《理學(xué)高等數(shù)學(xué)》ppt課件

1、1第五章第五章一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用2柯西柯西 （17891857） 1805年年 柯西柯西 進(jìn)入綜合工藝學(xué)院進(jìn)入綜合工藝學(xué)院 (Ecole Polytechnique)，1807年畢年畢業(yè)后，進(jìn)入一所工程學(xué)院業(yè)后，進(jìn)入一所工程學(xué)院 Ecole des Ponts et Chausse 深造。在投深造。在投入拿破侖軍隊(duì)，從事運(yùn)河或港口入拿破侖軍隊(duì)，從事運(yùn)河或港口工程等煩冗事務(wù)的同時(shí)，工程等煩冗事務(wù)的同時(shí)， 柯西柯西（17891857）法國(guó)數(shù)學(xué)）法國(guó)數(shù)學(xué)家，生卒于巴黎。在分析學(xué)與家，生卒于巴黎。在分析學(xué)與數(shù)學(xué)物理卓有貢獻(xiàn)，也是微積數(shù)學(xué)物理卓有貢獻(xiàn)，也是微積分嚴(yán)格化的第一人。

2、分嚴(yán)格化的第一人。 柯西努力研讀柯西努力研讀 Laplace Laplace 的的天體力學(xué)天體力學(xué)與與 Lagrange Lagrange 的的函數(shù)理論函數(shù)理論， 18151815年之前，柯西年之前，柯西 想在學(xué)術(shù)圈謀想在學(xué)術(shù)圈謀取教職的心愿一直不順?biāo)臁Ｈ〗搪毜男脑敢恢辈豁標(biāo)臁? 柯西關(guān)于微積分基礎(chǔ)的最具代表性的著作是他柯西關(guān)于微積分基礎(chǔ)的最具代表性的著作是他的的分析教程（分析教程（1821）、）、無(wú)窮小計(jì)算教程無(wú)窮小計(jì)算教程（1823）、以及）、以及微分計(jì)算教程微分計(jì)算教程（1829），它），它們以微積分的嚴(yán)格化為目標(biāo)，對(duì)微積分的一系列們以微積分的嚴(yán)格化為目標(biāo)，對(duì)微積分的一系列基本概念給出了

3、明確的定義。在此基礎(chǔ)上，柯西基本概念給出了明確的定義。在此基礎(chǔ)上，柯西嚴(yán)格的表述并證明了微積分基本定理、中值定理嚴(yán)格的表述并證明了微積分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定義了級(jí)數(shù)的收斂性，研究等一系列重要定理，定義了級(jí)數(shù)的收斂性，研究了級(jí)數(shù)收斂的條件等，他的許多定義和論述已經(jīng)了級(jí)數(shù)收斂的條件等，他的許多定義和論述已經(jīng)非常接近于微積分的現(xiàn)代形式。非常接近于微積分的現(xiàn)代形式。 但但1816年，在他獲得法國(guó)科學(xué)院的大獎(jiǎng)后，兩年，在他獲得法國(guó)科學(xué)院的大獎(jiǎng)后，兩年內(nèi)就成為科學(xué)院院士，法蘭西學(xué)院院士并獲得年內(nèi)就成為科學(xué)院院士，法蘭西學(xué)院院士并獲得綜合工藝學(xué)院的教職。綜合工藝學(xué)院的教職。 4柯西柯西 （

4、17891857） 柯西在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)不凡，他一生寫(xiě)了令人咋舌柯西在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)不凡，他一生寫(xiě)了令人咋舌的的789篇數(shù)學(xué)論文。從數(shù)學(xué)史的觀點(diǎn)，他最重要的成篇數(shù)學(xué)論文。從數(shù)學(xué)史的觀點(diǎn)，他最重要的成就或許在于，他是打下分析（實(shí)變量或復(fù)變量）嚴(yán)就或許在于，他是打下分析（實(shí)變量或復(fù)變量）嚴(yán)格基礎(chǔ)的先驅(qū)者：格基礎(chǔ)的先驅(qū)者： 另外，柯西在微分方程和復(fù)變另外，柯西在微分方程和復(fù)變函數(shù)等方面也都做出了卓越貢函數(shù)等方面也都做出了卓越貢獻(xiàn)。他的科學(xué)研究涉獵的范圍獻(xiàn)。他的科學(xué)研究涉獵的范圍極其廣泛，幾乎數(shù)學(xué)的每一個(gè)極其廣泛，幾乎數(shù)學(xué)的每一個(gè)分支都可以看到柯西的足跡。分支都可以看到柯西的足跡。他還是彈性力學(xué)理論基礎(chǔ)的

5、建他還是彈性力學(xué)理論基礎(chǔ)的建立者，在光學(xué)和天體力學(xué)等方立者，在光學(xué)和天體力學(xué)等方面，柯西同樣做出了貢獻(xiàn)。面，柯西同樣做出了貢獻(xiàn)。5 柯西的工作在一定程度上澄清了微積分基礎(chǔ)問(wèn)柯西的工作在一定程度上澄清了微積分基礎(chǔ)問(wèn)題上長(zhǎng)期存在的混亂，向分析的全面嚴(yán)格華邁出題上長(zhǎng)期存在的混亂，向分析的全面嚴(yán)格華邁出了關(guān)鍵的一布。了關(guān)鍵的一布。 例如收斂、極限、連續(xù)函數(shù)的意義（一說(shuō)在布例如收斂、極限、連續(xù)函數(shù)的意義（一說(shuō)在布拉格受拉格受 Bolzano 的影響），無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂條件，的影響），無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂條件，復(fù)變量函數(shù)的定義等。另外他在微分方程、數(shù)學(xué)復(fù)變量函數(shù)的定義等。另外他在微分方程、數(shù)學(xué)物理（彈性理論，光學(xué)

