套利定價(jià)理論(3)

1、 套利定價(jià)模型 Arbitrage Pricing Theory本章主要問題和學(xué)習(xí)重點(diǎn)n了解和掌握金融市場均衡的特殊機(jī)制無風(fēng)了解和掌握金融市場均衡的特殊機(jī)制無風(fēng)險(xiǎn)套利均衡機(jī)制險(xiǎn)套利均衡機(jī)制n掌握無套利均衡下的證券收益與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系掌握無套利均衡下的證券收益與風(fēng)險(xiǎn)的關(guān)系n第一節(jié)第一節(jié) 套利定價(jià)理論的假設(shè)和邏輯起點(diǎn)套利定價(jià)理論的假設(shè)和邏輯起點(diǎn)n第二節(jié)第二節(jié) 套利及套利的發(fā)生套利及套利的發(fā)生n第三節(jié)第三節(jié) 套利定價(jià)理論的模型套利定價(jià)理論的模型n第一節(jié)套利定價(jià)理論的假設(shè)和邏輯起點(diǎn)第一節(jié)套利定價(jià)理論的假設(shè)和邏輯起點(diǎn)一、套利定價(jià)理論的假設(shè)條件分析一、套利定價(jià)理論的假設(shè)條件分析二、套利定價(jià)理論的邏輯起點(diǎn)二、套

2、利定價(jià)理論的邏輯起點(diǎn)一套利定價(jià)理論的假設(shè)條件分析 我們把套利模型的假設(shè)條件和我們把套利模型的假設(shè)條件和CAPM模型模型的假設(shè)條件作個(gè)比較，可以得到的假設(shè)條件作個(gè)比較，可以得到APT模型模型和和CAPM模型共同擁有的以下假設(shè)：模型共同擁有的以下假設(shè)：n投資者有相同的投資理念存在著大量投資投資者有相同的投資理念存在著大量投資者，投資者是價(jià)格的接受者，單個(gè)投資者者，投資者是價(jià)格的接受者，單個(gè)投資者的交易行為對(duì)證券價(jià)格不發(fā)生影響。的交易行為對(duì)證券價(jià)格不發(fā)生影響。n投資者追求效用最大化投資者追求效用最大化n沒有交易成本。沒有交易成本。 而而APT模型不需要以下的假設(shè)條件：模型不需要以下的假設(shè)條件：n 單

3、一投資期單一投資期n不存在稅的問題不存在稅的問題n投資者能以無風(fēng)險(xiǎn)利率自由地借入和貸出投資者能以無風(fēng)險(xiǎn)利率自由地借入和貸出資金資金n投資者以回報(bào)率的均值和方差選擇投資組投資者以回報(bào)率的均值和方差選擇投資組合合二套利定價(jià)理論模型的邏輯起點(diǎn)因素模型與充分分散風(fēng)險(xiǎn)的投資組合1. 因素模型 在套利定價(jià)理論中，我們將先從考察一個(gè)單因素模型入手，這個(gè)模型假設(shè)只有單個(gè)系統(tǒng)因素影響證券的收益。 資產(chǎn)收益的不確定性來自兩個(gè)方面：共同或宏觀經(jīng)濟(jì)因素和廠商的特別風(fēng)險(xiǎn) n如果我們用如果我們用F表示共同因素期望值的偏差，表示共同因素期望值的偏差，i表示廠商表示廠商i對(duì)該因素的敏感性，對(duì)該因素的敏感性，i表示廠商特定表示

4、廠商特定的擾動(dòng)，則該單因素模型表明廠商的實(shí)際收益的擾動(dòng)，則該單因素模型表明廠商的實(shí)際收益等于其初始期望收益加上一項(xiàng)由未預(yù)料的整個(gè)等于其初始期望收益加上一項(xiàng)由未預(yù)料的整個(gè)經(jīng)濟(jì)事件引起（零期望值）的隨機(jī)量，再加上經(jīng)濟(jì)事件引起（零期望值）的隨機(jī)量，再加上另一項(xiàng)由廠商特定事件引起（零期望值）的隨另一項(xiàng)由廠商特定事件引起（零期望值）的隨機(jī)量。機(jī)量。n其公式為：其公式為：ri = E(ri)+i F in條件是條件是：0),cov(0),cov(, 0)(, 0)(jiiieeeFeEFEn為了使這個(gè)單因素模型更加具體，我們舉一個(gè)例子：n假設(shè)宏觀因素F代表國民生產(chǎn)總值（GNP）的意外的百分比變化，而輿論認(rèn)

