高三數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)解析：函數(shù)問(wèn)題題型與分析素材

1、高三數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)解析：函數(shù)問(wèn)題題型與分析一復(fù)習(xí)目標(biāo)：1了解映射的概念，理解函數(shù)的概念。2了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的方法，并能利用函數(shù)的性質(zhì)簡(jiǎn)化函數(shù)圖象的繪制過(guò)程。3了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù)。4理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。5理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。6能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。二考試要求：1靈活運(yùn)用函數(shù)概念、性質(zhì)和不等式等知識(shí)以及分類討論等方法，解函數(shù)綜合題。2應(yīng)用函數(shù)知識(shí)

2、及思想方法，解決函數(shù)的最值問(wèn)題、探索性問(wèn)題與應(yīng)用性問(wèn)題，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。三教學(xué)過(guò)程：（）函數(shù)的概念型問(wèn)題函數(shù)概念的復(fù)習(xí)當(dāng)然應(yīng)該從函數(shù)的定義開(kāi)始函數(shù)有二種定義，一是變量觀點(diǎn)下的定義，一是映射觀點(diǎn)下的定義復(fù)習(xí)中不能僅滿足對(duì)這兩種定義的背誦，而應(yīng)在判斷是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，兩個(gè)函數(shù)關(guān)系是否相同等問(wèn)題中得到深化，更應(yīng)在有關(guān)反函數(shù)問(wèn)題中正確運(yùn)用具體要求是：1深化對(duì)函數(shù)概念的理解，明確函數(shù)三要素的作用，并能以此為指導(dǎo)正確理解函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系2系統(tǒng)歸納求函數(shù)定義域、值域、解析式、反函數(shù)的基本方法在熟練有關(guān)技能的同時(shí)，注意對(duì)換元、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用3通過(guò)對(duì)分段定義函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，抽象

3、函數(shù)等的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)，進(jìn)一步樹(shù)立運(yùn)動(dòng)變化，相互聯(lián)系、制約的函數(shù)思想，為函數(shù)思想的廣泛運(yùn)用打好基礎(chǔ)本部分內(nèi)容的重點(diǎn)是不僅從認(rèn)識(shí)上，而且從處理函數(shù)問(wèn)題的指導(dǎo)上達(dá)到從三要素總體上把握函數(shù)概念的要求，對(duì)確定函數(shù)三要素的常用方法有個(gè)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，對(duì)于給出解析式的函數(shù)，會(huì)求其反函數(shù)本部分的難點(diǎn)首先在于克服“函數(shù)就是解析式”的片面認(rèn)識(shí)，真正明確不僅函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，而且其定義域都包含著對(duì)函數(shù)關(guān)系的制約作用，并真正以此作為處理問(wèn)題的指導(dǎo)其次在于確定函數(shù)三要素、求反函數(shù)等課題的綜合性，不僅要用到解方程，解不等式等知識(shí)，還要用到換元思想、方程思想等與函數(shù)有關(guān)概念的結(jié)合函數(shù)的概念是復(fù)習(xí)函數(shù)全部?jī)?nèi)容和建

4、立函數(shù)思想的基礎(chǔ)，不能僅滿足會(huì)背誦定義，會(huì)做一些有關(guān)題目，要從聯(lián)系、應(yīng)用的角度求得理解上的深度，還要對(duì)確定函數(shù)三要素的類型、方法作好系統(tǒng)梳理，這樣才能進(jìn)一步為綜合運(yùn)用打好基礎(chǔ)復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是求得對(duì)這些問(wèn)題的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)，而不是急于做過(guò)難的綜合題深化對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)例1下列函數(shù)中，不存在反函數(shù)的是（ ） 分析：處理本題有多種思路分別求所給各函數(shù)的反函數(shù)，看是否存在是不好的，因?yàn)檫^(guò)程太繁瑣從概念看，這里應(yīng)判斷對(duì)于給出函數(shù)值域內(nèi)的任意值，依據(jù)相應(yīng)的對(duì)應(yīng)法則，是否在其定義域內(nèi)都只有惟一確定的值與之對(duì)應(yīng)，因此可作出給定函數(shù)的圖象，用數(shù)形結(jié)合法作判斷，這是常用方法，請(qǐng)讀者自己一試此題作為選擇題還可采用估算的方法對(duì)