6、等）、代數(shù)也有很大的貢物理（彈性理論，光學(xué)等）、代數(shù)也有很大的貢獻(xiàn)，并因此留給后人許多有威力的數(shù)學(xué)工具：柯獻(xiàn)，并因此留給后人許多有威力的數(shù)學(xué)工具：柯西西-Kovalevskaya 定理，定理，F(xiàn)ourier 轉(zhuǎn)換，矩陣的對(duì)轉(zhuǎn)換，矩陣的對(duì)角化，角化，calculus of residue 等等。等等。65.1 不定積分 71. 1. 不定積分的概念與性質(zhì)不定積分的概念與性質(zhì)定義定義5.1.1 設(shè)設(shè)f (x)是區(qū)間是區(qū)間上有定義的函數(shù)上有定義的函數(shù),如果存在如果存在內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)F(x), 滿(mǎn)足滿(mǎn)足 (1)(1)不定積分概念不定積分概念,)()(),()(dxxfxdFxfxFx,x,

7、則稱(chēng)則稱(chēng)F(x)是是f (x)在區(qū)間在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)上的一個(gè)原函數(shù)8例例5.1.1 在在(，)內(nèi)已知內(nèi)已知 f (x)2x， 由于由于 F(x)x2 滿(mǎn)足滿(mǎn)足F(x)(x2)2x，所以，所以F(x)x2是是f (x)2x在在(, )上的一個(gè)原函數(shù)同理，上的一個(gè)原函數(shù)同理，x23與與x2的導(dǎo)數(shù)均為的導(dǎo)數(shù)均為2x，因此均為，因此均為2x的原函的原函數(shù)數(shù)9設(shè)設(shè)F F( (x x) )和和 ( (x x) )為函數(shù)為函數(shù)f f ( (x x) )在區(qū)間在區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)原內(nèi)的兩個(gè)原函數(shù)，那么對(duì)任意函數(shù)，那么對(duì)任意x x, , ,因而因而 ( (x x) )F F( (x x) )C C這說(shuō)明這說(shuō)明f

8、f ( (x x) )的任何兩個(gè)原函數(shù)之間只差一個(gè)常數(shù)，由此的任何兩個(gè)原函數(shù)之間只差一個(gè)常數(shù)，由此可見(jiàn)可見(jiàn)f f ( (x x) )所有原函數(shù)可表達(dá)為所有原函數(shù)可表達(dá)為F F( (x x) )C C，( (其中其中C C是是任意常數(shù)任意常數(shù)) )( )( )( )( )xF xxF x ( )( )0f xf x 若在某區(qū)間若在某區(qū)間內(nèi)內(nèi)F(x)是是f (x)的一個(gè)原函數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，C是是任意常數(shù)，由于任意常數(shù)，由于(F(x)C)F(x)f (x)，所以，所以F(x)C也是也是f (x)在在內(nèi)的原函數(shù)內(nèi)的原函數(shù)由此引入不定積分概念由此引入不定積分概念10定義定義5.1.2 5.1.2 函數(shù)

9、函數(shù)f f ( (x x) )在某區(qū)間的所有原函數(shù)稱(chēng)為在某區(qū)間的所有原函數(shù)稱(chēng)為f f ( (x x) )的不定積分，記作的不定積分，記作 . . 其中記號(hào)其中記號(hào) 稱(chēng)為積稱(chēng)為積分號(hào)分號(hào), , f f( (x x) )稱(chēng)為被積函數(shù)稱(chēng)為被積函數(shù), , f f( (x x)d)dx x稱(chēng)為被積表達(dá)式，稱(chēng)為被積表達(dá)式，x x稱(chēng)為積分變量稱(chēng)為積分變量dxxf)(CxFdxxf)()(如果如果F(x)是是f (x)在區(qū)間在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，則 .因此，求不定積分只要求出它的一個(gè)原函數(shù)，再因此，求不定積分只要求出它的一個(gè)原函數(shù)，再加一個(gè)任意常數(shù)即可加一個(gè)任意常數(shù)即可11 函數(shù)函數(shù)f (x

10、)的不定積分含有任意常數(shù)的不定積分含有任意常數(shù)C，因此對(duì)每，因此對(duì)每一個(gè)給定的一個(gè)給定的C，都有一個(gè)確定的原函數(shù)，在幾何，都有一個(gè)確定的原函數(shù)，在幾何上，相應(yīng)地就有一條確定的曲線(xiàn)，稱(chēng)為上，相應(yīng)地就有一條確定的曲線(xiàn)，稱(chēng)為f (x)的的積積分曲線(xiàn)分曲線(xiàn)圖圖5.1.1上例中上例中 為為2x的積分曲線(xiàn)族，的積分曲線(xiàn)族， 為為2x過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)(0，0)的一條積分曲的一條積分曲線(xiàn)線(xiàn)2yxc2yx 因?yàn)橐驗(yàn)镃可以取任意數(shù)值，因此不定積分表可以取任意數(shù)值，因此不定積分表示示f (x)的一族積分曲線(xiàn)，如圖的一族積分曲線(xiàn)，如圖5.1.1所示這族曲所示這族曲線(xiàn)的特點(diǎn)是，它在橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)處，所有的切線(xiàn)的特點(diǎn)是，它在橫坐

11、標(biāo)相同的點(diǎn)處，所有的切線(xiàn)都彼此平行線(xiàn)都彼此平行.12Cxxdxcossin例例5.1.2 5.1.2 求函數(shù)求函數(shù)y ysinsinx x的不定積分的不定積分解解 因?yàn)橐驗(yàn)? (coscosx x) )sinsinx x，所以，所以13CxFdxxF)()( 并不是任給一個(gè)函數(shù)都存在原函數(shù)，我們有如并不是任給一個(gè)函數(shù)都存在原函數(shù)，我們有如下結(jié)論：如果下結(jié)論：如果f f ( (x x) )在某區(qū)間上連續(xù)，則在該區(qū)間在某區(qū)間上連續(xù)，則在該區(qū)間上上f f ( (x x) )原函數(shù)一定存在原函數(shù)一定存在由不定積分的定義，可得由不定積分的定義，可得另一方面，如果另一方面，如果F F( (x x) )是可

