一階倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)培訓(xùn)講學(xué)

1、課程設(shè)計(jì)說(shuō)明書(shū)課程名稱：控制系統(tǒng)課程設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)題目：一階倒立擺控制器設(shè)計(jì) 院 系:信息與電氣工程學(xué)院班 級(jí)：設(shè)計(jì)者：學(xué) 號(hào)：指導(dǎo)教師:設(shè)計(jì)時(shí)間：2013年2月25日到2013年3月8號(hào)課程設(shè)計(jì)(論文)任務(wù)書(shū)專業(yè)自動(dòng)化班級(jí)0902101學(xué)生指導(dǎo)教師題目一階倒立擺課程設(shè)計(jì)子題設(shè)計(jì)時(shí)間2013年2 月25日至 2013年3月8 日共2 周設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)(論文)的任務(wù)和基本要求，包括設(shè)計(jì)任務(wù)、查閱文獻(xiàn)、方案設(shè) 計(jì)、說(shuō)明書(shū)(計(jì)算、圖紙、撰寫(xiě)內(nèi)容及規(guī)范等)、工作量等內(nèi)容。1.建立一階倒立擺數(shù)學(xué)模型2 做模型仿真試驗(yàn)(1) 給出Matlab仿真程序。(2) 給出仿真結(jié)果和響應(yīng)曲線。3.倒立擺系統(tǒng)的PID控制算法

2、設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)PID控制器，使得當(dāng)在小車上施加1N的脈沖信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：(1) 穩(wěn)定時(shí)間小于5秒(2) 穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1弧度并作PID控制算法的MATLAB仿真4倒立擺系統(tǒng)的最優(yōu)控制算法設(shè)計(jì)用狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)控制器，使得當(dāng)在小車上施加0.2m的階躍信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指標(biāo)為：(1) 擺桿角度日和小車位移x的穩(wěn)定時(shí)間小于 5秒(2) x的上升時(shí)間小于1秒(3) 日的超調(diào)量小于20度(0.35弧度)(4) 穩(wěn)態(tài)誤差小于 2%。指導(dǎo)教師簽字:系(教研室)主任簽字:2013年 3月 5日目錄一、建立一階倒立擺數(shù)學(xué)模型 41. 一階倒立擺的微分方程模型 42. 一階倒立擺

3、的傳遞函數(shù)模型 63. 一階倒立擺的狀態(tài)空間模型 7二、一階倒立擺 matlab 仿真 9三、倒立擺系統(tǒng)的 PID 控制算法設(shè)計(jì) 13四、倒立擺系統(tǒng)的最優(yōu)控制算法設(shè)計(jì) 23五、總結(jié) 錯(cuò)誤！未定義書(shū)簽。六、參考文獻(xiàn) 29、建立一階倒立擺數(shù)學(xué)模型首先建立一階倒立擺的物理模型。在忽略空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖1所示。系統(tǒng)內(nèi)部各相關(guān)參數(shù)定義如下：M小車質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車摩擦系數(shù)l擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度I擺桿慣量F加在小車上的力x 小車位置©擺桿與垂直向上方向的夾角0擺桿與垂直向下方向的夾角（考慮到擺桿初始位置為豎直向下）1. 一階倒

4、立擺的微分方程模型對(duì)一階倒立擺系統(tǒng)中的小車和擺桿進(jìn)行受力分析，其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。P一 -!十亠菽圖1-2小車及擺桿受力圖分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程:Mx = F-bx-N由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式:j2N = /?-（x + /sin（9）dr即： -V 二 ni -6 - nilO' sm H(1-1)(1-2)(1-3)把這個(gè)等式代入式（1-1）中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程:(M 十 m x 十 hx + mid cos3 ml32 sin = F(1-4)為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向

5、上的合力進(jìn)行分析, 可以得到下面方程：P mg = in - / cos 3) dr即：P- mg = -mlOsin 0 - ml岸 cos0(1-5)(1-6)力矩平衡方程如下：一 Pl sin 6 Nl cos & = 10(1-7)由于一一"一，.-所以等式前面有負(fù)號(hào)合并這兩個(gè)方程，約去P和N，得到第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程:(I + ml2 )0 + mg! sin 6 - -mlxcosG(1-8)設(shè)二1 ' , ( ©是擺桿與垂直向上方向之間的夾角)，假設(shè)© <<1弧度，則可以進(jìn)行近似處理：COST - _1,s in ：1 - -