5、于D，y=3是其值域內(nèi)一個(gè)值，但若y=3，則可能x=2(21)，也可能x=-1(-1-1)依據(jù)概念，則易得出D中函數(shù)不存在反函數(shù)于是決定本題選D說(shuō)明：不論采取什么思路，理解和運(yùn)用函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系是這里解決問(wèn)題的關(guān)鍵由于函數(shù)三要素在函數(shù)概念中的重要地位，那么掌握確定函數(shù)三要素的基本方法當(dāng)然成了函數(shù)概念復(fù)習(xí)中的重要課題系統(tǒng)小結(jié)確定函數(shù)三要素的基本類型與常用方法1求函數(shù)定義域的基本類型和常用方法由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問(wèn)題的代表，實(shí)際上是求使給定式有意義的x的取值范圍它依賴于對(duì)各種式的認(rèn)識(shí)與解不等式技能的熟練這里的最高層次要求是給出的解析式還含有其他字例2已知函數(shù)定義域?yàn)?0，2)，求下列

6、函數(shù)的定義域：分析：x的函數(shù)f(x)是由u=x與f(u)這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中x是自變量，u是中間變量由于f(x)，f(u)是同一個(gè)函數(shù)，故(1)為已知0u2，即0x2求x的取值范圍解：(1)由0x2， 得 說(shuō)明：本例(1)是求函數(shù)定義域的第二種類型，即不給出f(x)的解析式，由f(x)的定義域求函數(shù)fg(x)的定義域關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)的意義，用好換元法(2)是二種類型的綜合求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學(xué)問(wèn)題或?qū)嶋H問(wèn)題中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，求其定義域，后面還會(huì)涉及到2求函數(shù)值域的基本類型和常用方法函數(shù)的值域是由其對(duì)應(yīng)法則和定義域共同決定的其類型依解析式的特點(diǎn)分可分三類：(1)求常

7、見(jiàn)函數(shù)值域；(2)求由常見(jiàn)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見(jiàn)函數(shù)作某些“運(yùn) 算”而得函數(shù)的值域 3求函數(shù)解析式舉例例3已知xy0，并且4x-9y=36由此能否確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定義域和值域；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由分析： 4x-9y=36在解析幾何中表示雙曲線的方程，僅此當(dāng)然不能確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系y=f(x)，但加上條件xy0呢？所以因此能確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系y=f(x)其定義域?yàn)?-，-3)(3，+)且不難得到其值域?yàn)?-，0)(0，)說(shuō)明：本例從某種程度上揭示了函數(shù)與解析幾何中方程的內(nèi)在聯(lián)系任何一個(gè)函數(shù)的解析式都可看作一個(gè)方程，在一定條件下，方程也可轉(zhuǎn)化為表示

8、函數(shù)的解析式求函數(shù)解析式還有兩類問(wèn)題：(1)求常見(jiàn)函數(shù)的解析式由于常見(jiàn)函數(shù)(一次函數(shù)，二次函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)及反三角函數(shù))的解析式的結(jié)構(gòu)形式是確定的，故可用待定系數(shù)法確定其解析式這里不再舉例(2)從生產(chǎn)、生活中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系的確定這要把有關(guān)學(xué)科知識(shí)，生活經(jīng)驗(yàn)與函數(shù)概念結(jié)合起來(lái)，舉例也宜放在函數(shù)復(fù)習(xí)的以后部分（）函數(shù)與方程的思想方法函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題。方程思想，是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、或方程與不等式的混合組），然后通過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解。有時(shí)，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)

9、與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。方程思想是：實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)問(wèn)題代數(shù)問(wèn)題方程問(wèn)題。函數(shù)和多元方程沒(méi)有什么本質(zhì)的區(qū)別，如函數(shù)yf(x)，就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f(x)y0?？梢哉f(shuō)，函數(shù)的研究離不開(kāi)方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的。函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系，函數(shù)思想通過(guò)提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型，從而進(jìn)行研究。一般地，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x)、f(x)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的具

10、體特性。在解題中，善于挖掘題目中的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵。對(duì)所給的問(wèn)題觀察、分析、判斷比較深入、充分、全面時(shí)，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型。另外，方程問(wèn)題、不等式問(wèn)題和某些代數(shù)問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問(wèn)題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問(wèn)題。(一)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì)是研究初等函數(shù)的基石，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容在復(fù)習(xí)中要肯于在對(duì)定義的深入理解上下功夫復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面，從理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義入手，在判斷和證明函數(shù)的性質(zhì)的問(wèn)題中得以鞏固，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及應(yīng)用問(wèn)題的過(guò)程中得以深化具體要求是：1

