行列式的展開(kāi)定理與克拉默法則

1、引例引例,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 2223113233aaaaa 可見(jiàn)，三階行列式可通過(guò)二階行列式來(lái)表示可見(jiàn)，三階行列式可通過(guò)二階行列式來(lái)表示2123123133aaaaa 2122133132aaaaa 定義定義在在 n 階行列式階行列式 中將元素中將元素 所在的所在的ijadet()ija第第 i 行行與第與第 j 列劃去，剩下列劃去，剩下 個(gè)元素按原位置

2、個(gè)元素按原位置2(1)n 次序構(gòu)成一個(gè)次序構(gòu)成一個(gè) 階的行列式，階的行列式，1n 111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjniijijiniijijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaa稱(chēng)之為元素稱(chēng)之為元素 的的余子式余子式, ,記作記作 ijMija( 1)ijijijAM 令令稱(chēng)稱(chēng) 之為元素之為元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ijaijA注：注： 行列式中每一個(gè)元素分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式行列式中每一個(gè)元素分別對(duì)應(yīng)著一個(gè)余子式和代數(shù)余子式和代數(shù)余子式無(wú)關(guān)，只與該元素的在行列式中的位置有關(guān)無(wú)關(guān)，只與該元素的在行列式中的位置有關(guān) 元素元素 的余子式

3、和代數(shù)余子式與的余子式和代數(shù)余子式與 的大小的大小ijaija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 21222413313234414244,aaaMaaaaaa1 313131AM 13.M元素除元素除 外都為外都為 0，則，則ija.ijijDa A 1.1.引理引理若若n 階行列式階行列式 D = 的的 中第中第 i 行所有行所

4、有det()ija證：證： 先證的情形，即先證的情形，即11ijaa 11212221200nnnnnaaaaDaaa 由行列式的定義，有由行列式的定義，有1 2121 2()12( 1)nnnj jjjjnjj jjDaaa 222()112( 1)nnnjjjnjjjaaa 222112nnnnaaaaa 1111.a A 1111a M 結(jié)論成立結(jié)論成立. .一般情形：一般情形：111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,10000jjjniijijijinijiijijijinnn jnjn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa111,1

5、11,1111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,10000( 1)ijjjjniiijijijiniijijijinnn jnjn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 1111,11,11111,1,11,11,11,1,1,11,11,11,1,1,10000( 1)( 1)ijjjjnijijiijijinijiijijinnjnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 2( 1)ijijija M ( 1)ijijija M ( 1),ijijijijijaMa A 結(jié)論成立結(jié)論成立. .111,11,1121,11,11,11,1

6、,11,11,11,1,1,1( 1)jjnijiijijinijiijijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaa 2.2.定理定理行列式行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素與其等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即即1122jjjjnjnjDa Aa Aa A1122iiiiininDa Aa Aa A1nikikka A 1,2,in 1nkjkjka A 1,2,jn 或或行列式按行（列）展開(kāi)法則行列式按行（列）展開(kāi)法則證：證： 11121121200 0000niiinnnnnaaaaaaDaaa 1122.iiii

7、inina Aa Aa A11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa ni, 2 , 1 例例1. .計(jì)算行列式計(jì)算行列式 311 2513420111533D 解：解： 1343211130153ccccD 511 0005 11 51111 1155 0 2151162055 0rr 1 362( 1)55 40. 例例2. .計(jì)算計(jì)算n n階行列式階行列式 00 000 0.0 0 00 00na ba bDa bba 解：解： 1(1)(1)0 000 000 00 0( 1)0 00 00

8、0 000 0nnnna bbaa bDaba bbaa b 1111( 1)( 1).nnnnnna ab bab 例例3. .證明范德蒙行列式證明范德蒙行列式 （熟記）（熟記）P181232222123111111231111()nnnijj i nnnnnnxxxxxxxxDxxxxxx 范德蒙行列式范德蒙行列式 中至少兩個(gè)相等中至少兩個(gè)相等120,nnDx xx注：注：范德蒙行列式另一形式：范德蒙行列式另一形式：211112121221333211111nnnnnnnxxxxxxxxxxxx 3.3.推論推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的行列式任一行（列）的元素與另一行（列）

9、的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即11220,ijijninja Aa Aa Aij11220,ijijinjna Aa Aa Aij證證行展開(kāi)，有行展開(kāi)，有按第按第把行列式把行列式j(luò)aDij)det( 11111111,niinjjjnjnjjnnnnaaaaa Aa Aaaaa可得可得換成換成把把), 1(nkaaikjk 11111111,niinijinjniinnnnaaaaa Aa Aaaaa行行第第 j行行第第 i相同相同11220,.ijijninja Aa Aa Aij11220.ijijinjna Aa Aa A 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,