6、,(-)0 o用u代表被控對(duì) dt象的輸入力F,利用上述近似進(jìn)行線性化得直線一階倒立擺的微分方程為：(/ + ml2 ” mgl(/)- mix' (M + m)x + bx 用/0 = u(1-9)2. 一階倒立擺的傳遞函數(shù)模型對(duì)式(1-9)進(jìn)行拉普拉斯變換，得：(I + 川廠)O(5)5=-咆(s) = inlX(s)s2(M + m)X(s)s2 + bX(s)s = U(s)注意：推導(dǎo)傳遞函數(shù)時(shí)假設(shè)初始條件為 0 o由于輸出為角度©，求解方程組的第一個(gè)方程，可得:,-、r(I 4- /?/ ) J? _ _ y 、ml丁或O(5)_mis2X(s) (7 + ml2)

7、s2 - mg/11如果令二，則有：($) _mlV(s) (I + ml2)s2 -mgl把上式代入方程組(2-1 )的第二個(gè)方程，得：(2-2)(2-3)(2-4)(2-5)(M + /M)ml整理后得到傳遞函數(shù):2+h(“加)gnmls= U(s)ml5qJ7G) 4 b(I +ml 3 M - m)mgl 2 bmg! q(2-6)其中二；|_：k十曲一肩T 3. 階倒立擺的狀態(tài)空間模型設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為:X = .4X + Buy = CY + Du(3-1)方程組（2-9）對(duì)解代數(shù)方程，得到解如下: *X = X“-(I +ml2)b +wrg/2 £(1 + ml2)

8、X r X -4 0 4t- U1(1+l(M + 加)+f (M + 川)+ M用廠0 = d： rnlb(3-1)mgl(M + rtj)1M + 冊(cè))+ Mml' 1 (M + fli) + Mml'I (M + wi) +ntlX0(1-(1 + ml2 )b0 0"0： 0X1(X1 + ni) + -fniTi(M +ni) + Mfnl-d000 100-fl?/?IM +zjj) + Mini2mgl(M +m)0I(M + in)十 MmP整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程:0I + ml11M+0i(M + hi) + Mini2(3-2)_1 0 0 o

9、-X0V -十«rOO1O 00U(3-3)擺桿的慣量為訓(xùn)'代入（1-9）的第一個(gè)方程為:得:- fngl = mix化簡(jiǎn)得：3)(3-4)0 1 0 0_X0 0() 0X10 0 0 10+00 0 0YA34/JL4/_II設(shè)X =xx則有:,U = Xx1X10 0 0X0+0010000U (3-5)4.實(shí)際系統(tǒng)的傳遞函數(shù)與狀態(tài)方程實(shí)際系統(tǒng)的模型參數(shù)如下：M小車質(zhì)量0.5 Kgm擺桿質(zhì)量0.2 Kgb 小車摩擦系數(shù)0 .1N/m/secl擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 0.3mI擺桿慣量0.006 kg*m*m代入上述參數(shù)可得系統(tǒng)的實(shí)際模型 擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)

10、：(4-1)(4-2)0(s) _0.06s2X(s) 0.024s2-0.588擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為:0(s)0.06V(s)0.024s20.588擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)：' 7 !，；：,( 4-3)(J(S) S3 +O.181818s2-31.181818s-4.4S4S45Urolo+X -X 9-9-L 01OJO 1o Orlb-亠*X ® -y17以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程:*t« "X010*0 'X0-0.1818182.6727270X1.818182 <fa0001<P+

11、0.0-045454531J818180.©4.545455.以小車加速度為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程:0 ibtp(4-5)O'0-弋、一階倒立擺 matlab仿真實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下， 按照上面給出的例子求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)、 并進(jìn)行脈沖響應(yīng)和階躍響應(yīng)的 matlab 仿真。狀態(tài)空間方程，M 小車質(zhì)量m擺桿質(zhì)量b小車摩擦系數(shù)l 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度I擺桿慣量T采樣時(shí)間1. 傳遞函數(shù)法Matlab 程序如下：M=1.096;m=0.109;b=0.1;I=0.0034;g=9.8;L=0.25;q=(M+m)*(I+m*LA2)-(m*L)A2;num=m*L/q 0 0den=1