5、為今年GNP將變化4%。我們還假定一種股票的值為1.2。n如果GNP只增長了3%，則F值為-1%，表明在與期望增長相比較時(shí)，實(shí)際增長有1%的失望。給定該股票的值，可將失望轉(zhuǎn)化為一項(xiàng)表示比先前的預(yù)測低1.2%的股票的收益。這項(xiàng)宏觀的意外加上廠商特定的擾動(dòng)，就決定了該股票的收益對(duì)其原始期望值的全部偏離程度。2. 充分分散風(fēng)險(xiǎn)的投資組合充分分散風(fēng)險(xiǎn)的投資組合 假如一個(gè)投資組合是充分分散風(fēng)險(xiǎn)假如一個(gè)投資組合是充分分散風(fēng)險(xiǎn)的，那它的廠商特定風(fēng)險(xiǎn)或非系統(tǒng)風(fēng)的，那它的廠商特定風(fēng)險(xiǎn)或非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)可以被分散掉，保留下來的只有因險(xiǎn)可以被分散掉，保留下來的只有因素（系統(tǒng)）風(fēng)險(xiǎn)，即收益與風(fēng)險(xiǎn)為：素（系統(tǒng)）風(fēng)險(xiǎn)，即收益與

6、風(fēng)險(xiǎn)為： 1()pppppFnpiiirE rFw 這里：這里：n我們把充分分散的投資組合定義為：滿足我們把充分分散的投資組合定義為：滿足按比例分散持有足夠大數(shù)量的證券組合，按比例分散持有足夠大數(shù)量的證券組合，而每種證券而每種證券i的數(shù)量又小到可以使非系統(tǒng)方的數(shù)量又小到可以使非系統(tǒng)方差被忽略掉。差被忽略掉。 n既然非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素可以被分散掉，那么既然非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)因素可以被分散掉，那么只有系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)在市場均衡中控制證券的風(fēng)只有系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)在市場均衡中控制證券的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。在充分分散的投資組合中，各個(gè)險(xiǎn)溢價(jià)。在充分分散的投資組合中，各個(gè)廠商之間的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)相互抵償，因此，廠商之間的非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)相互抵償，因此，

7、在一個(gè)證券組合中，與其期望收益相關(guān)的在一個(gè)證券組合中，與其期望收益相關(guān)的就只有系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)了。就只有系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)了。第二節(jié) 套利及套利的發(fā)生n一、具有相同貝塔值的套利n二、具有不同貝塔值的套利n三、多因素的套利一、具有相同值的套利n如果兩個(gè)充分分散化的投資組合有相同的值，那它們在市場中必定有相同的預(yù)期收益。)()(BABArErE 套利組合的構(gòu)成及套利過程 (0.10+1.0F)100萬美元（在資產(chǎn)組合 A上作多頭）（0.081.0F）100萬美元（在資產(chǎn)組合B上作空頭）_ 0.02100萬美元20 000美元 （凈收益）()ppprE rF已知分散化的投資組合的收益是：（單因素） 這樣，我們就獲得了

8、一項(xiàng)無風(fēng)險(xiǎn)利潤。這這樣，我們就獲得了一項(xiàng)無風(fēng)險(xiǎn)利潤。這項(xiàng)策略要求凈投資為零。我們應(yīng)繼續(xù)需求一個(gè)項(xiàng)策略要求凈投資為零。我們應(yīng)繼續(xù)需求一個(gè)盡可能大的投資規(guī)模，直至兩個(gè)組合間的收益盡可能大的投資規(guī)模，直至兩個(gè)組合間的收益差消失為止。具有相同差消失為止。具有相同值的投資組合在市場值的投資組合在市場均衡時(shí)一定具有相同的期望收益，否則將存在均衡時(shí)一定具有相同的期望收益，否則將存在無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，通過套利使二者預(yù)期收益相無風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，通過套利使二者預(yù)期收益相等。等。二具有不同值的套利n對(duì)于有不同對(duì)于有不同值的充分分散化的投資組合，值的充分分散化的投資組合，其預(yù)期收益率中風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償必須正比于其預(yù)期收益率中風(fēng)險(xiǎn)

9、補(bǔ)償必須正比于值，值，不然也將發(fā)生無風(fēng)險(xiǎn)套利。不然也將發(fā)生無風(fēng)險(xiǎn)套利。( )( )pfqfpqE rrE rrKn參見圖5-2，假定無風(fēng)險(xiǎn)收益率rf是=4%，有一充分分散化的投資組合C的值為nc=O.5，具有預(yù)期收益率6%。在圖中，代表投資組合C的點(diǎn)位于連接無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和組合A的直線的下方。現(xiàn)在我們來看另一個(gè)投資組合D，這個(gè)組合一半由組合A另一半由無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成。這樣，組合D的值為D=0.50+0.51.0=0.5，預(yù)期收益率是0.54+0.5l0=7。組合D和組合C的值相等而預(yù)期收益率不等，如前所述，會(huì)發(fā)生套利。n套利組合及套利過程（做D多頭）(05004+050105F)100萬（做C空頭）

