)當(dāng)x變化時(shí)變化時(shí), f(x)便是便是 x的的一個(gè)函數(shù)一個(gè)函數(shù), 我們叫它為我們叫它為f(x)的的導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù).即即:(一）一）.導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù).yxy例:已知，求00limlimxxyxxxyxx 解：011lim.2xxxxx 0()()lim()xxxxxxxxxxx 二、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、幾種常見函

3、數(shù)的導(dǎo)數(shù)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可以得出一些常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可以得出一些常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式.0:( ),()( ),0,( )lim0.xyyf xCyf xxf xCCxyf xCx 解1) 函數(shù)函數(shù)y=f(x)=c的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).公式公式1:1: = 0 (C為常數(shù)為常數(shù))C請(qǐng)同學(xué)們求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)請(qǐng)同學(xué)們求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):22)( ),3)( ),14)( ),yf xxyf xxyf xx1y 21 yx 2yx表示表示y=x圖象上每一點(diǎn)圖象上每一點(diǎn)處的切線斜率都為處的切線斜率都為1這又說明什么這又說明什么?公式公式2: .)()(1Qnnxxnn 公式公式3:3:公式公式4:4:

4、xxcos)(sinxxsin)(cos公式公式5:5:對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1(1) (log )(0,1).lnaxaax a1(2)(ln ).xx公式公式6:6:指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(2)().xxee (1) ( )ln (0,1).xxaaa aa注意注意: :關(guān)于關(guān)于 是兩個(gè)不同是兩個(gè)不同的函數(shù)的函數(shù), ,例如例如: :axxa 和 )3)(1 (x )(2(3xaxln323x總結(jié)：我們今后可以直接使用的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6

5、.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若則公式若則公式若則公式若則公式若則公式若則公式若則且公式若1( )ln,( );fxxfxx則例例1 1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xxxyxy) 2 () 1 (5).2(,) 1 (3fxy求已知213333)(xxxy 解解：12) 2 (3) 2 (2f312222)( xxxy解解：2722712) 3 (2) 3 (3f).3(,1)2(2fxy求已知例例2:2:例例3.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)

6、的導(dǎo)數(shù))2cos()3(3sin)2()2sin() 1 (xyyxy例例4.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3(1)4(2)logxyyx );( )( )()(xgxfxgxf)()()()()()(xgxfxgxfxgxf)()()()()()()(2xgxgxfxgxfxgxf( )( )cf xcfx(三三)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則則設(shè)設(shè)f(x)、g(x)是可導(dǎo)的是可導(dǎo)的（1）（2）（3）特殊地特殊地（c為常數(shù)為常數(shù)） 21()( )( )gxg xgx 注意：注意：1 1、前提條件導(dǎo)數(shù)存在；、前提條件導(dǎo)數(shù)存在； 、和差導(dǎo)數(shù)可推廣到任意有限個(gè)；、和差

7、導(dǎo)數(shù)可推廣到任意有限個(gè)；、商的導(dǎo)數(shù)右側(cè)分子中間、商的導(dǎo)數(shù)右側(cè)分子中間“”，先先 子導(dǎo)再母導(dǎo)。子導(dǎo)再母導(dǎo)。32( )2sin 0 .f xxxxx例1求在時(shí)的導(dǎo)數(shù)例例 2設(shè)設(shè) y = xlnx ， 求求 y .解解根據(jù)除法公式，有根據(jù)除法公式，有22222)1()1()1()1)(1(11 xxxxxxxy例例 3設(shè)設(shè),112 xxy求求 y .2222)1()1()1()()1()(1( xxxxx.)1(12)1()1(2)1(222222 xxxxxxx切線問題切線問題1:1:求過曲線求過曲線y=cosxy=cosx上點(diǎn)上點(diǎn)P( ) P( ) 的切線的直線方程的切線的直線方程. .21,3

8、 .233sin)3(,sin)(,cos)(fxxfxxf解：，處的切線斜率為故曲線在點(diǎn)23)21,3(P. 033123),3(2321yxxy即所求的直線方程為 2.如果曲線如果曲線 y=x3+x- -10 的某一切線與直線的某一切線與直線 y=4x+3 平行平行, 求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線方程.解解: 切線與直線切線與直線 y=4x+3 平行平行, 切線斜率為切線斜率為 4.又又切線在切線在 x0 處斜率為處斜率為 y | x=x03x02+1=4.x0= 1.當(dāng)當(dāng) x0=1 時(shí)時(shí), y0=- -8; 當(dāng)當(dāng) x0=- -1 時(shí)時(shí), y0=- -12. 切點(diǎn)坐標(biāo)為切點(diǎn)坐標(biāo)為

9、(1, - -8) 或或 (- -1, - -12).切線方程為切線方程為 y=4x- -12 或或 y=4x- -8.=(x3+x- -10) | x=x0 =3x02+1.3 3、若直線若直線y=3x+1y=3x+1是曲線是曲線y=axy=ax3 3的切線的切線, ,試求試求a a的值的值. . 解解:設(shè)直線設(shè)直線y=3x+1與曲線與曲線y=ax3相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)P(x0,y0),則有則有: y0=3x0+1, y0=ax03, 3ax02=3.由由, ,得得3x0+1=ax03,由由得得ax02=1,代代入上式可得入上式可得:3x0+1=x0,x0=1/2.所以所以a(- -1/2)2=