12、b*(I+m*LA2)/q -(M+m)*m*g*Lr,p,k=residue(num,den);1.096Kg0.109Kg0.1 N/m/sec0.25m0.0034 kg*m*m0.005 秒-b*m*g*L/q 0;s=p;得到傳遞函數(shù)的分子：num =2.3566 0 0 以及傳遞函數(shù)分母 :den =1.0000 0.0883 -27.8285 -2.3094 0開(kāi)環(huán)極點(diǎn):s =-5.27805.2727-0.0830由此可知，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的多項(xiàng)式表達(dá)式為:G(s)U(s)2.3566s2s4 0.0883s3 -27.8285s2 -2.3094s(2-1)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)極點(diǎn)為（s）

13、: s -5.2780、S2 = 5.2727、&二-0.0830、s0，由于有一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)位于S平面的右半部，開(kāi)環(huán)系統(tǒng)并不是穩(wěn)定的。系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)如下，由圖也可見(jiàn)，系統(tǒng)并不穩(wěn)定。50/if/ISystemn: sysTime (sec): 0.916_ SysAmPisyde: 27.6Time (sec): 0.885Amplitude: 23.4/Impulse Resp onse4540533052205O5eanMLpm圖2.1開(kāi)環(huán)系統(tǒng)脈沖響應(yīng)2.狀態(tài)空間法狀態(tài)空間法可以進(jìn)行單輸入多輸出系統(tǒng)設(shè)計(jì)，因此在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，我們將嘗試 同時(shí)對(duì)擺桿角度和小車位置進(jìn)行控制。為了更具挑戰(zhàn)性，

14、給小車加一個(gè)階躍輸 入信號(hào)。我們用Matlab求出系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程各矩陣，并仿真系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)階躍響應(yīng)。在這里給出一個(gè)state.m文件，執(zhí)行這個(gè)文件，Matlab將會(huì)給出系統(tǒng)狀態(tài)空間方程的A, B, C和D矩陣，并繪出在給定輸入為一個(gè)0.2 N的階躍信號(hào)時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線。 state.m 程序如下：p=l*(M+m)+M*m*L2;>> A = 0100;0 -(I+m*LA2)*b/p(mA2*g*LA2)/p0;0 0 0 1;0-(m*L*b)/pm*g*L*(M+m)/p00 1.0000 0 0 -0.0883 0.62930 0 1.00000 -0.2357 27.8

15、285>> B=0;(I+m*LA2)/p;0;m*L/pB =00.883202.3566>> C=1 0 0 0;0 0 1 0D=0;0C =10000010D =00matlab 仿真的開(kāi)環(huán)階躍響應(yīng)曲線如下圖所示,系統(tǒng)并不穩(wěn)定1009080706050403020100/.cart positionpendulum angle <L/£/一0.511.52圖2.2系統(tǒng)開(kāi)環(huán)階躍響應(yīng)曲線02.5三、倒立擺系統(tǒng)的PID控制算法設(shè)計(jì)1. 實(shí)驗(yàn)要求與目的要求：設(shè)計(jì)PID控制器，使得當(dāng)在小車上施加1N的脈沖信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)指 標(biāo)為：(1) 穩(wěn)定時(shí)間小于

16、5秒(2) 穩(wěn)態(tài)時(shí)擺桿與垂直方向的夾角變化小于0.1弧度并作PID控制算法的MATLAB仿真目的：進(jìn)一步熟悉PID控制器的設(shè)計(jì)方法，步驟，以及 P、I、D三參數(shù)的 調(diào)節(jié)方法。2. 理論分析PID控制原理在模擬控制系統(tǒng)中，控制器最常用的控制規(guī)律是PID控制。常規(guī)PID控制系統(tǒng)原理框圖如下圖所示。系統(tǒng)由模擬 PID控制器KD(S)和被控對(duì)象G(S)組成。OantrollerPlantKD(f>G(J>PID控制器是一種線性控制器，它根據(jù)給定值r(t)與實(shí)際輸出值y(t)構(gòu)成控制偏差e(t)e(t) =r(t) - y(t)將偏差的比例(P)、積分(I)和微分(D)通過(guò)線性組合構(gòu)成控制量