10、（00605F）100萬結(jié)果是：套利組合的收益為正；收益無風(fēng)險(xiǎn)，即套利組合對(duì)因素的敏感度為零；凈投資為零。三、多因素的套利n兩個(gè)宏觀因素的模型是這樣的nriE（ ri ）i1F1 i2F2n假設(shè)因素F1代表對(duì)GDP預(yù)期值的偏離，因素F2則代表末預(yù)期到的通貨膨脹率的變化，它們的預(yù)期值都等于零，因?yàn)樗鼈兇淼亩际菍?duì)預(yù)期值的偏離。同樣 代表企業(yè)特有的風(fēng)險(xiǎn)，也是對(duì)預(yù)期值的偏離，所以預(yù)期值也為零。 iin引進(jìn)因素組合概念: 因素組合是非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)已經(jīng)充分分散化或消除掉的組合，并且它對(duì)其中一個(gè)因素 的 值為1而對(duì)其他因素的 值都為0， 。 n因素組合的作用在于：用因素組合作為基準(zhǔn)組合來定價(jià)（如同CAPM的市

11、場組合作用一樣）。jFjiijn現(xiàn)在來看任意一個(gè)充分分散化的投資組合A，它對(duì)兩個(gè)宏觀因素的值分別是A1=05和A2=0.75。將因素組合的期望收益記為 ，則因素組合的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償nA的因素組合的 期望收益分別為10和12。n無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益為4%，則A的預(yù)期收益一定為13，否則有套利風(fēng)險(xiǎn)。jjjfr jn A1 + A2 n =0.56%十0.758%=9%n于是，投資組合且的預(yù)期收益率就是無風(fēng)險(xiǎn)收益率加上總的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，為13。AfrBfrn如果投資組合A的預(yù)期收益率不等于13，例如是12，則可以構(gòu)筑如下的組合頭寸:n取權(quán)重為50的因素組合1，權(quán)重為75的因素組合2，再加上權(quán)重為-25的無風(fēng)險(xiǎn)證券(

12、權(quán)重是負(fù)數(shù)意味著以無風(fēng)險(xiǎn)利率借入)，構(gòu)成一個(gè)新的組合。n這個(gè)組合的預(yù)期收益率為0.5lO+0.7512-0.254=13。同時(shí)構(gòu)筑這個(gè)組合的多頭和組合A的空頭，就能套取無風(fēng)險(xiǎn)利潤。算式如下n到期套利組合多頭的收益 13%+0.5F1+0.75F2n到期組合A空頭的支付 （12%0.5%F1+0.75F2）nn凈利潤 1% 結(jié)果仍是：套利組合的收益為正；收益無風(fēng)險(xiǎn)，即套利組合對(duì)因素的敏感度為零；凈投資為零。n從這個(gè)簡單的例子我們可以發(fā)現(xiàn)，套利組合是這樣構(gòu)筑的，對(duì)于任意一個(gè)暴露在F1n和F2，這兩個(gè)宏觀因素的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)下的投資組合P，分別以其值 P1，P2為權(quán)重選取因素組合1和2，再加上權(quán)重為1-

13、P1- P2 ，無風(fēng)險(xiǎn)證券(若1- P1- P2 0，表示無風(fēng)險(xiǎn)證券的賣空或以無風(fēng)險(xiǎn)利率借入資金)。這一套利組合實(shí)際上復(fù)制了組合P，所以組合P可由此套利組合給出定價(jià)第三節(jié) 套利定價(jià)模型n一、套利機(jī)會(huì)的條件n二、套利定價(jià)方程n三、CAPM與APT比較一、套利機(jī)會(huì)存在的條件（或套利組合的建立）n設(shè)市場有設(shè)市場有N N種證券，種證券，W Wi i表示投資者對(duì)證券持表示投資者對(duì)證券持有權(quán)數(shù)的變化根據(jù)套利的定義，套利有自有權(quán)數(shù)的變化根據(jù)套利的定義，套利有自融資功能，套利組合中買入證券所需資金融資功能，套利組合中買入證券所需資金由證券獲得。由證券獲得。n根據(jù)套利的定義，如果套利機(jī)會(huì)存在，套根據(jù)套利的定義，

14、如果套利機(jī)會(huì)存在，套利組合不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)任何因素的敏感性利組合不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)任何因素的敏感性為零，為零， 即即 ，J=1,2,.K NJ=1,2,.K N需大于需大于J J，n根據(jù)套利的定義，套利須獲得非負(fù)的收益。根據(jù)套利的定義，套利須獲得非負(fù)的收益。 0PJb123.00,1,2,3,.npjwwwwjkW112+ W222+ W 332+ W NN2=0W111+ W221+ W 331+ W NN1=0 W11K+ W22K+ W 33K+ W NNK=0第一個(gè)條件第一個(gè)條件：第二個(gè)條件：第二個(gè)條件： 即：即：這時(shí)滿足這兩個(gè)等式的任何一組解將成為潛這時(shí)滿足這兩個(gè)等式的任何一組解將成為潛在

