中考數(shù)學(xué)折疊問題專項(xiàng)突破1--正方形的折疊問題

1、中考數(shù)學(xué)折疊問題專項(xiàng)突破1-正方形的折疊問模塊一正方形的折疊問題1、如圖，將一張正方形紙片.438對(duì)折，使CD與，曲重合，得到折痕MN后展開，E為CN上一點(diǎn)、,將 二8E沿。E所在的直線折疊，使得點(diǎn)C落在折痕MV上的點(diǎn)尸處，連接AF, BF, 3D則下列結(jié)論中：二二山?是等邊三角形：二S二E8F=2一逐；二S二,5=3ii-力形abcd :二BF1 =DFEF.其中正確的是（）A.B.D.【解析】二四邊形,488 是正方形，二AB=CD=AD, ZC=ZAW=ZJZ）C=90% 二18。=：歸=45。,由折卷性質(zhì)：MV垂直平分41 FD=CD, BN=CN,二FDE=：CDE,二D莊=二。=9

2、0。，DEF=：DEC,二FD=E,二狂）=小正4,即二的是等邊三角形，二正確；設(shè)一lB=HD=8C=4a,貝lJM=4a, BN=.lM=2a9匚二.ID尸是等邊三角形，二二。4產(chǎn)=二,7）=二40尸=60。，E4三但4a, 止心4批2百，二FN=MN-FM=（4-2炳）a,二ta】仁EBF型 =匚邑2-炳,正確： BN 2二二1D尸的而積區(qū)=14”26=4於a?,正方形,43CZ）的面積=（4a） 2=16a2=位=里,二錯(cuò)誤：二AF=AB, Z5JF=900-60=30, 口二AFB=ABF=75,S 正方NiABCD 164二匚。8產(chǎn) =75。/5。=30,二幼=360。-90-60。

3、-75。=135。=二。尸3,二匚3石？二180。-75。-75。=30。=二。3尸，匚二BEF二二DBF, L= 匚BF=DFEF,二正確；故選 B. DF BF【小結(jié)】本題是相似形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊三 角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)：本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三 角形是等邊三角形和證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵.2、如圖，已知正方形H3CD的邊長(zhǎng)為3, E是8。上一點(diǎn)，BE=0。是8上一動(dòng)點(diǎn)，將二CE。沿直線E。折疊后，點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，連接E4.點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，當(dāng)E4的長(zhǎng)度最小 時(shí)，C0的

4、長(zhǎng)為（）A. 36一3【解析】：如圖所示：任Rt二ABE中，妊：=54記+/=+郃y = 2出.二BC=3,密/，二EC=3-相.由翻折的性質(zhì)可知：PE=CE=3-0二AP-PEAE,二40E-PE .二當(dāng)點(diǎn)、P、七一條直線上時(shí)，HP有最小值.二乂尸=乂尸E=2后-（3-招）=3后-3.故選，4.3、如圖，正方形A3CO的邊長(zhǎng)是16,點(diǎn)石在邊A8上，A = 3,點(diǎn)尸是邊3c上不與點(diǎn)8、C重合的 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把/沿EF折疊，點(diǎn)8落在9處，若C03恰為等腰三角形，則OZT的長(zhǎng)為.【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得8上的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可得CE的長(zhǎng)，然后再根據(jù)等腰三角形的判定 進(jìn)行分情況討論【解析】需分三種

5、情況討論：（1）若DB, = DC,則。8 = 16 （易知此時(shí)點(diǎn)尸在BC上且不與點(diǎn)。、 8重合）：若CB = CD,因?yàn)镋B = EB, CB = CB1所以點(diǎn)E、。在&T的垂直平分線上，則 EC垂直平分T,由折登可知點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合，不符合題意，則這種情況不成立；（3）如圖，若 CB = DB,作8G_LA3與A8交于點(diǎn)G ,交CD于點(diǎn)、H .因?yàn)锳B CD,所以3H_LCZX因?yàn)?CB = DB,所以 DH = LcD = 8,所以 AG = W7=8,則 GE = AG AE = 5,因?yàn)?BE = BE = 13在RfMEG中,由勾股定理求得8G = 12,所以BH =GH-BG =