17、，對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制，故稱PID控制器。其控制規(guī)律為u(t)*e(t)丄e(t)d"IL T| 0de(t) Idt或?qū)懗蓚鬟f函數(shù)的形式G(s)= Kp 1 十丄十 TdSE(s) i T|S 丿式中：Kp比例系數(shù)；T| 積分時(shí)間常數(shù)；Td 微分時(shí)間常數(shù)。在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和仿真中，也將傳遞函數(shù)寫(xiě)成G(s)= Kp 0 KdSE(s)s式中：Kp比例系數(shù)；K| 積分系數(shù)；Kd 微分系數(shù)。簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)，PID控制器各校正環(huán)節(jié)的作用如下：(1) 比例環(huán)節(jié)：成比例地反映控制系統(tǒng)的偏差信號(hào)e(t)，偏差一旦產(chǎn)生，控制器立即產(chǎn)生控制作用，以減少偏差。(2) 積分環(huán)節(jié)：主要用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的型

18、別。積分作用的強(qiáng)弱取決于積 分時(shí)間常數(shù)，越大，積分作用越弱，反之則越強(qiáng)。(3) 微分環(huán)節(jié)：反映偏差信號(hào)的變化趨勢(shì) (變化速率)，并能在偏差信號(hào)值變得太大之 前，在系統(tǒng)中引入一個(gè)有效的早期修正信號(hào)，從而加快系統(tǒng)的動(dòng)作速度， 減小調(diào)節(jié)時(shí)間。擺桿角度控制 這個(gè)控制問(wèn)題和我們以前遇到的標(biāo)準(zhǔn)控制問(wèn)題有些不同，在這里輸出量為擺桿的位置，它的初始位置為垂直向上，我們給系統(tǒng)施加一個(gè)擾動(dòng)，觀察擺桿的響應(yīng)。系統(tǒng)框圖如下:Caitrol lerPlantKg3圖中KD(s)是控制器傳遞函數(shù)，G(s)是被控對(duì)象傳遞函數(shù)。考慮到輸入r(s) = 0 ,結(jié)構(gòu)圖可以很容易地變換成該系統(tǒng)的輸出為y(s)G(s)1 KD(s)

19、G(s)numF(s)denF(s)1 (numPID)(num) v 丿(denPID)(den)num(de nPID)KKD(s)二 KDs KP 1 s(de nPID)(den) (nu mPID)( nu m)F(s)其中：num被控對(duì)象傳遞函數(shù)的分子項(xiàng)den 被控對(duì)象傳遞函數(shù)的分母項(xiàng)numPID pid控制器傳遞函數(shù)的分子項(xiàng)denPID pid控制器傳遞函數(shù)的分母項(xiàng)被控對(duì)象的傳遞函數(shù)是ml 2s*(s)qnum2U (s)4 b(I ml ) 3 (M m)mgl 2 bmgl dens 十s s sqqq其中q 二(M m)(I ml2)-(ml)2PID控制器的傳遞函數(shù)為2K

20、dS KpS Ki _ numPID sde nPID只需調(diào)節(jié)PID控制器的參數(shù)，就可以得到滿意的控制效果。小車位置控制小車位置作為輸出時(shí)，系統(tǒng)框圖如下：由于輸入信號(hào)r（s） =0，所以可以把結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)換成:ControllerPlant 1KDp)%)其中，反饋環(huán)代表我們前面設(shè)計(jì)的擺桿的控制器。從此框圖我們可以看出此處只對(duì)擺桿角度進(jìn)行了控制，并沒(méi)有對(duì)小車位置進(jìn)行控制。小車位置輸出為：num2X(s)二G2(s)1 KD(s)Gi(s)den21 (numPID )(numi)(den PID)(den1)F(s)F(s)(nu m2)(de nPID )(denj(denPID"de

21、m )(den2) (numPID )(num/den?)其中，numi， deni， num?， den?分別代表被控對(duì)象 1和被控對(duì)象2傳遞函數(shù)的分 子和分母。numPID和denPID代表pid控制器傳遞函數(shù)的分子和分母。 下面我們來(lái) 求G2（S），根據(jù)前面實(shí)驗(yàn)二的推導(dǎo)，有X(s) “2(I ml2)ml-耳(s)s可以推出小車位置的傳遞函數(shù)為G2 (S)X(s)2(I ml ) 2 mglqU(s) s4 bms3q(M +m)mgl $2bmgl其中 q =(M m)(I ml2) -(ml)2可以看出，dem =den2 = den，小車的算式可以簡(jiǎn)化成:F(s)X(s)(嘶叫(d

