萬有引力與天體運動--最全講義

1、萬有引力與天體運動講義本章要點綜述1. 開普勒第三定律：行星軌道半長軸的三次方與公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值是一個常量。3r2=k（K值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)）2.萬有引力定律：卩萬=G2 2r（g和a向是兩個不同的物理量，）（1）赤道上萬有引力： 卩引=mg 卩向=mg ma向（2）兩極上的萬有引力： F引=mg3.忽略地球自轉(zhuǎn)，地球上的物體受到的重力等于萬有引力。GMmR2=mg二GM = gR2 (黃金代換)4.距離地球表面咼為h的重力加速度：GMm2 = mg =(R + h)GM 二 g R h 二 g 二 GM 2(R + h)5.衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動：萬有引力提供向心力GMmGMm

2、(1) 2 二 ma 二 ra =卑（軌道處的向心加速度ra等于軌道處的重力加速度g軌）(2)GM=m2 得rrr越大，vGMmr22V=m一 rGMV，r由G2r得rGMm/gm4二2,Mm由°廠呵丁2GMm2 二r2GM4 2r36.中心天體質(zhì)量的計算:方法1:2GM 二 gR -gR2（已知R和g）方法2:GM -（已知衛(wèi)星的V與r）方法3:（已知衛(wèi)星的與r）（已知衛(wèi)星的周期 T與r）方法5:已知v3T2 G（已知衛(wèi)星的 V與T）方法6:已知（已知衛(wèi)星的 V與，相當(dāng)于已知 V與T）7.地球密度計算:球的體積公式:4.2r3G啤二m(*)2urTM 2GT2_ M_V 一4二 R

3、3 _GT2R33二 r3近地衛(wèi)星P =GT3 2(r=R)I38.發(fā)射速度：采用多級火箭發(fā)射衛(wèi)星時，衛(wèi)星脫離最后一級火箭時的速度。運行速度：是指衛(wèi)星在進入運行軌道后繞地球做勻速圓周運動時的線速度當(dāng)衛(wèi)星著”地面運行時，運行速度等于第一宇宙速度。第一宇宙速度（環(huán)繞速度）：7.9km/s。衛(wèi)星環(huán)繞地球飛行的 最大運行速度。地球上發(fā)射衛(wèi)星 的最小發(fā)射速度。第二宇宙速度 （脫離速度）：11.2km/s。使人造衛(wèi)星 脫離地球的引力束縛，不再繞地球運 行，從地球表面發(fā)射所需的最小速度。第三宇宙速度（逃逸速度）：16.7km/s。使人造衛(wèi)星掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的宇宙空間去，從地球表面發(fā)射所需要

4、的最小速度。衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動衛(wèi)星繞地球運動軌道是侖岡衛(wèi)星說離地球束縛，咸為太 陽系的一顆小行星，衛(wèi)星銳離太陽束縛*飛出張陽系要點精析1人造衛(wèi)星萬有引力提供向心力：同步衛(wèi)星：地球同步衛(wèi)星，是相對地面靜止的，與地球自轉(zhuǎn)具有相同的周期 周期一定：同步衛(wèi)星繞地球的運動與地球自轉(zhuǎn)同步，它的運動周期就等于地球自轉(zhuǎn)的周期,T = 24 h. 角速度一定：同步衛(wèi)星繞地球運動的角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角速度. 軌道一定：所有同步衛(wèi)星的軌道必在赤道平面內(nèi). 高度一定：所有同步衛(wèi)星必須位于赤道正上方，且距離地面的高度是一定的（軌道半徑都相同，即在同一軌道上運動），其確定的高度約為 h=3.6 x 104 km.

