對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)對(duì)數(shù)的公式互化詳盡的講解

1、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算1 .對(duì)數(shù)的概念 一 ,一 x一般地，如果a = N(a>0,且awi),那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x= log aN, 其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).說(shuō)明：(1)實(shí)質(zhì)上，上述對(duì)數(shù)表達(dá)式，不過(guò)是指數(shù)函數(shù)y=ax的另一種表達(dá)形式，例如：34=81與4= log 381這兩個(gè)式子表達(dá)是同一關(guān)系，因此，有關(guān)系式ax= N? x= log aN,從而得對(duì)數(shù)恒等式：alog aN= N.(2) “l(fā)og”同“ + ” “x” “ 1”等符號(hào)一樣，表示一種運(yùn)算，即已知一個(gè)數(shù)和它的 哥求指數(shù)的運(yùn)算，這種運(yùn)算叫對(duì)數(shù)運(yùn)算，不過(guò)對(duì)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)寫(xiě)在數(shù)的前面.(3)根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，對(duì)數(shù)

2、 10g aN(a>0,且aw 1)具有下列性質(zhì)：零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)，即 N>0;1的對(duì)數(shù)為零，即loga1=0；底的對(duì)數(shù)等于1,即log aa=1.2 .對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可以把乘、除、乘方、開(kāi)方的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的加、減、乘、除 運(yùn)算，反之亦然.這種運(yùn)算的互化可簡(jiǎn)化計(jì)算方法，加快計(jì)算速度.(1)基本公式log a(MN=log aM+ log aN ( a>0, aw1, M>0, N>0),即正數(shù)的積的對(duì)數(shù)，等于同一底 數(shù)的各個(gè)因數(shù)的對(duì)數(shù)的和. Mlog aN= log aM- log aN(a>0, aw1, M>0, N>0

3、),即兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)，等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù).log aM=n log aM(a>0, awl, M>0, nCR),即正數(shù)的哥的對(duì)數(shù)等于哥的底數(shù)的對(duì)數(shù) 乘以備指數(shù).(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)注意點(diǎn)必須注意 M>0, N>0,例如log a( 3)X( 4)是存在的，但是loga( 3)與log a( 4)均不存在,故不能寫(xiě)成log a( 3) X ( 4) = log a( 3) + log a( 4).M防止出現(xiàn)以下錯(cuò)反：loga(MtN)= log aMtlogaNI,loga( M-N)= log aMlogaNI,log 南=log aMlog aNlo

4、g aM= (log aM n.3 .對(duì)數(shù)換底公式在實(shí)際應(yīng)用中，常碰到底數(shù)不為10的對(duì)數(shù)，如何求這類(lèi)對(duì)數(shù)，我們有下面的對(duì)數(shù)換底公式：log bN=粵二（b>0,且 bw 1； c>0,且 cwl； N>0）. log cb證明 設(shè)log bN x,則bx=N.兩邊取以c為底的對(duì)數(shù)，得 xlog cb= log cNl 所以 x= 10g c,即 log bN= 10g c1 log cblog cb換底公式體現(xiàn)了對(duì)數(shù)運(yùn)算中一種常用的轉(zhuǎn)化，即將復(fù)雜的或未知的底數(shù)轉(zhuǎn)化為已知的或需要的底數(shù)，這是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用.由換底公式可推出下面兩個(gè)常用公式：.1(1)logbN=10g1

5、或 log bN logNb=1 (N>0,且Nh51; b>0,且 bw 1); m m(2)log bnNn= -log bN(N>0; b>0,且 bw1; nw0, mC R) n題型一正確理解對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于a>0且awl,下列說(shuō)法中，正確的是()若 M= N,則 lOg aM= lOg aN若 log aM= log aN,則 M= N若 log aM2= log aM,則 M= N；若 M= N,則 log aM2= log aM.D.、A.與B.與C.解析 在中，當(dāng) M= NK0時(shí)，log aM與log aN均無(wú)意義，因此logaM= log aN

6、不成立.在中，當(dāng)log a出logaN時(shí)，必有 M>0, N>0,且M= N,因此M= N成立.在中，當(dāng)log aM=lOg aN2時(shí)，有岫0, N 0,且 耐=2，即|M=IN，但未必有 M= N 例如，M= 2, N= 2 時(shí)，也有 log aM2= log aN2,但 Mk N.在中，若 M N= 0,則log aM與logaM均無(wú)意義，因此logaM=logaN2不成立.所以，只有成立.答案 C點(diǎn)評(píng)正確理解對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式，是利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式解題的前提條件，使用運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，應(yīng)牢記公式的形式及公式成立的條件.題型二對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用求下列各式的值：(1)210g 32lo

