專題六：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)高考大題類型(自己的總結(jié))

1、實用標(biāo)準(zhǔn)文案導(dǎo)數(shù)高考大題(教師版)類型一：對單調(diào)區(qū)間的分類討論x1、已知函數(shù) f(x) e ax, a R.(i)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(n)當(dāng)x 0,)時，都有f(x)>0成立，求實數(shù)a的取值范圍解：(I) f(x)的定義域是 ，f (x) e2= a.2分(1)當(dāng)aw0時，f (x) 0成立，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為 ，；3分(2)當(dāng)a 0時，令f (x) 0,得x lna,則f (x)的單調(diào)增區(qū)間是lna, .4分令f (x) 0相x lna,則f (x)的單調(diào)減區(qū)間是 ，ln a .5分綜上所述，當(dāng)aw。時，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為， ；當(dāng)2 0時，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是，lna

2、 ,f (x)的單調(diào)增區(qū)間是ln a, .6分7分(n)當(dāng) x 0時，f (x) 1>0成立，a R .當(dāng) x 0, 時，f (x) ex ax >0 成立,x一e 一即x 0, 時，a & 一成立.x精彩文檔x設(shè) g(x), x所以g (x)x xxe e _(x 1)ex2x11分當(dāng)x (0, 1)時，g (x) 0,函數(shù)g(x)在(0, 1)上為減函數(shù);x 1, 時，g (x) 0,函數(shù)g(x)在x 1,上為增函數(shù). 12分則g(x)在x 1處取得最小值，g(1) e.則awe.綜上所述，x 0, 時，f (x)> 0成立的a的范圍是(，e. 13分類型二：給出

3、單調(diào)遞增遞減區(qū)間等價于恒成立問題22、已知函數(shù) f (x) x 2alnx.(I)若函數(shù)f(x)的圖象在(2, f (2)處的切線斜率為1,求實數(shù)a的值;(n)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；-2(出)右函數(shù)g(x) f (x)在1,2上是減函數(shù)，求頭數(shù) a的取值氾圍.x5, 、.2a2x2 2a八解：(I)f'(x) 2x 1分x x由已知f '(2)(II)函數(shù)f(x)的定義域為(0,).(1)當(dāng)a 0時，f'(x) 0, f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,)；5分(2)當(dāng) a 0時 f '(x) 2(x 1a)(x 1a). x當(dāng)x變化時，f '(x), f

4、 (x)的變化情況如下：x(0,/T)bfa,)f'(x)-0+f(x)極小值Z由上表可知，函數(shù) f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0, /7)；單調(diào)遞增區(qū)間是 (、a,).8分22-2-2a(II)由 g(x)x2alnx得g'(x)2x一, 9分xxx由已知函數(shù)g(x)為1,2上的單調(diào)減函數(shù)，則g'(x) 0在1,2上恒成立，2一 2a_ 即方2x0在1,2上恒成立.x xr12_,八即a x2在1,2上恒成立.11分x, ,、12、1c , 1 CC令 h(x) - x2,在1,2上 h'(x)2x(-2 2x) 0,xxx所以h(x)在1,2為減函數(shù).h(x)

5、 min h(2)1,所以a 7.類型三：零點個數(shù)問題23、已知函數(shù)f (x) 4ln x ax 6x b ( a , b為常數(shù))，且x 2為f (x)的一個極值點.(I)求a的值;(n )求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間；(m)若函數(shù)y f(x)有3個不同的零點，求實數(shù) b的取值范圍.解：(I )函數(shù)f (x)的定義域為(0, +8)i分4- f (x) = - 2ax 62 分xf (2) 2 4a 6 0,則 a = 1 . 4分2.(11)由(1)知£(*) 41nx x 6x b,42x2 6x 42(x 2)(x 1)f (x) = - 2x 6 -xxx由f ' (x

6、) > 0可得x >2或x <1 ,由f(x) < 0 可得 1< x <2 .函數(shù)f ( x )的單調(diào)遞增區(qū)間為(0 , 1)和(2, + 8 ),單調(diào)遞減區(qū)間為(1 , 2 ).(出)由(n)可知函數(shù)f (x)在(0, 1)單調(diào)遞增，在(1, 2)單調(diào)遞減，在(2, +8)單調(diào)遞增.且當(dāng)x =1或x =210分.f(x)的極大值為f(1) 41n116bb 511分f (x)的極小值為 f(2) 4ln 2 4 12 b4ln 2 8 b12分由題意可知f (1) b 5 0f (2) 4ln2 8 b 014分則 5 b 8 4ln2類型四：一般的恒成