5、 環(huán)繞速度大小一定：所有同步衛(wèi)星繞地球運動的線速度的大小是一定的，都是3.08 km/s,環(huán)繞方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同.2. 衛(wèi)星變軌和衛(wèi)星的能量問題人造衛(wèi)星在圓軌道變換時，總是主動或由于其他原因使速度發(fā)生變化，導(dǎo)致萬有引力與向心力相等的關(guān)系被破壞，繼而發(fā)生近心運動或者離心運動，發(fā)生變軌。在變軌過程中，由于動能和勢能的相互轉(zhuǎn)化，可能出現(xiàn)萬有引力與向心力再次相等，衛(wèi)星即定位于新的圓軌道。軌道半徑越大，速度越小，動能越小，重力勢能越大，但機械能并不守恒，且總機械能也 越大。也就是軌道半徑越大的衛(wèi)星，運行速度雖小，但發(fā)射速度越大。解衛(wèi)星變軌問題，可根據(jù)其向心力的供求平衡關(guān)系進行分析求解 若F供=F求，

6、供求平衡一一物體做勻速圓周運動. 若F供v F求，供不應(yīng)求一一物體做離心運動. 若F供F求，供過于求一一物體做向心運動.衛(wèi)星要達到由圓軌道變成橢圓軌道或由橢圓軌道變成圓軌道的目 的，可以通過加速（離心）或減速（向心）實現(xiàn).速率比較：同一點上，外軌道速率大；同一軌道上，離恒星（或行星）越近速率越大.加速度與向心加速度比較：同一點上加速度相同，外軌道向心加 速度大；同一軌道上，近地點的向心加速度大于遠地點的向心加速 度。3. 近地衛(wèi)星、赤道上物體及同步衛(wèi)星的運行問題近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星和赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體三種勻速圓周運動的異同：1 .軌道半徑：r同r近=r物2. 運行周期：T同=T物T近3. 向

7、心加速度：a近a同a物4. 雙心問題在天體運動中，將兩顆彼此距離較近的恒星稱為雙星.它們圍繞兩球連線上的某一點做圓周運動.由于兩星間的引力而使它們在運動中距離保持不變.已知兩星質(zhì)量分別為M1和M2，相距L,求它們的角速度.如圖，設(shè)M1的軌道半徑為r1, M2的軌道半徑為 r2,由于兩星繞 0點做勻速圓周運動 的角速度相同，都設(shè)為 3，根據(jù)萬有引力定律有：1.雙星系統(tǒng)模型的特點:兩星都繞它們連線上的一點做勻速圓周運動，故兩星之間的萬有引力提供各自做勻速圓周運動的它們的向心力大小相精品資料分享 1 他+MJU L等;(3)兩星的軌道半徑之和等于兩星間的距離，即ri+2= L.2 雙星系統(tǒng)模型的三大

8、規(guī)律：(1) 雙星系統(tǒng)的周期、角速度相同.(2) 軌道半徑之比與質(zhì)量成反比.(3) 雙星系統(tǒng)的周期的平方與雙星間距離的三次方之比只與雙星的總質(zhì)量有關(guān)，而與雙星 個體的質(zhì)量無關(guān).5.三星模型宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、 由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)， 通?？珊雎云渌?星體對它們的引力作用.現(xiàn)已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式： 一種是三顆 星等間距地位于同一直線上，外側(cè)的兩顆星繞中央星在同一圓軌道上運行； 另一種形式是三 顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓軌道運行.GM,T=r3求中心天體的質(zhì)量M和密度p由GMm,2 34兀rM= 丁GT2_3兀=GT23

9、：r3gr3t2一3 二3 二 R h 3(當(dāng)r=R即近地衛(wèi)星繞中心天體運行時尸二gt廠gt2(R")2 2s球面=4二r S=： r (光的垂直有效面接收，球體推進輻射)s球冠=2 Rh軌道上正常轉(zhuǎn):-Mmv224兀222F 引=G = F 心=m a 心=mm R= m 廠 R = m4 二 n Rr2RT2附錄：萬有引力相關(guān)公式1思路和方法：衛(wèi)星或天體的運動看成勻速圓周運動，F(xiàn) 心=F萬(類似原子模型)2公式：G鑒man，又外=必八22(£)2,r十地面附近:G MmR2 2mg= GM=gR （黃金代換式）mggR=v第一宇宙=7.9km/s題目中常隱含:軌道上正常