7、g 332+log 385log 53; 9(2)lg25 +|lg8 +lg5 lg20+ (lg2) 2; 310g 量 log 79(3) .log 5- - log 7 落 3分析 利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)求值，首先要明確解題目標(biāo)是化異為同，先使各項(xiàng)底數(shù)相同，才能使用性質(zhì)，再找真數(shù)間的聯(lián)系，對(duì)于復(fù)雜的真數(shù)，可以先化簡(jiǎn)再計(jì)算.解 (1)原式=2log 32-(log 332 log 39) + 3log 32 3= 2log 325log 32+2+3log 32-3=- 1.102(2)原式=2lg5 +2lg2 + 1g -2 - lg(2 X10)+ (lg2)一一一一一 2= 21g(5

8、X2)+ (1 1g2) (1g2 + 1) + (1g2)= 2+1 (1g2) +(1g2) =3.1log 52 - 21og 73(3) . 10g 5史 log 79 = 2log 51 log 7汨T0g 53 . 310g 741g21g3igT ' lg7 3 =-=一一1g31 1g42ig? , 3 Ig7點(diǎn)評(píng) 對(duì)數(shù)的求值方法一般有兩種：一種是將式中真數(shù)的積、商、哥、方根利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將它們化為對(duì)數(shù)的和、差、積、商，然后化簡(jiǎn)求值；另一種方法是將式中的和、 差、積、商運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則將它們化為真數(shù)的積、商、哥、方根，然后化簡(jiǎn)求值.題型三對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用計(jì)算:(

9、1og 2125 +1og 425+1og 85)(1og 52+ 1og 254 + 1og 1258).分析 由題目可獲取以下主要信息： 本題是一道對(duì)數(shù)化簡(jiǎn)求值題， 在題目中各個(gè)對(duì)數(shù)的 底數(shù)都各不相同.解答本題可先通過(guò)對(duì)數(shù)換底公式統(tǒng)一底數(shù)再進(jìn)行化簡(jiǎn)求值.解方法一原式=3 log 225 log 25log 54log 5810g 巧 + log 24 + log 28 10g ' + log 525 + log 5125=310g 25+ *+穿 log 52+24 + 32 21og 22 31og 2221og 55 31og 55=3 + 1 + 3 log 25 (3log

10、 52) 3 一 log 22 一= 13log 25 - -= 13.log 25方壯一店lg125 , lg25 _,Jg5lg2,lg4 1 lg8萬(wàn)法一原式一lg2 + lg4 + lg8lg5 + lg25 + lg1253lg5 2lg5 lg5 lg2 2lg2 3lg2=lg2 +2lg2 +3lg2lg5"+2lg5 +3lg513lg5 lg2=31g23蔽=13.點(diǎn)評(píng) 方法一是先將括號(hào)內(nèi)換底，然后再將底統(tǒng)一；方法二是在解題方向還不清楚的情 況下，一次性地統(tǒng)一為常用對(duì)數(shù)（當(dāng)然也可以換成其他非 1的正數(shù)為底），然后再化簡(jiǎn).上述 方法是不同底數(shù)對(duì)數(shù)的計(jì)算、化簡(jiǎn)和恒等證

11、明的常用方法.已知 log(x+3)(x2+3x) = 1,求實(shí)數(shù) x 的 值錯(cuò)解由對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得 x2+ 3x=x+ 3.解得x= 1或x= 3.錯(cuò)因分析對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)必須大于0 且底數(shù)不等于1 ，這點(diǎn)在解題中忽略了x2 + 3x = x + 3,正解 由對(duì)數(shù)的性質(zhì)知x2 3x>0，x+3>0 且 x+3wl.解得x=1,故實(shí)數(shù)x的值為1.對(duì)數(shù)的定義及其性質(zhì)是高考中的重要考點(diǎn)之一，主要性質(zhì)有：log a1 = 0, log aa= 1,alog aN=N ( a>0,且 awl, N>0).1 .(上海高考)方程9x 6 3x7=0的解是.解析 .9x 6 3x 7

12、=0,即 32x 6 3 x7= 0(3x7)(3 x+ 1) =0.3x=7 或 3x=- 1(舍去)x= log 37.答案 log 37ex, x<0,12 .(遼寧高考)設(shè)g(x)=則gg =In x, x>0,21.1, 1.11斛析 g 2 = ln 2<0, g ln 2 = eln 2 = 2，11g g 2 =2.-1答案21 .對(duì)數(shù)式log (a 3)(7 - a) =b,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A. (8, 7) B . (3,7)C. (3,4) U (4,7) D .(3, +8)答案 Ca 3>0,解析由題意得 a 3w 1, 解得3<a&