11、正確理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，能準(zhǔn)確判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，能熟練運(yùn)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性2從數(shù)形結(jié)合的角度認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，深化對(duì)函數(shù)性質(zhì)幾何特征的理解和運(yùn)用，歸納總結(jié)求函數(shù)最大值和最小值的常用方法3培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析問(wèn)題，提高學(xué)生用換元、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的能力這部分內(nèi)容的重點(diǎn)是對(duì)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的深入理解函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來(lái)討論函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映了函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢(shì)，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，但不一定是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，所以要受

12、到區(qū)間的限制對(duì)函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個(gè)等式上，要明確對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對(duì)稱性的反映這部分的難點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用根據(jù)已知條件，調(diào)動(dòng)相關(guān)知識(shí)，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題，是對(duì)學(xué)生能力的較高要求1對(duì)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的理解例4下面四個(gè)結(jié)論：偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；

13、奇函數(shù)的圖象一定通過(guò)原點(diǎn)；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(xR)，其中正確命題的個(gè)數(shù)是 （ ）A1 B2 C3 D4分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，但不一定相交，因此正確，錯(cuò)誤奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不一定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，因此不正確若y=f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f(x)=0，但不一定xR，如例1中的(3)，故錯(cuò)誤，選A說(shuō)明：既奇又偶函數(shù)的充要條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且函數(shù)值恒為零2復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)復(fù)合函數(shù)y=fg(x)是由函數(shù)u=g(x)和y=f(u)構(gòu)成的，因變量y通過(guò)中間變量u與自變量x建立起函數(shù)關(guān)系，函數(shù)u=g(x)的值域是y=f(u

14、)定義域的子集復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)由構(gòu)成它的函數(shù)性質(zhì)所決定，具備如下規(guī)律：(1)單調(diào)性規(guī)律如果函數(shù)u=g(x)在區(qū)間m，n上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)y=f(u)在區(qū)間g(m)，g(n) (或g(n)，g(m)上也是單調(diào)函數(shù)，那么若u=g(x)，y=f(u)增減性相同，則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)為增函數(shù)；若u=g(x)，y= f(u)增減性不同，則y=fg(x)為減函數(shù)(2)奇偶性規(guī)律若函數(shù)g(x)，f(x)，fg(x)的定義域都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，則u=g(x)，y=f(u)都是奇函數(shù)時(shí)，y=fg(x)是奇函數(shù)；u=g(x)，y=f(u)都是偶函數(shù)，或者一奇一偶時(shí)，y= fg(x)是偶函數(shù)例5若y=log(2

15、-ax)在0，1上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）A(0，1) B(1，2) C(0，2) D2，+)分析：本題存在多種解法，但不管哪種方法，都必須保證：使log(2-ax)有意義，即a0且a1，2-ax0使log(2-ax)在0，1上是x的減函數(shù)由于所給函數(shù)可分解為y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a0時(shí)為減函數(shù)，所以必須a1；0，1必須是y=log(2-ax)定義域的子集解法一：因?yàn)閒(x)在0，1上是x的減函數(shù)，所以f(0)f(1)，即log2log(2-a)解法二：由對(duì)數(shù)概念顯然有a0且a1，因此u=2-ax在0，1上是減函數(shù)，y= logu應(yīng)為增函數(shù)，得a1，排除A，

16、C，再令故排除D，選B說(shuō)明：本題綜合了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，無(wú)論是用直接法，還是用排除法都需要概念清楚，推理正確3函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合運(yùn)用例6甲、乙兩地相距Skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)c kmh，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(kmh)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(kmh)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛分析：(1)難度不大，抓住關(guān)系式：全程運(yùn)輸成本=單位時(shí)間運(yùn)輸成本×全程運(yùn)輸時(shí)間，而全程運(yùn)輸時(shí)間=(全程距離)÷

17、;(平均速度)就可以解決故所求函數(shù)及其定義域?yàn)榈捎陬}設(shè)條件限制汽車行駛速度不超過(guò)ckmh，所以(2)的解決需要論函數(shù)的增減性來(lái)解決由于vv0，v-v0，并且又S0，所以即則當(dāng)v=c時(shí)，y取最小值說(shuō)明：由于限制汽車行駛速度不得超過(guò)c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使難度有所增大（二）函數(shù)的圖象1掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法描點(diǎn)法和圖象變換法2會(huì)利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問(wèn)題3用數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問(wèn)題4掌握知識(shí)之間的聯(lián)系，進(jìn)一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力以解析式表示的函數(shù)作圖象的方

