2020屆吉林省長春市高三質(zhì)量監(jiān)測(二)數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

1、2020屆吉林省長春市高三質(zhì)量監(jiān)測（二）數(shù)學(xué)（文）試題、單選題第3頁共19頁A,由此求得AI B.1,已知集合 A x|x（x 2） 0 , BA.1,3B, 0,1,2【答案】B【解析】解一元二次不等式求得集合【詳解】1,0,1,2,3，則 AI B ()C. 1,2D. 0,1,2,3由x x 2 0解得0 x 2,所以A 0,2，所以AI B0,1,2故選：B【點(diǎn)睛】 本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題2.若 z 1 （1 a）i （ a R）, |z| 五，則 a （）A. 0 或 2B, 0C. 1 或 2D. 1【答案】A【解析】利用復(fù)數(shù)的模的

2、運(yùn)算列方程，解方程求得a的值.【詳解】2.由于 z 1 （1 a）i （a R）,|z| J2 ,所以 J121 a 2 2 ,解得 a 0或 a故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.1、 、 、，3,下列與函數(shù)y 7=定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是（）log2 x.111A. y 2 y2B. y log2 C. y 10g2 D. yx4-1 【解析】 分析函數(shù)y 丁的定義域和單調(diào)性，然后對選項(xiàng)逐一分析函數(shù)的定義域、單 調(diào)性，由此確定正確選項(xiàng)函數(shù)y1 -小的定義域?yàn)?,x,在0,上為減函數(shù)A選項(xiàng)，y 2log2x的定義域?yàn)?,，在0,上為增函數(shù)，不符合1B選項(xiàng)，y log2

3、 的te義域?yàn)镽 ,不付合.，一 .1 ,C選項(xiàng)，y 10g2的定義域?yàn)?0, ，在0,上為減函數(shù)，符合xiD選項(xiàng)，、/ y4的定義域?yàn)?0,，不符合.y x故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題4 .已知等差數(shù)列an中，若3a5 2 a7,則此數(shù)列中一定為 0的是（）B. a3C. a8D. ai0【解析】將已知條件轉(zhuǎn)化為ai,d的形式，由此確定數(shù)列為。的項(xiàng).由于等差數(shù)列 an中3a52a7，所以 3 ai 4d2 316d，化簡得ai 0 ,所以ai 為0.故選：A本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計算，屬于基礎(chǔ)題5,若單位向量3, u2夾角為60, aur2Guu r

4、e2 ,則 aA. 4B. 2C. 33D. i一 ，r 2 一一【解析】求出a2即得解.【詳解】2 小2 印2 ur uri由題得 a 4ei +e24e 牝 4 i 4 i i 3.2r 所以aV3.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的模的計算，考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.6.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）提出了數(shù)學(xué)學(xué)科的六大核心素養(yǎng) .為了比較甲、 乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標(biāo)對二人進(jìn)行了測驗(yàn)，根據(jù)測驗(yàn)結(jié)果繪制了雷達(dá)圖（如圖，每項(xiàng)指標(biāo)值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），則下面敘述正確的是（）A.甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B.甲的數(shù)學(xué)建模

5、素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C.乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D.乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲【答案】D【解析】根據(jù)雷達(dá)圖對選項(xiàng)逐一分析，由此確定敘述正確的選項(xiàng)【詳解】對于A選項(xiàng)，甲的數(shù)據(jù)分析 3分，乙的數(shù)據(jù)分析 5分，甲低于乙，故 A選項(xiàng)錯誤.對于B選項(xiàng)，甲的建模素養(yǎng) 3分，乙的建模素養(yǎng) 4分，甲低于乙，故 B選項(xiàng)錯誤.對于C選項(xiàng)，乙的六大素養(yǎng)中，邏輯推理5分，不是最差，故 C選項(xiàng)錯誤.對于D選項(xiàng)，甲白勺總得分 4 5 3 3 4 3 22分，乙的總得分5 4 5 4 5 4 27分，所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲，故D選項(xiàng)正確.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理，屬于基礎(chǔ)題7.命題