22、enPID)(den ) +k(numPID)(num)3. PID控制算法的MATLAB仿真實(shí)際系統(tǒng)參數(shù)如下：M小車質(zhì)量1.096 Kgm擺桿質(zhì)量0.109 Kgb小車摩擦系數(shù)0 .1N/m/secl擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度0.25mI擺桿慣量0.0034kg*m*mF加在小車上的力x小車位置T米樣時(shí)間擺桿的matlab仿真程序代碼如下：M=0.5;m=0.2;b=0.1;1=0.006;g=9.8;L=0.3;q=(M+m)*(I+m*LA2)-(m*L)A2;num1=m*L/q 0 0;den仁1 b*(l+m*LA2)/q -(M+m)*m*g*L/q -b*m*g*L/q 0;K

23、p=1;Ki=1;Kd=1;numPID= Kd Kp Ki;den PID=1 0;num=conv(nu m1,de nPID);den=polyadd(c on v(de nPID,de n1),c onv(nu mPID ,nu ml); r,p,k=residue( nu m,de n);s=pt=0:0.005:5;impulse( nu m,de n,t)axis(O 2 0 10)運(yùn)行程序得到:s =-6.41613.96930.001900并得到仿真圖像如下:eanMupmATime (sec)圖3.1 kp=ki=kd=1時(shí)的仿真響應(yīng)圖可見(jiàn)此時(shí)系統(tǒng)并不穩(wěn)定，此時(shí)應(yīng)該首先調(diào)整

24、kp,觀察其響應(yīng)的變化:講kp設(shè)置為150,得到并觀察響應(yīng)圖如下：-1.2224 +18.0044i-1.2224 -18.0044i-0.0000-0.0000-0.0000Impulse Response圖3-2, kp=150系統(tǒng)仿真圖可見(jiàn)此時(shí)系統(tǒng)兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)均在 S平面做平面，系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間約 為4秒，滿足要求。此時(shí)系統(tǒng)有極小的靜態(tài)誤差，根據(jù)系統(tǒng)對(duì)于精度的要求可 酌情考慮是否添加積分控制，本文添加積分控制。將積分參數(shù)設(shè)為5,得到并觀察閉環(huán)響應(yīng)圖。在筆者經(jīng)過(guò)多次嘗試之后，發(fā)現(xiàn)積分控制對(duì)于系統(tǒng)響應(yīng)的調(diào)節(jié)作用極小，筆 者給出當(dāng)積分參數(shù)分別設(shè)為10和50的響應(yīng)圖如下：圖3-3，ki=1

25、0的響應(yīng)0.2-0.20Impulse Response0.150.10.050-0.05-0.1-0.150.511.522.533.544.55Time (sec)圖3-4 , ki=50系統(tǒng)的響應(yīng)積分作用通常是用來(lái)調(diào)整系統(tǒng)的靜態(tài)誤差，使之達(dá)到需要的范圍，但是此處 明顯積分作用對(duì)系統(tǒng)的影響不大，并了解到被控對(duì)象的特性屬于變化快的類型, 應(yīng)該考慮改變微分控制，雖然微分控制在實(shí)際系統(tǒng)中運(yùn)用并不多見(jiàn)。筆者將微分作用參數(shù)設(shè)置為10,20,50觀察其效果圖。0.20.15oeaupmAo5 15 2 oo o - o - - -Impulse Response05o圖 3-5，kp=150,ki=5

26、0,kd=10 的仿真圖像eu-pmAImpulse Response11.522.53Time (sec)3.544.552 5OO05O05-05-Impulse Response11.53.544.552 5OO05O5 15 0.1. O - O - -圖 3-6 , kp=150,ki=50,kd=20的仿真圖像22.53Time (sec)圖 3-7, kp=150,ki=50,kd=50 的仿真圖像當(dāng)微分效果加上去的時(shí)候，系統(tǒng)閉環(huán)仿真圖像結(jié)果得到了質(zhì)的改善，瞬間取 代了超調(diào)，不穩(wěn)定，響應(yīng)時(shí)間也迅速降到了0.5秒，穩(wěn)定時(shí)間在1秒，完美地 完成了任務(wù)。 其效果已經(jīng)不能簡(jiǎn)單的用好來(lái)形容