18、法有兩種，即列表描點(diǎn)法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本節(jié)的重點(diǎn)運(yùn)用描點(diǎn)法作圖象應(yīng)避免描點(diǎn)前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點(diǎn)成線要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當(dāng)處這就要求對(duì)所要畫(huà)圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢(shì)等作一個(gè)大概的研究而這個(gè)研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個(gè)難點(diǎn)用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換這也是個(gè)難點(diǎn)1作函數(shù)圖象的一個(gè)基本方法例7作出下列函數(shù)的圖象(1)y=|x-2|(x1)；(2)y=10|lgx|分析：顯然直接用已知函數(shù)的解析式列表描點(diǎn)有些困難，除去對(duì)其函數(shù)性質(zhì)分析外，我們還應(yīng)想到對(duì)已知解析式進(jìn)行等價(jià)變形解：(1

19、)當(dāng)x2時(shí)，即x-20時(shí)，當(dāng)x2時(shí)，即x-20時(shí)，這是分段函數(shù)，每段函數(shù)圖象可根據(jù)二次函數(shù)圖象作出(見(jiàn)圖6)(2)當(dāng)x1時(shí)，lgx0，y=10|lgx|=10lgx=x；當(dāng)0x1時(shí)，lgx0，所以這是分段函數(shù)，每段函數(shù)可根據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)作出(見(jiàn)圖7)說(shuō)明：作不熟悉的函數(shù)圖象，可以變形成基本函數(shù)再作圖，但要注意變形過(guò)程是否等價(jià)，要特別注意x，y的變化范圍因此必須熟記基本函數(shù)的圖象例如：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，及三角函數(shù)、反三角函數(shù)的圖象在變換函數(shù)解析式中運(yùn)用了轉(zhuǎn)化變換和分類討論的思想2作函數(shù)圖象的另一個(gè)基本方法圖象變換法一個(gè)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q(如平移、伸

20、縮、對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)等)，得到另一個(gè)與之相關(guān)的圖象，這就是函數(shù)的圖象變換在高中，主要學(xué)習(xí)了三種圖象變換：平移變換、伸縮變換、對(duì)稱變換(1)平移變換函數(shù)y=f(x+a)(a0)的圖象可以通過(guò)把函數(shù)y=f(x)的圖象向左(a0)或向右(a0)平移|a|個(gè)單位而得到；函數(shù)y=f(x)+b(b0)的圖象可以通過(guò)把函數(shù)y=f(x)的圖象向上(b0)或向下(b0)平移|b|個(gè)單位而得到(2)伸縮變換函數(shù)y=Af(x)(A0，A1)的圖象可以通過(guò)把函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(A1)或縮短(0A1)成原來(lái)的A倍，橫坐標(biāo)不變而得到函數(shù)y=f(x)(0，1)的圖象可以通過(guò)把函數(shù)y=f(x)的圖象上而得到(

21、3)對(duì)稱變換函數(shù)y=-f(x)的圖象可以通過(guò)作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形而得到函數(shù)y=f(-x)的圖象可以通過(guò)作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形而得到函數(shù)y=-f(-x)的圖象可以通過(guò)作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形而得到函數(shù)y=f-1(x)的圖象可以通過(guò)作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖形而得到。函數(shù)y=f(|x|)的圖象可以通過(guò)作函數(shù)y=f(x)在y軸右方的圖象及其與y軸對(duì)稱的圖形而得到函數(shù)y=|f(x)|的圖象可以通過(guò)作函數(shù)y=f(x)的圖象，然后把在x軸下方的圖象以x軸為對(duì)稱軸翻折到x軸上方，其余部分保持不變而得到例8已知f(x+199)=4

22、x4x+3(xR)，那么函數(shù)f(x)的最小值為_(kāi)分析：由f(x199)的解析式求f(x)的解析式運(yùn)算量較大，但這里我們注意到，y=f(x 100)與y=f(x)，其圖象僅是左右平移關(guān)系，它們?nèi)〉们蟮胒(x)的最小值即f(x199)的最小值是2說(shuō)明：函數(shù)圖象與函數(shù)性質(zhì)本身在學(xué)習(xí)中也是密切聯(lián)系的，是“互相利用”關(guān)系，函數(shù)圖象在判斷函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性及求最值等方面都有重要用途（）函數(shù)綜合應(yīng)用函數(shù)的綜合復(fù)習(xí)是在系統(tǒng)復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行函數(shù)的綜合應(yīng)用:1在應(yīng)用中深化基礎(chǔ)知識(shí)在復(fù)習(xí)中基礎(chǔ)知識(shí)經(jīng)歷一個(gè)由分散到系統(tǒng)，由單一到綜合的發(fā)展過(guò)程這個(gè)過(guò)程不是一次完成的，而是螺旋式上升的因此要在應(yīng)用深化