15、的套利組合，即滿足自融資和無風(fēng)險(xiǎn)套利在的套利組合，即滿足自融資和無風(fēng)險(xiǎn)套利條件。條件。 因此，當(dāng)一個(gè)組合滿足上述三個(gè)方程時(shí)，便存因此，當(dāng)一個(gè)組合滿足上述三個(gè)方程時(shí)，便存在一個(gè)能獲得不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的正的收益的套利組合。在一個(gè)能獲得不承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)的正的收益的套利組合。231 123.0nnwrwrwrwr 第三個(gè)條件第三個(gè)條件：二、套利定價(jià)方程n當(dāng)套利機(jī)會(huì)不存在時(shí)，市場均衡。那么，當(dāng)當(dāng)套利機(jī)會(huì)不存在時(shí)，市場均衡。那么，當(dāng)各種證券的期望收益處于什么狀態(tài)時(shí)，沒有各種證券的期望收益處于什么狀態(tài)時(shí)，沒有套利機(jī)會(huì)呢？即各種證券的期望收益處于什套利機(jī)會(huì)呢？即各種證券的期望收益處于什么狀態(tài)時(shí)，上述三個(gè)方程的聯(lián)立解不存在

16、呢？么狀態(tài)時(shí)，上述三個(gè)方程的聯(lián)立解不存在呢？n且僅當(dāng)期望收益率是敏感性的線性函數(shù)時(shí)，且僅當(dāng)期望收益率是敏感性的線性函數(shù)時(shí)，上述三個(gè)方程的聯(lián)立解不存在，即不存在套上述三個(gè)方程的聯(lián)立解不存在，即不存在套利機(jī)會(huì)，這時(shí)市場達(dá)到均衡。即有：利機(jī)會(huì)，這時(shí)市場達(dá)到均衡。即有：nE(E(r ri i)= )= 0 01 1i1i1+2 2i2 i2 +.+.K Kikiknikik是第是第i i個(gè)證券第個(gè)證券第k k個(gè)因素的敏感度。如果市個(gè)因素的敏感度。如果市場有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，上式為場有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，上式為nE(E(r ri i) )= = r rf f1 1i1i1+2 2i2 i2 +.+.K Kikik j

17、jfr 是因素組合的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償：jn投資組合的總的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償應(yīng)當(dāng)是投資者承受宏觀因素的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)所應(yīng)得到的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)暮?。而每種宏觀因素的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)的補(bǔ)償?shù)扔谙鄬?duì)于該因素的值乘以因素組合的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。n因此，套利定價(jià)方程是：1122( ).ifififikkfErrrrr 舉例：單因素套利組合n假定投資者擁有3種證券，他所持的每種證券當(dāng)前的市值為4000000美元。這三種證券具有如下的預(yù)期回報(bào)率和敏感性.這樣的預(yù)期回報(bào)率與因素敏感性是否代表一個(gè)均衡狀態(tài)？I預(yù)期收益率ri %敏感因子bi證券1150.9證券2213.0證券3121.8iiiieFbarn套利組合（0.1，0.075，-0.175）n買賣行為

18、導(dǎo)致套利機(jī)會(huì)減少最終消失，如果找不到滿足滿足預(yù)期收益率大于0的資產(chǎn)組合，此時(shí)存在非負(fù)的常數(shù)0 1 ,使得預(yù)期回報(bào)率和敏感性之間滿足如下線形關(guān)系1011r 1()iffirrr1231230 .93 .01 .801 52 11 20 xxxxxx0Biir單單因素資產(chǎn)定價(jià)線因素資產(chǎn)定價(jià)線AAB1()ififrrr 1舉例：多因素套利組合n假定證券的回報(bào)率可由兩個(gè)因素模型產(chǎn)生： 4種證券具有如下的預(yù)期回報(bào)率和敏感性：iiiiieFbFbar2211ibi1%bi2證券1150.92.0證券2213.01.5證券3121.80.7證券482.03.2irn套利組合(0.1,0.088,-0.108,-0.08)123412340.931.8200 xxxxxxxx081221154321xxxxn通過購買證券1和2,同時(shí)出售證券3和4,使得證券1和2價(jià)格上漲，3和4價(jià)格下跌,推動(dòng)市場均衡。即當(dāng)滿足前面三個(gè)等式的組合的預(yù)期回報(bào)率為0,均衡達(dá)到。n如果找不到滿足滿足預(yù)期收益率大于0的資產(chǎn)組合，此時(shí)存在非負(fù)的常數(shù)0 1 2,使得預(yù)期回報(bào)率和敏感性之間滿足如下線形關(guān)系011