27、， 但是微分作用并非如此普及， 并且每次都效果如此良好，要根據(jù)不同的對(duì)象來(lái)判斷用什么作用。必須要說(shuō)的 是，微分作用在物理實(shí)現(xiàn)中是并不容易的，如果只有比例調(diào)節(jié)和積分調(diào)節(jié)就能 達(dá)到預(yù)想的效果，那就不要使用微分調(diào)節(jié)。4.小車位置控制算法仿真pid2.m 是仿真小車位置變化的 m 文件，文件如下：% 小車位置 PID 控制% 輸入倒立擺傳遞函數(shù) G1(s)=num1/den1,G2(s)=num2/den2M = 1.096; m = 0.109; b = 0.1; I = 0.0034; g = 9.8; l= 0.25;q = (M+m)*(l+m*L2) -(m*l)A2;num1 = m*l/

28、q 0 0;den1 = 1 b*(l+m*lA2)/q-(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0;num2 = -(l+m*lA2)/q0 m*g*l/q;den2 = den1;% 輸入控制器 PlD 數(shù)學(xué)模型 Gc(s)=numPlD/denPlDKp = 150; Ki = 50; Kd = 50;numPlD = Kd Kp Ki;denPlD = 1 0;% 計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù) G(s)=num/den% 多項(xiàng)式相乘num = conv(num2,denPlD);% 多項(xiàng)式相加den = polyadd(conv(denPlD,den2),conv(numPlD,nu

29、m1 );% 求閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)r,p,k = residue(num,den);% 顯示閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)s = p% 求取多項(xiàng)式傳函的脈沖響應(yīng)t=0:0.005:5;impulse(num,den,t)% 顯示范圍：橫坐標(biāo) 0-5，縱坐標(biāo) 0-10，此條語(yǔ)句參數(shù)可根據(jù)仿真輸出曲線調(diào) 整axis(0 5 -0.1 0.5)grid此時(shí)系統(tǒng)取Kp=150, Ki=50 , Kd=50,階躍響應(yīng)仿真曲線如下圖所示：s =-115.0953-2.4030-0.41770Impulse Resp onseeTime (sec)圖3-8，小車位置仿真由仿真結(jié)果能夠看出，當(dāng)擺桿角度處于很好的閉環(huán)控制下時(shí)，小車位置

30、雖然處 于失控狀態(tài)，但是上升速度不快。四、倒立擺系統(tǒng)的最優(yōu)控制算法設(shè)計(jì)1. 設(shè)計(jì)目的與要求現(xiàn)代控制理論的最突出特點(diǎn)就是將控制對(duì)象用狀態(tài)空間表達(dá)式的形式表示出 來(lái)，這樣便于對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)。線性二次型最優(yōu)控制算法（LQR）是現(xiàn)代控制理論中一種重要的、基本的方法，LQR算法的目的是在一定的性能指標(biāo)下，使系統(tǒng)的控制效果最佳，即利用最少的控制能量，來(lái)達(dá)到最 小的狀態(tài)誤差。本章主要利用最優(yōu)控制算法實(shí)現(xiàn)對(duì)一階倒立擺系統(tǒng)的擺桿角度 和小車位置的同時(shí)控制。設(shè)計(jì)目的：學(xué)習(xí)如何使用狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)系統(tǒng)的控制算法。設(shè)計(jì)要求：用狀態(tài)空間法設(shè)計(jì)控制器，使得當(dāng)在小車上施加0.2N的階躍信號(hào)時(shí)，閉環(huán)系 統(tǒng)的響

31、應(yīng)指標(biāo)為：（1）擺桿角度二和小車位移x的穩(wěn)定時(shí)間小于5秒（2）x的上升時(shí)間小于1秒（3）二的超調(diào)量小于20度（0.35弧度）（4）穩(wěn)態(tài)誤差小于2%。2. 最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)在PID調(diào)節(jié)中，我們的輸入是脈沖量，并且在設(shè)計(jì)控制器時(shí)，只對(duì)擺 桿角度進(jìn)行控制，而不考慮小車的位移。然而，對(duì)一個(gè)倒立擺系統(tǒng)來(lái)說(shuō)， 把它作為單輸出系統(tǒng)是不符合實(shí)際的，如果把系統(tǒng)當(dāng)作多輸出系統(tǒng)的話， 用狀態(tài)空間法分析要相對(duì)簡(jiǎn)單一些，在這一章我們將設(shè)計(jì)一個(gè)對(duì)擺桿位置和小車位移都進(jìn)行控制的控制器。系統(tǒng)狀態(tài)方程為X 二 AX BuY =CX Du在倒立擺相關(guān)參數(shù)為：M 小車質(zhì)量m 擺桿質(zhì)量b 小車摩擦系數(shù)l擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度I