10、1,即即:a=4:a=41,.yxbyxb 練習(xí)：若直線為函數(shù)圖象的切線求 的值和切點(diǎn)的坐標(biāo) 4.已知曲線已知曲線 C: y=x3- -3x2+2x, 直線直線 l: y=kx, 且直線且直線 l 與與 曲線曲線 C 相切于點(diǎn)相切于點(diǎn) (x0, y0)(x0 0), 求直線求直線 l 的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).解解: 由直線由直線 l 過點(diǎn)過點(diǎn)(x0, y0)，其斜率，其斜率 k= , x0y0點(diǎn)點(diǎn) (x0, y0) 在曲線在曲線 C 上上, y0=x03- -3x02+2x0. =x02- -3x0+2.x0y0又又 y =3x2- -6x+2,在在點(diǎn)點(diǎn) (x0, y0) 處曲線處曲

11、線 C 的切線斜率的切線斜率 k=y |x=x0.x02- -3x0+2=3x02- -6x0+2.整理得整理得 2x02- -3x0=0.解得解得 x0= (x0 0) ). 32這時(shí)這時(shí) y0=- - , k=- - . 3814直線直線 l 的方程為的方程為 y=- - x, 14切點(diǎn)坐標(biāo)是切點(diǎn)坐標(biāo)是 ( , - - ). 38322.1,?yxPyxP5 已知直線點(diǎn) 為上任意一點(diǎn) 求在什么位置時(shí)到直線的距離最短;3)()1(,14333 xxxyxy解解：. 043),1(31, 3|)1 , 1(1 yxxyykPx即即從從而而切切線線方方程程為為處處的的切切線線的的斜斜率率為為曲曲

12、線線在在設(shè)直線設(shè)直線m的方程為的方程為3x+y+b=0,由平行線間的距離公由平行線間的距離公式得式得:;146,10|4|1013| )4(|2 bbbb或或故所求的直線故所求的直線m的方程為的方程為3x+y+6=0或或3x+y-14=0.練習(xí)練習(xí):已知曲線已知曲線 在點(diǎn)在點(diǎn)P(1,1)處的切線與直線處的切線與直線m平平行且距離等于行且距離等于 ,求直線求直線m的方程的方程.31xy 10 1、設(shè)設(shè) f (x) = (1+x)(1+2x) (1+10 x)， 求求 .) 0 (f 2、求曲線、求曲線 上與上與 軸軸 平行的切線方程平行的切線方程.32xxy xf（x）=（x-1）（）（x-2）

13、（x-9）（）（x-10） )10(f則則! 9 解：解：232xy 令令0 y0322 x321 x322 x切點(diǎn)為切點(diǎn)為 964,32 964,32所求切線方程為所求切線方程為964 y964 y和和3.求曲線求曲線 上與上與 軸平行的切線方程軸平行的切線方程.32xxy x0k 4 、 求曲線求曲線y=xlnx平行于平行于x-y+1=0的切線方程的切線方程解：設(shè)切點(diǎn)解：設(shè)切點(diǎn)00yxp 切線的斜率為切線的斜率為11ln)(lnln)()ln(xxxxxxxy 0ln0 x 1ln10 x 10 x00y 切線方程為y=x-1 即x-y-1=05、 求曲線求曲線y=ln(2x-1)上的點(diǎn)到

14、直線上的點(diǎn)到直線2x-y+3=0 的最短距離的最短距離解：設(shè)曲線點(diǎn)在平行則切點(diǎn)p到直線2x-y+3=0的距離即為所求00yxp處的切線與2x-y+3=0 122xy21220 x 10 x切點(diǎn)為（1，0） 555mind小結(jié):基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若則公式若則公式若則公式若則公式

15、若則公式若則公式若則且公式若1( )ln,( );fxxfxx則注意注意:牢記公式呦牢記公式呦（3）函數(shù)）函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) 就是導(dǎo)函數(shù)就是導(dǎo)函數(shù) 在在x=x0處的函數(shù)值，即處的函數(shù)值，即 。這也是。這也是 求函數(shù)在點(diǎn)求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。 )(0 xf )(xf 0| )()(0 xxxfxf （2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的而言的, 就是函數(shù)就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 。)(xf （1）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改 變量與自變量的

16、改變量之比的極限，它是一個(gè)變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè) 常數(shù)，不是變數(shù)。常數(shù)，不是變數(shù)。弄清弄清“函數(shù)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)” 之間的區(qū)別與聯(lián)系。之間的區(qū)別與聯(lián)系。三、鞏固練習(xí)三、鞏固練習(xí)222)2(2xxxyxxxy2cos222sin xxfcossin)(則則1 1、函數(shù)、函數(shù))(f、函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是的導(dǎo)數(shù)是22xxxy、函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是的導(dǎo)數(shù)是xxytan、函數(shù)、函數(shù)a=則則212)(axxxf2) 1 (f0或 解：)sin(xxy )(sinsinxxxx)cossin(xxy xxxxx2cos)(cossincos)(sinxxx222cossincosx2cos1xxxcossin（2 2）y=tanxy=tanx5 5、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（