23、基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，使基礎(chǔ)知識(shí)向深度和廣度發(fā)展2以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體突出數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法是觀念性的東西，是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的靈魂，同時(shí)它又離不開(kāi)具體的數(shù)學(xué)知識(shí)函數(shù)內(nèi)容最重要的數(shù)學(xué)思想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的思想此外還應(yīng)注意在解題中運(yùn)用的分類討論、換元等思想方法解較綜合的數(shù)學(xué)問(wèn)題要進(jìn)行一系列等價(jià)轉(zhuǎn)化或非等價(jià)轉(zhuǎn)化因此本課題也十分重視轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想3重視綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和推理論證能力的培養(yǎng)函數(shù)是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的開(kāi)始，還不可能在大范圍內(nèi)綜合運(yùn)用知識(shí)但從復(fù)習(xí)開(kāi)始就讓學(xué)生樹(shù)立綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的意識(shí)是十分重要的推理論證能力是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，近幾年高考命題中加強(qiáng)對(duì)這方面的考查，尤其是對(duì)代數(shù)推理論證能

24、力的考查是十分必要的本課題在例題安排上作了這方面的考慮具體要求是：1在全面復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念，全面把握各類函數(shù)的特征，提高運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題的能力2掌握初等數(shù)學(xué)研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)的能力，重視數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用和推理論證能力的培養(yǎng)3初步溝通函數(shù)與方程、不等式及解析幾何有關(guān)知識(shí)的橫向聯(lián)系，提高綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力4樹(shù)立函數(shù)思想，使學(xué)生善于用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析問(wèn)題本部分內(nèi)容的重點(diǎn)是：通過(guò)對(duì)問(wèn)題的講解與分析，使學(xué)生能較好的調(diào)動(dòng)函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題，并在解決問(wèn)題中深化對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，深化對(duì)函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想的理解與運(yùn)用難點(diǎn)是：函數(shù)思想

25、的理解與運(yùn)用，推理論證能力、綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題能力的培養(yǎng)與提高函數(shù)的綜合運(yùn)用主要是指運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)、思想和方法綜合解決問(wèn)題函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，是對(duì)問(wèn)題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種刻畫(huà)，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系因此，運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互制約是函數(shù)思想的精髓，掌握有關(guān)函數(shù)知識(shí)是運(yùn)用函數(shù)思想的前提，提高用初等數(shù)學(xué)思想方法研究函數(shù)的能力，樹(shù)立運(yùn)用函數(shù)思想解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的意識(shí)是運(yùn)用函數(shù)思想的關(guān)鍵1準(zhǔn)確理解、熟練運(yùn)用，不斷深化有關(guān)函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)在中學(xué)階段函數(shù)只限于定義在實(shí)數(shù)集合上的一元單值函數(shù)，其內(nèi)容可分為兩部分第一部分是函數(shù)的概念和性質(zhì)，這部

26、分的重點(diǎn)是能從變量的觀點(diǎn)和集合映射的觀點(diǎn)理解函數(shù)及其有關(guān)概念，掌握描述函數(shù)性質(zhì)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七類常見(jiàn)函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù))的圖象和性質(zhì)第一部分是理論基礎(chǔ)，第二部分是第一部分的運(yùn)用與發(fā)展例9已知函數(shù)f(x)，xF，那么集合(x，y)|y=f(x)，xF(x，y)|x=1中所含元素的個(gè)數(shù)是（ ）A0 B1 C0或1 D1或2分析：這里首先要識(shí)別集合語(yǔ)言，并能正確把集合語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成熟悉的語(yǔ)言從函數(shù)觀點(diǎn)看，問(wèn)題是求函數(shù)y=f(x)，xF的圖象與直線x=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(這是一次數(shù)到形的轉(zhuǎn)化)，不少學(xué)生常誤認(rèn)為交點(diǎn)是1個(gè)，并說(shuō)這是根據(jù)函