12、微函數(shù)，則是可微函數(shù)，則上述關(guān)系式表明求不定積分是求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算上述關(guān)系式表明求不定積分是求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算的逆運(yùn)算)()(xfdxxfdxxfdxxfd)()(CxFxdF)()(14Cxxdxy22例例5.1.3 5.1.3 設(shè)曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)設(shè)曲線(xiàn)通過(guò)點(diǎn)(0(0，0)0)，且其上任一點(diǎn)，且其上任一點(diǎn)( (x x，y y) )的切線(xiàn)斜率等于橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線(xiàn)的方的切線(xiàn)斜率等于橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線(xiàn)的方程程解解 設(shè)所求曲線(xiàn)方程為設(shè)所求曲線(xiàn)方程為y yy y ( (x x) )，由題設(shè)，由題設(shè)，yy2 2x x，y y( (x x) )是是2 2x x的一個(gè)原函數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，其中其中C C為任意

13、常數(shù)，因?yàn)榍€(xiàn)過(guò)為任意常數(shù)，因?yàn)榍€(xiàn)過(guò)(0(0，0)0)點(diǎn)，故點(diǎn)，故0 00 0C C，C C0 0，于是所求曲線(xiàn)方程為于是所求曲線(xiàn)方程為y yx x2 215性質(zhì)性質(zhì)1 1 兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的不定積分，等于各個(gè)函兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的不定積分，等于各個(gè)函數(shù)不定積分的代數(shù)和數(shù)不定積分的代數(shù)和(2)(2)不定積分的基本性質(zhì)不定積分的基本性質(zhì) dxxgdxxfdxxgxf)()()()( )( )f x dxg x dx dxxgdxxfdxxgxf)()()()(事實(shí)上事實(shí)上dxxgdxxf)()(恰為左端被積函數(shù)由此知恰為左端被積函數(shù)由此知是是f (x)g (x)的原函數(shù)，因此的原函數(shù)，因此:性質(zhì)性質(zhì)

14、1 1對(duì)于有限個(gè)函數(shù)都是成立的對(duì)于有限個(gè)函數(shù)都是成立的. .( )( )( )( )f x dxg x dxf xg x16性質(zhì)性質(zhì)2 2 不為零的常數(shù)因子可移到積分號(hào)前不為零的常數(shù)因子可移到積分號(hào)前. .dxxfkdxxkf)()( (k k是常數(shù)，是常數(shù)，k k0).0).對(duì)等式兩端微分，即可得證對(duì)等式兩端微分，即可得證17(3)(3)基本積分公式基本積分公式由于不定積分是微分的逆運(yùn)算，因此只要將微分公由于不定積分是微分的逆運(yùn)算，因此只要將微分公式逆轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)，就可得到基本積分表式逆轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)，就可得到基本積分表211)(arctanxx例如，因?yàn)槔?，因?yàn)镃xdxxarctan112所以所以因此

15、可得如下基本公式：因此可得如下基本公式：18Ckxkdx(1) (k是常數(shù)是常數(shù))； Cxdxx11(2) (1)； (3) Cxxdx|ln ( (x x0)0)；Cedxexx(5) Cxxdxcossin(6) Caadxaxxln1(4) ( (a a0 0，a a1)1)；19Cxxdxsincos(7) Cxdxxxdxtancos1sec22(8) Cxdxxxdxcotsin1csc22(9) Cxdxxarctan112(10) Cxdxxarcsin112(11) Cxxdxxsectansec(12) Cxxdxxcsccotcsc(13) 以上公式是求不定積分的基礎(chǔ)，務(wù)

16、必牢記以上公式是求不定積分的基礎(chǔ)，務(wù)必牢記20Cxdxx|ln1例例5.1.4 驗(yàn)證驗(yàn)證 Cxdxx|ln1( (x x0) .0) .x1證證 當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，時(shí)，(ln| x | )(lnx) xx1 )ln(當(dāng)當(dāng)x x0 0時(shí)，時(shí)，(ln|(ln|x x|)|)xx1) |(ln故故由不定積分定義知由不定積分定義知21dxxx2例例5.1.5 求求 2xxdx解解52x dx5172225712xCxC22dxxx1例例5.1.6 求求 321dxxdxx x解解3122312xCCx 此例表明，有時(shí)被積函數(shù)雖用根式或分式表示，此例表明，有時(shí)被積函數(shù)雖用根式或分式表示，但實(shí)際是冪函數(shù)遇此情形

17、，應(yīng)先把它們寫(xiě)為但實(shí)際是冪函數(shù)遇此情形，應(yīng)先把它們寫(xiě)為 的形式，然后用冪函數(shù)積分公式求解的形式，然后用冪函數(shù)積分公式求解x23421232sin1xdxxxx利用基本積分公式和不定積分的兩個(gè)性質(zhì)，利用基本積分公式和不定積分的兩個(gè)性質(zhì)，可以求出一些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分可以求出一些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分. .dxxxxx24132sin21例例5.1.7 求求 解解 此題應(yīng)首先應(yīng)用不定積分性質(zhì)，將積分分項(xiàng)此題應(yīng)首先應(yīng)用不定積分性質(zhì)，將積分分項(xiàng)再利用基本積分公式再利用基本積分公式421112 sin231dxxdxdxdxxxx24Cxxxxarcsin3|ln2cos2313上例每個(gè)不定積分都含有一個(gè)任

18、意常數(shù)，最后上例每個(gè)不定積分都含有一個(gè)任意常數(shù)，最后將其合并記作將其合并記作C C2521coscos22xxdxdxCxxsin2121dxx2cos2例例5.1.8 求求 解解 此題不能直接積分，但經(jīng)被積函數(shù)恒等變形此題不能直接積分，但經(jīng)被積函數(shù)恒等變形后可化為表中的積分后可化為表中的積分上例求解方法是常用的，如下例上例求解方法是常用的，如下例 . .11cos22dxxdx26dxxxxsincos2cos例例5.1.9 求求 cos2cossinxdxxx解解(cossin )sincosxx dxxxC22cossincossinxxdxxx27解解 顯然顯然f f (0) (0)0

19、 0，所以，所以f f ( (x x) )在在x x0 0連續(xù)，從而連續(xù)，從而f f ( (x x) )在在( (，+)+)上連續(xù)于是它的原函數(shù)存上連續(xù)于是它的原函數(shù)存在，所以在，所以 可導(dǎo)的函數(shù)應(yīng)是連續(xù)的，由連續(xù)性知可導(dǎo)的函數(shù)應(yīng)是連續(xù)的，由連續(xù)性知: : cos 0cos 0C C1 1C C2 2 ，即即 1 1C C1 1C C2 2 ， ,sin)(3xxxf例例5.1.10 設(shè)設(shè) dxxf)(x0 x0求求,43,cos)(2341CxCxdxxfx0 x028取取C1C, 則則C21C . 故有故有,143,cos)(34CxCxdxxfx0 x0292. 2. 換元積分法換元積分

