2020-2021中考數(shù)學(xué)壓軸題專題相似的經(jīng)典綜合題含答案解析

1、2020-2021 中考數(shù)學(xué)壓軸題專題相似的經(jīng)典綜合題含答案解析一、相似1設(shè) C 為線段 AB 的中點，四邊形 BCDE 是以 BC 為一邊的正方形以 B 為圓心，BD 長為半徑的B 與 AB 相交于 F 點，延長 EB 交B 于 G 點，連接 DG 交于 AB 于 Q 點，連接AD求證：（1）AD 是B&#

2、160;的切線；（2）AD=AQ；（3）BC2=CFEG【答案】（1）證明：連接 BD， 四邊形 BCDE 是正方形，  DBA=45°， DCB=90°，即 DCAB， C 為 AB 的中點， CD 是線段 AB 的垂直平分線， AD=BD，  DAB= DBA=45°，  ADB=90°，即 BDAD， BD

3、60;為半徑， AD 是B 的切線（2）證明： BD=BG，  BDG= G， CD BE，  CDG= G，  G= CDG= BDG= BCD=22.5°，  ADQ=90° BDG=67.5°， AQB= BQG=90° G=67.5°，  ADQ= AQD， AD=AQ（

4、3）證明：連接 DF，BDF 中，BD=BF，  BFD= BDF，又  DBF=45°，  BFD= BDF=67.5°，  GDB=22.5°，在 DEF 與 GCD 中，  GDE= GDB+ BDE=67.5°= DFE， DCF= E=90°， DCF GED，,又 CD=DE=

5、BC， BC2=CFEG【解析】【分析】（1）連接 BD，要證 AD 是圓 B 的切線，根據(jù)切線的判定可知，只須證明  ADB= DBC= CDB=即 可 。 由 正 方 形 的 性 質(zhì) 易 得 BC=CD ，  DCB= DCA=，根據(jù)點 C 為 AB 的中點可得 BC=CD=AC，所以

6、可得  ADC=，則  ADB=，問題得證；（ 2 ） 要 證 AQ=AD ， 需 證  AQD= ADQ 。 由 題 意 易 得  AQD=- G ，  ADQ=   - BDG ，根據(jù)等邊對等角可得  G= BDG ，由等角的余角相等可

7、得  AQD= ADQ，所以AQ=AD；（3）要證乘積式成立，需證這些線段所在的兩個三角形相似，而由正方形的性質(zhì)可得CD=DE=BC，所以可知 BC、CF、EG 分別在三角形 DCF 和三角形 GED 中，連接 DF，用有兩對角對應(yīng)相等的兩個三角形相似即可得證。2如圖，AB 是半圓 O 的直徑，AB2，射線 AM、BN 為半圓 O 的切線.在 AM 上取一點D，連接 BD 交半圓于點&#

8、160;C，連接 AC.過 O 點作 BC 的垂線 OE，垂足為點 E，與 BN 相交于點F.過 D 點作半圓 O 的切線 DP，切點為 P，與 BN 相交于點 Q.（1ABD  BFO，求 BQ 的長；（2）求證：FQ=BQ【答案】（1）解：       ，連接,，均為半圓切線，.則 四邊形

9、60;DQ，為菱形，均為半圓切線， 四邊形為平行四邊形 ，（2）證明：易得=，      ，.是半圓的切線，.過點作于點  ，則.在解得：中，               ，【解析】【分析】（1）連接 OP,由 ABD BFO 可得 AD=OB，由切線長定理可得 AD=DP，于是易得

10、60;OP=OA=DA=DP，根據(jù)菱形的判定可得四邊形 DAOP 為菱形，則可得 DQ AB，易得四邊形 DABQ 為平行四邊形 ，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求解；（2）過 Q 點作 QKAM 于點 K，由已知易證得 ABD BFO，可得比例式，可得BF 與 AD 的關(guān)系，由切線長定理可得 AD=DP,QB=QP ，解直角三角形 DQK 可求得 BQ 與 AD的

11、關(guān)系，則根據(jù) FQ=BFBQ 可得 FQ 與 AD 的關(guān)系，從而結(jié)論得證。3（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖 1，四邊形 ABCD 為矩形，AB=a，BC=b，點 P 在矩形 ABCD 的對角線 AC 上，PEF的兩條直角邊 PE，PF 分別交 BC，DC 于點 M，N，當 PMBC，PNCD 時，=_（用含 a，b 的代數(shù)式表示）（2）拓展探究在（1）中，固定點