10、轉(zhuǎn):（地球表面重力加速度為 g）;這時可能要用到上式與其它方程聯(lián)立來求解。_ Mmv2；GMG - = m = V =、r2 Rr【討論】（v或Ek）與r關(guān)系，r最小時為地球半徑時，v第-宇宙=7.9km/s （最大的運行速度、最小 的發(fā)射速度）；T 最小=84.8min=1.4h 沿圓軌道運動的衛(wèi)星的幾個結(jié)論：v= GM，_ GM ， T=2-. r3葉鬥丁GM 理解近地衛(wèi)星：來歷、意義萬有引力重力=向心力、r最小時為地球半徑、最大的運行速度 =v第-宇宙=7.9km/s （最小的發(fā)射速度）;T最小=84.8min=1.4h 同步衛(wèi)星幾個一定：三顆可實現(xiàn)全球通訊（南北極仍有盲區(qū)）軌道為赤道平

11、面 T=24h=86400s 離地高h=3.56 x 104km（為地球半徑的 5.6倍）V 同步=3.08km/s < V 第一宇宙=7.9km/s，=15°/h（地理上時區(qū)）a=0.23m/s2 運行速度與發(fā)射速度、變軌速度的區(qū)別 衛(wèi)星的能量:r增二v減?。‥k減小<Ep增加）,所以E總增加需克服引力做功越多，地面上需 要的發(fā)射速度越衛(wèi)星在軌道上正常運行時處于完全失重狀態(tài)，與重力有關(guān)的實驗不能進行 應(yīng)該熟記常識：地球公轉(zhuǎn)周期1年，自轉(zhuǎn)周期1天=24小時=86400s,地球表面半徑6.4 x3210 km 表面重力加速度 g=9.8 m/s月球公轉(zhuǎn)周期 30天例題精講1

12、.對萬有引力定律的理解（1）萬有引力定律：自然界中任何兩個物體都是相互吸引的，引力的大小跟這兩個物體的 質(zhì)量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比，兩物體間引力的方向沿著二者的連線。（2）公式表示：F= Gm；m2。r（3） 引力常量G :適用于任何兩物體。 意義：它在數(shù)值上等于兩個質(zhì)量都是 1kg的物 體（可看成質(zhì)點）相距1m時的相互作用力。G的通常取值為 G=6。67x 10-11Nm2/kg2。 是英國物理學(xué)家卡文迪許用實驗測得。 一個重要物理常量的意義： 根據(jù)萬有引力定律和牛Mm2 兀r3GM頓第二定律可得：Gp = mr（ ）2 二 2 = k .這實際上是開普勒第三定律。它表rT

13、T 4：3明二k是一個與行星無關(guān)的物理量，它僅僅取決于中心天體的質(zhì)量。在實際做題時，它T2具有重要的物理意義和廣泛的應(yīng)用。它同樣適用于人造衛(wèi)星的運動，在處理人造衛(wèi)星問題時,只要圍繞同一星球運轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，均可使用該公式。（4）適用條件：萬有引力定律只適用于質(zhì)點間引力大小的計算。當(dāng)兩物體間的距離遠大 于每個物體的尺寸時，物體可看成質(zhì)點，直接使用萬有引力定律計算。當(dāng)兩物體是質(zhì)量均勻分布的球體時，它們間的引力也可以直接用公式計算，但式中的r是指兩球心間的距離。當(dāng)所研究物體不能看成質(zhì)點時，可以把物體假想分割成無數(shù)個質(zhì)點，求出兩個物體上每個質(zhì)點與另一物體上所有質(zhì)點的萬有引力，然后求合力。（此方法僅給學(xué)生提供

14、一種思路）（5 ）萬有引力具有以下三個特性： 普遍性：萬有引力是普遍存在于宇宙中的任何有質(zhì)量的物體（大到天體小到微觀粒子）間的相互吸引力，它是自然界的物體間的基本相互作用之一。 相互性：兩個物體相互作用的引力是一對作用力和反作用力，符合牛頓第三定律。 宏觀性：通常情況下，萬有引力非常小，只在質(zhì)量巨大的天體間或天體與物體間它的存在 才有宏觀的物理意義，在微觀世界中，粒子的質(zhì)量都非常小，粒子間的萬有引力可以忽略不 計。天體間的主要作用力就是萬有引力了?！纠?】設(shè)地球的質(zhì)量為 M，地球的半徑為 R,物體的質(zhì)量為 m,關(guān)于物體與地球間的萬有 引力的說法，正確的是：A、地球?qū)ξ矬w的引力大于物體對地球的引