20、法 利用基本積分表與積分的性質(zhì)，所能計(jì)算的不利用基本積分表與積分的性質(zhì)，所能計(jì)算的不定積分是非常有限的定積分是非常有限的.因此，有必要進(jìn)一步研究不定因此，有必要進(jìn)一步研究不定積分的計(jì)算方法積分的計(jì)算方法.本段把復(fù)合函數(shù)的微分法反過(guò)來(lái)用本段把復(fù)合函數(shù)的微分法反過(guò)來(lái)用于求不定積分，利用中間變量的代換，得到復(fù)合函于求不定積分，利用中間變量的代換，得到復(fù)合函數(shù)的積分法，稱(chēng)為換元積分法，或湊微分法數(shù)的積分法，稱(chēng)為換元積分法，或湊微分法. 換元換元積分法通常分為兩類(lèi)，下面先講第一類(lèi)換元法積分法通常分為兩類(lèi)，下面先講第一類(lèi)換元法.30(1)(1)第一類(lèi)換元積分法第一類(lèi)換元積分法 當(dāng)復(fù)合函數(shù)積分當(dāng)復(fù)合函數(shù)積分

21、 不易計(jì)算時(shí)，不易計(jì)算時(shí)，由微分形式不變性由微分形式不變性. .先通過(guò)先通過(guò)“湊微分湊微分”，使得，使得 dxxxf)()()()(xddxxduuf)(，再令，再令 ，得積分，得積分 ，而此積分可，而此積分可以求出以求出. .)(xu)()()()()()()(xxfxufxuFxFCxFduufdxxxfxu)()()()()(CuFduuf)()(設(shè)設(shè)f f ( (u u) )具有原函數(shù)具有原函數(shù)F F( (u u) )，即，即由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式因而，由不定積分的定義得到因而，由不定積分的定義得到31定理定理5.1.1 若若 可可導(dǎo)，則有換元公式導(dǎo)，則有換元公式 .)(

22、,)()(xuCuFduufCxFdxxxf)()()(第一類(lèi)換元法把原來(lái)對(duì)變量第一類(lèi)換元法把原來(lái)對(duì)變量x的積分，通過(guò)變的積分，通過(guò)變量代換量代換 變成對(duì)變量變成對(duì)變量u的積分的積分.)(xu正確并熟練地運(yùn)用第一類(lèi)換元法的關(guān)鍵是大家對(duì)求正確并熟練地運(yùn)用第一類(lèi)換元法的關(guān)鍵是大家對(duì)求導(dǎo)導(dǎo)(或求微分或求微分)基本公式的熟知，才能正確地將被積基本公式的熟知，才能正確地將被積表達(dá)式分解為二部分表達(dá)式分解為二部分 和和 ，即湊出，即湊出了一個(gè)中間變量了一個(gè)中間變量u, 使使 為基本積分表中的形為基本積分表中的形式式.)(xfdxx)(duuf)(于是有下面的定理：于是有下面的定理：32Cuduudxx23

23、2132122Cxdxx3) 12(32122dxx122例例5.1.11 求求 解解 被積函數(shù)中被積函數(shù)中 是一個(gè)復(fù)合函數(shù)是一個(gè)復(fù)合函數(shù) 12 x12,12xuux常數(shù)因子恰常數(shù)因子恰好是中間變量好是中間變量u u的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，再以再以u(píng) u2 2x x1 1代入得代入得因此作變換因此作變換u u2 2x x1 1，則，則d d u u2 d 2 d x x，得，得33CeCeduedxedxexxuuxx555545dxexx545例例5.1.12 求求 5,5xueeux解解 被積函數(shù)中一個(gè)因子為被積函數(shù)中一個(gè)因子為 剩下的因子剩下的因子5 5x x4 4恰好是中間恰好是中間變量變量u

24、x5的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，這個(gè)方法熟悉之后，可不必列出中間變量這個(gè)方法熟悉之后，可不必列出中間變量u u，如，如上例，直接將上例，直接將5 5x x4 4與與d dx x湊成湊成d dx x5 5即可即可Cedxedxexxxx555545于是有于是有 34例例5.1.13 求求 dxxx8)(ln解解 因?yàn)橐驗(yàn)?與與d dx x可湊成可湊成dlndlnx x, , 故故 x1Cxxdxdxxx988)(ln91ln)(ln)(ln35例例5.1.14 求求 xdxtan解解 因?yàn)橐驗(yàn)?xxxcossintan故故 Cxxxddxxxxdx|cos|lncoscoscossintan類(lèi)似地，不難求得

25、類(lèi)似地，不難求得Cxxdx|sin|lncot36例例5.1.15 求求 dxxa221解解 22dxax221 ( ) xadaxaa1arctanxCaa37例例5.1.16 求求 xedx11xdxe解解 (1)1xxdedxeln(1)xxeC(1)1xxedxe38例例5.1.17 求求 22axdx解解 由于由于)11(21122axaxaax22111()2dxdxxaax ax a故故Caxaxaln211()1()22d xad xaaxaaxa39例例5.1.18 求求 xdxcsc解解xxsin1csc故故cscsindxxdxx1coscos2xxd利用利用5.1.17

26、 11cosln21cosxCxCxxxx)cos1)(cos1 ()cos1)(cos1 (lnCxxCxx|cotcsc|lnsincos1ln22sincossin1 cosxdxdxxx 由于由于40例例5.1.19 求求 xdxsec解解 由于由于 )2sin(cosxx因此因此 seccosdxxdxx利用例利用例5.1.18 ln|csc() cot()|22xxCCxx|tansec|ln()2sin()2d xx41例例5.1.20 求求 22xadx(a0) 解解 22dxax21 ( )xdaxa211 ( )dxaxaarcsinxCa42例例5.1.21 求求 xdx