13、lt;7且aw4.7 - a>0,2 .設(shè)a=log32,則log 382log 36用a表示的形式是（）2A. a 2 B . 3a(1 + a)2C. 5a 2 D . a + 3a 1答案 A解析 a= log 32, 1- log 38 210g 36 = 3log 32 2(log 32+1)= 3a-2(a+1) = a-2.3 . log56log67log78log89log910的值為(A. 1答案解析原式=瞿lg5lg7lg6lg8 lg9 lg10 lg10lg7 lg8 lg9 lg5 lg5 .4.已知 log a( a1 2+1)<loga2a<0

14、,則a的取值范圍是（）A (0,1)(1 , +°°)答案解析由題意,0<a<1,2a>1,a>0, aw1,logai(a + 1)<log a2a,0<a<1. . . 2<a<1.5.已知函數(shù)f(x)= axT+logax（a>0, aw1）在1,3上最大值與最小值之和為a：則a6.若方程（lgA. lg7 lg5的值為（）A. 4 C答案 Dx)2+(lg7 +lg5)lg x+lg7 - lg 5=0 的兩根為 a , § ,則答案解析 lg a1+ lg B=(lg7 +lg5) = - lg

15、35 = lg -35135.答案 2解析 令 log 2X= 2,則 2 = x,f 2 =2=娘.8 . log(g(平+1)=答案 1( J2+1)( V2 1)解析 10g 3一(啦+ 1) = log21 =10g (力T)-= - 1.9 .已知 1g2 = 0 , 1g3 = 1 , 1g x= 2+ 1 ,則 x=答案 解析 1g2 = 0 , 1g3 = 1 ,而 0 + 1 = 1 , . 1g x= 2+ 1g2 + 1g3 , 即 1g x= 1g10 2+ 1g6.-1g x= 1g(6 x 10 2),即 x = 6X10 2=.-x .10. (1)已知 1gx+

16、1gy = 21g( x-2y),求 1og，2y的值;(2)已知 1og 第9= a, 18b=5,試用 a, b 表示 1og 365.解 (1)1g x+1gy=21g( x- 2y), 1.xy=(x-2y)2,即 x2- 5xy + 4y2= 0.即(x y)( x4y) = 0,解得 x= y 或 x=4y,x>0,又; y>0,.x>2y>0,x- 2y>0,，x=y,應(yīng)舍去，取 x = 4y.則log472y= log 也率=log /4=4.(2) -18b=5, .log 185= b,又I og189=a,10g 185 b1og 365 =

17、 1g 1836= log 18(18X2)bb1 log 182189bb1 + (1 log 189)2 a11 .設(shè)a, b, c均為不等于1的正數(shù)，且ax=by=cz, - + 1+1 = 0,求abc的值.x y z解令 ax= by= cz= t ( t >0 且 t w 1),則有一 =logta, - =logtb, -= log tc xyz1.1,1又II=0, log tabc= 0, - abc= 1. x y z12 .已知 a, b, c 是 ABC勺三邊，且關(guān)于 x 的方程 x2 2x+lg( c2b2) 2lg a+1 = 0 有等根，試判定 ABM形狀.

18、解 ,關(guān)于 x 的方程 x22x+lg( c2b2) 2lg a+1 = 0 有等根，A= 0,即 44lg( c2 b2) 2lg a+1 =0.即 lg( c2b2)21g a=0,故 c2-b2= a2,，a2+b2 = c2,.ABC?直角三角形.2對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算（ 一 ）學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解對(duì)數(shù)的概念，能進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化2了解常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)的意義3理解對(duì)數(shù)恒等式并能用于有關(guān)對(duì)數(shù)的計(jì)算自學(xué)導(dǎo)引1 .如果a(a>0且awl)的b次哥等于N,就是ab= N,那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù), 記作b= 10g aN,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2 .對(duì)數(shù)的性質(zhì)有：(1)1的對(duì)

19、數(shù)為卷_(2)底的對(duì)數(shù)為1；(3)零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù).3 .通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，以 e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，1ogi0N可簡(jiǎn) 記為1g N, log eN簡(jiǎn)記為1n N4 .若 a>0,且 aw1,則 ab=N等價(jià)于 log aN= b.5 .對(duì)數(shù)恒等式：alog aN= N(a>0 且 aw1)、對(duì)數(shù)式有意義的條件例1求下列各式中x的取值范圍：(1)log 2(x10); (2)log (x i)(x+2);10g(x+i)(x1)2.分析由真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1可得到關(guān)于x的不等式(組)，解之即可.解(1)由題意有x-10>0,x>10,即

20、為所求.(2)由題意有x+2>0,x- 1>0 且 x 1 豐 1,x> 2,即x>1 且 xw2.x>1 且 xw2,(3)由題意有(x-1)2>0,x+ 1>0 且x+ 1 手 1,解得 x>1 且 xW 0, xW1.點(diǎn)評(píng) 在解決與對(duì)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，一定要注意：對(duì)數(shù)真數(shù)大于零，對(duì)數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1.變式遷移1在b= log (a-2)(5a)中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. a>5 或 a<2B. 2<a<5C. 2<a<3或 3<a<5 D . 3<a<4答案 C5 a>