12、0;PPEF 繞點 P 旋轉(zhuǎn)，如圖 2，的大小有無變化？請僅就圖 2 的情形給出證明（3）問題解決如圖 3，四邊形 ABCD 為正方形，AB=BC=a，點 P 在對角線 AC 上，M，N 分別在 BC，CD上，PMPN，當 AP=nPC 時，（n 是正實數(shù)），直接寫出四邊形 PMCN 的面積是_（用含 n，a 的代數(shù)式表示）【答案】（1）（2）解：如圖 3，過

13、0;P 作 PGBC 于 G，作 PHCD 于 H，則 PGM= PHN=90°， GPH=90° PEF 中， FPE=90°  GPM= HPN  PGM  PHN由 PG AB，PH AD 可得， AB=a，BC=b,，即，,故答案為（3）【解析】【解答解：（1） 四邊形 ABCD 

14、是矩形， ABBC， PMBC，  PMC  ABC 四邊形 ABCD 是矩形，  BCD=90°， PMBC，PNCD，  PMC= PNC=90°= BCD， 四邊形 CNPM 是矩形， CM=PN，故答案為；（ 3 ） PMBC，ABBC  PMC  ABC當 AP=nPC 時（n&

15、#160;是正實數(shù)）， PM=a 四邊形 PMCN 的面積=，故答案為：【分析】（1）由題意易得  PMC  ABC，可得比例式，由矩形的性質(zhì)可得CM=PN，則結(jié)論可得證；（2）過 P 作 PGBC 于 G，作 PHCD 于 H，由輔助線和已知條件易得 PGM  PHN，則得比例式，由（1）可得比例式，即比值不變；（3）由（2）的方法可得，則四邊形 PMCN 的面積=.4如圖，在平面直角

16、坐標系中，O 為原點，四邊形 ABCD 是矩形，點 A、C 的坐標分別是A（0,2）和 C（2,0），點 D 是對角線 AC 上一動點（不與 A、C 重合），連結(jié) BD，作，交 x 軸于點 E，以線段 DE、DB 為鄰邊作矩形 BDEF.（1）填空：點 B 的坐標為_；（2）是否存在這樣的點 D，使得 DEC 是等腰三角形？若存在，請求出 AD&#

17、160;的長度；若不存在，請說明理由；（3）求證：；設(shè) AD=x，矩形 BDEF 的面積為 y，求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式（可利用的結(jié)論），并求出 y 的最小值【答案】（1）（2）解：存在，理由如下： OA=2,OC=2， tan ACO=,  ACO=30°, ACB=60°如圖（ 1）中，當 E 在線段 CO 上時，  DEC 是

18、等腰三角形，觀察圖象可知，只有ED=EC，  DCE= EDC=30°,  DBC= BCD=60°,  DBC 是等邊三角形， DC=BC=2，在 AOC 中，  ACO=30°，OA=2， AC=2AO=4， AD=AC-CD=4-2=2， 當 AD=2 DEC 是等腰三角形， 如圖（ 2 ）中，當 E 在

19、0;OC 的延長線上時，  DCE 是等腰三角形，只有CD=CE ， DBC= DEC= CDE=15°,  ABD= ADB=75°, AB=AD=2，綜上所述，滿足條件的 AD 的值為 2 或 2.（3）如圖，過點 D 作 MNAB 于點 M，交 OC 于點 N。 A(0.2)和 C(23 ,0

20、)， 直線 AC 的解析式為 y=-33x+2，設(shè) D（a，-33a+2）， DN=-33a+2,BM=23-a  BDE=90°,  BDM+ NDE=90°, BDM+ DBM=90°,  DBM= EDN,  BMD= DNE=90°,  BMD DNE, DEBD=DNBM=-33a+223-a=33.如圖（2）中，作&

21、#160;DHAB 于 H。在 ADH 中， AD=x， DAH= ACO=30°, DH=12AD=12x，AH=AD2-DH2=32x， BH=23-32x，在 BDH 中，BD=BH2+DH2=12x2+23-32x2, DE=33BD=33·12x2+23-32x2, 矩形 BDEF 的面積為 y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12,即 y=33x2-23x+43, y=