7、立問題4 .已知 f(x)= xlnx-ax, g(x)= x2 2,(I )對一切xC (0, +8), f(x)河(x)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(n )當(dāng)a = 1時，求函數(shù)f(x)在m,m+3(m>0)上的最值；1.解：(I)對一切 x (0,),f(x) g(x)恒成立，即 xlnx ax2 一，、x 2恒成立.2 , 八也就是aln x x 一在x (0,)恒成立.1分x令 F (x) ln x x 一 x,12則 F(x)-1xx2_x2 x 22x(x 2)(x 1)2，x在(0,”F (x)0,在(1,)上 F(x) 0,因此，F(xiàn)(x)在x1處取極小值，也是最小值,即

8、 Fmin(x)F(1) 3,所以 a 3.4 分(n )當(dāng) a 1 時，f (x) xln x x ,1八f (x) In x 2 ,由 f (x) 0得 x .6 分e1 一， ，11當(dāng) 0 m 丁時，在 x m,下)上 f (x) 0 ,在 x (w，m 3上 f (x) 0 eee1 ,、1因此，f (x)在x 處取得極小值，也是最小值.fmin(x).ee由于 f(m) 0, f (m 3) (m 3)ln(m 3) 1 0因此,fmax(x)f (m 3) (m 3)ln( m 3) 11當(dāng)m 丁時，f'(x) 0 ,因此f(x)在m,m e3上單調(diào)遞增,fmin(x) f

9、 (m) m(ln m 1) fmax(x)f (m 3) (m 3)ln( m 3) 1類型五：用構(gòu)造法證明不等式問題a ln x b5、已知函數(shù)f (x)曲線x 1 xy f (x)在點(1, f(1)處的切線方程為x 2y 3 0.(I)求a , b的值;(II)證明：當(dāng)x 0,且x 1時，f (x)ln xx 1zx 1(I) f'(x)(工 1n x) A(x 1)2x2df(1) 1,1 一 .一 一由于直線x 2y 3 0的斜率為一，且過點(1,1),故1即2 f'(1)-,2b 1,a1解得 a 1 , b 1 0b ,22In x 1(n)由(i)知f(x)

10、一，所以x 1 x2- In x 1_ x 1f(x)(2lnx )考慮函數(shù) h(x)2ln xx2 1(x 0),則xh(x) 2 x2x2 (x2 1)(x 1)22x所以當(dāng)x1 時，h (x) 0,而h(1) 0,故x 11 xx1 . 一當(dāng) x (0,1) h(x) 0,可得rh(x)0;1 x一，-1,、_當(dāng) x (1,)時，h(x) 0,可得2-h(x) 0;1 xIn xIn x從而當(dāng) x 0,且x 1, f (x) Q 即 f(x)x 1x 1類型六：最值問題6、設(shè)函數(shù)f(x) e1其中e為自然對數(shù)的底數(shù)(n)記曲線y(I)求函數(shù)g(x) f(x) ex的單調(diào)區(qū)間;f(x)在點

11、P(x0, f(x0)(其中x0 0)處的切線為l, 1與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S ,求S的最大值.解：(I)由已知g(x) eex ,所以 g(x)ex e,2 分由 g(x) ex e 0,得x 1,3 分所以，在區(qū)間(,1)上，g (x) 0,函數(shù)g(x)在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞減；4分在區(qū)間(1，)上，g (x) 0,函數(shù) g(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增;即函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，D，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，).(n)因為 f (x) e ,xoX。所以曲線y f(x)在點p處切線為i： y e e (x Xo).7分切線l與x軸的交點為(x。1，0),與y軸的交點為(0,

12、ex xoe"),9分Y 0 S 1(1 xo)(1 xo)ex。2(1 2x。x2)ex。因為x。 u,所以 (x 1)22,1O分S-exo(x2 1)2 ,12 分在區(qū)間(，1)上，函數(shù)S(xo)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1，O)上，函數(shù)S(xo)單調(diào)遞減.S 22所以，當(dāng)xo1時，S有最大值，此時 e,所以，S的最大值為e.近三年新課標(biāo)導(dǎo)數(shù)高考試題2O11 1、(2)下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在 (O,+ )單調(diào)遞增的函數(shù)是 B(A) yx3(B) y x 12、(9)由曲線yJI,直線y(C) y x2 1(D) y 2 xx 2及y軸所圍成的圖形的面積為C(A)1O33、(12)函

13、數(shù) y(B) 41 的圖像與函數(shù)1 x(C)16(D) 62sin x( 2 x 4)的圖像所有交點的橫坐標(biāo)之和等于(A) 2(B) 4(C) 6(D)8f (x)在點(1,f(1)處的切線方程為x 2y 3 O。in x kO,且x 1時，f(x) -，求k的取值范圍。x 1 x4、(21 )(本小題滿分12分)- a in x b已知函數(shù)f (x) -,曲線yx 1 x(i)求a、b的值；(n)如果當(dāng)x(21 )解：(I ) f '(x)(x- in x)x由于直線x2y0的斜率為12'且過點(1,1),故考慮函數(shù)h(x)(i)設(shè)k 0,由f(x)2ln xh'(x

