NO靜電場(chǎng)泊松方程和拉普拉斯方程實(shí)用教案

1、2.5 泊松方程(fngchng)和拉普拉斯方程(fngchng)微分形式：0ED積分形式:lSl dEqSdD02.5.1 靜電場(chǎng)的基本(jbn)方程本構(gòu)關(guān)系(gun x):線形、各向同性媒質(zhì)ED靜電場(chǎng):無旋有散場(chǎng)第1頁/共32頁第一頁，共33頁。2.5.2 泊松方程(fngchng)和拉普拉斯方程(fngchng) D2EED2EEEED電位 滿足的泊松方程當(dāng) 場(chǎng)中無電荷分布 (即 )的區(qū)域:002拉普拉斯方程(fngchng)2拉普拉斯算子(sun z)第2頁/共32頁第二頁，共33頁。拉普拉斯算子(sun z)在不同坐標(biāo)系中的計(jì)算公式2直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系中:圓柱(

2、yunzh)坐標(biāo)系中:球坐標(biāo)系中:zyxzayaxazayaxazyxzyx2222222第3頁/共32頁第三頁，共33頁。四 . 一維泊松方程(fngchng)的求解P.66 例2-9 例2-10第4頁/共32頁第四頁，共33頁。 例 1 設(shè)有一個(gè)半徑為a的球體, 其中均勻充滿體電荷密度為v(C/m3)的電荷, 球內(nèi)外的介電常數(shù)均為0,試用電位微分方程, 求解球內(nèi)、外的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。 解：設(shè)球內(nèi)、外的電位分別為1和2, 1滿足(mnz)泊松方程, 2滿足(mnz)拉普拉斯方程, 由于電荷均勻分布, 場(chǎng)球?qū)ΨQ, 所以1、 2均是球坐標(biāo)r的函數(shù)。 ;第5頁/共32頁第五頁，共33頁。(1) 分

3、別列出球內(nèi)、外的電位(din wi)方程: 當(dāng)ra時(shí), 0122121vrrrr當(dāng)ra時(shí), 0122222rrrr將上述兩個(gè)(lin )方程分別積分兩次可得1、2的通解: DrCBrArv22016第6頁/共32頁第六頁，共33頁。 (2) 根據(jù)邊界條件, 求出積分常數(shù)A、B、C、D: 邊界條件是: ; r=a, 1=2; ; r=a, r, 2=0(以無限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn)); ; r=0, (因?yàn)殡姾煞植记驅(qū)ΨQ, 球心處場(chǎng)強(qiáng)E1=0, 即Er=0)。 由上述條件, 確定通解中的常數(shù): ;2010rr01r02032,3, 0, 0aBaCDAvv第7頁/共32頁第七頁，共33頁。 例 2 如圖所

4、示三個(gè)區(qū)域, 它們的介電常數(shù)均為0, 區(qū)域2中的厚度為d(m), 其中充滿體電荷密度為v(C/m3)的均勻體電荷, 分界面為無限大。試分別(fnbi)求解、區(qū)域的位函數(shù)與電場(chǎng)強(qiáng)度。 平板形體電荷(dinh)的幾何關(guān)系 第8頁/共32頁第八頁，共33頁。 解設(shè)、 、 區(qū)域(qy)的電位函數(shù)分別為1(y)、2(y)、 3(y)。 (1) 分別列出三個(gè)區(qū)域(qy)的電位方程。 在、 兩個(gè)區(qū)域(qy)內(nèi)電位滿足拉普拉斯方程, 而第區(qū)域(qy)的電位滿足泊松方程: 2022202323202222221212dydyddyddydyddydv第9頁/共32頁第九頁，共33頁。將上面(shng min)三

