高一數(shù)學(xué)上冊(cè)人教新課標(biāo)A版集合教案

1、集合（知識(shí)講解）一、目標(biāo)認(rèn)知學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1.了解集合的含義，會(huì)使用符號(hào)“”“”表示元素與集合之間的關(guān)系 2.能選擇自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言（列舉法、特征性質(zhì)描述法和Venn圖法）描述不同的具體問(wèn)題，感受集合語(yǔ)言的意義和作用3.理解集合的特征性質(zhì)，會(huì)用集合的特征性質(zhì)描述一些集合，如常用數(shù)集、解集和一些基本圖形的集合等4.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別一些給定集合的子集在具體情境中，了解空集和全集的含義5.理解兩個(gè)集合的交集和并集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的交集與并集理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1.對(duì)集合中元素的三要素的應(yīng)用；2.運(yùn)用集合的兩種常用

2、表示方法-列舉法與描述法，正確表示一些簡(jiǎn)單的集合；3.弄清元素與子集、屬于與包含之間的區(qū)別；4.集合的交集與并集、補(bǔ)集的概念；5.集合的交集與并集、補(bǔ)集“是什么”，“為什么”，“怎樣做”.二、知識(shí)要點(diǎn)梳理集合概念及其基本理論，稱(chēng)為集合論，是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要的基礎(chǔ)，一方面，許多重要的數(shù)學(xué)分支，都建立在集合理論的基礎(chǔ)上.另一方面，集合論及其所反映的數(shù)學(xué)思想，在越來(lái)越廣泛的領(lǐng)域中得到應(yīng)用.知識(shí)點(diǎn)一：集合的有關(guān)概念1集合理論創(chuàng)始人康托爾稱(chēng)集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識(shí)到這些東西， 并且能判斷一個(gè)給定的東西是否屬于這個(gè)總體.2一般地，研究對(duì)象統(tǒng)稱(chēng)為元素(element)，一些元素組

3、成的總體叫集合(set)，也簡(jiǎn)稱(chēng)集.3關(guān)于集合的元素的特征(1)確定性：設(shè)A是一個(gè)給定的集合，x是某一個(gè)具體對(duì)象，則x或者是A的元素，或者不是A的元素， 兩種情況必有一種且只有一種成立.(2)互異性：一個(gè)給定集合中的元素，指屬于這個(gè)集合的互不相同的個(gè)體(對(duì)象)，因此，同一集合中不 應(yīng)重復(fù)出現(xiàn)同一元素.(3)無(wú)序性：集合中的元素的次序無(wú)先后之分.如：由1，2，3組成的集合，也可以寫(xiě)成由1，3，2組成一 個(gè)集合，它們都表示同一個(gè)集合.4元素與集合的關(guān)系：(1)如果a是集合A的元素，就說(shuō)a屬于(belong to)A，記作aA(2)如果a不是集合A的元素，就說(shuō)a不屬于(not belong to)A

4、，記作5集合的分類(lèi)(1)空集：不含有任何元素的集合稱(chēng)為空集(empty set)，記作：.(2)有限集：含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.(3)無(wú)限集：含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集.6常用數(shù)集及其表示非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N正整數(shù)集，記作N*或N+整數(shù)集，記作Z有理數(shù)集，記作Q實(shí)數(shù)集，記作R知識(shí)點(diǎn)二：集合的表示方法我們可以用自然語(yǔ)言來(lái)描述一個(gè)集合，但這將給我們帶來(lái)很多不便，除此之外還常用列舉法和描述法來(lái)表示集合.1.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi).如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，；2.描述法：把集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)

5、 內(nèi).具體方法：在大括號(hào)內(nèi)先寫(xiě)上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫(huà)一條豎線(xiàn)，在豎線(xiàn)后寫(xiě)出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.知識(shí)點(diǎn)三：集合之間的關(guān)系1.集合與集合之間的“包含”關(guān)系集合A是集合B的部分元素構(gòu)成的集合，我們說(shuō)集合B包含集合A；子集：如果集合A的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，我們說(shuō)這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱(chēng)集合A是集合B的子集(subset).記作：，當(dāng)集合A不包含于集合B時(shí)，記作AB，用Venn圖表示兩個(gè)集合間的“包含”關(guān)系：真子集：若集合，存在元素xB且，則稱(chēng)集合A是集合B的真子集(proper subset).記作：AB(或BA)規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何

6、非空集合的真子集.2.集合與集合之間的“相等”關(guān)系，則A與B中的元素是一樣的，因此A=B結(jié)論：任何一個(gè)集合是它本身的子集.知識(shí)點(diǎn)四：集合的運(yùn)算1.并集一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱(chēng)為集合A與B的并集，記作：AB讀作：“A并B”，即：AB=x|xA，或xBVenn圖表示：說(shuō)明：兩個(gè)集合求并集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合(重復(fù)元素只看成一個(gè)元素).2.交集一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：AB，讀作：“A交B”，即AB=x|xA，且xB；交集的Venn圖表示：說(shuō)明：兩個(gè)集合求交集，結(jié)果還是一個(gè)集合，

7、是由集合A與B的公共元素組成的集合.3.補(bǔ)集全集：一般地，如果一個(gè)集合含有我們所研究問(wèn)題中所涉及的所有元素，那么就稱(chēng)這個(gè)集合為全集，通常記作U.補(bǔ)集：對(duì)于全集U的一個(gè)子集A，由全集U中所有不屬于集合A的所有元素組成的集合稱(chēng)為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集(complementary set)，簡(jiǎn)稱(chēng)為集合A的補(bǔ)集，記作：補(bǔ)集的Venn圖表示：說(shuō)明：補(bǔ)集的概念必須要有全集的限制.4.集合基本運(yùn)算的一些結(jié)論： 若AB=A，則，反之也成立若AB=B，則，反之也成立若x(AB)，則xA且xB若x(AB)，則xA，或xB求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“