6、p :存在實(shí)數(shù)X0,對任意實(shí)數(shù)x,使得sin x xosinx恒成立；q ： a 0 ,a xf (x) lna一為奇函數(shù)，則下列命題是真命題的是()a x第5頁共19頁a. p qb. ( p) ( q) c. p ( q)D. ( p) q【解析】分別判斷命題p和q的真假性, 然后根據(jù)含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假性判斷出正確選項(xiàng).對于命題p ,由于sin x sin x ,所以命題p為真命題 對于命題q,由于a 0 ,a x由a-0解得 a x a,且a xif x lnU In 口 In - f x ,所以f x是奇函數(shù)，故q為a x a xa x真命題.所以p q為真命題(p) ( q)、

7、p ( q)、( p) q都是假命題故選：A【點(diǎn)睛】 本小題主要考查誘導(dǎo)公式， 考查函數(shù)的奇偶性，考查含有邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假性的判斷, 屬于基礎(chǔ)題.In x , x 08 .已知函數(shù)f (x),則函數(shù)y f (x) 3的零點(diǎn)個數(shù)是()2x(x 2),x 0A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】對x分x 0, x0兩種情況求方程f (x) 3=0的根的個數(shù)即得解【詳解】當(dāng) x0 時，| ln x |3 0,ln x 3,xe3 或 e 3 ,者B滿足 x 0 ;當(dāng) x0 時，2x24x 30,2x24x3 0,Q 2 0,16 42 3 0 ,所以方程沒有實(shí)數(shù)根 綜合得函數(shù)y f(x

8、) 3的零點(diǎn)個數(shù)是2.故選：B【點(diǎn)睛】意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)的求法,推理能力sin9 .已知為銳角，且 3tan 一,則角sin3312B.C.D.sin 一,.3 ,. .【解析】 對3 tan 先化切為弦，再利用和角差角的正余弦公式化3 sin3簡即得解.【詳解】sin - sin 一cos(,-33 _.由題得 3- 3,Q為銳角，sinsin - cos( -)13-cos sin , sin22costan1.因?yàn)闉殇J角，.=-4故選：C本題主要考查同角的三角函數(shù)關(guān)系和和角差角的正余弦公式的應(yīng)用, 些知識的理解掌握水平.意在考查學(xué)生對這2

9、210.若雙曲線 三與 1 (a 0, b 0)的一條漸近線被圓 x2 y2 4y 0截得 a2 b2的弦長為2,則雙曲線的離心率為(A. 72B.石D.2,33【解析】求得雙曲線的一條漸近線方程,求得圓心和半徑，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長公式，可得a, b的關(guān)系，即可得到所求的離心率.2由題得圓x2卜1(a 0,b 0)的一條漸近線方程設(shè)為bx ay 0，(y 2)2 4的圓心為(0, 2),半徑r = 2 ,可得圓心到漸近線的距離為|0 2a |TbV則 2 2；：424a 2，化為b2 a22 一一.二3b ,所以b2 1a2 3,第#頁共i9頁eC廄口孚【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的方

10、程和性質(zhì),考查直線和圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11 .已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且闞2 ,an1J2Sn(n N*),則Snn( )A. 2n 1 1B. n 2nnC. 31D. 2n 3n 1an 1_ n 2【解析】由題得2,再利用累乘法求出anan n 1(n 1) 2n 1 ,即得 Sn.【詳解】nan 1(n 1)an由題得Sn口， Sn 1nn 2n 1an 1n 2所以3 2,(n 2)ann 1nan 1 (n 1同(n 2) n 2 n 1 ,a26an 1 n 2由題得a? 6, 3,所以 2,(n 1)a12ann 1 a2所以a13 a34

11、 a45 an2 -, 2 2 -,L2 a23 a34an 1所以ana1an(n 1) 2n 1所以 Sn (n 2) 2nn 2n.n 2故選：B本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查數(shù)列前n項(xiàng)和與an的關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.點(diǎn)，給出下列命題：ACi12 .在正方體ABCD ABiCiDi中，點(diǎn)E, F , G分別為棱Ai Di , Di D , AB1的中EG ； GC/ED ; BiF 平面 BGCi ； EF 和 BBi成角為一.正確命題的個數(shù)是（）4A. 0B. iC, 2D. 3【答案】C【解析】建立空間直角坐標(biāo)系， 利用向量的方法對四個命題逐一分析，由此得出正

