相似三角形的性質(zhì)（3）課件

1、相似三角形的性質(zhì)（3）相似三角形的證相似三角形的證明明相似三角形的性質(zhì)（3）一、相似三角形的性質(zhì)一、相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等, ,對(duì)應(yīng)邊成比例對(duì)應(yīng)邊成比例. .相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比相似三角形對(duì)應(yīng)中線的比, ,對(duì)應(yīng)角平分線的對(duì)應(yīng)角平分線的 比，對(duì)應(yīng)高的比比，對(duì)應(yīng)高的比, ,對(duì)應(yīng)周長的比都等于相似比對(duì)應(yīng)周長的比都等于相似比. .相似三角形面積的比等于相似比的平方相似三角形面積的比等于相似比的平方. .二二.相似三角形的判定方法相似三角形的判定方法定理定理1 1 兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似. .推論推論1 1 平行于三角形一邊直線截

2、其它兩邊平行于三角形一邊直線截其它兩邊( (或其延長線或其延長線),),所截得的三角形與原三角形相似所截得的三角形與原三角形相似; ;定理定理2 2 三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似. .定理定理3 3 兩邊對(duì)應(yīng)成比例兩邊對(duì)應(yīng)成比例, ,且夾角相等的兩個(gè)三角形相似且夾角相等的兩個(gè)三角形相似; ;定理定理4 4 斜邊直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似斜邊直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似. .相似三角形的性質(zhì)（3）1. ABC中， BAC是直角，過斜邊中點(diǎn)M而垂直于 斜邊BC的直線交CA的延長線于E， 交AB于D，連AM. 求證： MAD MEAABCDEM分析：

3、分析：已知中與線段有關(guān)的條件僅有已知中與線段有關(guān)的條件僅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考慮用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等去判定兩個(gè)三角形相似。所以首先考慮用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等去判定兩個(gè)三角形相似。證明：BAC=90 M為斜邊BC中點(diǎn) AM=BM=BC/2 B= MAD又 B+ BDM=90 E+ ADE= 90 BDM= ADEB=EMAD= E又 DMA= AMEMAD MEA相似三角形的性質(zhì)（3）1. ABC中， BAC是直角，過斜邊中點(diǎn)M而垂直于 斜邊BC的直線交CA的延長線于E， 交AB于D，連AM. 求證： AM2=MD MEABCDEM分析：分析：AM是是 MAD 與與 MEA 的公共邊，故

4、是對(duì)應(yīng)邊的公共邊，故是對(duì)應(yīng)邊MD、ME的比例中項(xiàng)。的比例中項(xiàng)。 MAD MEA 即AM2=MDMEAMMD =MEAM 思考：證明等積式的一般方法是什么思考：證明等積式的一般方法是什么?相似三角形的性質(zhì)（3）2.如圖，ABCD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E， 求證：ED2=EO EC.ABCDEFO分析：欲證 ED2=EOEC，即證：只需證DE、EO、EC所在的三角形相似。EDEO =ECED 證明： ABCD C=A AO=OB，DF=FB A= B， B= FDB C= FDB 又 DEO= DEC EDCEOD ，即 ED2=EO ECEDEO =ECED 相似三角形的性質(zhì)（3

5、）3.過ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)A作一直線分別交對(duì)角線BD、邊BC、邊DC的延長線于E、F、G . 求證：EA2 = EF EG .ABCDEFG 分析：要證明 EA2 = EF EG ，即 證明 成立，而EA、EG、EF三條線段在同一直線上，無法構(gòu)成兩個(gè)三角形，此時(shí)應(yīng)采用換線段、換比例的方法?？勺C明：AEDFEB， AEB GED.證明： ADBF ABBC AED FEB AEB GEDEAEG =ABDG EFEA =BEED= ABDG EAEG =EFEA EAEG =EFEA 相似三角形的性質(zhì)（3）4.已知在ABC中，BAC=90，ADBC，E是AC的 中點(diǎn)，ED交AB的延長線于F. 求

6、證: AB:AC=DF:AF.ADEFBC分析：因ABCABD，所以要證 即證 ，需證BDFDAF.AFDFACABADBDACABAFDFADBD證明： BAC=90 ADBC ABC+C= 90 ABC+BAD= 90 BAD= C ADC= 90 E是AC的中點(diǎn)，ED=EC EDC= C EDC = BDFAFDFADBD BDF= C= BAD又 F =F BDFDAF. BAC=90， ADBC ABCABD ADBDACABAFDFACAB相似三角形的性質(zhì)（3）5.D為為ABC的底邊的底邊BC的延長線上一點(diǎn)，直線的延長線上一點(diǎn)，直線DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE .求證：

7、求證：BDCE=CDBFFEDCBA由由BDCE=CDBF，得，得分析：分析：但但DBF與與 DCE不相似不相似因此，需作輔助線構(gòu)造相似三角形因此，需作輔助線構(gòu)造相似三角形BDBFCECD=相似三角形的性質(zhì)（3）5.D為為ABC的底邊的底邊BC的延長線上一點(diǎn)，的延長線上一點(diǎn)，直線直線DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE .求求證證:BDCE=CDBFFEDCBAG方法一：方法一： 過點(diǎn)過點(diǎn)C作作CGAB,交交DF于于G 則則DCG DBF 故故再證再證CG=CE 即可即可CDCGBFBD=相似三角形的性質(zhì)（3）FEDCBAG方法二：方法二： 過點(diǎn)過點(diǎn)C作作CGDF,交交AB于于G 故故再證

8、再證FG=CE 即可即可5.D為為ABC的底邊的底邊BC的延長線上一點(diǎn)，直線的延長線上一點(diǎn)，直線DF 交交AC于于E,且且FEA=AFE .求證求證BDCE=CDBFBDBFFGCD=相似三角形的性質(zhì)（3）FEDCBAG5.D為為ABC的底邊的底邊BC的延長線上一點(diǎn)，直線的延長線上一點(diǎn)，直線DF 交交AC于于E,且且FEA=AF.求證：求證：BDCE=CDBF方法三：方法三： 過點(diǎn)過點(diǎn)B作作BGDF,交交DF的延長線于的延長線于G 故故再證再證BG=BF 即可即可則則DCE DBG DCCEBGDB=相似三角形的性質(zhì)（3）6.如圖：如圖： 已知已知ABC 中，中，AD平分平分BAC ，EF是是

9、AD的中垂線，的中垂線，EF 交交BC的延長線于的延長線于F .求求證：證：FD2=FCFBFEDCBA分析：分析：由由FD2=FCFB，得，得FDFBFDFC=但但FD、FC、FB都都在同一直線上，無在同一直線上，無法利用相似三角形法利用相似三角形.由于由于FD=FA，替換后，替換后可形成相似三角形可形成相似三角形.FDFBFDFC=FAFBFAFC=只要證只要證FABFCA即可即可. 相似三角形的性質(zhì)（3）7.7.已知已知,ABCD,ABCDEF，（1）圖中有幾對(duì)相似的三角形？）圖中有幾對(duì)相似的三角形？（2）線段）線段AB、CD與與EF有怎樣的等量關(guān)系？有怎樣的等量關(guān)系？FABCDEEDCEBAADCAFEBDAEDFCDEFABAEACAECEEFCDABCDAEACEFCDAECEABCD1111相似三角形的性質(zhì)（3）證比例式（或乘積式）的常用方法證明乘積式時(shí)，可先將乘積式改為比例式證明乘積式時(shí)，可先將乘積式改為比例式(1)找相似三角形（或平行線）找相似三角形（或平行