8、或”，在處理有關(guān)交集與并集的問(wèn)題時(shí)，常常從這兩個(gè)字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語(yǔ)言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法.三、規(guī)律方法指導(dǎo)1.注意和初中數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接，這就需要重新整理初中數(shù)學(xué)知識(shí)，形成良好的知識(shí)基礎(chǔ)，如一元二次方程、二元一次方程組、平面幾何中常見(jiàn)的平面圖形等在此基礎(chǔ)上，再根據(jù)本章特點(diǎn)，較快地吸收新知識(shí)，形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)2.認(rèn)真理解、反復(fù)推敲思考本章各知識(shí)點(diǎn)的含義及各種表示方法容易混淆的知識(shí)應(yīng)仔細(xì)辨識(shí)、區(qū)別，達(dá)到熟練掌握，逐步建立與集合知識(shí)相適應(yīng)的理論體系與思想方法3.常用的數(shù)學(xué)思想方法主要有：數(shù)形結(jié)合的思想，如常借助于數(shù)軸、維恩圖解決問(wèn)題；分類(lèi)討論的思想，

9、如一元二次方程根的討論、集合間的包含關(guān)系等逐步培養(yǎng)用集合的思想來(lái)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力經(jīng)典例題透析類(lèi)型一：集合的概念及元素的性質(zhì)1下列各組對(duì)象中，能構(gòu)成集合的是（）(1)接近于0的數(shù)的全體；(2)比較小的正整數(shù)的全體；(3)平面上到坐標(biāo)點(diǎn)O的距離等于1的點(diǎn)的全體；(4)正三角形的全體； (5)的近似值的全體.思路點(diǎn)撥：從集合元素的“確定”、“互異”、“無(wú)序”三種特性判斷.解：“接近于0的數(shù)”、“比較小的正整數(shù)”對(duì)象不確定，所以(1)、(2)不是集合，同理(5)也不是集合.(3)、(4)可構(gòu)成集合，故答案是(3)、(4).舉一反三：【變式1】判斷下列語(yǔ)句能否確定一個(gè)集合？如果能表示一個(gè)集合，指

10、出它是有限集還是無(wú)限集.(1)申辦2008年奧運(yùn)會(huì)的所有城市；(2)舉辦2008年奧運(yùn)會(huì)的城市；(3)高一數(shù)學(xué)課本中的所有難題； (4)在2004年12月26日印度洋地震海嘯中遇難的人的全體； (5)大于0且小于1的所有的實(shí)數(shù).思路點(diǎn)撥：緊扣“集合”、“有限集”、“無(wú)限集”的定義解決問(wèn)題.解：(1)申辦2008年奧運(yùn)會(huì)的是幾個(gè)確定的不同的城市，能組成一個(gè)集合，且為有限集；(2)舉辦2008年奧運(yùn)會(huì)的城市也能組成一個(gè)集合，為有限集；(3)不能構(gòu)成集合.“難題”的概念是模糊的，不確定的，無(wú)明確標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于一道數(shù)學(xué)題是否是“難 題”無(wú)法客觀判斷.(4)在2004年12月26日印度洋地震海嘯中遇難的人是

11、確定的，不同的，因而能構(gòu)成集合， 是有限集.(5)大于0且小于1的所有的實(shí)數(shù)也是確定的，互異的，因此這樣的實(shí)數(shù)能構(gòu)成一個(gè)集合， 是無(wú)限集.總結(jié)升華：(1)判斷一個(gè)語(yǔ)句能否確定一個(gè)集合，除考慮定義外，還應(yīng)從集合中元素的“確定性”和“互異性”上來(lái)判斷；(2)“有限集”和“無(wú)限集”是通過(guò)集合里面元素的個(gè)數(shù)來(lái)定義的，集合里面元素的個(gè)數(shù)很多，但不一定是無(wú)限集.2比較下列兩個(gè)集合的差異： （1）A=(x，y)|y=x2， xR， B=y|y=x2， xR；（2）A=x|x2-6x-7=0 B=(x，y)|.解析：(1)集合A是一個(gè)點(diǎn)集，是函數(shù)y=x2圖象上的點(diǎn)的集合；集合B是數(shù)集，是由所有實(shí)數(shù)的完全平方構(gòu)

12、成的集合.兩個(gè)集合的元素不同.(2)A=-1，7， B=(-1，7)集合A，B都是方程（組）解的集合，但A中有兩個(gè)元素-1，7，而B(niǎo)中只有一個(gè)元素(-1， 7).類(lèi)型二：元素與集合的關(guān)系3用符號(hào)“”或“”填空 (1)0_N；(2)-1_ N；(3)_ Q；(4)_Z；(5)0_；(6)_Q.思路點(diǎn)撥：確定元素是否在集合中，要根據(jù)元素是否滿(mǎn)足集合的性質(zhì)來(lái)確定.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).舉一反三：【變式1】用符號(hào)“”或“”填空(1)(2)(3)思路點(diǎn)撥：給定一個(gè)對(duì)象a，它與一個(gè)給定的集合A之間的關(guān)系為，或者，二者必居其一.解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是：弄清a的結(jié)構(gòu)，弄清A的特征，