32、擺桿慣量T采樣時(shí)間的條件下，狀態(tài)方程系數(shù)矩陣如下：-0100 1A =00.088301.00000001.000000.235727.82850 一71.096Kg0.2109Kg0.1 N/m/sec0.25 m0.0034 kg*m*m0.005 秒；1 0 0 01；c =0 0 1 0一0.88322.3566最優(yōu)控制的前提條件是系統(tǒng)是能控的，下面來(lái)判斷一下系統(tǒng)的能控能觀性(mA2*g*LA2)/p0;0 0 0 1;0 -(m*L*b)/pMatlab仿真程序如下： A=0 1 0 0;0 -(I+m*LA2)*b/p m*g*L*(m+M)/p 0B=0;(l+m*LA2)/p;

33、0;(m*L)/p C=1 0 0 0;0 0 1 0D=0;0Qc=ctrb(A,B); 判斷能控性 K=ra nk(Qc)Qo=obsv(A,C) ； /判斷能觀性 l=ra nk(Qo)1. Matlab仿真結(jié)果為：4即：系統(tǒng)的能控矩陣的秩 rankB AB A2B A3B =4系統(tǒng)的能觀矩陣的秩 rankC CA CA2 CA3 =4。故系統(tǒng)是能控能觀的。因此可以給系統(tǒng)加上最優(yōu)控制器使得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，且 滿足暫態(tài)性能指標(biāo)。在運(yùn)用線性二次型最優(yōu)控制算法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)時(shí)，主要 的目的就是獲得反饋向量 K的值。由上一小節(jié)的推導(dǎo)知道，設(shè)計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)反饋 控制器時(shí)，一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題就是二次型性能指標(biāo)

34、泛函中加權(quán)矩陣Q和R的選取為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化及加權(quán)矩陣具有比較明確的物理意義，我們將Q取為對(duì)角陣。假設(shè)Qn0000Q2200Q =； R =r00Q330000Q44 一2 2Q22X2Q33X3這樣得到的性能指標(biāo)泛函為2Xi 由上式可以看出，Qii是對(duì)xi的平方的加權(quán)，Qh的相對(duì)增加就意味著對(duì)xi的要 求相對(duì)其它狀態(tài)變量嚴(yán)格，在性能指標(biāo)中的比重大，人的偏差狀態(tài)相對(duì)減小。r 是對(duì)控制量u的平方加權(quán)，當(dāng)r相對(duì)較大時(shí)，意味著控制費(fèi)用增加，使得控制能 量較小，反饋減弱，而r取值較小時(shí)，系統(tǒng)控制費(fèi)用減小，反饋增加，系統(tǒng)動(dòng) 態(tài)響應(yīng)迅速?？紤]到一階倒立擺系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中，主要的被控量為系統(tǒng)的輸出量x和'

35、;因此在選取加權(quán)對(duì)角陣Q的各元素值時(shí)，由于Qu代表小車位置的權(quán)重，而Q33是 擺桿角度的權(quán)重，所以只選取 Qii、Q33，而Q22二Q44 =0。選取Q和R時(shí)需要注意的幾個(gè)方面：（1） 由于我們采用的系統(tǒng)模型是線性化的結(jié)果，為使系統(tǒng)個(gè)狀態(tài)量能夠在線性范圍工作，要求各狀態(tài)量不應(yīng)過(guò)大。（2）閉環(huán)系統(tǒng)最好能有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，這樣有利于克服系統(tǒng)的非線性摩擦，但系統(tǒng)主導(dǎo)極點(diǎn)的模不應(yīng)太大以免系統(tǒng)頻帶過(guò)寬，使得系統(tǒng)對(duì)噪聲太敏感，以致系統(tǒng)不能正常工作。（3）加權(quán)矩陣R的減小，會(huì)導(dǎo)致大的控制能量，應(yīng)注意控制 U的大小，不要超過(guò)系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的能力，使得放大器處于飽和狀態(tài)。控制系統(tǒng)如下圖所示，圖中 R是施加在小車上的階躍輸入，