平面向量的應(yīng)用

1、平面向量的應(yīng)用考點(diǎn)4平面向量的應(yīng)用(在平面幾何、解析幾何與物理中的應(yīng) 用)1、(江蘇省南京市2015屆高三上學(xué)期9月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知圓22uuu uuuex2 y2 6x 5 0,點(diǎn)A,B在圓C上，且AB=2j3 ,則|OA+OB|的最大值就是 、【考點(diǎn)】平面向量的應(yīng)用、 【答案】8【分析】設(shè) A(xh y/ Bd, y2),AB 中點(diǎn) M (x , y)、xi X2yi y2- x , y 22uuu uuruuuu OA+OB=(xi x2,yi y2) 2OM ,22_一.22圓 C：x y 6x 5 0 ,. (x 3) y4 ,圓心 q3,0)，半徑 C

2、A=2、點(diǎn) A,B 在圓 C上 AB=2j3,2212 一CA CM(AB),即 CM=1、2點(diǎn)M在以C為圓心，半徑r=1的圓上、，OMWOC+r=3+1=4、 uuuu uuu uuu |OM |<4,|OA+OB|<8、2、在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知向量a=(2,1),A(1,0),B(cos t),uuur uuu uu uuu uuu若all AB，且| AB| 二 45 OA，求向量OB的坐標(biāo)、uuur22(2)若a/ AB,求y cos cos t的最小值、 uuu【解析】(1)因?yàn)锳B = cos 1,t ,uuu又 a / AB，所以 2t cos 10

3、、所以cos 1 2t、uuu uuu2又因?yàn)?| AB| 二 J5|OA ,所以 cos 1t2 5、2_2由得，5t 5,所以t 1、所以t 1、當(dāng)t 1時(shí)，cos 3 (舍去),平面向量的應(yīng)用當(dāng) t 1 時(shí),cos 1,所以B 1, 1uuu，所以O(shè)B1,(2)由(1)可知tcos 12所以 y cos2cos(cos 1)2452315,2coscos(cos424431所以當(dāng)cos3時(shí)，ymin1556cos) 55(cos45)2 53.已知 a| 4, b3,(2a 3b) (2a b) 61.(1)求a與b的夾角仇(2)求| a+b|、uur uur(3)若 AB a,BC b

4、,求 ABC的面積、【解析】(1)因?yàn)?2a 3b) (2a b) 61,所以4 a24a b 3 b61、又 |a| 4, b| 3,所以 644a b 2761,所以a b6 ,所以cosa b|a| |b|又0w兀所以20=-3(2) a22a b3213,所以|a b|加、uuu(3)因?yàn)锳Buuu2 一與BC的夾角 片一，所以/ABC=uuu一.又| AB |=| a|=4, 3uuu| BC|=| b|=3，所以 Sa ABCuuu uuin一AB BC sin ABC 24 3平面向量的應(yīng)用4、 (15宿遷市沐陽縣銀河學(xué)校高三上學(xué)期開學(xué)試卷)已知圓C過點(diǎn)P(1,1),且與圓M :

5、(x 2)2uuu uuuu+ (y 2)2 =r2(r>0)關(guān)于直線x+y+2=0對稱.若Q為圓C上的一個(gè)動點(diǎn)，則PQ - MQ的最小值 為.【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用.【答案】-4a 22【分析】設(shè)圓心C(a,b),則b 2 22匕1a 2，解得a 0b 0,則圓C的方程為x2+ y2 =r2,將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r2 =2,故圓C的方程為x2 + y2 =2, 設(shè) Q(x,y),則 x2 + y2=2,uuu uuuu且 pQ - MQ =(x1,y1)(x+2,y+2)= x2 + y2+x+y4=x+y 2, 令 x= 72 cos a,y=虛 sin %貝U x+y=2sin(

6、 a+ )> 2uuu uuuuuuu uuuu4、所以PQ , MQ =x+y2-4U PQ - MQ的最小值為-uuu5、(2015南昌模擬)已知向量OAuuu2,2 ,OBuuu uuu4,1，在x軸上一點(diǎn)P使AP BP有最小值則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A、( 3,0)B、(2,0)【答案】Cuuu【分析】設(shè)點(diǎn)P x,0，則AP xC、(3,0)D、(4,0)uuu2, 2 ,BP x 4, 1，故unr uurAP BPx 2 x 4 2 x2 6x 102x 31，因此當(dāng)x =3時(shí)取最小值，此時(shí)P 3,0、2(2015宿州模擬)已知直線 x+y=a與圓x2y 4相交于A,B兩點(diǎn)且滿足u