13、然后才能下結(jié)論.對(duì)于第(1)題，可以通過(guò)使用計(jì)算器，比較各數(shù)值的大小，也可以先將各數(shù)值轉(zhuǎn)化成結(jié)構(gòu)一致的數(shù)，再比較大??；對(duì)于第(2)題，不妨分別令x=3，x=5，解方程；對(duì)于第(3)題，要明確各個(gè)集合的本質(zhì)屬性.解：(1) (2) 令，則令，則(3) (-1，1)是一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)，且符合關(guān)系y=x2，總結(jié)升華：第(1)題充分體現(xiàn)了“化異為同”的數(shù)學(xué)思想.另外，“見(jiàn)根號(hào)就平方”也是一種常用的解題思路和方法，應(yīng)注意把握.第(2)題關(guān)鍵是明確集合這個(gè)“口袋”中是裝了些x呢？還是裝了些n呢？要特別注意描述法表示的集合，是由符號(hào)“”左邊的元素組成的，符號(hào)“”右邊的部分表示x具有的性質(zhì).第(3)題要分清兩個(gè)

14、集合的區(qū)別.集合這個(gè)“口袋”是由y構(gòu)成的，并且是由所有的大于或等于0的實(shí)數(shù)組成的；而集合是由拋物線(xiàn)上的所有點(diǎn)構(gòu)成的，是一個(gè)點(diǎn)集.類(lèi)型三：集合中元素性質(zhì)的應(yīng)用4定義，若M=1，2，3，4，5，N=2，3，6，則N-M=( ) A. M B. N C. 1，4，5 D. 6思路點(diǎn)撥：由的定義可得，在集合N中含有M中的2，3兩個(gè)元素，而不含有6，故N-M=6，選D。5，則M=( ) A. 2，3 B. 1，2，3，4 C. 1，2，3，6 D. -1，2，3，4解析：集合中的元素滿(mǎn)足是整數(shù)，且能夠使是自然數(shù)，所以由aZ，所以-1a4當(dāng)a=-1時(shí)，符合題意；當(dāng)a=0時(shí)，不符合題意；當(dāng)a=1時(shí)，不符合題

15、意；當(dāng)a=2時(shí)，符合題意；當(dāng)a=3時(shí)，符合題意；當(dāng)a=4時(shí)，符合題意.故a=-1，a=2，a=3，a=4為M中元素，即M=-1，2，3，4，選項(xiàng)D正確.6已知集合M=x|ax2+2x+1=0中只含有一個(gè)元素，則a=_.思路點(diǎn)撥：由集合M中只含有一個(gè)元素可得，方程ax2+2x+1=0有一解，由于本方程并沒(méi)有注明是一個(gè)二次方程，故也可以是一次方程，應(yīng)分類(lèi)討論：當(dāng)a=0時(shí)，可得是一次方程，故滿(mǎn)足題意，當(dāng)a0時(shí)，則為一個(gè)二次方程，所以有一根的含義是該方程有兩個(gè)相等的根，即為判別式為0時(shí)的a的值，可求得為a=1.故a的取值為0，1.7已知：-3a-3， 2a-3， a2-4，求a. 解：若-3=a-3即

16、a=0.當(dāng)a=0時(shí)2a-3=-3，即不符合元素的互異性，a=0(舍)；若-3=2a-3a=0同理舍掉；若a2-4=-3即a2=1即a=±1，當(dāng)a=1時(shí)，集合為-2，-1，-3，當(dāng)a=-1時(shí)，集合為-4，-5，-3， a=±1.類(lèi)型四：集合的表示方法8試分別用列舉法和描述法表示下列集合： (1)方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；(2)由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合.解：(1)設(shè)方程的實(shí)數(shù)根為x，并且滿(mǎn)足條件 因此，用描述法表示為； 方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 因此，用列舉法表示為.(2)設(shè)大于10小于20的整數(shù)為x，它滿(mǎn)足條件，且10x20， 因此，用描述法表示為； 大于10小于20

17、的整數(shù)有11，12，13，14，15，16，17，18，19， 因此，用列舉法表示為.舉一反三：【變式1】用列舉法表示集合：(1)A=xR|(x-1)(x+2)(x2-1)(x3-8)=0(2)B=(x，y)|x+y=3， xN， yN(3)C=y|x+y=3，xN， yN(4)(5)(6)P=x|x(x-a)=0， aR思路點(diǎn)撥：本題是描述法與列舉法的互化，一定要先觀察描述法中代表元素是什么.解：(1)A=1，-2，-1，2(2)B=(0，3)，(3，0)，(1，2)，(2，1)(3)C=0，1，2，3(4)D=(0，0)(5)M=0(6)當(dāng)a0時(shí)，P=0，a；當(dāng)a=0時(shí)，P=0.總結(jié)升華：

18、此例題（2）與（3），（4）與（5）兩組都是考察代表元素的，而（6）考察了集合元素的互異性，遇到代數(shù)式時(shí)，能否意識(shí)到字母aR，需要分類(lèi)討論.【變式2】用列舉法表示下列集合.(1) A=x|x=(-1)n， nN；(2) B=(x，y)|3x+2y=16， xN， yN；(3) C=16的正整數(shù)約數(shù).解：(1)A=1，-1；(2)B=(0，8)， (2，5)， (4，2)；(3)C=1，2，4，8，16.【變式3】用描述法表示下列集合.(1)A=3，6，9，12，15，18，21；(2)B=，.解：(1)A=x|x=3n， 1n7， nN；(2)B=x|x=， nN+.類(lèi)型五：集合間的關(guān)系9下列

19、關(guān)系正確的是( ) A. 0 B. 0= C. =0 D. 0解析：表示空集不含任何元素，故元素0，既A不正確；0是元素，是集合，元素與集合只有“屬于”或“不屬于”兩種關(guān)系，即B不正確；不含任何元素，0含有元素0，故與0不是相等關(guān)系，即C不正確；0是非空集合，空集是任何非空集合的真子集，故0是正確的，即D正確.舉一反三：【變式1】用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：(1)_0； (2) x|x|1_x|x21(3)y|y=2x2_y|y=3x2-1(4)x|x|1_x|x1(5)(x，y)|-2x2_(x，y)|-1x2(6)若A=0， ， (1，-1)， 1， 則1_A，_A， 0，_A， 0 _A；(7)_