15、力。B、物體距地面的高度為h時，物體與地球間的萬有引力為F=GMmh2C、 物體放在地心處，因r=0，所受引力無窮大。GMmD、 物體離地面的高度為 R時，則引力為F=2-4R物體對地球與地球?qū)ξ矬w答案D1總結(jié)（1）物體與地球之間的吸引是相互的，由牛頓第三定律,的引力大小相等。（2）F= 釧嚴。中的r是兩相互作用的物體質(zhì)心間的距離，不能誤認為是兩物體表面間r2的距離。（3） F= &呼2適用于兩個質(zhì)點間的相互作用，如果把物體放在地心處，顯然地球已不能r看為質(zhì)點，故選項 C的推理是錯誤的?！纠?】對于萬有引力定律的數(shù)學(xué)表達式F= Gm2m2，下列說法正確的是：rA、公式中G為引力常數(shù)，是

16、人為規(guī)定的。B、r趨近于零時，萬有引力趨于無窮大。C、 mi、m2之間的引力總是大小相等，與m“ m?的質(zhì)量是否相等無關(guān)。D、m1' m2之間的萬有引力總是大小相等，方向相反，是一對平衡力。答案C2關(guān)于萬有引力和重力的關(guān)系地面上物體所受萬有引力 F可以分解為物體所受的重力mg和隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運動的向心力F'Mm2其中 F = G 2 F = mr -R 當(dāng)物體在赤道上時，F(xiàn)、mg、F'三力同向，此時滿足 F'+ mg = F 當(dāng)物體在兩極點時，F(xiàn)'= 0 ,F=mg= GR 當(dāng)物體在地球的其他位置時，三力方向不同。【例3】 地球赤道上的物體由于地球自

17、轉(zhuǎn)產(chǎn)生的向心加速度a= 3.37X 102 m/s2,赤道上重力加速度g取10m/s2試問：(1) 質(zhì)量為m kg的物體在赤道上所受的引力為多少？(2) (2)要使在赤道上的物體由于地球的自轉(zhuǎn)而完全失重，地球自轉(zhuǎn)的角速度應(yīng)加快到實 際角速度的多少倍？解析：(1)物體所受地球的萬有引力產(chǎn)生了兩個效果：一是使物體豎直向下運動的重力，一是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力，并且在赤道上這三個力的方向都相同，有F引=mg+F向=m(g+a)=m(9.77+3.37 X 10-2)=9.804m(N)(2)設(shè)地球自轉(zhuǎn)角速度為 3 ,半徑為R,則有a= 3 R,欲使物體完全失重，即萬有引力完 全提供了物體隨地

18、球自轉(zhuǎn)所需的向心力，即m 3'R= F引=9.804m，解以上兩式得 3= 17.133計算重力加速度1、在地球表面附近的重力加速度，在忽略地球自轉(zhuǎn)的情況下，可用萬有引力定律來計算。g=GMR2=6.67* 10 J1 *5.98*1024(6730*103)2=9.8(m/ s2)=9.8N/kg即在地球表面附近，物體的重力加速度g = 9.8m/s2。這一結(jié)果表明，在重力作用下，物體加速度大小與物體質(zhì)量無關(guān)。2、即算地球上空距地面h處的重力加速度g '有萬有引力定律可得:GMg=2又g=卑，(R h)2R2工=R2g (R h)23計算任意天體表面的重力加速度g'。

19、有萬有引力定律得:g'=GM(M '為星球質(zhì)量,R '衛(wèi)星球的半徑)，又g =卑,R2=叫心)2g M R'4估算中心天體的質(zhì)量和密度1中心天體的質(zhì)量，根據(jù)萬有引力定律和向心力表達式可得:MmGr2 二 2=mr()2,GT2中心天體的密度方法一：中心天體的密度表達式p = M , V = r：R3 （ R為中心天體的半徑），根據(jù)前面MV4的表達式可得：p3r3gt2r3。當(dāng)r= R即行星或衛(wèi)星沿中心天體表面運行時,3:GT此時表面只要用一個計時工具，測出行星或衛(wèi)星繞中心天體表面附近運行一周的時間，周期T,就可簡捷的估算出中心天體的平均密度。2GMgRM .3g