22、33x-32+3 33>0, x=3 時，y 有最小值 3.【解析】【解答】（1） 四邊形 AOCB 是矩形， BC=OA=2，OC=AB=，  BCO= BAO=90°, B（， 2）【分析】（1）根據(jù)點 A、C 的坐標，分別求出 BC、AB 的長，即可求解。（2）根據(jù)點 A、C 的坐標，求出 ACO， ACB 的度數(shù)，分兩種情況討論：如圖（1）中，

23、當 E 在線段 CO 上時， DEC 是等腰三角形，觀察圖象可知，只有 ED=EC；如圖（ 2 ） 中 ， 當 E 在 OC 的 延 長 線 上 時 ，  DCE 是 等 腰 三 角 形 ， 只 有 CD=CE ， DBC= DE

24、C= CDE=15°,分別求出 AD 的長，即可求解。（3）如圖，過點 D 作 MNAB 于點 M，交 OC 于點 N。利用待定系數(shù)法求出直線 AC 的解析式，設(shè) D （ a ， -a+2 ），分別用含a 的代數(shù)式表示出DN 、 BM 的長，再證明 BMD DNE，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出對應(yīng)邊成比例，即可求解；如圖（2）中，作&#

25、160;DHAB 于 H。設(shè) AD=x，用含 x 的代數(shù)式分別表示出 DH、BH 的長，利用勾股定理求出 BD、DE 的長再根據(jù)矩形的面積公式，列出 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，求出頂點坐標，即可求解。5已知如圖 1，拋物線 y=x2x+3 與 x 軸交于 A 和 B 兩點（點 A 在點 B 的左側(cè)），與 y 軸相交于點

26、 C，點 D 的坐標是（0，1），連接 BC、AC（1）求出直線 AD 的解析式；（2）如圖 2，若在直線 AC 上方的拋物線上有一點 FADF 的面積最大時，有一線段MN=（點 M 在點 N 的左側(cè)）在直線 BD 上移動，首尾順次連接點 A、M、N、F 構(gòu)成四邊形 AMNF，請求出四邊形 AMNF 的周長最小時點 N 的橫坐標；（3）如圖 3，將

27、  DBC 繞點 D 逆時針旋轉(zhuǎn) °（0°180°），記旋轉(zhuǎn)中的  DBC 為 DBC，若直線 BC與直線 AC 交于點 P，直線 BC與直線 DC 交于點 QCPQ 是等腰三角形時，求 CP 的值【答案】（1）解： 拋物線 y=x2x+3 與 x 軸交于 A 和 B 

28、兩點， 0=x2x+3， x=2 或 x=4， A（4，0），B（2，0）， D（0，1）， 直線 AD 解析式為 y=x1（2）解：如圖 1，過點 F 作 FHx 軸，交 AD 于 H，設(shè) F（m，m2m+3），H（m，m1）， FH=m2m+3（m1）=m2m+4，ADF AFH DFH= FH×|xDxA|=2FH=2（ m2 m+

29、4）=  m2m+8= （m+）2+，當 m=時，ADF 最大， F（，）如圖 2，作點 A 關(guān)于直線 BD 的對稱點 A1， 把 A1 沿平行直線 BD 方向平移到 A2， 且A1A2=，連接 A2F，交直線 BD 于點 N，把點 N 沿直線 BD 向左平移的周長最小得點 M，此時四邊形 AMNF 

30、;AA =2AK= OB=2，OD=1， tan OBD=， AB=6， AK=，1，在 ABK 中，AH=，A1H=， OH=OAAH=，  A A P= ABK， A P=2，A P=1，   A A =，    A F 的解析式為 y=x， A （，），1過 A2 

31、;作 A2PA2H，1 21 221 A （，）2 F（，）2 B（2，0），D（0，1）， 直線 BD 解析式為 y=x1，聯(lián)立得，x=， N 點的橫坐標為：（3）解： C（0，3），B（2，0），D（0，1） CD=4，BC=，OB=2，BC 邊上的高為 DH，根據(jù)等面積法得， BC×DH=CD×OB， DH=， A（4，0），C（0，3）， OA=4，OC=3，

32、 tan ACD=，當 PC=PQ 時，簡圖如圖 1，過點 P 作 PGCD，過點 D 作 DHPQ， tan ACD= 設(shè) CG=3a，則 QG=3a，PG=4a，PQ=PC=5a， DQ=CDCQ=46a  PGQ  DHQ， a=， PC=5a=；當 PC=CQ 時，簡圖如圖 2，過點 P 作 PGCD