20、 答案：(1) (2)= (3) (4) (5) (6) ， ， (7) ()總結(jié)升華：區(qū)分元素與集合間的關(guān)系 ，集合與集合間的關(guān)系.10. 寫(xiě)出集合a，b，c的所有不同的子集. 解析：不含任何元素子集為，只含1個(gè)元素的子集為a，b，c，含有2個(gè)元素的子集有a，b，a，c，b，c，含有3個(gè)元素的子集為a，b，c，即含有3個(gè)元素的集合共有23=8個(gè)不同的子集.如果集合增加第4個(gè)元素d，則以上8個(gè)子集仍是新集合的子集，再將第4個(gè)元素d放入這8個(gè)子集中，會(huì)得到新的8個(gè)子集，即含有4個(gè)元素的集合共有24=16個(gè)不同子集，由此可推測(cè)，含有n個(gè)元素的集合共有2n個(gè)不同的子集.舉一反三：【變式1】已知集合A

21、=1，3，a， B=a2，并且B是A的真子集，求實(shí)數(shù)a的取值.解析：， a2A， 則有： （1）a2=1a=±1，當(dāng)a=1時(shí)與元素的互異性不符，a=-1； （2）a2=3a= （3）a2=aa=0， a=1，舍去a=1，則a=0 綜上：a=-1， a=或a=0.注意：根據(jù)集合元素的互異性，需分類(lèi)討論.11設(shè)M=x|x=a2+1，aN+，N=x|x=b2-4b+5，bN+，則M與N滿(mǎn)足( ) A. M=N B. MN C. NM D. MN=解析：當(dāng)aN+時(shí)，元素x=a2+1，表示正整數(shù)的平方加1對(duì)應(yīng)的整數(shù)，而當(dāng)bN+時(shí)，元素x=b2-4b+5=(b-2)2+1，其中b-2可以是0，所

22、以集合N中元素是自然數(shù)的平方加1對(duì)應(yīng)的整數(shù)，即M中元素都在N中，但N中至少有一個(gè)元素x=1不在M中，即MN，故選B.12已知：M=x，xy， N=0，|x|，y且M=N，求x，y的值. 思路點(diǎn)撥：M=NM、N元素相同；M、N各含三個(gè)互異元素；分類(lèi)討論思想.解：(1)若x=0則N=0，0，y與元素互異性不符，x0 同理y0， 即x=y.(2)若x=|x|，則xy=y x0， x=1， y=1與元素互異性不符.(3)若x=y， xy=|x|，即x2=|x|，解得：x=y=-1.舉一反三：【變式1】設(shè)a，bR，集合，則b-a=( )解：由元素的三要素及兩集合相等的特征：當(dāng)b=1時(shí)，a=-1，當(dāng)時(shí)，b

23、=a且a+b=0，a=b=0(舍)綜上：a=-1，b=1，b-a=2.【變式2】已知集合A=x，xy，集合B=0，|x|，y，若A=B， 試求解析：由A=B，知A，B所含元素相同.由O0，|x|，y可知若x=0，則xy=0，即x與xy是相同元素，破壞了A中元素互異性，所以x0.若x·y=0，則x=0或y=0，其中x=0以上討論不成立，所以y=0，即B中元素0，y是相同元素，破壞了B中元素的互異性，故xy0若，則x=y，A，B可寫(xiě)為A=x，x2，0，B=0，|x|，x由A=B可知必有x2=|x|，即|x|2=|x|x|=0或|x|=1若|x|=0即x=0，以上討論知不成立若|x|=1即

24、x=±1當(dāng)x=1時(shí)，A中元素|x|與x相同，破壞了A中元素互異性，故 x1當(dāng)x=-1時(shí)，A=-1，1，0，B=0，1，-1符合題意，綜上可知，x=y=-1=(-2)+2+(-2)+(-2)+2+(-2)=-2.類(lèi)型六：集合的運(yùn)算13. 已知集合A=y|y=x2-4x+3，xR，B=y|y=-x2-2x+2，xR，則AB等于( ) A. B. R C. -1，3D. -1，3解析：集合A、B均表示構(gòu)成相關(guān)函數(shù)的因變量取值范圍，故可知：A=y|y-1，B=y|y3，所以AB=y|-1y3，選D.14. 設(shè)集合M=3，a，N=x|x2-3x0，xZ，MN=1，則MN為( ) A. 1，3，

25、a B. 1，2，3，a C. 1，2，3 D. 1，3解析：由N=x|x2-3x0，xZ可得：N=x|0x3，xZ=1，2，又由MN=1，可知1M，即a=1，故選C.舉一反三：【變式1】已知A=x|x2+px+q=0，B=x|x2-qx+2p=0，若AB=1，則AB=( )A. B. 1 C. 1，-3，-4 D. 解析：由題意知集合A，B是兩個(gè)一元二次方程的解集，若AB=1，則x=1是以上兩個(gè)一元二次方程的公共解，即x=1同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)一元二次方程.由此可得正確選項(xiàng)為A.【變式2】（1）已知：M=x|x2，P=x|x2-x-2=0，求MP和MP；（2）已知：A=y|y=3x2， B=y|y=

26、-x2+4， 求：AB，AB；（3）已知集合A=-3， a2 ，1+a， B=a-3， a2+1， 2a-1， 其中aR，若AB=-3，求AB.解：（1）P=2，-1，MP=x|x2或x=-1，MP=2.（2）A=y|y0， B=y|y4， AB=y|0y4， AB=R.（3）AB=-3，-3B，則有：1a-3=-3a=0， A=-3，0，1， B=-3，1，-1AB=-3，1，與已知不符，a0；22a-1=-3a=-1， A=-3，1，0， B=-4，2，-3， 符合題設(shè)條件，AB=-4，-3，0，1，2.總結(jié)升華：此例題既練習(xí)集合的運(yùn)算，又考察了集合元素的互異性.其中（1）易錯(cuò)點(diǎn)為求并集時(shí)