6、4.在 RMDH中,由勾般定理求得。3 = 4/.綜上，。夕=16或4JT【小結(jié)】本題考查折卷性質(zhì)和勾股定理，本題關(guān)鍵在于能夠?qū)Φ妊切蔚那闆r進(jìn)行分類討論4、如圖，將邊長(zhǎng)為6的正方形紙片對(duì)折，使鋁與。重合，折痕為EF,展平后，再將點(diǎn)8折到 邊CQ上，使邊,18經(jīng)過點(diǎn)折痕為GH,點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為河，點(diǎn)工的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為N(1)若，則。層(用含x的代數(shù)式表示)；(2)求折痕GH的長(zhǎng).【解析】(1) ZCM=x, BC=6,二設(shè)“但，則8段=冏仁6-y,故科+爐=(6-J，)2,整理得：產(chǎn):-專必+3,二二EMC+二儂C=90。，二二EMD=：MHC,UZEDMZZMCH,二迎一項(xiàng),二得：HC= - -x

7、2+2x,答案：-J-X+3 或-上F+2x： MC CH x HC3123(2)方法一：二四邊形48為正方形，匚3=匚。=二仄90。，設(shè) C以，由題意可得：ED=3, DM=6 - X,二EMH=：B=90,故二由1C+二屈WD=90。，二二m/C+二AffiT=90,二二EM氏二MHC,二二ED吹二MCH,-ED DM (1|i36-x_7=7Tr* 即一= ,用牟得：xi=2, X2=6,MC CH x _J_ 2 mF” 當(dāng) x=2 時(shí)，UCM=2, ZDM=4,匚在 RtZDEM 中，由勾股定理得：吆=5,二NE=MN- EN4=6 5=,二二NEG=：DEM,二2二。，二二NEG二

8、二DEM,匚鯉啦,口上解得：NG=, DE DM 3 43由翻折變換的性質(zhì)，得,4G=NCA*,過點(diǎn)G作G/C3C,垂足為P. 510 BP=AG, GP=AB=6, 33當(dāng) x=2 時(shí)，CH=-x2+3=, ZPH=BC - HC - BP=6 - - - -=2,1233 3在 Rt 二 GW 中，GH=(g p 2 十p 口 2=, 6 2 + 2 2=2T5當(dāng)A6時(shí)，則。八七6,點(diǎn)H和點(diǎn)。重合，點(diǎn)G和點(diǎn).4重合，點(diǎn)M在點(diǎn)。處，點(diǎn)N在點(diǎn)X處.MN同樣經(jīng)過點(diǎn)E,折痕GH的長(zhǎng)就是的長(zhǎng).所以,GH長(zhǎng)為啦.方法二：有上面方法得出CM2,連接可得BMZGH,則可得二PG由二rZHGP=ZCBMAG

9、PHGP=BC , : XGFH/XBCM (SAS), :.GH=BM, ：. GH=BM=2T.ZGPH=ZC5、在正方形池CD中,(1)如圖1,若點(diǎn)E, F分別在邊8C, CD上.8尸交于點(diǎn)0,且二4。尸=90。.求證：(2)如圖2,將正方形H3CQ折疊，使頂點(diǎn)乂與8邊上的點(diǎn)M重合，折痕交于E,交8C于巴邊，折疊后與3c邊交于點(diǎn)G.若DC=5, CA42,【解析】(1)如圖1，二四邊形工3CQ是正方形，二AB=BC,二ABE=：BCF=90。,匚二dOF=90。，nLBAE+UOBA=9()Q,又二二用C+二。氏4=90。，匚二BAE=：CBF,rZBCF=ZABE在二和二BCF 中二