14、)1,1,1即,2Inlnx (x)(x 1k) x1 r-(2ln x x(k 1)(x2 1)、) 02(k 1)(x1),v(xx22k(x 1) (x 1)0),則 h '(x)2_(k 1)(x1) 2x知，當(dāng) x 1 時，h'(x) 0。而 h(1)0,故當(dāng) x (0,1)時,h(x)10 ,可得2h(x) 0 ;1 x)時,h (x) <0 ,可得從而當(dāng)x>0,且x 1時，f (x)-(1 ln x(ii)設(shè)0<k<1.由于當(dāng)x1，、-2- h (x) >0 xk 一一)>0 ,即 f (x) x)時，(k-1 ) (x2 +1

15、 )+2x>0,故 h (x)>0,而 h (1 ) =0 ,故當(dāng) x (1 ,)時，h (x) >0 ,可得-11-一2 h (x) <0,與題設(shè)矛盾。x(iii)設(shè) k 1.此時 h (x) >0,而 h (1) =0 ,故當(dāng) x (1 , +)時，h (x) >0 ,可得題設(shè)矛盾。綜合得，k的取值范圍為(-,020125、(12)設(shè)點P在曲線y= - ex上，點 Q在曲線y=ln(2x)上，則|pQ|最小值為B 2(A) 1-ln2(B) 仿1 ln 2)(C) 1+ln2(D) 亞1 ln 2)6、(21)(本小題滿分12分)已知函數(shù) f (x)滿足

16、 f(x) f (1)ex 一2 h (x) <0,與 f(0)x -x1 x22(1)求f (x)的解析式及單調(diào)區(qū)問；(2)若 f(x) 1x22ax b求(a+1 )b的最大值。【解析】(1) f(x)x 1(1)ef (0)x- x 1_ _(x) f (1)e f (0)1 得：f(0)f(x)f (1)ex得：f(x)1 2 x - x21 2-x2f(0)g(x)f (1)e 1 1(x) ex 1f (1)g (x) exg(x)在 xR上單調(diào)遞增f (x) 0(0)0, f (x)0 f (0)得：f(x)的解析式為f (x) ex1 2 x -x2且單調(diào)遞增區(qū)間為(0,

17、),單調(diào)遞減區(qū)間為,0)(2) f(x)lx2 ax b2h(x)ex(a 1)x b0得 h(x)(a 1)【2013年】當(dāng)a當(dāng)a1 0 時，h (x)時，h(x)與 h(x)得：當(dāng)x(a 1)b令 F(x)0 時，h (x)ln(a 1)時,(ah(x)minF (x) 0h(x)在x R上單調(diào)遞增0矛盾ln(a 1),h (x) 0 x ln(a(a 1)(a 1)ln( a 1) b1)1)2 (a1)21n(a1)(a 10)2 .x In x( x 0);則0 x e, F (x)F ( x) max 二2F (x)x(1 21n x)當(dāng)aVe 1,b 幾時，(a 1)b的最大值為

18、-27、16、若函數(shù)f(x)=(1 x2)(x2 + ax+b)的圖像關(guān)于直線x= 2對稱，則f(x)的最大值是【命題意圖】本題主要考查函數(shù)的對稱性及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，是難題 .【解析】由f(x)圖像關(guān)于直線x=2對稱，則 220= f ( 1) f( 3) = 1 ( 3) ( 3) 3a b,0= f (1) f( 5) = 1 ( 5)2( 5)2 5a b,解得 a =8, b=15,.f(x)=(1 x2)(x2 8x 15), .f(x)= 2x( x2 8x 15) (1 x2)(2x 8) = 4(x3 6x2 7x 2)=4(x 2)(x 2 、5)(x 2 ,5)當(dāng) xC

19、( 8, 2 V5)U(-2,2 V5)時，f(x)>0,當(dāng) xC( 2 75,-2) U( 2 而,+ 8)時，f (x) <0,f(x)在( 8,2 新)單調(diào)遞增，在(2 而，-2)單調(diào)遞減，在(2,2 而)單調(diào)遞增，在(2 55 , +8)單調(diào)遞減，故當(dāng)x= 2 75和*= 2 75時取極大值，f ( 2 ,5) = f( 2 .5)=16.8、(21)(本小題滿分共12分)已知函數(shù) f(x) = x2+ax + b , g(x) = ex(cx + d),若曲線 y = f(x)和曲線 y = g(x)都過點 P(0 , 2),且在點P處有相同的切線y = 4x+2(I )求 a, b, c, d 的值(H)若x>2時，f (x) kg(x),求k的取值范圍?！久}意圖】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線、函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、函數(shù) 最值，考查運算求解能力及應(yīng)用意識，是中檔題.【解析】(I)由已知得 f(0) 2,g(0) 2, f (0) 4, g