27、，是否意識(shí)到要補(bǔ)上孤立點(diǎn)-1；而（2）中結(jié)合了二次函數(shù)的值域問(wèn)題；（3）中根據(jù)集合元素的互異性，需要進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)求出a的一個(gè)值時(shí)，又要檢驗(yàn)是否符合題設(shè)條件.【變式3】設(shè)A、B分別是一元二次方程2x2+px+q=0與6x2+(2-p)x+5+q=0的解集，且AB=，求AB.解：AB=，是方程2x2+px+q=0的解，則有：(1)，同理有：6()2+(2-p)·+5+q=0(2)聯(lián)立方程(1)(2)得到：方程(1)為2x2+7x-4=0，方程的解為：x1=， x2=-4， ，由方程(2) 6x2-5x+1=0，解得：x3=， x4=，B=， ，則AB=， ，-4.【變式4】設(shè)集合A=

28、2，a2-2a，6，B=2，2a2，3a-6，若AB=2，3，求AB.解析：由AB=2，3，知元素2，3是A，B兩個(gè)集合中所有的公共元素，所以32，a2-2a，6，則必有a2-2a=3，解方程a2-2a-3=0得a=3或a=-1當(dāng)a=3時(shí)，A=2，3，6，B=2，18，3AB=2，3，62，18，3=2，3，6，18當(dāng)a=-1時(shí)，A=2，3，6，B=2，2，-9這既不滿(mǎn)足條件AB=2，3，也不滿(mǎn)足B中元素具有互異性，故a=-1不合題意，應(yīng)舍去.15. 設(shè)全集U=a，b，c，d，e，M=a，c，d，N=b，d，e，那么(CuM)(CuN)=( ) A. B. d C. a，c D. b，e解析：

29、CuM=b，e，CuN=a，c(CuM)(CuN)=b，ea，c=或由補(bǔ)集法則，MN=a，b，c，d，e=U(CuM)(CuN)=Cu(MN)=CuU=即A為正確選項(xiàng).16. 設(shè)全集U=xN+|x8，若A(CuB)=1，8，(CuA)B=2，6，(CuA)(CuB)=4，7， 求集合A，B.解析：全集U=1，2，3，4，5，6，7，8由A(CuB)=1，8知，在A中且不在B中的元素有1，8；由(CuA)B=2，6，知不在A中且在B中的元素有2，6；由(CuA)(CuB)=4，7，知不在A中且不在B中的元素有4，7，則元素3，5必在AB中.由集合的圖示可得A=1，3，5，8，B=2，3，5，6.

30、類(lèi)型七：集合運(yùn)算綜合應(yīng)用17已知全集A=x|-2x4， B=x|xa.（1）若AB，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；（2）若ABA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若AB且ABA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；思路點(diǎn)撥：（1）畫(huà)數(shù)軸；（2）注意是否包含端點(diǎn).解：(1)A=x|-2x4， B=x|xa，又AB，如圖，a4；(2)畫(huà)數(shù)軸同理可得：a-2；(3)畫(huà)數(shù)軸同理可得：如圖，-2a4.總結(jié)升華：此問(wèn)題從題面上看是集合的運(yùn)算，但其本質(zhì)是一個(gè)定區(qū)間，和一個(gè)動(dòng)區(qū)間的問(wèn)題.思路是，使動(dòng)區(qū)間沿定區(qū)間滑動(dòng)，數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題.18. 設(shè)全集為R，M=x|ax+b0，a0，N=x|cx+d0，c0，試用集合M、N表示集合x(chóng)|(ax+

31、b)·(cx+d)=0.解析：由，同理，x|(ax+b)·(cx+d)=0=x|ax+b=0或cx+d=0 =x|ax+b=0x|cx+d=0 =(CRM)(CRN)19. 設(shè)(1)若aZ，則是否有aS？(2)對(duì)S中任意兩個(gè)元素x1，x2，則x1+x2，x1·x2，是否屬于集合S？解：(1)若aZ，則有aS，即n=0時(shí)，xZ，aS；(2)x1，x2S，則 m1，n1，m2，n2Z，m1m2+2n1n2Z，m1n2+m2n1Z x1·x2S.學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1下列各項(xiàng)中，不可以組成集合的是( )A所有的正數(shù) B等于2的數(shù) C接近于0的數(shù) D不

32、等于0的偶數(shù)2下列四個(gè)集合中，是空集的是( )A BC D3下列表示圖形中的陰影部分的是( )ABCD 4下面有四個(gè)命題：(1)集合中最小的數(shù)是1；(2)若不屬于，則屬于；(3)若則的最小值為2； (4)的解可表示為；其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)5若集合中的元素是的三邊長(zhǎng)，則一定不是( )A銳角三角形 B直角三角形 C鈍角三角形 D等腰三角形6若全集，則集合的真子集共有( )A3個(gè) B5個(gè) C7個(gè) D8個(gè)二、填空題1用符號(hào)“”或“”填空(1)0_， _， _；(2)(是個(gè)無(wú)理數(shù)).2. 若集合，則的非空子集的個(gè)數(shù)為_(kāi).3若集合，則_4設(shè)集合，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_

33、.5已知，則_.三、解答題1已知集合，試用列舉法表示集合.2已知，求的取值范圍.3已知集合，若，求實(shí)數(shù)的值.4設(shè)全集， .能力提升一、選擇題1下列命題正確的有( )(1)很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合；(2)集合與集合是同一個(gè)集合；(3)這些數(shù)組成的集合有個(gè)元素；(4)集合是指第二和第四象限內(nèi)的點(diǎn)集.A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)2若集合，且，則的值為( )A1 B-1 C1或-1 D1或-1或03若集合，則有( )A B C D4方程組的解集是( )A B C D5下列式子中，正確的是( )ABC空集是任何集合的真子集D6下列表述中錯(cuò)誤的是( )A若 B若C D二、填空題1用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空(1)；(