33、， tan ACD= 設(shè) CG=3a，則 PG=4a， CQ=PC=5a， QG=CQCG=2a， PQ=2a， DQ=CDCQ=45a  PGQ  DHQ，同的方法得出，PC=4，設(shè) CG=3a，則 PG=4a，從而得出 CQ,QG,PQ,DQ 的長，由PGQ  DHQ，同的方法得出，PC 的長；當 QC=PQ 時，簡圖如圖 1過點 Q 作

34、60;QGPC，過點 C 作 CNPQ，設(shè) CG=3a，則 QG=4a，PQ=CQ=5a， PG=3a， PC=6a DQ=CDCQ=45a，利用等面積法得，CN×PQ=PC×QG， CN=a，  CQN  DQH同的方法得出 PC=當 PC=CQ 時，簡圖如圖 4，過點 P 作 PGCD，過 H 作 HDPQ，設(shè) CG=3a，則

35、0;PG=4a，CQ=PC=5a， QD=4+5a，PQ=4  QPG  QDH，同方法得出CP=，綜上所述，PC 的值為：；4，=【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線與 x 軸交點的坐標特點，把 y=0 代入拋物線的解析式，得出一個關(guān)于 x 的一元二次方程，求解得出 x 的值，進而得出 A,B 兩點的坐標；然后由 A,D兩點的坐標利用待定系數(shù)法求出直線 AD 的解析式；（2）過點 F 作&

36、#160;FHx 軸，交 AD 于 H，根據(jù)函數(shù)圖像上點的坐標特點，及平行于 y 軸的直線上的點的坐標特點，設(shè)出 F,H 的坐標，從而得出 FH 的長度，ADFAFH+S DFH=FH×|xDxA|=2FH,列出關(guān)于 m 的函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，由頂點式得出當 m=時，ADF 最大，從而得出 F 點的坐標；如圖 2，作點 A 關(guān)于直線 BD 的對稱點

37、60;A1 ， 把 A1沿平行直線 BD 方向平移到 A2 ， 且 A1A2=， 連接 A2F，交直線 BD 于點 N，把點 N 沿直線 BD 向左平移得點 M，此時四邊形 AMNF 的周長最小，進而求出點 A1，A2 坐標，即可確定出 A2F 的解析式和直線 BD 解析式聯(lián)立方程組即可確定出 N 點的橫坐標

38、；（3）根據(jù) C,B,D 三點的坐標，得出 CD,BC,OB 的長，BC 邊上的高為 DH，根據(jù)等面積法 得BC×DH= CD×OB，從而得出 DH 的長，根據(jù) A,C 兩點的坐標，得出 OA,OC 的長，根據(jù)正切函數(shù)的定義得出 tan ACD= 4 3 ；然后分四種情況討論 ：當 PC=PQ 時，過點 P 作PGCD，過點 D

39、 作 DHPQ，由 tan ACD= 4 3 ，設(shè) CG=3a，則 QG=3a，PG=4a，PQ=PC=5a ， 從 而 由 DQ=CD  CQ 得 出 DQ 的 長 ， 根 據(jù)  PGQ  DHQ ， 得 出PG DH=PQ DQ,從而求出 a 的

40、值，進而求出 PC 的值；當 PC=CQ 時，簡圖如圖 2，過點 P 作 PGCD，tan ACD= 4 3，設(shè) CG=3a，則 PG=4a，從而得出 CQ,QG,PQ,DQ 的長，PGQ  DHQ，同的方法得出，PC 的長；當 QC=PQ 時，過點 Q 作 QGPC，過點 C 作 CNPQ，設(shè) CG=3a，則 QG=

41、4a，PQ=CQ=5a，從而得出 PG,PC,DQ 的長，利用等面積法得，CN×PQ=PC×QG，從而得出 CNCQN  DQH 同的方法得出 PC 的長；當PC=CQ 時，過點 P 作 PGCD，過 H 作 HDPQ，設(shè) CG=3a，則 PG=4a，CQ=PC=5a， 從而得出 QD,PQ的長，由 QPG  QDH，同方法得出CP 的長。6在平面

42、直角坐標系中，拋物線與軸的兩個交點分別為 A（-3，0）、B（1，0），與 y 軸交于點 D(0，3)，過頂點 C 作 CHx 軸于點 H.（1）求拋物線的解析式和頂點 C 的坐標；（2）連結(jié) AD、CD，若點 E 為拋物線上一動點（點 E 與頂點 C 不重合），當 ADE 與 ACD 面積相等時，求點 E 的坐標；（3）若點 P 為拋物