10、ij 同理可證同理可證, , 10nikjkkDija Aij 10nkikjkDija Aij 綜合定理及推論，有關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：綜合定理及推論，有關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：例例4. .設(shè)設(shè) 求求 35 211105,1 3132413D 解：解：11121314AAAA111111051 3132413 4. 和和11213141.MMMM11121314AAAA11213141MMMM11213141AAAA15211 10513131413 0. 例例5. .計(jì)算計(jì)算2n階行列式階行列式 22nnababDbaba其中未標(biāo)明的元素都是其中未標(biāo)明的元素都是0.解：解：將將D D

11、n n按第一行展開(kāi)得按第一行展開(kāi)得 21221210000000000000( 1)00000000000000000000nnnnababaabDabbabababaab 上式第一個(gè)行列式按最后一行展開(kāi)，第上式第一個(gè)行列式按最后一行展開(kāi)，第二個(gè)行列式按第一列展開(kāi)，可得到二個(gè)行列式按第一列展開(kāi)，可得到 2222(1)(),nnDabD以此作遞推公式，即得以此作遞推公式，即得2222122(2)2()()nnnDabDabD221()nababba22() .nab自然科學(xué)與工程技術(shù)中，我們會(huì)碰到未知數(shù)的個(gè)數(shù)自然科學(xué)與工程技術(shù)中，我們會(huì)碰到未知數(shù)的個(gè)數(shù)很多的線(xiàn)性方程組很多的線(xiàn)性方程組如如n元一次

12、線(xiàn)性方程組元一次線(xiàn)性方程組11112211211222221122,(1).nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb 它的解也有類(lèi)似二元、三元一次線(xiàn)性方程組的結(jié)論它的解也有類(lèi)似二元、三元一次線(xiàn)性方程組的結(jié)論.三、克拉默法則三、克拉默法則（Cramer，瑞士，瑞士，17041752）2 2）n階行列式的性質(zhì)與計(jì)算？階行列式的性質(zhì)與計(jì)算？1 1）怎樣定義）怎樣定義n階行列式？階行列式？有解的情況下，如何表示此解？有解的情況下，如何表示此解？3 3）方程組）方程組( () )在什么情況下有解？在什么情況下有解？定理定理 如果線(xiàn)性方程組如果線(xiàn)性方程組（1）的系數(shù)行列式

13、的系數(shù)行列式 1112121222120,nnnnnnaaaaaaDaaa 則方程組則方程組()有唯一解有唯一解:1212,.nnDDDxxxDDD（2）Cramer法則法則其中其中是把行列式是把行列式中第中第 列列(1,2, )jDjn Dj所得的一個(gè)所得的一個(gè) n 級(jí)行列式，即級(jí)行列式，即的元素用方程組的元素用方程組（1）的常數(shù)項(xiàng)代換）的常數(shù)項(xiàng)代換 12,nb bb111,111,11212,122,121,1,1jjnjjnjnn jnn jnnaabaaaabaaDaabaa 1122jjnnjb Ab Ab A1.nssjsb A 注解注解1 1：克拉默克拉默( (Cramer) )

14、法則中包含著兩個(gè)前提和三個(gè)結(jié)論：法則中包含著兩個(gè)前提和三個(gè)結(jié)論：前提：前提：（1 1）線(xiàn)性方程組（）線(xiàn)性方程組（1 1）中方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)；）中方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)；（2 2）線(xiàn)性方程組（）線(xiàn)性方程組（1 1）的系數(shù)矩陣的行列式不等于零）的系數(shù)矩陣的行列式不等于零. .結(jié)論：結(jié)論：（1）線(xiàn)性方程組（）線(xiàn)性方程組（1）有解；）有解；（2）線(xiàn)性方程組（）線(xiàn)性方程組（1）的解是唯一的；）的解是唯一的；（3）線(xiàn)性方程組（）線(xiàn)性方程組（1）的解由公式（）的解由公式（2）給出）給出.例例 6 用克拉默法則解方程組用克拉默法則解方程組 . 0674, 522, 963, 8524321432

15、4214321xxxxxxxxxxxxxx解：解：6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 方程組的系數(shù)行列式方程組的系數(shù)行列式12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)不等時(shí)程的個(gè)數(shù)與未知量的個(gè)數(shù)不等時(shí), , 就不能用克拉就不能用克拉通過(guò)上述例子通過(guò)上述例子, , 我們看到用克拉默法則求解我們看到用克拉默法則求解線(xiàn)性方程組時(shí)線(xiàn)性方程組時(shí), ,要計(jì)算要計(jì)算 n+1 個(gè)個(gè) n 階行列式階行列式, ,這個(gè)這個(gè)計(jì)算量是相當(dāng)大的計(jì)算量是相當(dāng)大的. . 所以所以,