34、2)；(3).2設(shè)， 則.3某班有學(xué)生55人，其中體育愛(ài)好者43人，音樂(lè)愛(ài)好者34人，還有4人既不愛(ài)好體育也不愛(ài)好音樂(lè)，則該班既愛(ài)好體育又愛(ài)好音樂(lè)的人數(shù)為_(kāi)人.4若且，則_.5已知集合至多有一個(gè)元素，則的取值范圍_；若至少有一個(gè)元素，則的取值范圍_.三、解答題1設(shè).2設(shè)，其中，如果， 求實(shí)數(shù)的取值范圍.3集合， 滿(mǎn)足，求實(shí)數(shù)的值.4設(shè)，集合，；若， 求的值.綜合探究一、選擇題1若為全集，下面三個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是( )(1)若；(2)若；(3)若.A個(gè) B個(gè) C個(gè) D個(gè)2設(shè)集合，則( )A B C D二、填空題1用列舉法表示集合：=_.2若，則=_.3設(shè)全集，集合， 那么等于_.三、解答題1

35、若2全集，如果則這樣的實(shí)數(shù)是否存在？ 若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.3設(shè)集合求集合的所有非空子集元素和的和.答案與解析：基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題 1.C 元素的確定性.2.D 選項(xiàng)A所代表的集合是并非空集，選項(xiàng)B所代表的集合是并非空集，選項(xiàng)C所代表的集合是并非空集，選項(xiàng)D中的方程無(wú)實(shí)數(shù)根.3.A 陰影部分完全覆蓋了C部分，這樣就要求交集運(yùn)算的兩邊都含有C部分.4.A (1)最小的數(shù)應(yīng)該是；(2)反例：，但；(3)當(dāng)；(4)元素的互異性.5.D 元素的互異性.6.C ，真子集有.二、填空題 1.2.15 ，非空子集有.3. ，顯然.4. ，則得.5. ，.三、解答題 1.解：由題意可知是的正約數(shù)

36、，當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)；當(dāng)；而，即 .2.解：當(dāng)，即時(shí)，滿(mǎn)足，即；當(dāng)，即時(shí)，滿(mǎn)足，即；當(dāng)，即時(shí)，由，得，得，即；綜上得.3.解：，而，當(dāng)，這樣與矛盾，；當(dāng)符合.4.解：當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即，且 ，而對(duì)于，即，.能力提升一、選擇題 1.A (1)錯(cuò)的原因是元素不確定，(2)前者是數(shù)集，而后者是點(diǎn)集，種類(lèi)不同，(3)，有重復(fù)的元素，應(yīng)該是個(gè)元素，(4)本集合還包括坐標(biāo)軸.2.D 當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，即；當(dāng)時(shí)，而，；.3.A ，.4.D 原方程組可化為，該方程組有一組解，解集為.5. D 選項(xiàng)A應(yīng)改為，選項(xiàng)B應(yīng)改為，選項(xiàng)C可加上“非空”，或去掉“真”， 選項(xiàng)D中的中有個(gè)元素“”，而并非空集.6.C 當(dāng)時(shí)，.二、填空題1

37、. (1)，滿(mǎn)足，(2)估算， 或，(3)左邊，右邊.2. .3.26 全班分類(lèi)人：設(shè)既愛(ài)好體育又愛(ài)好音樂(lè)的人數(shù)為人；僅愛(ài)好體育的人數(shù)為()人； 僅愛(ài)好音樂(lè)的人數(shù)為()人；既不愛(ài)好體育又不愛(ài)好音樂(lè)的人數(shù)為人 . ，.4. 由，則，且.5. ， 當(dāng)中僅有一個(gè)元素時(shí)，或； 當(dāng)中有個(gè)元素時(shí)，； 當(dāng)中有兩個(gè)元素時(shí)，.三、解答題1.解：由得的兩個(gè)根，即的兩個(gè)根，.2.解：由，而，當(dāng)，即時(shí)，符合；當(dāng)，即時(shí)，符合；當(dāng)，即時(shí)，中有兩個(gè)元素，而；得 .3.解：，而，則至少有一個(gè)元素在中，又，即，得而矛盾，.4.解：，由，當(dāng)時(shí)，符合；當(dāng)時(shí)，而，即或.綜合探究一、選擇題 1. D(1)；(2)；(3)證明：，； 同

38、理， .2. B ；，整數(shù)的范圍大于奇數(shù)的范圍.二、填空題1. (的約數(shù)).2. ，.3. ，代表在直線(xiàn)上，但是挖掉的點(diǎn)，代表直線(xiàn)外，但是包含點(diǎn)的點(diǎn)；代表直線(xiàn)外的點(diǎn)，代表直線(xiàn)上的點(diǎn)，.三、解答題1.解：，.2.解：由得，即，.3.解：含有的子集有個(gè)；含有的子集有個(gè)；含有的子集有個(gè)；，含有的子集有個(gè)，.課外拓展集合論簡(jiǎn)介初中畢業(yè)升入高一級(jí)學(xué)校的同學(xué)們會(huì)一致發(fā)現(xiàn)自己所學(xué)的第一個(gè)數(shù)學(xué)概念都是：集合.這門(mén)研究集合的數(shù)學(xué)理論在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中被恰當(dāng)?shù)胤Q(chēng)為集合論.它是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本分支，在數(shù)學(xué)中占據(jù)著一個(gè)極其獨(dú)特的地位，其基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域.如果把現(xiàn)代數(shù)學(xué)比作一座無(wú)比輝煌的大廈，那么可以說(shuō)集合論正是