43、線上一動點（點 P 與頂點 C 不重合），過點 P 向 CD 所在的直線作垂線，垂足為點 Q，以 P、C、Q 為頂點的三角形與 ACH 相似時，求點 P 的坐標.【答案】 （1）解：設(shè)拋物線的解析式為 拋物線過點 A(-3，0),B(1，0)，D(0，3)， 拋物線解析式為，解得，a=-1，b=-2，c=3，頂點 C（-1,4）；（2）解：如圖 1， A(-3，0)，D(0，3

44、), 直線 AD 的解析式為 y=x+3，設(shè)直線 AD 與 CH 交點為 F，則點 F 的坐標為(-1，2) CF=FH，分別過點 C、H 作 AD 的平行線，與拋物線交于點 E，由平行間距離處處相等，平行線分線段成比例可知， ADE ACD 面積相等， 直線 EC 的解析式為 y=x+5，直線 EH 的解析式為 y=x+1，分

45、別與拋物線解析式聯(lián)立，得，解得點 E 坐標為(-2，3)，；（3）解：若點 P 在對稱軸左側(cè)（如圖 2），只能是 CPQ  ACH，得 PCQ= CAH，分別過點 C、P 作 x 軸的平行線，過點 Q 作 y 軸的平行線，交點為 M 和 N，CQM  QPN，得=2，  MCQ=45°，設(shè) CM=m，則 MQ=m，PN

46、=QN=2m，MN=3m， P 點坐標為(-m-1，4-3m)，將點 P 坐標代入拋物線解析式，得，解得 m=3，或 m=0(與點 C 重合，舍去) P 點坐標為(-4，-5)；若點 P 在對稱軸右側(cè)（如圖），只能是 PCQ  ACH，得 PCQ= ACH，延長 CD 交 x 軸于 M， M(3，0)過點 M 作 CM 垂線，交

47、 CP 延長線于點 F，作 FNx 軸于點 N，  MCH=45°，CH=MH=4 MN=FN=2， F 點坐標為(5，2)， 直線 CF 的解析式為 y=，聯(lián)立拋物線解析式，得，解得點 P 坐標為(，  )，綜上所得，符合條件的 P 點坐標為(-4，-5)，(，  ).【解析】 【分析】（ 1）將 A（-3，0）、B（1，0）

48、、 D(0，3)，代入 y=ax2+bx+3 求出即可；(2)求出直線 AD 的解析式，分別過點 C、H 作 AD 的平行線，與拋物線交于點 E，利用 ADE ACD 面積相等，得出直線 EC 和直線 EH 的解析式，聯(lián)立出方程組求解即可;(3)（3）分兩種情況討論：點 P 在對稱軸左側(cè)；點 P 在對稱軸右側(cè).7（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖，正方形 AEFG 的兩邊分別在正方

49、形 ABCD 的邊 AB 和 AD 上，連接 CF.寫出線段 CF 與 DG 的數(shù)量關(guān)系；寫出直線 CF 與 DG 所夾銳角的度數(shù).（2）拓展探究：如圖，將正方形 AEFG 繞點 A 逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請利用圖進行說明.（3）問題解決如圖， ABC ADE 都是等腰直角三角形， BAC= DAE=90°，AB=

50、AC=4，O 為 AC 的中點.若點D 在直線 BC 上運動，連接 OE，則在點 D 的運動過程中，線段 OE 的長的最小值.（直接寫出結(jié)果）【答案】 （1）CF=（2）解：如圖：DG，45連接 AC、AF,在正方形 ABCD 中，延長 CF 交 DG 與 H 點， CAD= BCD=45 ,設(shè) AD=CD=a，易得 AC=a=AD,同理

51、在正方形 AEFG 中， FAG=45 ,AF=AG, CAD= FAG, 1= 3 CAD- 2= FAG- 2,又 CAF DAG,=,CF=DG;CAF DAG， 4= 5， ACD= 4+ 6=45 , 5+ 6+ 7=135 ， 5+ 6=45 ，CHD 中， CHD=180 -

52、135 =45 ，（3）OE 的最小值為.（1）中的結(jié)論仍然成立【解析】【解答】（3）如圖：由 BAC= DAE=90 ,可得 BAD= CAE,又 AB=AC,AD=AE,BAD  CAE, ACE= ABC=45 ,又 ACB=45 , BCE=90 ,即 CEBC,根據(jù)點到直線的距離垂線段最短，OECE 時，OE 最短，此時 OE=CE, OEC 為等