12、確命題的個數(shù).【詳解】設(shè)正方體邊長為 2,建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，A 2,0,0 Q 0,2,2 ,G 2,i,2 ,C 0,2,0 ,E i,0,2 ,D 0,0,0 ,B 2,2,2 ,F 0,0,i ,B 2,2,0uur，ACiuuur2,2,2 ,EGuuuu uuuri,i,0 , ACi EG2 2 0 0,所以 AG EG ,故正確.uuur ，GCuuur2,i, 2 ,EDi,0, 2，不存在實(shí)數(shù)uuir 使GCED ,故 GC/ED 不成立，故錯誤.uun，BiF2, 2,uuur i ,BGuuur0, i,2 ,BCi2,0,2 ,uuuu uur uuur u

13、uurBF BG 0,BF BG 2 0,故BiF平面BGCi不成立，故錯誤.uuuuur，EF i,0, i ,BBi0,0,2 ，設(shè) EF 和 BBi成角為，則cosuuur uuirEF BBEF BBi0,-,所以2綜上所述，正確的命題有 2個.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間線線、線面位置關(guān)系的向量判斷方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.二、填空題2x y 213 .若x,y滿足約束條件y 2 0 ,則z x y的最大值為 2x y 2【答案】4【解析】【詳解】作出可行域如圖所示:2x y 2由 y ,解得A 2,2 . y 2目標(biāo)函數(shù)z x y ,即為y x z,平移斜率為-1的

14、直線，經(jīng)過點(diǎn) A 2,2時，Zmax 2 24.14 .曲線f(x) 2sin x在x 一處的切線與直線 ax y 1 0垂直，則a3【答案】1【解析】先求出切線的斜率k f () 1,解方程1 ( a) 1即得解.3【詳解】由題得 f (x) 2cosx, k f (-) 1.3所以 1 ( a) 1, a 1.故答案為：1【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查兩直線垂直的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.15 .在半彳空為2的圓上有 A, B兩點(diǎn)，且AB 2,在該圓上任取一點(diǎn) P ,則使得 PAB 為銳角三角形的概率為 .-1【答案】6【解析】如圖，當(dāng)點(diǎn)P在劣弧CD上運(yùn)動時，P

15、AB為銳角三角形.求出劣弧CD的長,再利用幾何概型的概率公式求解 .【詳解】如圖，四邊形 ABCD是矩形，當(dāng)點(diǎn)P在劣弧CD上運(yùn)動時，PAB為銳角三角形由于 OD=OC=CD=2 ,所以 COD 一, 3 ，一 ，一，2所以劣弧CD的長為2 -=2-,2由幾何概型的概率公式得-3 _ 1 .P r=61故答案為：16本題主要考查幾何概型的概率的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平 三、雙空題16 .三棱錐 A BCD的頂點(diǎn)都在同一個球面上，滿足 BD過球心O,且BD 2J2， 則三棱錐 A BCD體積的最大值為 ;三棱錐 A BCD體積最大時，平面 ABC截球所得的截面圓的面積為 .第25

16、頁共19頁33【解析】由于BD是球的直徑，故當(dāng)OC BD,OA BD時，三棱錐A BCD體積取得最大值，由此求得體積的最大值.求得三棱錐 A BCD體積最大時，等邊三角形 ABC 的外接圓半徑，由此求得等邊三角形 ABC的外接圓的面積，也即求得平面 ABC截球 所得的截面圓的面積.【詳解】依題意可知,BD是球的直徑，所以當(dāng) OCBD,OA BD,即 oc oa g 時,三棱錐A BCD體積取得最大值為1 S BCD OA - - 272 V2.33 23此時BC AC AB 2,即三角形 ABC是等邊三角形，設(shè)其外接圓半徑為2 c1 2 rr弦定理得J3,所以等邊三角形 ABC的外接圓的面積，