27、x35cossin解解 5352sincossincossinxxdxxxdx57(sinsin) sinxx dx52sin(1 sin) sinxx dx6811sinsin68xxC43 被積函數(shù)為三角函數(shù)的題目一般要被積函數(shù)為三角函數(shù)的題目一般要通過(guò)三角函數(shù)平方關(guān)系和倍角公式及通過(guò)三角函數(shù)平方關(guān)系和倍角公式及積化積化和差公式降次，然后用湊微分方法求解和差公式降次，然后用湊微分方法求解例例5.1.22 求求 xdxx5sin3sin解解 sin3sin5xxdxCxx8sin1612sin411(cos8cos2 )2xx dx 44例例5.1.23 求求 dxxxxln1ln解解 xd

28、xxdxxxxlnln1lnln1ln令令lnx=u 1uduu(1) 11uduu322(1)2 13uuC322(1 ln )2 1 ln3xxC11(1)(1)1ududuu45例例5.1.24 設(shè)設(shè) xexf)(，求，求 dxxxf)(ln解解 (ln )fxdxx(ln )fxC(ln ) lnfx dxln1xeCCx46其其中中)(x 是是)(tx 的的反反函函數(shù)數(shù). .證證設(shè)設(shè) 為為 的原函數(shù)的原函數(shù),)(t )()(ttf 令令)()(xxF 則則dxdtdtdxF )()()(ttf ,)(1t )()()()(xtdtttfdxxf 則有換元公式則有換元公式并且并且0)(

29、 t ，又設(shè)又設(shè))()(ttf 具有原函數(shù)，具有原函數(shù)，定理定理2 2(2) (2) 第二類(lèi)換元積分法第二類(lèi)換元積分法47第二類(lèi)積分換元公式第二類(lèi)積分換元公式,)(Cx )(tf ).(xf 說(shuō)明說(shuō)明)(xF為為)(xf的原函數(shù)的原函數(shù), CxFdxxf)()( )( ) ( )( )txf x dxftt dt48例例5.1.25 求求 dxxx3131解解 3131xx 的原函數(shù)不易求出，考慮作代換換為的原函數(shù)不易求出，考慮作代換換為易求解的形式易求解的形式 tx313令令則則 313tx于是于是d dx xt t2 2d dt t代入原式，得代入原式，得 3131xdxx32113tt

30、dtt49Cxx3235) 13(31) 13(151一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)被積函數(shù)中含一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)被積函數(shù)中含 時(shí)，時(shí)，nbax 可令可令 tbaxn41(2 )3tt dt5211153ttC50例例5.1.26 求求 4xxdx解解 為同時(shí)消去被積函數(shù)中的兩個(gè)根式，為同時(shí)消去被積函數(shù)中的兩個(gè)根式，令令xt 4，則，則dx4 t3d t因此因此: 3244dxt dtttxxCtttdttt|1|ln442)111(42Cxxx) 1ln(44244221 14411ttdtdttt 51當(dāng)被積函數(shù)含有根式當(dāng)被積函數(shù)含有根式 時(shí)，可時(shí)，可作如下三角變換：作如下三角變換： 22xa 或或 22ax 含

31、有含有 22xa 時(shí)，令時(shí)，令x xasin sin t ； 含有含有 22ax 時(shí)，令時(shí)，令xatan t； 含有含有 22ax 時(shí)，令時(shí)，令xasec t 52例例5.1.27 求求 dxxa22(a0) 解解 令令xasin t，dxacos td t，t )2,2(2222(1 sin) cosax dxat atdt2(1 cos2 )2at dt將變量將變量t換回變量換回變量x，由于，由于 taxsin22cosatdt2sin2()22attC于是于是53借助如圖借助如圖(5.1.2)的三角形的三角形, 我們有我們有 axaaxttt222cossin22sinCxaxaxadx

32、xa222222arcsin2圖圖5.1.25.1.2于是于是54例例5.1.28 求求 22xadx (a0) , 解解 令令xatan t，t (,),2 2 tdtadx2sectaxasec22,代入所求積分得代入所求積分得 222secsecdxatdtatax因?yàn)橐驗(yàn)?axt tan, , 借助圖借助圖5.1.35.1.3有有圖圖5.1.35.1.3secln |sectan |tdtttC55因此因此22122ln()dxxxaCaaxa其中其中CC1lna aaxt22sec22ln()xxaC56例例5.1.29 求求 22axdx ( (a a0)0)代入所求積分代入所求積

33、分 解解 令令 sec ,(0,),2xat tsec tan,dxattdt22tanxaat22sec tantandxattdtatxasecln |sectan |tdtttC57 在解上述類(lèi)型題目時(shí)要視被積函數(shù)的具體情形，在解上述類(lèi)型題目時(shí)要視被積函數(shù)的具體情形，選取盡可能簡(jiǎn)捷的代換，不要拘泥于上述變量代選取盡可能簡(jiǎn)捷的代換，不要拘泥于上述變量代換，換， 因因 taxsec借助圖借助圖5.1.45.1.4中三角形有中三角形有圖圖5.1.45.1.4CaxxCaaxaxaxdx|lnln221222258下面介紹一種常用代換下面介紹一種常用代換倒數(shù)代換倒數(shù)代換例例5.1.30 求求 d

34、xxx112解解 令令 tx1，則，則 dttdx21.211dxx x CxCt1arcsinarcsin于是于是22211111dtdttttt 59 為便于查找，現(xiàn)將上述常用公式為便于查找，現(xiàn)將上述常用公式添加到基本積分表中：添加到基本積分表中： Caxaxadxaxln21122(18)Caxadxxaarctan1122(17)Caxdxxaarcsin122(16)Cxxdx|sin|lncot(15)Cxxdx|cos|lntan(14)60Cxxxdx|cotcsc|lncsc(22)Cxxxdx|tansec|lnsec(21)Caxxdxax|ln12222(20)Cxax

35、aadxxaln21122(19)61例例5.1.31 求求 21xxdx解解 用配方的方法可將被積函數(shù)化為用配方的方法可將被積函數(shù)化為 221xa 的形式，然后利用公式，得的形式，然后利用公式，得:21dxxx21arcsin5xC221()251()()22d xx62例例5.1.32 設(shè)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為設(shè)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為元單位，其中元單位，其中q q為產(chǎn)量，已知固定成本為為產(chǎn)量，已知固定成本為200200元，元，求該產(chǎn)品在產(chǎn)量為求該產(chǎn)品在產(chǎn)量為q q時(shí)的總成本時(shí)的總成本 941)(2qqC解解2( )( )49dqC qC q dqqCqq)942ln(212由于由于C C(