21、;0解析由題意得a2>0a-211-2<a<5且 aw3.二、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化例2將下列對(duì)數(shù)形式化成指數(shù)形式或?qū)⒅笖?shù)形式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)形式:(1)5 4=625;(2)1og *=3;(3) 4 2= 16; (4)1og 1o1 000 =3.分析 利用ax = N? x = log aN進(jìn)行互化.解 (1) .5 4= 625, . log 5625=4.113(2) . log 28=- 3, 萬(wàn) =8.1 21(3) 4=16, .log 416=- 2.(4) log 101 000 =3,103=1 000.點(diǎn)評(píng)指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算是一對(duì)互逆運(yùn)算，在解題過(guò)程中，互相轉(zhuǎn)化

22、是解決相關(guān)問(wèn)題的重要途徑.在利用 ax=N? x=log aN進(jìn)行互化時(shí)，要分清各字母分別在指數(shù)式和對(duì)數(shù)式中的位 置.變式遷移2將下列對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式求x值：(1)log x27=3;(2)log 2X= 2;231(3)log 5(log 2X) = 0； (4) x=log 27-;91(5) x=log 216.3/2 2-解 (1)由 log x27 = 2,得 x2= 27, . x = 27- = 32 = 9.221(2)由 10g 2x=3,得 23= x, . x =3了(3)由 10g 5(log 2x)=0,得 log 2x= 1, 1. x= 21= 2.1 一 v 1

23、.v r(4)由 x = log 279,得 27 = 9,即 3 = 3 ,.x=- 2. 3(5)由 x= log 116,得 2 x=16,即 2 x=24, x= 4.、對(duì)數(shù)恒等式的應(yīng)用例 3 alogab logbC log cN的值(a,b,cCR卡,且不等于1,N>0)；(2)4 2(log 29 log 2 5).解 (1)原式=(alogab)logbClogcN=blogbClogcN= (blogbC)log cN=clog cN= N.(2)原式=2(log 29 log 25) =2log 29=9.2log 25 5點(diǎn)評(píng)對(duì)數(shù)恒等式alogaN= N中要注意格式

24、：它們是同底的；(2)指數(shù)中含有對(duì)數(shù)形式；(3)其值為真數(shù).變式遷移3 計(jì)算：310g 34+(q3)log 3、. 5,1111解 原式=m+3210g 35= <5+ (3log 35)21 . 一般地，如果 a(a>0, aw1)的b次哥等于N,就是ab= N,那么b叫做以a為底N 的對(duì)數(shù)，記作log aN= b,其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2 .利用ab=N? b=log aN (其中a>0, aw 1, N>0)可以進(jìn)行指數(shù)與對(duì)數(shù)式的互化.3 .對(duì)數(shù)恒等式：alog aN= 4 2>0且24).一、選擇題1 .下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化不正確的一組是（

25、）A. 10°=1 與 lg1 =0B. 271= 1與 log 271=13 333C1 一 1C. log 3£ = 9 與 9萬(wàn)=3D. log 55= 1 與 51=5答案 C2 .指數(shù)式b6=a （ b>°, bw1）所對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)式是（）A. log 6a= a B . log 6b= aC. log ab= 6 D . log ba= 6答案 D3 .若 logx（、/5 2） = 1,則 x 的值為（）-2 +2-2或4+2 D . 2-木答案 B4.如果 f（1°x）=x,則 f （3）等于（）A. log 31° B ,

26、 lg3 C . 103 D . 31°答案 B解析方法一令10x=t,則x= lg t ,.f(t) = lgt, f(3) =lg3.方法二 令 10x=3,則 x = lg3 , f(3) =lg3.15. 21 + 2 log 25 的值等于()A. 2+m B . 2 mC. 2+坐 D . 1+ 坐答案 B1 _ _11斛析 21 +/log 25= 2X 2 2log 25= 2X 2log 2”= 2X5 2=2 5.二、填空題6 .若5lgx=25,則x的值為.答案 100解析 5 * = 5, lg x = 2, x= 1。2= 100.2nH n ,7 .設(shè) l

27、og a2= m log a3 = n,則 a 的值為答案 12解析 log a2= rn log a3= n,. am= 2, an=3, .a2心n=a2m an=(am)2 - an=22x3= 12.8 .已知 lg6 = 2 ,則 2y.答案 600解析 2102X106= 600.三、解答題9 .求下列各式中x的值心 1 2x (1)右 log 3 -9 = 1，則求 x 值； 9(2)若 log 2003(x2 1) =0,則求 x 值.“1 2x1-2x解 (1) . log 3 -9 =1,= 39-1-2x=27,即 x=- 13(2) log 2 003 (x2 1 )