17、也即平面sin 一3ABC截球所得的截面圓的面積為 4 r2 4214,33【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體外接球的有關(guān)計算，考查球的截面面積的計算，考查空間想象能力，屬于中檔題.四、解答題2-117 .已知在 ABC 的二個內(nèi)角分別為 A、B、C , sin Bsin2 A J2cosA, cosB -.3（1）求A的大小;(2)若 AC 2,求 AB長.【答案】(1) A (2)，6 1 343cosA即得解；（2）求【解析】（1）由題得sin B 2也，再解方程2 1 cos2 A 3出 sin C3 2 2 ,再利用正弦定理得解6(1)由題得sin B22 ,所以 2sin 2 A 3co

18、s A ,所以 2 1 cos A 3cosA,1，八、解得 cosA , Q A (0, ), . A -.23(2)sin Csin( A B) sin AcosB cos A sin B1 1 213 2.22 3 236AB AC由正弦7E理得ABsin C sin BAC.6sinC1. sin B4本題主要考查同角的三角函數(shù)關(guān)系,考查和角的正弦公式的應(yīng)用,考查正弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平18 . 2019年入冬時節(jié)，長春市民為了迎接2022年北京冬奧會，增強(qiáng)身體素質(zhì)，積極開展冰上體育鍛煉.現(xiàn)從速滑項(xiàng)目中隨機(jī)選出100名參與者，并由專業(yè)的評估機(jī)構(gòu)對他們的鍛煉

19、成果進(jìn)行評估打分（滿分為100分）并且認(rèn)為評分不低于 80分的參與者擅長冰上運(yùn)動，得到如圖所示的頻率分布直方圖：(2)將選取的100名參與者的性別與是否擅長冰上運(yùn)動進(jìn)行統(tǒng)計，請將下列2 2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯誤的概率在不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動與性別有關(guān)系？擅長不擅長合計男性30女性50合計100P K2 k0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(K2n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)【答案】(1) m 0.025 (2)填表見解析；不能在犯錯誤的

20、概率不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動與性別有關(guān)系【解析】(1)利用頻率分布直方圖小長方形的面積和為1列方程，解方程求得 m的值.(2)根據(jù)表格數(shù)據(jù)填寫 2 2列聯(lián)表，計算出 K2的值，由此判斷不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動與性別有關(guān)系.【詳解】(1)由題意 0.005 2 0.015 0.02 m 0.03 10 1,解得 m 0.025.(2)由頻率分布直方圖可得不擅長冰上運(yùn)動的人數(shù)為0.025+0.003 10 100 30.完善列聯(lián)表如下：擅長不擅長合計男性203050女性104050合計30701002oK2n(ad bc)100 (800 300)-K

21、4.762(a b)(c d)(a c)(b d) 50 50 30 70對照表格可知，4.762 6.635,不能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為擅長冰上運(yùn)動與性別有關(guān)系.【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)頻率分布直方圖計算小長方形的高，考查2 2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn),屬于基礎(chǔ)題.19 .如圖，直三棱柱 ABC ABQi中，底面ABC為等腰直角三角形，AB BC ,AA 2AB 4, M , N分別為CCi , BBi的中點(diǎn)，G為棱AAi上一點(diǎn)，且AB NG .工1(1)求證 AB GM ；(2)求點(diǎn)A到平面MNG的距離.【答案】(1)證明見解析(2)8L55【解析】(1)先證明AiB 平面MN

22、G, AB MG即得證；(2)設(shè)AB與GN交于點(diǎn)E,4 .56,5先求出be ,再求出 A E -即得解.55【詳解】(1)由題意平面 ABB1A1平面BCCiBi,因?yàn)镸N BBi,所以MN 平面ABB1Al，因?yàn)锳1B 平面ABB1A1,所以MN AB,因?yàn)镚N AB,MN ,GN 平面 MNG ,MN I GN N ,所以AB 平面MNG,因?yàn)镸G 平面MNG,所以AB MG.(2)設(shè)AB與GN交于點(diǎn)E,在直角 AiBBi 中，COS ABB142、5255在直角 BNE中，cos ABB15型5 BNBE4. 5，所以BE 7 ,25則AE 2 .5返通, 55因?yàn)锳B 平面MNG,所