53、腰直角三角形，OC=AC=2,由等腰直角三角形性質(zhì)易得，OE=OE 的最小值為.，【分析】（ 1 ） 易得 CF= CAF DAG，=,DG;45  ； (2) 連接 AC、 AF,在正方形 ABCD 中，可得CF=   DG，在  CHD 中，  CHD=180 -135 =45 ，（1）中的結(jié)論是否仍然成立；（3）OECE 

54、時，OE 最短，此時 OE=CE, OEC 為等腰直角三角形，OC=AC=2,可得 OE 的值.8如圖 1 ABCD的較短邊 CD 為一邊作菱形 CDEF,使點 F 落在邊 AD 上，連接 BE，交AF 于點 G.（1）猜想 BG 與 EG 的數(shù)量關(guān)系.并說明理由；（2）延長 DE,BA 交于點 H，其他條件不變，如圖 2，若 

55、ADC=60°，求的值；如圖 3，若 ADC=（0°<<90°）,直接寫出的值.（用含  的三角函數(shù)表示）【答案】（1）解：理由如下：， 四邊形， 四邊形，又是平行四邊形，.是菱形，.，.（2）解：方法 1：過點作，交于點，.，.由（1）結(jié)論知. 四邊形 四邊形.為菱形，.是平行四邊形，.，.即.是等邊三角形。.方法 2：延長，交于點， 四邊形為菱形，. 四邊形為平形四邊形，.,即.為等邊三角形.，,.，.由（1）結(jié)論知.,.如圖&#

56、160;3，連接 EC 交 DF 于 O， 四邊形 CFED 是菱形， ECAD，F(xiàn)D=2FO，設(shè) FG=a，AB=b，則 FG=a，EF=ED=CD=b，EFO 中，cos=， OF=bcos， DG=a+2bcos，過 H 作 HMAD 于 M，  ADC= HAD= ADH=， AH=HD， AM=AD=（2a+2bcos）=a+bcos，A

57、HM 中，cos=， AH=，=cos【解析】【分析】（1）利用菱形和平行四邊形的性質(zhì)可得出 AB CD EF，AB=CD=EF，再利用平行線的性質(zhì)可證得 ABG= FEG，然后利用 AAS 可證得 ABG  FEG，由全等三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論。（2）過點 G 作 GM  BH ，交 DH 于點 M ，易證 GME  BHE。得出對應(yīng)邊成比例，求

58、出 MG 與 BH 的比值，再利用菱形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)證明 DG=MG，即可解答；連接 EC 交 DF 于 O，利用菱形的性質(zhì)可得出 ECAD，F(xiàn)D=2FO，設(shè) FG=a，AB=b，可表示出 FG，EF=ED=CD=b，EFO 中，利用銳角三角函數(shù)的定義可得出OF、DG，過 H 作HMAD 于 M，易證 AH=HD，AM=a+bcos，再在 AHM 中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出

59、 AH 的長，繼而可得出 DG 與 BH 的比值，可解答。9在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小亮進行數(shù)學(xué)探究活動， ABC 是邊長為 2 的等邊三角形，E是 AC 上一點，小亮以 BE 為邊向 BE 的右側(cè)作等邊三角形 BEF，連接 CF（1）如圖 1，當點 E 在線段 AC 上時，EF、BC 相交于點 D，小亮發(fā)現(xiàn)有兩個三角形全等，請你找出來，并證明；（2

60、）當點 E 在線段 AC 上運動時，點 F 也隨著運動，若四邊形 ABFC 的面積為，求 AE的長；（3）如圖 2，當點 E 在 AC 的延長線上運動時，CF、BE 相交于點 D，請你探求 ECD 的面積 S1 DBF 的面積 S2 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（4）如圖 2ECD 的面積 S1時，求 AE 的長【答案

61、】（1）解：現(xiàn)點 E 沿邊 AC 從點 A 向點 C 運動過程中，始終有 ABE CBF.由圖 1 ABC EBF 都是等邊三角形， AB=CB，BE=BF， ABC= EBF=60°，  CBF= ABE=60°- CBE，  ABE CBF.（2）解：由（1）知點 E 在運動過程中始終有 ABE 