28、= 0x2 1 = 1,即 x2 = 2x= ± 22,10.求 x 的值： x= log 乎4; (2) x=log 9p； (3) x= 71log 75；1.log x8=3; (5)log 2x = 4.解(1)由已知得：孚x = 4,1 .2 x .2 2x = 2 , 2= 2, x = 4.(2)由已知得：9、=小,即32x=32. - 2x = x= .2'473 3) x = 7+7log 75 = 7+5=-.5(4)由已知得：x 3=8,即-3= 23, -= 2, x = g x x2.一1 41(5)由已知得：x= 2 =對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(二)學(xué)習(xí)目標(biāo)

29、1 .掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及其推導(dǎo).2 .能運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值和證明.自學(xué)導(dǎo)引1 .對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果 a>0, aw 1, M>0, N>0,那么，(1)log a(MN= log a log aN； M .(2)log aN= log aM- log aN；log aM= nlog aM(ne R) . log cb2 .對(duì)數(shù)換底公式：log ab = -.log ca、正確理解對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)若a>0, awl, x>0, y>0, x>y,下列式子中正確的個(gè)數(shù)有（logax - log ay = log a ( X + y)；logax

30、log ay= log a( x y);logax = log ax+log ay；log a(xy) = log ax log ay.A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)答案 A減、乘的運(yùn)算.在log axwlog a x, log ax 是解析對(duì)數(shù)的運(yùn)算實(shí)質(zhì)是把積、商、哥的對(duì)數(shù)運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的加、 運(yùn)算中要注意不能把對(duì)數(shù)的符號(hào)當(dāng)作表示數(shù)的字母參與運(yùn)算，如 不可分開(kāi)的一個(gè)整體.四個(gè)選項(xiàng)都把對(duì)數(shù)符號(hào)當(dāng)作字母參與運(yùn)算，因而都是錯(cuò)誤的.點(diǎn)評(píng) 正確理解對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式，是利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式解題的前提條件.變式遷移1 若a>0且awi, x>0, nCN*,則下列各式正確的是 （

31、）A. log ax= log a- B . (log ax)n= "Og ax xC. (log ax) n= log axn D . 10g ax = log a 1 x答案 A、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用例2計(jì)算：7 ._log 535 210g 5-+ log 57 ;3(2)2(1g 2+ 1g2 1g5 + /(1g /2)2-1g2 +1;錯(cuò)誤?。?1g5)2+ 1g2 - 1g50.分析利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算.9解 (1)原式=log 5(5 X 7) 2(1og 57 log 53) + log 57 log 55=log 55+ log 57 2log 57+ 2log 5

32、3+ log r 2log 53 + log 55=2log 56= 2.(2)原式=lg U2(2lg 72+ lg5) + >(lg 421)2= lgW(lg2 +lg5) +1lg " = lg W+1 lg /=1.31g3 +3lg2 -3(3)原式=2乙 31g3+6lg"3 =3.lg3 + 2lg2 -12(lg3 +2lg2 -1) 2原式=(lg5) 2+lg2 - (lg2 + 2lg5)=(lg5) 2+2lg5 lg2 + (lg2) 2=(lg5 +lg2) 2=1.點(diǎn)評(píng)要靈活運(yùn)用有關(guān)公式.注意公式的正用、逆用及變形使用.變式遷移2求下列

33、各式的值：10g 535+ 2log 米log 55log 514;(2)(1 - log 63)2 + log 62 - log 618 + log 64.解(1)原式=log 5(5 X 7) 21og 222 + log 5(52 X 2) log 5(2 X 7)=1 + log 5 1 + 2+ log 52 log 52 log 57 = 2.22(2)原式=log 62 + log 62 log 6(3 X6) log 62=log 62(1og 62 + log 63+ 1) + (21og 62) = 1.三、換底公式的應(yīng)用例 3 (1)設(shè) 3x= 4y = 36,求 一 十

34、 - 的值;x y (2)已知 log 189= a, 18b=5,求 log 3645.解（1）由已知分別求出x和y.3x=36,4y= 36,x= log 336, y= log 436,log 36361log 36361由換底公式得:x = -= . y = = .log 36 3 log 363y log 364log 364一= log 363, 一= log 364,.2 , 1 一 ，.一十 = 2log 363 + log 364 x y=log 36(3 X 4) = log 3636= 1.(2) . log 189= a, 18b=5,log 185 = b.log 3

35、645 =log 1845log 18(9X5)log 1836 log 18( 18X2)10g 189 + log 185a+ b a+ b1 + log 1821 8 2-a1 + log 189利用對(duì)數(shù)的換點(diǎn)評(píng) 指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式后， 兩對(duì)數(shù)式的底不同， 但式子兩端取倒數(shù)后,8m= log 416,求 m底公式可將差異消除.變式遷移 3 (1)設(shè) 10g 34 10g 48 log(2)已知 log 1227= a,求 10g 616 的值.解利用換底公式，得黑卷1 lg m= 2lg3 ,于是 m= 9.一，一 3lg3由 log 1227= a，得21g771gl = a,lg3 =