10、AB二BC, DQABEZZBCF (ASA).二AE=BF.Zbae=Zfbc(2)由折疊的性質(zhì)得E尸二4M,過點(diǎn)F作FH二AD于H,交以于。，則二1飪=二越花 =90。，二二HAO+二,4OH=90。、二H4O+二WD=90c,匚二POF=：AOH=：AMD,又二EF二AM,二二尸OF+二。m90 二HFE十二FEH=90,匚二POF=：FEH,二二FEH二AMD,匚四邊形乂38 是正方形，二4D=CD=FH=5,NAmr/FHE在:皿M 和二/TZE 中，二/AMD =/FEH,二二 ADM 二二 FHE (AAS),AD 二FH匚EFTMR/十回叼52+3 2=倔.6、如圖，己知E是正

11、方形的邊，上一點(diǎn)，點(diǎn)乂關(guān)于。石的對(duì)稱點(diǎn)為尸，ZBFC=9Q求照的值. AE【解析】如圖，延長(zhǎng)EF交C8于連接CM,匚四邊形.188 是正方形，二AD=DC,二4=二88=90。，二將二IDE沿直線QE對(duì)折得到二QEF,二二DFE=：DFM=90。,r)F=r)r在 Rt二。EM與 RtEDCM中，lUL uu,二Rt二。EM二及t二QO/,二MF=MC, LZMFC=ZMCF, DM 二 DM匚二MFC十二BFM=90。, EMCF+ZFBM=90, 3CAdFB=ZMBF,匚MB=MC,MF=MC=BM=a AE=EF=x:BAB吐Eg,即(2-x)斗宗=(x+t?) 2,解得:7、在數(shù)學(xué)活

12、動(dòng)課中，小輝將邊長(zhǎng)為應(yīng)和3的兩個(gè)正方形放置在直線1上，如圖1,他連結(jié)3、CF,經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)以0=C尸.（1）他將正方形O。”繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖2,試判斷.m與C尸還相等 嗎？說明你的理由；（2）他將正方形OD”繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)石旋轉(zhuǎn)至直線1上，如圖3,請(qǐng)你求出C尸 的長(zhǎng).【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得上O=CO, OD=OF,匚400000尸 =90。，然后求出QAOD=2COF,再利用“邊角邊”證明）0。和ICO尸全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即 可得證；（2）與（1）同理求出CFLD,連接。尸交OE于G,根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分可得。尸匚OX, DG=OG=-O

13、E,再求出4G,然后利用勾股定理列式計(jì)算即可求出, 2【解析】（1） AD=CF.理由如下：在正方形A8CO和正方形OQ石尸中，3O=CO, 00=0尸，月OC=二。O尸 =90。， 口40。+口。0。=二。0廠+LCOZ）,即UAOD=JCOFfAO = CO在CL4O。和口。0尸中， ZAOD = ZCOF , nnjOZ）JLCOF （SAS）, 口AD=CF；OD = OF（2）與（1）同理求出C產(chǎn)=D,如圖，連。尸交OE于G, WO DFJOE, DG=OG=-OE9 2口正方形ODE尸的邊長(zhǎng)為點(diǎn)，口 OE=&x顯=2,匚。G=OG=LoX= 1x2=1, 22匚 KG=KO+OG=

14、3+1=4,在 Rt匚40G 中，.1D=JaG2+DG2 =V42+f=Vn , UCF=AD=RI .點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，（1）熟練 掌握正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等且互相垂直平分是解題的關(guān) 鍵，（2）作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵.8、在一個(gè)邊長(zhǎng)為。(單位：的正方形88中，點(diǎn)石、河分別是線段KC, CD上的動(dòng) 點(diǎn)，連結(jié)OE并延長(zhǎng)交正方形的邊于點(diǎn)凡 過點(diǎn)河作肱憶。尸于H,交AD于N.(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)河與點(diǎn)C重合，求證：DF=MN；(2)如圖2,假設(shè)點(diǎn)可從點(diǎn)C出發(fā)，以lo/s的速度沿8向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)石同時(shí)從點(diǎn)上出發(fā)