7、uu uurOA OBuur uuuOA OB ,O為原點(diǎn)、則正實(shí)數(shù)a的值為(A、1B、2C、3【答案】B uuuuuruuuuuu【分析】由OAOBOAOB可得D、4uuu uur uuuOA OB，又 OAuurOB 2,uuu故AB 2夜,所以點(diǎn)O到AB的距離d二鬼,2 得|a|=2,0 0a所以 一2又 a>0,故 a=2、 7、 (2015 贛州模擬)已知向量 a=(cos% 2),b=(sin %1),且 a/b,貝U2sinocosa 等于()A、3【答案】DB、C、【分析】由a “ b 得 cos o= 2sin a,1所以tan =、2所以2sin ocos產(chǎn)2sin2

8、sincos2cos2tantan218、(2015江淮模擬)在ABC中，已知a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C所對的邊，S為4ABC的面積、若向量 p=(S,a+b+c),q=(a+b c,1),滿足 p/q,則 tanC=(2A、1B、1C、2D、442【答案】D【分析】由 p / q得S= a b 2 c2 2ab a2 b221c，即 a absinC=2ab+2abcosC,亦即sinC=1+cosC,tan -= '所。=4、42 1 cosC9、(2015臨沂模擬)若向量a=(cos %sin *b=(cos 0sin曲則a與b 一定滿足 ()A、a與b的夾角等于 a 3B、

9、a±bC、a/ bD、(a+b)±(a b)【分析】因?yàn)?a b=(cos o,sin a) (cos 0sin 3=cos( a3),這表明這兩個(gè)向量的夾角的余弦值為cos(a 就、同時(shí)，也不能得出a與b的平行與垂直關(guān)系、因?yàn)橛?jì)算得到（a+b） （a b）=0,所以（a+b），（a b）、10、（2015鷹潭模擬）已知P,M,N就是單位圓上互不相同的三個(gè)點(diǎn)uuuuruuir，且滿足| PM |=| PN |,則uuuu uuurPM PN的最小值就是（A、1B、4【答案】BC、D、1【分析】根據(jù)題意，不妨設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,0），點(diǎn)M 的坐標(biāo)為（cosQsin凱點(diǎn)N的坐標(biāo)

10、為（cos Qsin 0)，其中 0< « 兀，uuuuuuuur則 PM =(cos o 1,sin 9, PN =(cos 0 1, sin 0),uuuu uuur所以 PM PN =(cos 0 1,sin (cos 0 1,sin 0),i、2. 2=(cos1)sin2=cos2cos 1 sin22=2cos 2cos =2 cos所以當(dāng)cos 9=1時(shí)，PMu PN有最小值211、（2015寶雞模擬）在平行四邊形ABCD中，E,F分別就是邊CD與BC的中點(diǎn)，若uuur uuur uuurAC = XAE+AF （入代 R）,則 log3 的值為 （）2A、2B、

11、1C、1D、2【答案】A【分析】如圖,第11題圖zl169uuuuuuunr令 AB =a, AD =b，則 AC =a+b,uuruuruur1AEADDE-a +b,2uuuruuuuuir1AFABBF =a+-b,所以跑=提+濟(jì)=1a b 2a 1b = 1221. _ab，21由，得2121解得12M=-,3故 log 32210g3 -2321og 3 2 32、12、 （2015銀川模擬）已知正三角形 OAB中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)就是（3,4），點(diǎn)A在第uur象限，向量m=（ 1,0）,記向量m與向量OA的夾角為%則sina的值為 僑案】山10【分析】設(shè)向量 Ouu與x軸正向

12、的夾角為 3,則廿戶?？?&，且有sin3=4,3 353冗 1 百413，34373cos 戶 g,sino=sin（兀 a）=sin = sin 3cos 3= x x =、uuu uuu uuuuuu13、（2015 九江模擬）在銳角 ABC 中,AC=BC=2,CO=xCA+yCB （其中 x+y=1），函數(shù) f（歸 CA挑|的最小值為 Q，則|Co |的最小值為【分析】如圖所示：Z1170uuu uuu 設(shè)入CB=CD,uuauuu uuu uuu uuu所以 |CA 入CB|=|CA CD|=|DA|,uuuuuuuuu由于CDCB,所以點(diǎn)D在直線BC上，所以f(歸DA|,