36、2alg2. lg32a3a' lg2 3-a-4lg24 log 616= 7T：T-=-lg3 + lg2 2a-+1 3-a4(3 - a)3+ a -1 .對(duì)于同底的對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)常用方法是：（1） “收”，將同底的兩對(duì)數(shù)的和（差）化成積（商）的對(duì)數(shù)；（2） “拆”，將積（商）的對(duì)數(shù)拆成對(duì)數(shù)的和（差）.2 .對(duì)于常用對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)要充分利用“ lg5 + lg2 =1”來(lái)解題.3 .對(duì)于多重對(duì)數(shù)符號(hào)對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)，應(yīng)從內(nèi)向外逐層化簡(jiǎn)求值.一、選擇題1. lg8 + 31g5 的值為（）A. - 3 B. 1 C.1 D . 3答案 D解析 1g8 + 31g5 = 1g8 + 1g5 3=

37、 1g1 000 = 3.2 .已知 1g2 =a, 1g3 =b,則 log 36 等于（）答案 B解析10g36=粵=型蘆=a±b. 1g31g3 b3 .若1ga, Igb是方程2x2 4x+1=0的兩個(gè)根，則 回：2的值等于(A. 2 C . 4答案 A1解析 由根與系數(shù)的關(guān)系，得 1ga+1gb=2, 1gaTgb=2，a 221g b =(1g a-ig b)=（1g a+ 1g b）2 41g a - 1g b = 22 4X1=2.24.若=1 000, = 1 000 ,則 I 1 等于（）x yB. 3 C. -1 D . - 33答案 A解析由指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式

38、：x= 000 , y= 000 ,力 1 .貝卜一一=log 1 log 1 = log 1 001x y5.設(shè)函數(shù) f (x) = log ax ( a>0,且 aw1),若 f(x1x2X2 005)=8, f(X2 005 )的值等于()f (x1) + f ( X2) +A. 4 B . 8 C . 16 D . 2log a8答案 C解析 因?yàn)?f ( x) = log ax , f ( XiX2- X2 005) = 8,222所以 f(x1) +f (x2) + f (x2 005)=log ax1+ log 水2+ log ax2 005=2log a| x1| + 2

39、log a| x2| + 210g a| x2 005 |=2log a| XiXz x2 005 |= 2"XiX23X2 005) =2X8= 16.二、填空題lg2 = a, lg3 =b,那么 lg 錯(cuò)誤！ =.a+2b12lg錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤!lg錯(cuò)誤！=錯(cuò)誤！ lg錯(cuò)誤!1.6.%答案解析1= 2(lg2 +lg9 -1) = 2(a+2b-1).7.若 log ax= 2, log bX = 3, log cx= 6,則 log abcx 的值為答案解析log abcx= i_l_ _= ;"log xabc log xa+ log xb+ log xcl

40、ogax=2, log bx = 3, log cx= 6logxa=2, log xb=3,log abcX= -= = 1.1111 十 十 2 3 68 .已知 log 63= 1 , log 6X= 9 ,則 x =.答案 2解析 由 log 63+ log 6X= 1 + 9 = 1.得 log6(3x) = 1.故 3x=6, x= 2.三、解答題9 .求下列各式的值：1= 21g10 =2.方法二 原式=lg -7 1g4 + lg7 y5(1) /小乂7乖 =1g 7X41g 3f =1g(啦.乖)=lg 10 = 2.(2)方法一原式=(1g5 +1g2)(1g5 -1g2)

41、 +21g2 51gm+lg 245； 2 49 3(2)(lg5)2+2lg2(lg2) 2.解 (1)方法一 原式=1(5lg2 2lg7) -4 . 31g2 23 21,，、+ 2(2lg7 +lg5)51 _=21g2 lg7 2lg2 + lg7 + 21g511 _1,= 21g2 +21g5 =2(1g2 +1g5)證明 設(shè) 26a = 33b = 62c= k ( k>0),那么16 一k2,一 alog 2Q 6l0g6a= log2k,133b= log3k,="b.一 3log log 3kk3,2c= log6k,L2c.2log log 6kk6.,