20、方法：由 g= 礦,M= 進仃估算， p =，P =R2 GV4GtiR地球的同步衛(wèi)星（通訊衛(wèi)星）同步衛(wèi)星：相對地球靜止，跟地球自轉(zhuǎn)同步的衛(wèi)星叫做同步衛(wèi)星，同步衛(wèi)星的運行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，周期 T=24h，同步衛(wèi)星又叫做通訊衛(wèi)星。同步衛(wèi)星必定點于赤道正上方，且離地高度h，運行速率v是唯一確定的。設(shè)地球質(zhì)量為 m ，地球的半徑為 R=6.4X106m，衛(wèi)星的質(zhì)量為 m，根據(jù)牛頓第二定律G 衛(wèi)(R+h f'It 丿設(shè)地球表面的重力加速度 g=9.8m ; s2，則Gm =R 2g(6.4X106 f x(24X3600 ) X9.8以上兩式聯(lián)立解得:24X3.14m=4.2 X107

21、m同步衛(wèi)星距離地面的高度為h= 4.2X1076.4X106 m=3.56X107m注意：赤道上隨地球做圓周運動的物體與繞地球表面做圓周運動的衛(wèi)星的區(qū)別在有的問題中，涉及到地球表面赤道上的物體和地球衛(wèi)星的比較，地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運動的圓心與近地衛(wèi)星的圓心都在地心，而且兩者做勻速圓周運動的半徑均可看作為地球的 R,因此，有些同學(xué)就把兩者混為一談，實際上兩者有著非常顯著的區(qū)別。地球上的物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運動所需的向心力由萬有引力提供，但由于地球自轉(zhuǎn)角速度不大，萬有引力并沒有全部充當(dāng)向心力，向心力只占萬有引力的一小部分，萬有引力的另一分力是我們通常所說的物體所受的重力（請同學(xué)們思

22、考：若地球自轉(zhuǎn)角速度逐漸變大，將會出現(xiàn)什么現(xiàn)象？） 而圍繞地球表面做勻速圓周運動的衛(wèi)星，萬有引力全部充當(dāng)向心力。赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運動時由于與地球保持相對靜止，因此它做圓周運2動的周期應(yīng)與地球自轉(zhuǎn)的周期相同，即24小時，其向心加速度a4 : 0.034m s2 ；而T2繞地球表面運行的近地衛(wèi)星，其線速度即我們所說的第一宇宙速度，它的周期可以由下式求出：GMm=m4nnRR2T2求得T=2 n：，代入地球的半徑 R與質(zhì)量，可求出地球近地衛(wèi)星繞地球的運行周期T約為84min，此值遠小于地球自轉(zhuǎn)周期，而向心加速度a =-GM =9.8m s2遠大于自轉(zhuǎn)時向心加速度。【例4】 已知引力常

23、量 G= 6.67X 10 11Nm2/kg2,重力加速度g= 9.8m/s2，地球半徑R = 6.4X104m，可求得地球的質(zhì)量為多少？（結(jié)果保留一位有效數(shù)字）解析：在地球表面質(zhì)量為 m的物體所受的重力等于地球?qū)ξ矬w的引力，有【例5】一飛船在某行星表面附近沿圓軌道繞該行星飛行，認為行星是密度均勻的球體，要 確定該行星的密度，只需要測量A 飛船的軌道半徑C.飛船的運行周期B .飛船的運行速度D.行星的質(zhì)量解析：“飛船在某行星表面附近沿圓軌道繞該行星飛行”，可以認為飛船的軌道半徑與行星的半徑相等，飛船做圓周運動的向心力由行星對它的萬有引力提供，由萬有引力定律和牛頓第二定律：GMmR2由上式可知:，即行星的密度二上式表明：只要測得衛(wèi)星公轉(zhuǎn)的周