23、以AiE就是A1到平面MNG的距離, 可知Ai到平面MNG的距離為6萬.5【點(diǎn)睛】本題主要考查直線平面位置關(guān)系的證明，考查空間點(diǎn)到平面距離的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平 .2220.已知橢圓C：與 4 1 (a b 0)的左、右頂點(diǎn)分別為 A、B,焦距為2, a b點(diǎn)P為橢圓上異于 A、B的點(diǎn)，且直線 PA和PB的斜率之積為 -.4(1)求C的方程；(2)設(shè)直線AP與y軸的交點(diǎn)為Q,過坐標(biāo)原點(diǎn)。作OMAP交橢圓于點(diǎn) M，試證|AP|AQ|OM |2為定值，并求出該定值【解析】程為：y定值.(1)(1)由已知得b2 a(2)證明見解析；該定值為 2k(x 2),求出 xp6 8k2

24、3 4k21 ,即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2Xm12J ,再計算4k(2)設(shè)直線AP的方|AP| |AQ|_ 2|OM |得其值為2(1)已知點(diǎn)p在橢圓C :與a2L 1 b20)上,可設(shè)P2xo, yo，即-2 ay2b71,又kAPVoX0 aVoXo ayo22X0ab2且2c2C的方程為工42y3(2)設(shè)直線AP的方程為：y k(x2),則直線OM的方程為kx.聯(lián)立直線AP與橢圓C的方程可得:3 4k216k2_ 2x 16k由Xa2,可得xpp6 8k23 4k2聯(lián)立直線OM與橢圓C的方程可得:3 4k212c 12即xM 2 ,即3 4k2IAP|AQ|OM |2本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

25、的求法,的理解掌握水平.1 3221 .已知函數(shù)f (x) -x x3(1)若X1為f(x)的極值點(diǎn)，且XaXp 2I0 2|22 .XMXM考查橢圓中的定值問題,意在考查學(xué)生對這些知識mx m.f X1f X2 ( X1 X2),求 2x1 X2 的值.(2)求證：當(dāng)m 0時，f(x)有唯一的零點(diǎn)_ _ 2 _ 0 , 3x1 6x, 3m 0 ,對兩式消【答案】(1) 2xi X23 (2)證明見解析【解析】(1)由題得 X12+X1X2+X22+3X, +3x2+3mm(x 1),再分析1 32兀因式分斛即得2x1次的值；(2)由題得-X x3h(x)132工-x x 和 y3m(x 1

26、)的圖象即得當(dāng) m0時，f(x)有唯一的零點(diǎn)(1)由題得 f (x) X2 2x m,由題可知f x1 321 3f x2 ,所以 _ x1 x1 mx1 m - x2 332x2 mx2 m,H x12+x1x2+x22+3x1+3x2+3m 0 (i)2 _ . _ 2 _.0,所以 x1 2x1 m 0 JP 3x1 6x1 3m0 (ii)(ii)-得 2x12 x1x2 x22 3x13x20,(2x1 X2)(X1 X2)3(X1 X2 )0 ,所以(2x1 x2 3)( x1 x2) 0,Q x1x2, 2x, x23.1 321 32(2)令 f(x) -x x mx m 0,

27、則x x33m(x 1),1 322令 h(x) -x x , h (x) x 2x , 3可知h(x)在(2)和(0,)上單調(diào)遞增，在2,0上單調(diào)遞減,_4又 h( 2) 4, h(0) 0；3y m(x 1)為過(1,0)點(diǎn)的直線，又m 0,則m 0,因此1 x3 x23m(x 1)有且只有一個交點(diǎn),即 f (X)2X mx m有唯一的零點(diǎn)本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)和極值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水 平.x 2 2cos22.已知曲線Ci的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線C2的參數(shù)方程為y 2sin3x 8 t cos 4 （t為參數(shù)）.3y t sin 4（1）求Ci和C2的普通方程；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)。作直線交曲線Ci于點(diǎn)M （ M異于O）,交曲線C2于點(diǎn)N ,求|ON|OM |的最小值.【答案】（1）曲線Ci的普通方程為：（x 2）2 y2 4 ；曲線C2的普通方程為:X y 8 0（2） 4（衣 1）【解析】（1）消去曲線Ci,C2參數(shù)方程中的參數(shù)，求得 Ci和C2的普通方程.（2）設(shè)出過原點(diǎn) O的直線的極坐標(biāo)方程，代入曲線Ci,C2的極坐標(biāo)方程，求得|ON |on , om的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)值