42、12 F J= 6 Tog k2+ 2 X 310g k3 a b663=log k(2 X3)=61ogk6= 3X21og k6=,1 2SPa+b =2.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1 .對(duì)數(shù)函數(shù)的概念形如y= log ax ( a>0且aw 1)的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù).對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)定義的理解，要注意：(1)對(duì)數(shù)函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)變化而來(lái)的，由指數(shù)式與對(duì)數(shù)式關(guān)系知，對(duì)數(shù)函數(shù)的自變量 x恰好是指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值v,所以對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是 (0, +00)；底數(shù)(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式 y=1ogax中，log ax前面的系數(shù)為1,自變量在真數(shù)的位置, a必須滿足a>0,且aw1;(3)以10為底的對(duì)

43、數(shù)函數(shù)為y= 1g x,以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為y= 1n x.2.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì):a>10<a<1圖象性質(zhì)函數(shù)的定義域?yàn)椋?, +°0）,值域?yàn)椋∣O, +OO）函數(shù)圖象恒過(guò)定點(diǎn)（1, 0）,即恒啟log al = 0當(dāng)x>1時(shí)，恒后y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，恒后y<0當(dāng)x>1時(shí)，恒后y<0；當(dāng)0vx<1時(shí)，恒啟y>0函數(shù)在定義域（0, 十°°）上為增函數(shù)函數(shù)在定義域（0, 十°°）上為減函數(shù)3.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系比較名稱(chēng)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)解析式y(tǒng)= ax ( a&g

44、t;0,且 aw 1)y=log ax(a>0,且 aw 1)定義域(一00, + °0)(0, +00)值域(0, +°°)（一 00）+ 8）a>1 時(shí)，a>1 時(shí)，log ax1 x 00 x 1ax 1x1;0 x 1;函數(shù)值變1 x 00 0x1化情況0<a<1 時(shí)，0<a<1 時(shí)，log ax1 x 00 x 1x ax 1 x 10 x 11 x 00 0x1圖象必過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)(0,1)點(diǎn)(1,0)單調(diào)性a>1時(shí)，y = ax是增函數(shù)；0<a<1時(shí)，y= ax是減函數(shù)a>1時(shí)，y= log

45、 ax是增函數(shù)；0<a<1時(shí)，y= log ax是減函數(shù)圖象y- a的圖象與ylog ax的圖象大h直線 y-x對(duì)稱(chēng)實(shí)際上，觀察對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)數(shù)函數(shù)中的值y= 10g mn有以下規(guī)律：當(dāng)(m- 1)( n- 1)>0 ,即m n范圍相同(相對(duì)于“1”而言)，則1ogmn>0； (2)當(dāng)(m- 1)( n-1)<0,即m n范圍相反(相對(duì)于“1”而言)，則log mn<0.有了這個(gè)規(guī)律，我們?cè)倥袛?對(duì)數(shù)值的正負(fù)就很簡(jiǎn)單了，如log 2-<0, 10g 52>0等，一眼就看出來(lái)了！3題型一求函數(shù)定義域求下列函數(shù)的定義域: y = log，

46、2x+33x-；x- 1-1，八，、(2) y= .( a>0, awl).，1 loga(x+a)分析 定義域即使函數(shù)解析式有意義的x的范圍.3x 1wi同時(shí)成解(1)要使函數(shù)有意義， 必須2x+3>0,x-1>0,3x-1>0,立，一 312.解得 x>-2,x>1,x>3,xw§. x>1.定義域?yàn)?1 , +8).(2)要使原函數(shù)有意義，需 1 log a(x+ a)>0 ,即 log a(x+ a)<1 =log aa.當(dāng) a>1 時(shí)，0<x+ a<a, - - a<x<0.當(dāng) 0&l

47、t;a<1 時(shí)，x+ a>a, - x>0.當(dāng)a>1時(shí)，原函數(shù)定義域?yàn)閤 a<x<0；當(dāng)0<a<1時(shí)，原函數(shù)定義域?yàn)閤|x>0.底數(shù)大于零且不等點(diǎn)評(píng) 求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問(wèn)題，首先要考慮：真數(shù)大于零,于1,若分母中含有x,還要考慮不能使分母為零.題型二對(duì)數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用. 一 一 一 43,10g 43, log34, l0g氯的大小順序?yàn)锳.43 log 34<log 43<log J 3=34B.43 log 34>log 43>log -34C.log 34>log 43>log 4334D.43

48、log 34>log 34>log 43(2)若 a2>b>a>1,試比較 log aa, log b log ba, log ab 的大小. b a(1)解析 log 34>1,0<log 43<1,43log 3r log 3 3一 1=-1,log 34>log 43>log 號(hào).34答案 Ba(2)解b>a>1, - 0<b<1. .log ab<0, log bgC (0,1) , log baC (0,1). bb .又 a>a>1,且 b>1, . log bg<lo