27、數(shù)定義中“惟一確定”的規(guī)定得到的，這是不正確的，因?yàn)楹瘮?shù)是由定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則三要素組成的這里給出了函數(shù)y=f(x)的定義域是F，但未明確給出1與F的關(guān)系，當(dāng)1F時(shí)有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)1 F時(shí)沒(méi)有交點(diǎn)，所以選C2掌握研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)問(wèn)題的能力高中數(shù)學(xué)對(duì)函數(shù)的研究理論性加強(qiáng)了，對(duì)一些典型問(wèn)題的研究十分重視，如求函數(shù)的定義域，確定函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的奇偶性，判斷或證明函數(shù)在指定區(qū)間的單調(diào)性等，并形成了研究這些問(wèn)題的初等方法，這些方法對(duì)分析問(wèn)題能力，推理論證能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)能力的培養(yǎng)和發(fā)展是十分重要的函數(shù)、方程、不等式是相互聯(lián)系的對(duì)于函數(shù)f(x)與g(x)，令f(x)=g(x)，

28、f(x)g(x)或f(x)g(x)則分別構(gòu)成方程和不等式，因此對(duì)于某些方程、不等式的問(wèn)題用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)是十分有益的；方程、不等式從另一個(gè)側(cè)面為研究函數(shù)提供了工具例10方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為 （）A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，+)分析：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖 象(如圖2)它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此可排除A，D至于選B還是選C，由于畫(huà)圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了實(shí)際上這是要比較與2的大小當(dāng)x=2時(shí)，lgx=lg2，3-x=1由于lg21，因此2，從而判定(2，3)，故本題應(yīng)選C說(shuō)明：本題是通過(guò)構(gòu)造函數(shù)用數(shù)

29、形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間數(shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫不僅要通過(guò)圖象直觀估計(jì)，而且還要計(jì)算的鄰近兩個(gè)函數(shù)值，通過(guò)比較其大小進(jìn)行判斷例11(1)一次函數(shù)f(x)=kx+h(k0)，若mn有f(m)0，f(n)0，則對(duì)于任意x(m，n)都有f(x)0，試證明之；(2)試用上面結(jié)論證明下面的命題：若a，b，cR且|a|1，|b|1，|c|1，則ab+bc+ca-1分析：?jiǎn)栴}(1)實(shí)質(zhì)上是要證明，一次函數(shù)f(x)=kx+h(k0)， x(m， n)若區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值均為正，則對(duì)于任意x(m，n)都有f(x)0之所以具有上述性質(zhì)是由于一次函數(shù)是單調(diào)的因此本問(wèn)題的證明要從函數(shù)單調(diào)性入手(

30、1)證明：當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)f(x)=kx+h在xR上是增函數(shù)，mxn，f(x)f(m)0；當(dāng)k0時(shí)，函數(shù)f(x)=kx+h在xR上是減函數(shù)，mxn，f(x)f(n)0所以對(duì)于任意x(m，n)都有f(x)0成立(2)將ab+bc+ca+1寫(xiě)成(b+c)a+bc+1，構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1則f(a)=(b+c)a+bc+1當(dāng)b+c=0時(shí)，即b=-c， f(a)=bc+1=-+1因?yàn)閨c|1，所以f(a)=-+10當(dāng)b+c0時(shí)，f(x)=(b+c)x+bc+1為x的一次函數(shù)因?yàn)閨b|1，|c|1，f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)0， f(-1)=-b-c+bc+1=(

31、1-b)(1-c)0由問(wèn)題(1)對(duì)于|a|1的一切值f(a)0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+10說(shuō)明：?jiǎn)栴}(2)的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化”“構(gòu)造”把證明ab+bc+ca-1轉(zhuǎn)化為證明ab+bc+ca+10， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是對(duì)稱的，構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1，則f(a)=(b+c)a+bc+1，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在|a|1，|b|1，|c|1的條件下證明f(a)0(也可構(gòu)造 f(x)=(a+c)x+ac+1，證明f(b)0)。例12定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3且對(duì)任意x，yR都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求證f(x)

32、為奇函數(shù)；(2)若f(k·3)+f(3-9-2)0對(duì)任意xR恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍分析：欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對(duì)任意x都有f(-x)=-f(x)成立在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問(wèn)題，求f(0)的值令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函數(shù)得到證明(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，yR)， 令x=y=0，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0令y=-x，代入式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有0=f(x)+f

33、(-x)即f(-x)=-f(x)對(duì)任意xR成立，所以f(x)是奇函數(shù)(2)解：f(3)=log30，即f(3)f(0)，又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù)f(k·3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3-3+9+2，3-(1+k)·3+20對(duì)任意xR成立令t=30，問(wèn)題等價(jià)于t-(1+k)t+20對(duì)任意t0恒成立R恒成立說(shuō)明：?jiǎn)栴}(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)f(x)是奇函數(shù)且在xR上是增函數(shù)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)f(t)=t-(1+k)t+2對(duì)于任意t0恒成立對(duì)二次函數(shù)f(t)進(jìn)行研究求解本題還有更簡(jiǎn)