39、構(gòu)成這座大廈的基石，由此可見(jiàn)它在數(shù)學(xué)中的重要性.其創(chuàng)始人康托爾也以其集合論的成就被譽(yù)為對(duì)二十世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最深的學(xué)者之一.下面就讓我們一起去探究一下這門(mén)獨(dú)特而重要的數(shù)學(xué)理論的來(lái)龍去脈，追覓它所走過(guò)的曲折歷程吧.集合論的誕生集合論是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家康托爾于19世紀(jì)末創(chuàng)立的.十七世紀(jì)數(shù)學(xué)中出現(xiàn)了一門(mén)新的分支：微積分.在之后的一二百年中這一嶄新學(xué)科獲得了飛速發(fā)展并結(jié)出了豐碩成果.其推進(jìn)速度之快使人來(lái)不及檢查和鞏固它的理論基礎(chǔ).十九世紀(jì)初，許多迫切問(wèn)題得到解決后，出現(xiàn)了一場(chǎng)重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng).正是在這場(chǎng)運(yùn)動(dòng)中，康托爾開(kāi)始探討了前人從未碰過(guò)的實(shí)數(shù)點(diǎn)集，這是集合論研究的開(kāi)端.到1874年康托爾開(kāi)始一般地提

40、出“集合”的概念.他對(duì)集合所下的定義是：把若干確定的有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來(lái)，看作一個(gè)整體，就稱(chēng)為一個(gè)集合，其中各事物稱(chēng)為該集合的元素.人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日.康托爾的不朽功績(jī)?cè)谥袑W(xué)數(shù)學(xué)中我們所學(xué)習(xí)的只是集合論的最基本知識(shí).學(xué)習(xí)過(guò)程中，同學(xué)們或許覺(jué)得一切都是很自然與簡(jiǎn)單的，根本無(wú)法想象它在誕生之日遭到激烈反對(duì)的情景，也體會(huì)不到康托爾的功績(jī)之所在.前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲曷宸蛟u(píng)價(jià)康托爾的工作時(shí)說(shuō)：“康托爾的不朽功績(jī)?cè)谟谒驘o(wú)窮的冒險(xiǎn)邁進(jìn)”.因而只有當(dāng)我們了解了康托爾在對(duì)無(wú)窮的研究中究竟做出了些什么結(jié)論后才會(huì)真正明

41、白他工作的價(jià)值之所在和眾多反對(duì)之聲之由來(lái).數(shù)學(xué)與無(wú)窮有著不解之緣，但在研究無(wú)窮的道路上卻布滿(mǎn)了陷阱.因?yàn)檫@一原因，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷程中，數(shù)學(xué)家們始終以一種懷疑的眼光看待無(wú)窮，并盡可能回避這一概念.但試圖把握無(wú)限的康托爾卻勇敢地踏上了這條充滿(mǎn)陷阱的不歸路.他把無(wú)窮集這一詞匯引入數(shù)學(xué)，從而進(jìn)入了一片未開(kāi)墾的處女地，開(kāi)辟出一個(gè)奇妙無(wú)比的新世界.對(duì)無(wú)窮集的研究使他打開(kāi)了“無(wú)限”這一數(shù)學(xué)上的潘多拉盒子.下面就讓我們來(lái)看一下盒子打開(kāi)后他釋放出的是什么.“我們把全體自然數(shù)組成的集合簡(jiǎn)稱(chēng)作自然數(shù)集，用字母N來(lái)表示.”學(xué)過(guò)集合那一章后，同學(xué)們應(yīng)該對(duì)這句話(huà)不會(huì)感到陌生.但同學(xué)們?cè)诮邮苓@句話(huà)時(shí)根本無(wú)法想到當(dāng)年康托爾如

42、此做時(shí)是在進(jìn)行一項(xiàng)更新無(wú)窮觀念的工作.在此以前數(shù)學(xué)家們只是把無(wú)限看作永遠(yuǎn)在延伸著的，一種變化著成長(zhǎng)著的東西來(lái)解釋.無(wú)限永遠(yuǎn)處在構(gòu)造中，永遠(yuǎn)完成不了，是潛在的，而不是實(shí)在.這種關(guān)于無(wú)窮的觀念在數(shù)學(xué)上被稱(chēng)為潛無(wú)限.十八世紀(jì)數(shù)學(xué)王子高斯就持這種觀點(diǎn).用他的話(huà)說(shuō)，就是“我反對(duì)將無(wú)窮量作為一個(gè)實(shí)體，這在數(shù)學(xué)中是從來(lái)不允許的.所謂無(wú)窮，只是一種說(shuō)話(huà)的方式”而當(dāng)康托爾把全體自然數(shù)看作一個(gè)集合時(shí)，他是把無(wú)限的整體作為了一個(gè)構(gòu)造完成了的東西，這樣他就肯定了作為完成整體的無(wú)窮，這種觀念在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為實(shí)無(wú)限思想.由于潛無(wú)限思想在微積分的基礎(chǔ)重建中已經(jīng)獲得了全面勝利，康托爾的實(shí)無(wú)限思想在當(dāng)時(shí)遭到一些數(shù)學(xué)家的批評(píng)與攻擊是

43、無(wú)足為怪的.然而康托爾并未就此止步，他以完全前所未有的方式，繼續(xù)正面探討無(wú)窮.他在實(shí)無(wú)限觀念基礎(chǔ)上進(jìn)一步得出一系列結(jié)論，創(chuàng)立了令人振奮的、意義十分深遠(yuǎn)的理論.這一理論使人們真正進(jìn)入了一個(gè)難以捉摸的奇特的無(wú)限世界.最能顯示出他獨(dú)創(chuàng)性的是他對(duì)無(wú)窮集元素個(gè)數(shù)問(wèn)題的研究.他提出用一一對(duì)應(yīng)準(zhǔn)則來(lái)比較無(wú)窮集元素的個(gè)數(shù).他把元素間能建立一一對(duì)應(yīng)的集合稱(chēng)為個(gè)數(shù)相同，用他自己的概念是等勢(shì).由于一個(gè)無(wú)窮集可以與它的真子集建立一一對(duì)應(yīng)例如同學(xué)們很容易發(fā)現(xiàn)自然數(shù)集與正偶數(shù)集之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系也就是說(shuō)無(wú)窮集可以與它的真子集等勢(shì)，即具有相同的個(gè)數(shù).這與傳統(tǒng)觀念“全體大于部分”相矛盾.而康托爾認(rèn)為這恰恰是無(wú)窮集的特征.