36、0)(0)200200，所以，所以22221(2 )2(2 )3(2 )3dqdqqq63C3ln212003ln21200 C3ln21200)942ln(21)(2qqqC從而從而643. 3. 分部積分法分部積分法設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)uu(x)與與vv (x)都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，對(duì)這個(gè)等式兩邊取不定積分，得：對(duì)這個(gè)等式兩邊取不定積分，得： vdxuuvdxvu.udvuvvdu上式稱(chēng)為分部積分公式，或?qū)憺樯鲜椒Q(chēng)為分部積分公式，或?qū)憺?則兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為則兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為移項(xiàng)，得移項(xiàng)，得 (uv)uvuv，uv(uv)uv .65如果求如果求 有困難，而求有困難，而求

37、容易時(shí)，就可容易時(shí)，就可利用分部積分法求積分利用分部積分法求積分 udvvdu66例例5.1.33 求求 xdxxcos解解 設(shè)設(shè)ux，vsinx ， cossinxxdxxdxsinsinxxxdxsincosxxxC67例例5.1.34 求求 dxexx2解解 設(shè)設(shè)ux，vex，22xxx e dxx de 222xxxx exee dx 2222xxxxx eexdxx exde 222xxxx exeeC 68上題注上題注注意此例若設(shè)注意此例若設(shè) 3,3xveuxdxexexdxedxexxxxx3332313131使積分計(jì)算更加復(fù)雜由此可見(jiàn)正確選擇使積分計(jì)算更加復(fù)雜由此可見(jiàn)正確選擇u

38、 u與與d dv v是利用分部積分法的關(guān)鍵是利用分部積分法的關(guān)鍵. .選擇選擇u u和和d dv v一般要考慮一般要考慮兩點(diǎn)：兩點(diǎn)：(1)(1)v v容易求得；容易求得；(2) (2) 要比要比 容易容易積分積分. .通常我們可按通常我們可按“反對(duì)冪三指反對(duì)冪三指”的順序的順序( (即反即反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的順序函數(shù)的順序) )，排在前面的那類(lèi)函數(shù)選作，排在前面的那類(lèi)函數(shù)選作u u，排在，排在后面的與后面的與d d x x結(jié)合在一起為結(jié)合在一起為d dv v vduudv在使用分部積分公式熟練后，可不必再寫(xiě)出在使用分部積分

39、公式熟練后，可不必再寫(xiě)出u，v，直接用公式求解即可。，直接用公式求解即可。69例例5.1.35 求求 xdxxarctan21arctanarctan2xxdxxdx解解dxxxxx22211121arctan21dxxxx)111 (21arctan2122Cxxxx)arctan(21arctan22Cxxx21arctan) 1(21222211(arctan)21xxxdxx70 例例5.1.36 求求 dxx)1ln(ln(1)ln(1)1xx dxxxdxx解解1ln(1)(1)1xxdxxCxxx)1ln() 1(1 1ln(1)1xxxdxx ln(1)ln(1)xxxxC71

40、例例5.1.37 求求 xdxeIxsinsinsinxxIexdxxde解解sincosxxexxdeIxxex)cos(sin移項(xiàng)移項(xiàng)CxxeIx)cos(sin2所以所以CxxeIx)cos(sin21sincosxxexexdxsincossinxxxexexexdx72例例5.1.38 求求 dxxx2)1 (lnln11()11xdxxxxCxxxx|1|ln)1 (ln)1 (1ln11ln)1 (ln2xxdxxxxxddxxx解解在分部積分中往往要兼用換元法，如下例在分部積分中往往要兼用換元法，如下例 . .lnlnln |1|1xxxCx73*例例5.1.39 求求 dxx

41、arctan1arctanarctan12xxdxxxdxxx解解令令 ，則，則 xt dttttdtttdxxx2221112211Cttdtt)arctan(2)111 (22所以所以CxxxxdxxarctanarctanarctanCxxxarctan) 1(1arctan2 1xxxdxx74* *4.4.有理函數(shù)和三角函數(shù)的有理式的積分有理函數(shù)和三角函數(shù)的有理式的積分 求積分比求導(dǎo)數(shù)困難得多求積分比求導(dǎo)數(shù)困難得多.這是因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的這是因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的定義清楚地給出了求導(dǎo)數(shù)的方法，而不定積定義清楚地給出了求導(dǎo)數(shù)的方法，而不定積分的定義并未給出其計(jì)算方法；另一方面，分的定義并未給出其計(jì)算方法；

42、另一方面，初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是初等函數(shù)，但初等函數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是初等函數(shù)，但初等函數(shù)的原函數(shù)卻常常不是初等函數(shù)的原函數(shù)卻常常不是初等函數(shù).對(duì)幾種常見(jiàn)類(lèi)對(duì)幾種常見(jiàn)類(lèi)型的函數(shù)，還是存在有規(guī)律的積分方法的，型的函數(shù)，還是存在有規(guī)律的積分方法的，下面我們介紹兩種常見(jiàn)類(lèi)型函數(shù)的積分下面我們介紹兩種常見(jiàn)類(lèi)型函數(shù)的積分.75(1)(1)有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的一般形式是有理函數(shù)的一般形式是mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxPxR11101110)()()(a00, b00) , 其中其中P(x)，Q (x)是實(shí)系數(shù)的互質(zhì)多項(xiàng)式因?yàn)橛欣硎菍?shí)系數(shù)的互質(zhì)多項(xiàng)式因?yàn)橛欣砑俜质郊俜质?

