27平面向量的數(shù)量積

1、2021/8/61平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積2021/8/62憶憶 一一 憶憶 知知 識(shí)識(shí) 要要 點(diǎn)點(diǎn)1兩個(gè)向量的夾角兩個(gè)向量的夾角 已已知知兩兩個(gè)個(gè)非非零零向向量量作作,.abOAa OBb 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí) ，與與同同 向向 ；(1)0ab 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，與與 反反向向；(2)180ab 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，與與 垂垂直直記記作作(3)90,.abab 則則叫叫做做向向量量與與的的夾夾角角.AOBab OABba , a b 記作：(4),0, a b 2021/8/63憶憶 一一 憶憶 知知 識(shí)識(shí) 要要 點(diǎn)點(diǎn)2. 平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積 已知兩個(gè)非零向量已知兩個(gè)非零向量a 和和 b, 它們的夾

2、角為它們的夾角為, 則數(shù)則數(shù)量量|a|b|cos 叫做叫做a 和和b 的數(shù)量積的數(shù)量積(或內(nèi)積或內(nèi)積), 記作記作 ab|a|b|cos . 規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為_. 兩個(gè)非零向量?jī)蓚€(gè)非零向量a與與b垂直的充要條件是垂直的充要條件是ab0， 兩個(gè)非零向量?jī)蓚€(gè)非零向量a與與b平行的充要條件是平行的充要條件是ab|a|b|.02021/8/64當(dāng)當(dāng) 為銳角時(shí)為銳角時(shí),投影為正值；投影為正值；當(dāng)當(dāng) 為鈍角時(shí)為鈍角時(shí),投影為負(fù)值；投影為負(fù)值；當(dāng)當(dāng) 為直角時(shí)為直角時(shí),投影為投影為0； 投影是一個(gè)數(shù)量投影是一個(gè)數(shù)量,不是向量不是向量, 投影可以是正數(shù)、零投影可以

3、是正數(shù)、零或負(fù)數(shù)或負(fù)數(shù).當(dāng)當(dāng) = 0 時(shí)時(shí),投影為投影為 |b|;當(dāng)當(dāng) = 180 時(shí)時(shí),投影為投影為 - -|b|. 3.平面向量數(shù)量積的幾何意義平面向量數(shù)量積的幾何意義 數(shù)量積數(shù)量積ab等于等于a的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度|a|與與b在在a的方向上的投影的方向上的投影|b|cos的乘積的乘積憶憶 一一 憶憶 知知 識(shí)識(shí) 要要 點(diǎn)點(diǎn)B1 OABb a |cosb 2021/8/65憶憶 一一 憶憶 知知 識(shí)識(shí) 要要 點(diǎn)點(diǎn)4平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律平面向量數(shù)量積滿足的運(yùn)算律a bb a()()(),ababa b ()abca cb c R (1)(2)(3)2021/8/66(2)0;aba b 當(dāng)當(dāng)

4、和和 同同向向時(shí)時(shí)(3),| |aba bab 當(dāng)當(dāng) 和和 反反向向時(shí)時(shí),| |aba bab (4)cos;| |a bab (5)| | |a bab 22|a aaa 2|aa aa 5.平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)數(shù)量積的重要性質(zhì)數(shù)量積的重要性質(zhì)憶憶 一一 憶憶 知知 識(shí)識(shí) 要要 點(diǎn)點(diǎn)(1)|cose ae aa 2021/8/676平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示平面向量數(shù)量積有關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)表示憶憶 一一 憶憶 知知 識(shí)識(shí) 要要 點(diǎn)點(diǎn)1212x xy y 22xy 12120 x xy y2021/8/68 【例【例1】已知】已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向

5、量是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量, 若向若向 量量 c 滿足滿足 (ac)(bc)0，則，則|c|的最大值是的最大值是_2方法一方法一2021/8/69方法二方法二 所以向量所以向量 c 的起點(diǎn)即坐標(biāo)原點(diǎn)在這個(gè)圓上，終點(diǎn)也在這個(gè)圓的起點(diǎn)即坐標(biāo)原點(diǎn)在這個(gè)圓上，終點(diǎn)也在這個(gè)圓上又圓上兩點(diǎn)間的最大距離等于圓的直徑長(zhǎng)，所以上又圓上兩點(diǎn)間的最大距離等于圓的直徑長(zhǎng)，所以|c|的最大的最大值是值是 .2【例【例1】已知】已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量, 若向若向 量量 c 滿足滿足 (ac)(bc)0，則，則|c|的最大值是的最大值是_2021/8/610【例【例1】

6、已知】已知a，b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量, 若向若向 量量 c 滿足滿足 (ac)(bc)0，則，則|c|的最大值是的最大值是_2021/8/6112021/8/612D 2021/8/613 2021/8/6142021/8/615 (1) 已知平面向量已知平面向量, , |1,(2, 0) , (2 ),求求|2|的值；的值； (2)已知三個(gè)向量已知三個(gè)向量a, b, c兩兩所夾的角都為兩兩所夾的角都為120 ,|a|1, |b|2, |c|3,求向量求向量abc與向量與向量a的夾角的夾角.2021/8/616 (2)已知三個(gè)向量已知三個(gè)向量a, b, c兩兩所夾的角都為兩兩所夾的角都為120 ,|a|1, |b|2, |c|3,求向量求向量abc與向量與向量a的夾角的夾角.2021/8/617 2021/8/6182021/8/6192021/8/6202021/8/6212021/8/6223.（2012年高考湖南