49、g ba,故有 log aa<log b-<log ba<log ab. b a點(diǎn)評(píng) 比較對(duì)數(shù)的大小，一般遵循以下幾條原則：如果兩對(duì)數(shù)的底數(shù)相同，則由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性（底數(shù)a>1為增；0<a<1為減）比較.如果兩對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不相同，通常引入中間變量進(jìn)行比較.如果兩對(duì)數(shù)的底數(shù)不同而真數(shù)相同，如y=log aix與y= log數(shù) 的比較（ai>0, ami,%>0, azwi）.當(dāng)ai>a2>1時(shí)，曲線yi比y2的圖象（在第一象限內(nèi)）上升得慢.即當(dāng) x>1時(shí)，yi<y2；當(dāng) 0<x<1時(shí)，yi>y2.而

50、在第一象限內(nèi)，圖象越靠近x軸對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大.當(dāng)0<a2<ai<i時(shí)，曲線yi比y2的圖象（在第四象限內(nèi)）下降得快.即當(dāng)x>i時(shí)，yi<y2；當(dāng) 0<x<i時(shí)，yi>y2即在第四象限內(nèi)，圖象越靠近x軸的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越小.一， i已知log a2<i,那么a的取值氾圍是分析 利用函數(shù)單調(diào)性或利用數(shù)形結(jié)合求解.一一， i斛析 由log a2<i= log aa,得當(dāng)a>i時(shí)，顯然付合上述不等式，a>i;當(dāng)0<a<i時(shí)，a<k0<a<".22i故 a>i 或 0<a<

51、2.i i i答案 a>i或0<a<2點(diǎn)評(píng) 解含有對(duì)數(shù)符號(hào)的不等式時(shí)，必須注意對(duì)數(shù)的底數(shù)是大于i還是小于i,然后再利用相應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解答.理解會(huì)用以下幾個(gè)結(jié)論很有必要:(1)當(dāng) a>1 時(shí)，log ax>0? x>1, log ax<0? 0<x<1；(2)當(dāng) 0<a<1 時(shí)，log ax>0? 0<x<1, log ax<0? x>1.題型三函數(shù)圖象的應(yīng)用v1若不等式2x-log ax<0,當(dāng)xC 0, 2時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解即函數(shù) y=logax1 ，一的圖象在0,

52、內(nèi)恒在21要使不等式2x<logax在xC 0,- 時(shí)恒成立, 21 1-函數(shù)y=2x圖象的上萬(wàn)，而 y=2x圖象過(guò)點(diǎn) 一72 .由圖可知，loga - >72 ,2 2顯然這里0<a<1,.函數(shù)y=logax遞減.21 22 112又 loga > J2 =log a , 1- a , IP a> .2 2221 »所求的a的取值范圍為-<a<1.1 點(diǎn)評(píng) 原問(wèn)題等價(jià)于當(dāng) xC 0,一 時(shí)，y1=2x的圖象在y2=logax的圖象的下萬(wàn)，由于a2的大小不確定，當(dāng)a>1時(shí)，顯然y2<y1 ,因此a必為小于1的正數(shù)，當(dāng)y2的圖

53、象通過(guò)點(diǎn) -4222, 1 "2"一口，L 一，一時(shí)，y2滿足條件，此時(shí)a0= 1.那么a是大于a0還是小于a0才滿足呢可以回圖象觀察, 請(qǐng)?jiān)囍?huà)一畫(huà).這樣可以對(duì)數(shù)形結(jié)合的方法有更好地掌握.設(shè)函數(shù) f(x) = lg( ax2+2x+1),若 f(x)的值域是R,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.錯(cuò)解 :“*)的值域是R,ax2+2x+ 1>0 對(duì) xC R恒成立,即a>0 A<0 ? a>0 4 4a<0 ? a>i.錯(cuò)因分析 出錯(cuò)的原因是分不清定義域?yàn)镽與值域?yàn)镽的區(qū)別.正解 函數(shù)f(x)=lg( ax2+2x+1)的值域是 R?真數(shù)t = ax2

54、 + 2x+ 1能取到所有的正數(shù).,1當(dāng)a = 0時(shí)，只要x>-2,即可使真數(shù)t取到所有的正數(shù)，符合要求；當(dāng) awo 時(shí)，必須有a>0 A>0 ? a>0 4-4a>0 ? 0<a<i.，f(x)的值域?yàn)镽時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為0,1.本節(jié)內(nèi)容在高考中考查的形式、地位與指數(shù)函數(shù)相似，著重考查對(duì)數(shù)的概念與對(duì)數(shù)函數(shù) 的單調(diào)性，考查指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用.、，一一 11 .(廣東局考)已知函數(shù)f (x) =-；的7£義域?yàn)?M g(x)=ln(1 +x)的te義域?yàn)镹,則 1 xMT N等于()A. x|x>1B, x| x<1C. x| - 1<x<1 D . ?解析由題意知 M= x| x<1 , N= x| x>- 1.故 MA N= x| 1<x<1.答案 C2.(湖南高考)下列不等式成立的是()A. log 32