43、nm)通過(guò)多項(xiàng)式除法總可以表示成容易積分通過(guò)多項(xiàng)式除法總可以表示成容易積分的多項(xiàng)式和真分式之和，所以只需討論真分式的積的多項(xiàng)式和真分式之和，所以只需討論真分式的積分分)()(xQxP若有理函數(shù)若有理函數(shù) 是真分式是真分式( (即即n nm m) )，則可通過(guò)下，則可通過(guò)下述步驟求它的不定積分：述步驟求它的不定積分：76第一步：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，將多項(xiàng)式第一步：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，將多項(xiàng)式Q Q ( (x x) )分解成一分解成一次因式和二次質(zhì)因式的乘積，即形如次因式和二次質(zhì)因式的乘積，即形如)()()()()(220srxxqpxxbxaxbxQ( (其中各二次因式有其中各二次因式有p p2 24 4q

44、 q0,0,，r r2 24 4s s0);0);第二步：將真分式第二步：將真分式 分解成如下部分分式之和：分解成如下部分分式之和：)()(xQxP121( )( )()()AAAP xQ xxaxaxa121()()BBxbxb112()BM xNxbxpxq77srxxSxRsrsxSxRsrsxSxR21222211)()(第三步第三步: :通過(guò)換元法、分部積分等方法，求出各部通過(guò)換元法、分部積分等方法，求出各部分分式的原函數(shù)分分式的原函數(shù)2221()M xNxpxq2M xNxpxq 其中各其中各 均是待定的常均是待定的常數(shù)，可通過(guò)通分后再比較等式兩端數(shù)，可通過(guò)通分后再比較等式兩端x

45、x同次冪的系數(shù)同次冪的系數(shù)而求得而求得, ,即待定系數(shù)法；即待定系數(shù)法；,.,.,iiiiiAB M NRi及S78例例5.1.40 求求 . dxxxx2321解解 被積函數(shù)為真分式，分母被積函數(shù)為真分式，分母x x3 32 2x x2 2x xx x( (x x1)1)2 2. . 故可設(shè)故可設(shè)1) 1(21223xCxBxAxxx消去分母，得消去分母，得 1 1A A( (x x1)1)2 2BxBxCxCx( (x x1) .1) .要使此式恒等，等式兩邊要使此式恒等，等式兩邊x同次冪的系數(shù)必對(duì)應(yīng)相等，同次冪的系數(shù)必對(duì)應(yīng)相等，從而從而 B1，C1,所以所以dxxxxdxxxx) 1(1

46、11121223故有故有 AC0，B2AC0，A179dxxdxxdxx2) 1(1111Cxxx11|1|ln|ln80解解 設(shè)設(shè) )1)(21 (2xxdx2121ABxCxx消去分母后，得消去分母后，得 1A(1x2)+(BxC)(12x) .展開(kāi)并比較兩端展開(kāi)并比較兩端x的同次冪的系數(shù)，有的同次冪的系數(shù)，有 A2B0，B2C0，AC1 .解得解得,54A2,5B 51C例例5.1.41 求求 )1)(21 (2xxdx于是有于是有 81)1 (512)21 (54)1)(21 (122xxxxx所以所以 dxxxxdxxxdx22112512154)1)(21 (Cxxxarctan5

47、11)21 (ln5122Cxxxarctan51)1ln(51|21|ln52282例例5.1.42 求求 dxxxx3222解解 被積函數(shù)已是簡(jiǎn)單分式，其分母在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)被積函數(shù)已是簡(jiǎn)單分式，其分母在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能再作因式分解，可用配方的方法化為平方和的不能再作因式分解，可用配方的方法化為平方和的形式形式221(22)3222323xxdxdxxxxx221221322323xdxdxxxxx83 此類(lèi)積分的求解方法一般是通過(guò)拆項(xiàng)與配方，第此類(lèi)積分的求解方法一般是通過(guò)拆項(xiàng)與配方，第一項(xiàng)總是通過(guò)湊微分法，使分子等于分母的微商；一項(xiàng)總是通過(guò)湊微分法，使分子等于分母的微商；第二項(xiàng)總是使分母配成含

48、有一個(gè)完全平方項(xiàng)第二項(xiàng)總是使分母配成含有一個(gè)完全平方項(xiàng)2222)2() 1() 1(332)32(21xxdxxxxdCxxx21arctan23)32ln(212有理函數(shù)的積分按一定的步驟都可以求出其原函有理函數(shù)的積分按一定的步驟都可以求出其原函數(shù)數(shù).而且可以證明而且可以證明有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).84例例5.1.43 求求 xxdxcossin1解解 作代換作代換 2tanxu ，由三角恒等式，由三角恒等式 222tan22sin,11tan2xuxxu2211cosuux而而x=2arctanu, 從而從而 duudx212于是于是222221211 s

49、incos111dudxuuuxxuu85CxCuudu12tanln|1|ln1222121duuuu 86注注但上述積分若采用下列方法更簡(jiǎn)便但上述積分若采用下列方法更簡(jiǎn)便21 sincos2cos2sin cos222dxdxxxxxxCxxxdxdxx2tan1ln2tan12tan2tan12sec21222cos(1tan)22dxxx87 從前面的例題中已經(jīng)看出，求積分比較靈活、從前面的例題中已經(jīng)看出，求積分比較靈活、復(fù)雜復(fù)雜. .在實(shí)用中，可查積分表在實(shí)用中，可查積分表. .積分表是按照被積分表是按照被積函數(shù)的類(lèi)型來(lái)排列的積函數(shù)的類(lèi)型來(lái)排列的. .求積分時(shí)，可根據(jù)被求積分時(shí)，可根

50、據(jù)被積函數(shù)的類(lèi)型直接地或經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變形后，在積函數(shù)的類(lèi)型直接地或經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變形后，在表內(nèi)查得所需要的結(jié)果表內(nèi)查得所需要的結(jié)果. .如果用通用數(shù)學(xué)軟件求不定積分將更加方便如果用通用數(shù)學(xué)軟件求不定積分將更加方便. . 由上例可以看出利用萬(wàn)能代換解三角有理式不一由上例可以看出利用萬(wàn)能代換解三角有理式不一定是最簡(jiǎn)便的方法定是最簡(jiǎn)便的方法, ,在具體求三角函數(shù)積分時(shí)應(yīng)視在具體求三角函數(shù)積分時(shí)應(yīng)視被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)確定合適代換及求解方法被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)確定合適代換及求解方法88(2)(2)三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分 所謂三角函數(shù)的有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)所謂三角函數(shù)的有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)

