行列式的展開定理與克拉默法則

1、引例引例,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 2223113233aaaaa 可見，三階行列式可通過二階行列式來表示可見，三階行列式可通過二階行列式來表示2123123133aaaaa 2122133132aaaaa 定義定義在在 n 階行列式階行列式 中將元素中將元素 所在的所在的ijadet()ija第第 i 行行與第與第 j 列劃去，剩下列劃去，剩下 個元素按原位置

2、個元素按原位置2(1)n 次序構(gòu)成一個次序構(gòu)成一個 階的行列式，階的行列式，1n 111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1jjniijijiniijijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaa稱之為元素稱之為元素 的的余子式余子式, ,記作記作 ijMija( 1)ijijijAM 令令稱稱 之為元素之為元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式ijaijA注：注： 行列式中每一個元素分別對應著一個余子式行列式中每一個元素分別對應著一個余子式和代數(shù)余子式和代數(shù)余子式無關，只與該元素的在行列式中的位置有關無關，只與該元素的在行列式中的位置有關 元素元素 的余子式

3、和代數(shù)余子式與的余子式和代數(shù)余子式與 的大小的大小ijaija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 21222413313234414244,aaaMaaaaaa1 313131AM 13.M元素除元素除 外都為外都為 0，則，則ija.ijijDa A 1.1.引理引理若若n 階行列式階行列式 D = 的的 中第中第 i 行所有行所

4、有det()ija證：證： 先證的情形，即先證的情形，即11ijaa 11212221200nnnnnaaaaDaaa 由行列式的定義，有由行列式的定義，有1 2121 2()12( 1)nnnj jjjjnjj jjDaaa 222()112( 1)nnnjjjnjjjaaa 222112nnnnaaaaa 1111.a A 1111a M 結(jié)論成立結(jié)論成立. .一般情形：一般情形：111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,10000jjjniijijijinijiijijijinnn jnjn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa111,1

5、11,1111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,10000( 1)ijjjjniiijijijiniijijijinnn jnjn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 1111,11,11111,1,11,11,11,1,1,11,11,11,1,1,10000( 1)( 1)ijjjjnijijiijijinijiijijinnjnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 2( 1)ijijija M ( 1)ijijija M ( 1),ijijijijijaMa A 結(jié)論成立結(jié)論成立. .111,11,1121,11,11,11,1

6、,11,11,11,1,1,1( 1)jjnijiijijinijiijijinnn jn jnnaaaaaaaaaaaaaaaaa 2.2.定理定理行列式行列式 D 等于它的任一行（列）的各元素與其等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和，對應的代數(shù)余子式乘積之和，即即1122jjjjnjnjDa Aa Aa A1122iiiiininDa Aa Aa A1nikikka A 1,2,in 1nkjkjka A 1,2,jn 或或行列式按行（列）展開法則行列式按行（列）展開法則證：證： 11121121200 0000niiinnnnnaaaaaaDaaa 1122.iiii

7、inina Aa Aa A11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa ni, 2 , 1 例例1. .計算行列式計算行列式 311 2513420111533D 解：解： 1343211130153ccccD 511 0005 11 51111 1155 0 2151162055 0rr 1 362( 1)55 40. 例例2. .計算計算n n階行列式階行列式 00 000 0.0 0 00 00na ba bDa bba 解：解： 1(1)(1)0 000 000 00 0( 1)0 00 00

8、0 000 0nnnna bbaa bDaba bbaa b 1111( 1)( 1).nnnnnna ab bab 例例3. .證明范德蒙行列式證明范德蒙行列式 （熟記）（熟記）P181232222123111111231111()nnnijj i nnnnnnxxxxxxxxDxxxxxx 范德蒙行列式范德蒙行列式 中至少兩個相等中至少兩個相等120,nnDx xx注：注：范德蒙行列式另一形式：范德蒙行列式另一形式：211112121221333211111nnnnnnnxxxxxxxxxxxx 3.3.推論推論行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的行列式任一行（列）的元素與另一行（列）

9、的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即11220,ijijninja Aa Aa Aij11220,ijijinjna Aa Aa Aij證證行展開，有行展開，有按第按第把行列式把行列式jaDij)det( 11111111,niinjjjnjnjjnnnnaaaaa Aa Aaaaa可得可得換成換成把把), 1(nkaaikjk 11111111,niinijinjniinnnnaaaaa Aa Aaaaa行行第第 j行行第第 i相同相同11220,.ijijninja Aa Aa Aij11220.ijijinjna Aa Aa A 當當 時時, ,