44、在此意義上，自然數(shù)集與正偶數(shù)集具有了相同的個(gè)數(shù)，他將其稱(chēng)為可數(shù)集.又可容易地證明有理數(shù)集與自然數(shù)集等勢(shì)，因而有理數(shù)集也是可數(shù)集.后來(lái)當(dāng)他又證明了代數(shù)數(shù)集合也是可數(shù)集時(shí)，一個(gè)很自然的想法是無(wú)窮集是清一色的，都是可數(shù)集.但出乎意料的是，他在1873年證明了實(shí)數(shù)集的勢(shì)大于自然數(shù)集.這不但意味著無(wú)理數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于有理數(shù)，而且顯然龐大的代數(shù)數(shù)與超越數(shù)相比而言也只成了滄海一粟，如同有人描述的那樣：“點(diǎn)綴在平面上的代數(shù)數(shù)猶如夜空中的繁星；而沉沉的夜空則由超越數(shù)構(gòu)成.”而當(dāng)他得出這一結(jié)論時(shí)，人們所能找到的超越數(shù)尚僅有一兩個(gè)而已.這是何等令人震驚的結(jié)果！然而，事情并未終結(jié).魔盒一經(jīng)打開(kāi)就無(wú)法再合上，盒中所釋放出的也

45、不再限于可數(shù)集這一個(gè)無(wú)窮數(shù)的怪物.從上述結(jié)論中康托爾意識(shí)到無(wú)窮集之間存在著差別，有著不同的數(shù)量級(jí)，可分為不同的層次.他所要做的下一步工作是證明在所有的無(wú)窮集之間還存在著無(wú)窮多個(gè)層次.他取得了成功，并且根據(jù)無(wú)窮性有無(wú)窮種的學(xué)說(shuō)，對(duì)各種不同的無(wú)窮大建立了一個(gè)完整的序列，他稱(chēng)為“超限數(shù)”.他用希伯萊字母表中第一個(gè)字母“阿列夫”來(lái)表示超限數(shù)的精靈，最終他建立了關(guān)于無(wú)限的所謂阿列夫譜系 它可以無(wú)限延長(zhǎng)下去.就這樣他創(chuàng)造了一種新的超限數(shù)理論，描繪出一幅無(wú)限王國(guó)的完整圖景.可以想見(jiàn)這種至今讓我們還感到有些異想天開(kāi)的結(jié)論在當(dāng)時(shí)會(huì)如何震動(dòng)數(shù)學(xué)家們的心靈了.毫不夸張地講，康托爾的關(guān)于無(wú)窮的這些理論，引起了反對(duì)派的

46、不絕于耳的喧囂.他們大叫大喊地反對(duì)他的理論.有人嘲笑集合論是一種“疾病”，有人嘲諷超限數(shù)是“霧中之霧”，稱(chēng)“康托爾走進(jìn)了超限數(shù)的地獄”.作為對(duì)傳統(tǒng)觀念的一次大革新，由于他開(kāi)創(chuàng)了一片全新的領(lǐng)域，提出又回答了前人不曾想到的問(wèn)題，他的理論受到激烈地批駁是正常的.當(dāng)回頭看這段歷史時(shí)，或許我們可以把對(duì)他的反對(duì)看作是對(duì)他真正具有獨(dú)創(chuàng)性成果的一種褒揚(yáng)吧.公理化集合論的建立集合論提出伊始，曾遭到許多數(shù)學(xué)家的激烈反對(duì)，康托爾本人一度成為這一激烈論爭(zhēng)的犧牲品.在猛烈的攻擊下與過(guò)度的用腦思考中，他得了精神分裂癥，幾次陷于精神崩潰.然而集合論前后經(jīng)歷二十余年，最終獲得了世界公認(rèn).到二十世紀(jì)初集合論已得到數(shù)學(xué)家們的贊同

47、.數(shù)學(xué)家們?yōu)橐磺袛?shù)學(xué)成果都可建立在集合論基礎(chǔ)上的前景而陶醉了.他們樂(lè)觀地認(rèn)為從算術(shù)公理系統(tǒng)出發(fā)，借助集合論的概念，便可以建造起整個(gè)數(shù)學(xué)的大廈.在1900年第二次國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上，著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣布“數(shù)學(xué)已被算術(shù)化了.今天，我們可以說(shuō)絕對(duì)的嚴(yán)格已經(jīng)達(dá)到了.”然而這種自得的情緒并沒(méi)能持續(xù)多久.不久，集合論是有漏洞的消息迅速傳遍了數(shù)學(xué)界.這就是1902年羅素得出的羅素悖論.羅素構(gòu)造了一個(gè)所有不屬于自身（即不包含自身作為元素）的集合R.現(xiàn)在問(wèn)R是否屬于R？如果R屬于R，則R滿(mǎn)足R的定義，因此R不應(yīng)屬于自身，即R不屬于R；另一方面，如果R不屬于R，則R不滿(mǎn)足R的定義，因此R應(yīng)屬于自身，即R屬