15、，以位速度沿1C向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t (t0)；判斷命題“當(dāng)點(diǎn)尸是邊,43中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)河是邊8的三等分點(diǎn)”的真假，并說明理由.匚連結(jié)HU、FN, DMA下能否為等腰三角形？若能，請(qǐng)寫出a, t之間的關(guān)系；若不能，請(qǐng)說 明理由.【分析】(1)證明匚月。尸口匚。NC,即可得到。尸=MN： (2) 首先證明二4FE口匚CDE, 利用比例式求出時(shí)間t=I，進(jìn)而得到。汨!。=；8,所以該命題為真命題： 若匚AA戶為等腰三角形，則可能有三種情形，需要分類討論.【解析】門)證明：匚DVC+L4D尸=90, DDNC+二DCN=90。, 匚WDF=：DCN.4DAF = 4CDN = 90。在匚ADF 與

16、匚DNC 中， A。= CO, 匚.10尸匚匚DNC (ASA),匚DF=MN.ZADF = ADCN(2)解：二該命題是真命題.理由如下：當(dāng)點(diǎn)尸是邊15中點(diǎn)時(shí)，則=LCD 22AE AF 1 叵:AB/CD, :.QiFEsACDE, :. EC = CD = 2 , :.AE=2 EC,則乂七=33。=3 0,1 1 1匚點(diǎn)河為邊CD的三等分點(diǎn).Ap t= = a.則 CAf=lt=3 q=3 CD, y/2匚能.理由如下：生 廠易證WFKirc。石，n=EC ,即 V = ,得且尸 =CDa y/2a - j2t。-/易證口跖口匚。巨4, C =,即生=,得AZM. AF AD at a

17、a-t匚ND=CM=t, AN=DM=a-X.若匚MAF為等腰三角形，則可能有三種情形：(I)若FN=MN,則由4拜=。八夕知二E4N二匚AZbM,LAF=DM,即/L=t,得t=0,不合題意.匚此種情形不存在； aT(II)若FN=FM,由二D尸，HA三田人 匚DN=DM=MC, Qt=-a,此時(shí)點(diǎn)尸與點(diǎn)B重 2合；(in)若尸aaiw,顯然此時(shí)點(diǎn)尸在Be邊上，如下圖所示:易得匚MFCn匚NMD, LFC=DM=aA；乂由二NDk二DCF,二需嘿，即喂，二9絲.竺二。=如3 口仁必此時(shí)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合.綜上所述，當(dāng)t或時(shí)，二跖它能夠成為等腰三角形.【小結(jié)】本題是運(yùn)動(dòng)型幾何綜合題，考查了相似三角

18、形、全等三角形、正方形、等腰三角 形、命題證明等知識(shí)點(diǎn).解題要點(diǎn)是：(1)明確動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程；(2)明確運(yùn)動(dòng)過程中，各 組成線段、三角形之間的關(guān)系；(3)運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想，避免漏解.9、如圖所示，在正方形.08中，點(diǎn)G是邊上任意一點(diǎn)，DELAG,垂足為E延長(zhǎng)QE 交48于點(diǎn)H 在線段月G上取點(diǎn)H,使得,4G=OX+HG,連接BH.求證：ZABH=ZCDE.證明：如圖，在正方形438 中，3三)，匚ASG=二。4尸 =90。，CDEUAG, UU2+CEAD=90, 乂口 1+口石月。=90, 1=02, 1= 2在匚H8G 和匚。4尸中， AB = AD, UUABG3UDAF (ASA),ZABG = ZDAF= 90CAF=BG, AG=DF, UAFD=lBGA, DAG=DE+HG, AG=DE+EF,匚EF=HG, AF = BG在匚尸和匚BHG 中， ZAFD = ZBGA ,(SAS),