13、結(jié)合圖形知：當(dāng)ADBC時(shí),f(與取最小值,sin/ACB=# ,由于/ ACB為銳角，所以uuu_即 f min =| CA |sinZ ACB =2sin / ACB= J3 ,所以，因?yàn)镃OxCA+yCB ,且x+y=1,所以點(diǎn), 兀.一一/ACB= ，因?yàn)镃A=CB,所以 ABC為等邊三角形3O,A,B三點(diǎn)共線，uuu所以當(dāng)COLAB時(shí),| CO |取最小值，uuinulu7tL所以 | CO |min =| CA |sin / BAC=2sin = J3、314、(2015西安模擬)已知向量1 立，OA = a 2 2uuub, OB =a+b,若AOAB就是等邊三角形，則 OAB的面

14、積為【分析】因?yàn)閍=ab,uuuOB =a+b,uuu uuu所以 OA + OB =(ab)+(a+ b)=2a=(1, - 3),uur uuu 2- 2所以 |OA + OB|=J 1 如=2、所以等邊三角形OAB的高為，一，21,邊長為,因此其面積為 4.315、(2015 上饒模擬)已知 a=(sinx,1),b=(cosx, 工),若 f(x)=a (a b),求:2(1) f(x)的最小正周期及對稱軸方程、 (2)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間、 當(dāng)xC 0,-時(shí)，函數(shù)f(x)的值域、1【斛】 因?yàn)?a=(sinx,1),b= (cosx,),所以ab= sin x3cos x, 一 2

15、2所以 f(x)=a (a b)=sinx(sinx cosx)+ = sin x1cos2x13= -sin2x+ 一222=2 (sin2x+cos2x)23sinxcosx+ 一2二2asin 2x222所以函數(shù)f(x)的最小正周期為 T=22 M2令 2x = +k % k Z), 4 2解得 x= - +蟲(kC Z),8 2所以函數(shù)f(x)對稱軸方程為九k九 x= + (kCZ)、(2)因?yàn)?f(x)=2金冗sin 2x 一24，一 一. 它所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為函數(shù) y二sin 2x -的單調(diào)減區(qū)間4令；+2卜兀0 2x+；& +2kjt k Z),即得 8+kT

16、t5 x 8-+k 7tk Z),所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為 -k兀3 k冗(kC Z)、 88冗冗5冗令 2x+ 一=te ,一44 4所以原式化為f(t)=2.2sint2因?yàn)閠e即得2 工0 f(t)所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0,T上的值域?yàn)?2,2 5 - 、2 ,2116、 (2015南昌模擬)已知向量a=(一21.3，sinx+ cosx)與 b=(1,y)共線，設(shè)函數(shù) y=f(x)>22(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及最大值、(2)已知銳角 ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,若有 f八 冗 二，l 121A = . 3，邊 BC=7 ,sinB=,37求 ABC的面積、【

17、解】(1)因?yàn)閍與b共線, m=(a+Gb a),n=(a c,b),且 mn、 (1)求角C的大小、所以1y21 人 sin x2貝U y=f(x)=2sin，所以f(x)的最小正周期 丁二2兀,當(dāng) x=2k 兀 H ,k C Z 時(shí),=2、 max(2)因?yàn)閒 A二3所以2sin A-二出，所以3sinA=-、因?yàn)?冗底 、 、 .一0<A< ，所以 A=、由正弦定理得BCsin AACsin BP C 21 一 又sinB=，所以BC sin B 3.21AC=2,且 sinC=sin A14所以Sa ABC3.3=AC BC sinC=、17.(2015成都模擬)已知4AB

18、C的個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,向量2 B 、(2)右向重s=(0,1),t= cos A, 2cos ,試求|s+t|的取值氾圍、2【解】由題意得m n=(a+c,b a) (a c,b)= a2 c2 b22. 22.由余弦定理得 cosC= a-= 一2ab 2一.一一.兀因?yàn)?<C<Tt所以C二、32 B ,(2)因?yàn)?s+t= cos A, 2cos - 1 =(cosA,cosB), 2m_« 22 A2r2A227tA肝以 s t =cos A cos B cos A cos A 3因?yàn)?<A<2?，所以康<2A 晟個(gè), 1U所以一<sin 2 A W 1、1所以1 W s22<5,故且&|s+t|倉、42222, 2ab=0,即 c = a bab、1C八 冗一sin 2 A +1、262618、(2015九江模擬)在 ABC中,a,b,c分別就是角 A,B,C的對邊，m=(2a+c,b), n=(cosB,cosC),且 m n=0、 (1)求角B的大小、(2)設(shè)函數(shù)f(x)=sin2xcos(A+C) cos2x,求函數(shù)f(x)的最小正周期，最大值及當(dāng)f(x)取得最大值3時(shí)x的值、【解】(1)由已知得，(2a+c)cosB+bcosC=0,即(2sinA+sinC)cosB+sinBc