34、捷的解法：分離系數(shù)由k·3-3+9+2得上述解法是將k分離出來(lái)，然后用平均值定理求解，簡(jiǎn)捷、新穎（）、強(qiáng)化訓(xùn)練1對(duì)函數(shù)作代換x=g(t)，則總不改變f(x)值域的代換是 ( )ABCg(t)=(t1)2Dg(t)=cost2方程f(x,y)=0的曲線如圖所示，那么方程f(2x,y)=0的曲線是 ( )3已知命題p：函數(shù)的值域?yàn)镽，命題q：函數(shù) 是減函數(shù)。若p或q為真命題，p且q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是Aa1Ba<2C1<a<2Da1或a24.方程lgxx3的解所在的區(qū)間為 （ ）A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+)5.如果函數(shù)

35、f(x)xbxc對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，都有f(2t)f(2t)，那么（ ）A. f(2)<f(1)<f(4) B. f(1)<f(2)<f(4) C. f(2)<f(4)<f(1) D. f(4)<f(2)<f(1)6.已知函數(shù)yf(x)有反函數(shù)，則方程f(x)a (a是常數(shù)) （ ）A.有且僅有一個(gè)實(shí)根 B.至多一個(gè)實(shí)根 C.至少一個(gè)實(shí)根 D.不同于以上結(jié)論7.已知sincos，(，)，則tan的值是 （ ）A. B. C. D. 8.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S，且SS (pq，p、qN)，則S_。9.關(guān)于x的方程sinxcosxa0有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a

36、的取值范圍是_。10.正六棱錐的體積為48,側(cè)面與底面所成的角為45°，則此棱錐的側(cè)面積為_(kāi)。11. 建造一個(gè)容積為8m，深為2m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元，則水池的最低造價(jià)為_(kāi)。12已知函數(shù)滿足：，則 。13已知為正整數(shù)，方程的兩實(shí)根為，且，則的最小值為_(kāi)。14設(shè)函數(shù)f(x)=lg(ax+2x+1)(1)若f(x)的定義域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x)的值域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍15設(shè)不等式2x1>m(x1)對(duì)滿足|m|2的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立。求x的取值范圍。16. 設(shè)等差數(shù)列a的前n項(xiàng)的和為S，已知a12，S>

37、;0，S<0 。.求公差d的取值范圍；.指出S、S、S中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由。(1992年全國(guó)高考) P MA H B D C17. 如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，C是圓周上任一點(diǎn)，設(shè)BAC，PAAB=2r，求異面直線PB和AC的距離。18. 已知ABC三內(nèi)角A、B、C的大小成等差數(shù)列，且tanA·tanC2，又知頂點(diǎn)C的對(duì)邊c上的高等于4,求ABC的三邊a、b、c及三內(nèi)角。19. 設(shè)f(x)lg，如果當(dāng)x(-,1時(shí)f(x)有意義，求 實(shí)數(shù)a的取值范圍。20已知偶函數(shù)f(x)=cosqsinxsin(xq)+(tanq2)sinxsinq的最小值是0，求f

38、(x)的最大值 及此時(shí)x的集合21已知，奇函數(shù)在上單調(diào)（）求字母應(yīng)滿足的條件；（）設(shè)，且滿足，求證：（）、參考答案1不改變f(x)值域，即不能縮小原函數(shù)定義域。選項(xiàng)B，C，D均縮小了的定義域，故選A。2先作出f(x,y)=0關(guān)于軸對(duì)稱的函數(shù)的圖象，即為函數(shù)f(-x,y)=0的圖象，又f(2x,y)=0即為，即由f(-x,y)=0向右平移2個(gè)單位。故選C。3命題p為真時(shí)，即真數(shù)部分能夠取到大于零的所有實(shí)數(shù)，故二次函數(shù)的判別式，從而；命題q為真時(shí)，。 若p或q為真命題，p且q為假命題，故p和q中只有一個(gè)是真命題，一個(gè)是假命題。 若p為真，q為假時(shí)，無(wú)解；若p為假，q為真時(shí)，結(jié)果為1<a<