51、過(guò)有限次四則運(yùn)算而構(gòu)成的函數(shù)，經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算而構(gòu)成的函數(shù)，xcos11xbxax2222sincoscos此類(lèi)函數(shù)的積分總可以通過(guò)萬(wàn)能代換法化成此類(lèi)函數(shù)的積分總可以通過(guò)萬(wàn)能代換法化成有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分如如895.2 5.2 定積分定積分 本節(jié)從求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體經(jīng)過(guò)的路程、價(jià)本節(jié)從求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的物體經(jīng)過(guò)的路程、價(jià)格隨銷(xiāo)售量而變化的企業(yè)收益、曲邊梯形的面積等格隨銷(xiāo)售量而變化的企業(yè)收益、曲邊梯形的面積等實(shí)際問(wèn)題入手，引進(jìn)定積分的概念，然后討論微積實(shí)際問(wèn)題入手，引進(jìn)定積分的概念，然后討論微積分基本定理及定積分的計(jì)算方法分基本定理及定積分的計(jì)算方法90例例5.2.15.2.1 （求變

52、速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程）（求變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的路程） 設(shè)某物體作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，已知速度設(shè)某物體作直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，已知速度)(tvv 是是時(shí)間間隔時(shí)間間隔,21TT上上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程.思路思路：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值分過(guò)程求得路程的精確值定積分及其基本性質(zhì)定積分及其基本性質(zhì)一、幾個(gè)例子一、幾

53、個(gè)例子91（1）分割）分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時(shí)刻的速度某時(shí)刻的速度（2）求和）求和iinitvs )(1 （3）取極限）取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精確值路程的精確值92例例5.2.2 （求曲邊梯形的面積）（求曲邊梯形的面積）曲邊梯形由連續(xù)曲線(xiàn)曲邊梯形由連續(xù)曲線(xiàn))(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線(xiàn)線(xiàn)ax 、bx 所所圍圍成成.abxyo93abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，

54、矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個(gè)小矩形）（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）94曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形如圖所示，,1210bxxxxxabann 個(gè)個(gè)分分點(diǎn)點(diǎn)，內(nèi)內(nèi)插插入入若若干干在在區(qū)區(qū)間間abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為，個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間iiixx ,1 iiixfA )( 為為高高的的小小矩矩形形面面積積為為為為底底，以以)(,1iiifxx 95iniixfA )(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfA )(lim10

55、時(shí)，時(shí)，趨近于零趨近于零即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度當(dāng)分割無(wú)限加細(xì)當(dāng)分割無(wú)限加細(xì))0(,max,21 nxxx曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為96設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對(duì)對(duì),ba在在,ba中任意插入中任意插入若若干干個(gè)個(gè)分分點(diǎn)點(diǎn)bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一點(diǎn)一點(diǎn)i （iix ），），作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfS )(1

56、 ，二、定積分的定義定義定義97怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分區(qū)間積分區(qū)間,ba也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點(diǎn)點(diǎn)i 怎樣的取法，怎樣的取法，只只要要當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí)，和和S總趨于總趨于確定的極限確定的極限I，我我們們稱(chēng)稱(chēng)這這個(gè)個(gè)極極限限I為為函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和98注意：注意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關(guān)關(guān)， badxxf)( badttf)( baduu

57、f)(（2）定義中區(qū)間的分法和）定義中區(qū)間的分法和i 的取法是任意的的取法是任意的.（3 3）當(dāng)函數(shù)）當(dāng)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的定積分存在時(shí)，上的定積分存在時(shí)，而而與與積積分分變變量量的的字字母母無(wú)無(wú)關(guān)關(guān).稱(chēng)稱(chēng))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上上可積可積.99badttvS)(例例5.2.25.2.2中所求曲邊梯形的面積中所求曲邊梯形的面積A A為為 badxxfA)( (f f( (x x)0)0)由定積分定義由定積分定義例例5.2.1中質(zhì)點(diǎn)所走過(guò)的路程為中質(zhì)點(diǎn)所走過(guò)的路程為100, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形

58、的面積曲邊梯形的面積的負(fù)值的負(fù)值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 定積分的幾何意義定積分的幾何意義101積取負(fù)號(hào)積取負(fù)號(hào)軸下方的面軸下方的面在在軸上方的面積取正號(hào)；軸上方的面積取正號(hào)；在在數(shù)和數(shù)和之間的各部分面積的代之間的各部分面積的代直線(xiàn)直線(xiàn)的圖形及兩條的圖形及兩條軸、函數(shù)軸、函數(shù)它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( 102三、三、 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 在定積分定義中，從實(shí)際背景出發(fā)，規(guī)定了在定積分定義中，從實(shí)際背景出發(fā)，規(guī)定了積分上限必須大于積分下限，其實(shí)，作為一個(gè)抽積分上限必須大于積分下限，其實(shí)，作為一個(gè)抽象的定積分定義，完全沒(méi)有必要有這樣的限制，象的

59、定積分定義，完全沒(méi)有必要有這樣的限制，今后為了計(jì)算和應(yīng)用的方便，我們對(duì)定積分作以今后為了計(jì)算和應(yīng)用的方便，我們對(duì)定積分作以下兩點(diǎn)補(bǔ)充規(guī)定：下兩點(diǎn)補(bǔ)充規(guī)定： 當(dāng)當(dāng)a= b時(shí)，時(shí)， badxxf0)( 當(dāng)當(dāng)ab時(shí)，時(shí)， baabdxxfdxxf)()(103即，變換定積分的上下限時(shí)，定積分的絕對(duì)值即，變換定積分的上下限時(shí)，定積分的絕對(duì)值不變而符號(hào)相反不變而符號(hào)相反. .這是因?yàn)樵谶@是因?yàn)樵赼 ab b假設(shè)下，有假設(shè)下，有a a= =x x0 0 x x1 1x x2 2x xk k1 1x xk kx xn n= =b b, , 所有所有差差x xk k= =x xk kx xk k1 1都為負(fù)，

60、因此從都為負(fù)，因此從a a到到b b的和數(shù)與的和數(shù)與從從b b到到a a的和數(shù)就相差一個(gè)負(fù)號(hào)的和數(shù)就相差一個(gè)負(fù)號(hào). .104 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù)).證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質(zhì)性質(zhì)1 1105證證 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)