10、ij 同理可證同理可證, , 10nikjkkDija Aij 10nkikjkDija Aij 綜合定理及推論，有關于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：綜合定理及推論，有關于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：例例4. .設設 求求 35 211105,1 3132413D 解：解：11121314AAAA111111051 3132413 4. 和和11213141.MMMM11121314AAAA11213141MMMM11213141AAAA15211 10513131413 0. 例例5. .計算計算2n階行列式階行列式 22nnababDbaba其中未標明的元素都是其中未標明的元素都是0.解：解：將將D D

11、n n按第一行展開得按第一行展開得 21221210000000000000( 1)00000000000000000000nnnnababaabDabbabababaab 上式第一個行列式按最后一行展開，第上式第一個行列式按最后一行展開，第二個行列式按第一列展開，可得到二個行列式按第一列展開，可得到 2222(1)(),nnDabD以此作遞推公式，即得以此作遞推公式，即得2222122(2)2()()nnnDabDabD221()nababba22() .nab自然科學與工程技術中，我們會碰到未知數(shù)的個數(shù)自然科學與工程技術中，我們會碰到未知數(shù)的個數(shù)很多的線性方程組很多的線性方程組如如n元一次

12、線性方程組元一次線性方程組11112211211222221122,(1).nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxaxb 它的解也有類似二元、三元一次線性方程組的結(jié)論它的解也有類似二元、三元一次線性方程組的結(jié)論.三、克拉默法則三、克拉默法則（Cramer，瑞士，瑞士，17041752）2 2）n階行列式的性質(zhì)與計算？階行列式的性質(zhì)與計算？1 1）怎樣定義）怎樣定義n階行列式？階行列式？有解的情況下，如何表示此解？有解的情況下，如何表示此解？3 3）方程組）方程組( () )在什么情況下有解？在什么情況下有解？定理定理 如果線性方程組如果線性方程組（1）的系數(shù)行列式

13、的系數(shù)行列式 1112121222120,nnnnnnaaaaaaDaaa 則方程組則方程組()有唯一解有唯一解:1212,.nnDDDxxxDDD（2）Cramer法則法則其中其中是把行列式是把行列式中第中第 列列(1,2, )jDjn Dj所得的一個所得的一個 n 級行列式，即級行列式，即的元素用方程組的元素用方程組（1）的常數(shù)項代換）的常數(shù)項代換 12,nb bb111,111,11212,122,121,1,1jjnjjnjnn jnn jnnaabaaaabaaDaabaa 1122jjnnjb Ab Ab A1.nssjsb A 注解注解1 1：克拉默克拉默( (Cramer) )

14、法則中包含著兩個前提和三個結(jié)論：法則中包含著兩個前提和三個結(jié)論：前提：前提：（1 1）線性方程組（）線性方程組（1 1）中方程的個數(shù)等于未知量的個數(shù)；）中方程的個數(shù)等于未知量的個數(shù)；（2 2）線性方程組（）線性方程組（1 1）的系數(shù)矩陣的行列式不等于零）的系數(shù)矩陣的行列式不等于零. .結(jié)論：結(jié)論：（1）線性方程組（）線性方程組（1）有解；）有解；（2）線性方程組（）線性方程組（1）的解是唯一的；）的解是唯一的；（3）線性方程組（）線性方程組（1）的解由公式（）的解由公式（2）給出）給出.例例 6 用克拉默法則解方程組用克拉默法則解方程組 . 0674, 522, 963, 8524321432

15、4214321xxxxxxxxxxxxxx解：解：6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 方程組的系數(shù)行列式方程組的系數(shù)行列式12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx. 1272744 DDx程的個數(shù)與未知量的個數(shù)不等時程的個數(shù)與未知量的個數(shù)不等時, , 就不能用克拉就不能用克拉通過上述例子通過上述例子, , 我們看到用克拉默法則求解我們看到用克拉默法則求解線性方程組時線性方程組時, ,要計算要計算 n+1 個個 n 階行列式階行列式, ,這個這個計算量是相當大的計算量是相當大的. . 所以所以,