39、;2，故選C.4圖像法解方程，也可代入各區(qū)間的一個(gè)數(shù)（特值法或代入法），選C；5函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為2，結(jié)合其單調(diào)性，選A；6從反面考慮，注意應(yīng)用特例，選B；7設(shè)tanx (x>0），則，解出x2，再用萬(wàn)能公式，選A；8利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)SSm，x，則（,p）、(,q)、(x，p+q)在同一直線上，由兩點(diǎn)斜率相等解得x0，則答案：0；9設(shè)cosxt，t-1,1，則att1,1，所以答案：,1；10設(shè)高h(yuǎn)，由體積解出h2，答案：24；11設(shè)長(zhǎng)x，則寬，造價(jià)y4×1204x×80×801760，答案：1760。12運(yùn)用條件知：=2，且=1613依題意可

40、知，從而可知，所以有，又為正整數(shù)，取，則，所以，從而，所以，又，所以，因此有最小值為。下面可證時(shí)，從而，所以, 又,所以,所以,綜上可得:的最小值為11。14分析:這是有關(guān)函數(shù)定義域、值域的問(wèn)題，題目是逆向給出的，解好本題要運(yùn)用復(fù)合函數(shù)，把f(x)分解為u=ax+2x+1和y=lgu 并結(jié)合其圖象性質(zhì)求解解:(1)的定義域是R對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立. a=0或a0不合題意，所以故a1即為所求.(2) 的值域域是R能取遍一切正實(shí)數(shù).a0時(shí)不合題意； a=0時(shí)，u=2x+1，u能取遍一切正實(shí)數(shù)；a0時(shí)，其判別式=22-4×a×10，解得0a1所以當(dāng)0a1時(shí)f(x)的值域是R15分析：

41、此問(wèn)題由于常見(jiàn)的思維定勢(shì)，易把它看成關(guān)于x的不等式討論。然而，若變換一個(gè)角度以m為變量，即關(guān)于m的一次不等式(x1)m(2x1)<0在-2,2上恒成立的問(wèn)題。對(duì)此的研究，設(shè)f(m)(x1)m(2x1)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）f(m)的值在-2,2內(nèi)恒為負(fù)值時(shí)參數(shù)x應(yīng)該滿足的條件。解：?jiǎn)栴}可變成關(guān)于m的一次不等式：(x1)m(2x1)<0在-2,2 恒成立，設(shè)f(m)(x1)m(2x1), 則 解得x（,）說(shuō)明 本題的關(guān)鍵是變換角度，以參數(shù)m作為自變量而構(gòu)造函數(shù)式，不等式問(wèn)題變成函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題。本題有別于關(guān)于x的不等式2x1>m(x1)的解集是-2,2時(shí)

42、求m的值、關(guān)于x的不等式2x1>m(x1)在-2,2上恒成立時(shí)求m的范圍。一般地，在一個(gè)含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題更明朗化?；蛘吆袇?shù)的函數(shù)中，將函數(shù)自變量作為參數(shù)，而參數(shù)作為函數(shù)，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關(guān)問(wèn)題。16分析： 問(wèn)利用公式a與S建立不等式，容易求解d的范圍；問(wèn)利用S是n的二次函數(shù)，將S中哪一個(gè)值最大，變成求二次函數(shù)中n為何值時(shí)S取最大值的函數(shù)最值問(wèn)題。解： 由aa2d12,得到a122d，所以S12a66d12(122d)66d14442d>0，S13a78d13(122d)78d15652d<0。 解得：d

43、3。 Snan(n11)dn(122d)n(n1)dn(5)(5)因?yàn)閐0，故n(5)最小時(shí)，S最大。由d3得6(5)6.5，故正整數(shù)n6時(shí)n(5)最小，所以S最大。說(shuō)明： 數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式實(shí)質(zhì)上是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，因此可利用函數(shù)思想來(lái)分析或用函數(shù)方法來(lái)解決數(shù)列問(wèn)題。也可以利用方程的思想，設(shè)出未知的量，建立等式關(guān)系即方程，將問(wèn)題進(jìn)行算式化，從而簡(jiǎn)潔明快。由次可見(jiàn)，利用函數(shù)與方程的思想來(lái)解決問(wèn)題，要求靈活地運(yùn)用、巧妙的結(jié)合，發(fā)展了學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性、獨(dú)創(chuàng)性。本題的另一種思路是尋求a0、a0，即鄰項(xiàng)變號(hào)：由d0知道aaa，由S13a0得a0，由S6(aa)0得a0。所以，在S、S、S中，S的值最大。17分析：異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點(diǎn)到AC的距離的最小值，從而設(shè)定變量，建立目標(biāo)函數(shù)而求函數(shù)最小值。 P MA