62、;CBF，因四邊形 BECF 的面積等于三角形 BCF 的面積與三角形 BCE 的面積之和， 四 邊 形 BECF 的 面 積 等 于  ABC 的 面 積 ， 因  ABC 的 邊 長 為 2 ， 則， 四邊形 BECF 的面積為，又四邊形 ABF

63、C 的面積是   ，在三角形 ABE 中，因 A=60°， 邊 AB 上的高為 AEsin60°,，則 AE= .（3）解：.由圖 2 ABC EBF 都是等邊三角形， AB=CB，BE=BF， ABC= EBF=60°，又 CBF= ABE=60°+ CBE，  ABE CBF，則（4）解：由（3

64、）知由得，則，即，  ABE CBF， AE=CF， BAE= BCF=60°，又 BAE= ABC=60°，得 ABC= BCF， CF ABBDF 的邊 CF 上的高與 ABC 的高相等，即為，則 DF=，設(shè) CE=x，則 2+x=CD+DF=CD+ ， CD=x- ，ABE 中，由 CD AB 得，即&

65、#160;            ，化簡得， x=1 或 x= （舍），即 CE=1， AE=3.【解析】【分析】（1）不難發(fā)現(xiàn) ABE CBF，由等邊三角形的性質(zhì)得到相應(yīng)的條件，根據(jù)“SAS”判定三角形全等；（ 2）由（ 1）可得  ABE CBF，則，則四邊形ABFC=，由四邊形 ABFC 的面積為和等邊三角形 A

66、BC 的邊長為 2，可求得 ABE 的面積，由底 AB×AEsin60°，構(gòu)造方 程 可 解 出 AE. （ 3 ） 當 E 在 AC 的 延 長 線 上 時 ，  ABE CBF 依 然 成 立 ， 則，即（ 4 ） 

67、由 （ 3 ） 可 求 出  FBD由等量關(guān)系即可得答案 .的 面 積 ， 由  ABE CBF ， 則 AE=CF ， BAE= BCF=60°= ABC，則 CF/AB,則對于 BDF 的邊 CF 上的高等于 ABC 的高，則可求出 DF 的長度；由 AE

68、=CF，可設(shè) CE=x，且 CD/AB 可得，代入相關(guān)值解出 x 即可.10  如 圖 ， AB 為的直徑， C 為      上 一 點 ， D 為 BA 延 長 線 上 一 點 ，（1）求證：DC 為的切線；（ 2 ）線段 DF

69、0;分別交 AC ， BC 于點 E ， F 且，求 CF 的長【答案】（1）解：如圖，連接 OC，      的半徑為 5 ，為的直徑，即，為的切線（2）解：，中，             ，設(shè)，中，舍或，設(shè)，【解析】【分析】（1）要證 DC 為 

70、 O 的切線，需添加輔助線：連半徑 OC，證垂直，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得出 BCO +  OCA = 90° ，再利用等腰三角形的性質(zhì)，可得出 B =  BCO ，結(jié)合已知，可推出 OCD=90°，然后利用切線的判定定理，可證得結(jié)論。（2）根據(jù)已知圓的半徑和 sinB 的值，可求出 AB、BC 的值，再證明 CAD   BCD，

71、得出對應(yīng)邊成比例，得出 AD 與 CD 的比值，利用勾股定理求出 AD、CD 的長，再利用 CEF=45°去證明 CE = CF ，然后證明 CED   BFD ，得出對應(yīng)邊成比例，求出 CF 的長。11如圖，在 ABC 中， C=90°，頂點 A、C 的坐標分別為（1，2），（3，2），點B 在 x 軸上，點

72、0;B 的坐標為（3，0），拋物線 y=x2+bx+c 經(jīng)過 A、C 兩點（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）點 P 是拋物線上的一點，當 PAB=ABC 時，求點 P 的坐標；（3）若點 N 由點 B 出發(fā)，以每秒 個單位的速度沿邊 BC、CA 向點 A 移動，秒后，點 M也由點 B 出發(fā)，以每秒 1 個單位的速度沿線段 BO 向點 O 移動，當其中一個點到達終點時另一個點也停止移動，點 N 的移動時間為 t 秒，當 MNAB 時，請直接寫出 t 的值，不必寫出解答過程【答案】（1）解：將點 A（1，2），C（3，2），代入拋物線 y=x2+bx+c 中，得，解得 拋物線 y=x2+2x+5.（2）解： 點 A（-1,2），B（3,0），C（3,2）， BCx 軸，AC=4，