5、個(gè)方程分別分兩次可得653432022112CyCCyCyCyCv 由場(chǎng)分布的y=0平面對(duì)稱性，可知3(y)= 1(-y)，所以(suy)我們只需求解1和2，也就是只要根據(jù)邊界條件確定常數(shù)C1、 C2 、 C3 、 C4。 第10頁/共32頁第十頁，共33頁。(2) 由邊界條件確定(qudng)常數(shù): 邊界條件為: 2dy 時(shí), 1=2; dyddyd2010(交界面上無自由面電荷(dinh); y=0, 2=0 因體電荷板無限大, 不能選擇(xunz)無限遠(yuǎn)處為參考點(diǎn), 這里選擇(xunz)y=0處為參考點(diǎn)。 第11頁/共32頁第十一頁，共33頁。由場(chǎng)分布(fnb)的對(duì)稱性, 2(y)=2(

6、-y) ;由條件、 可得: 0, 034CC由條件(tiojin)可得 )(2)(82822222020201022012021VydVdyddCdCdCdCvvvvvv第12頁/共32頁第十二頁，共33頁。)(820203Vdydvv根據(jù)(gnj)公式 ydydE可求得三個(gè)區(qū)域(qy)的電場(chǎng)分布: )/(2)/()/(2030201mVydEmVyyEmVydEvvv2222dydydyd第13頁/共32頁第十三頁，共33頁。 場(chǎng)量在不同媒質(zhì)分界面上各自滿足的關(guān)系(gun x) 將場(chǎng)量在分界面上分解成: 法向normal分量 (以下標(biāo)n表示) - 垂直于分界面 切向tangency分量 (以

7、下標(biāo)t表示) - 平行于分界面)(tntntnEtEnDtDnDttnnEtEnE由靜電場(chǎng)基本(jbn)方程的積分形式: 2.6 分界(fn ji)面上的邊界條件 lSl dEqSdD0兩種不同媒質(zhì)分界面的邊界條件第14頁/共32頁第十四頁，共33頁。兩種不同(b tn)媒質(zhì)分界面的邊界條件法向邊界條件 切向邊界條件 SqSdDlldE0第15頁/共32頁第十五頁，共33頁。法向邊界條件 一. D滿足(mnz)的邊界條件 SqSdD第16頁/共32頁第十六頁，共33頁。SqSnDSnDS21若界面(jimin)上無自由電荷分布，即在S=0時(shí): 00)(1212nnDDDDn或 SqSdD或 S

8、nnDD21SDDn)(21結(jié)論: 若兩種媒質(zhì)交界面上有自由電荷, 則D的法向分量(fn ling)不連續(xù)高斯(o s)通量定理第17頁/共32頁第十七頁，共33頁。 (1)第一媒質(zhì)是電介質(zhì),第二(d r)媒質(zhì)是導(dǎo)體; 靜電場(chǎng)中導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零, 故snsDDn11或 兩種特殊兩種特殊(tsh)(tsh)情況情況 (2) 兩種介質(zhì)都是電介質(zhì), 且分界(fn ji)面上沒有自由電荷, 即s=0, 則nnDDDDn21210)(或nnEE2211即 結(jié)論: 當(dāng)12時(shí), E的法向分量不連續(xù), 其原因是交界面上有束縛面電荷密度第18頁/共32頁第十八頁，共33頁。ttEEEEn21210)(lldE0

9、結(jié)論： 在介質(zhì)(jizh)交界面上,電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量始終連續(xù)或靜電場(chǎng)的無旋性:二. E滿足(mnz)的邊界條件 第19頁/共32頁第十九頁，共33頁。三 . 電位(din wi)滿足的邊界條件21sn1snn2211nn2211SnnDD21ttEE21 (1)第一媒質(zhì)(mizh)是電介質(zhì),第二媒質(zhì)(mizh)是導(dǎo)體;(2) 兩種介質(zhì)都是電介質(zhì), 且分界(fn ji)面上沒有自由電荷, 即s=0, 則第20頁/共32頁第二十頁，共33頁。電場(chǎng)方向(fngxing)在 交界面上的曲折 2211222111sinsincoscosEEEE212121rrtgtg兩式相除: 改寫(gixi):四、

10、介質(zhì)分界(fn ji)(fn ji)面上電場(chǎng)方向的關(guān)系ttEE21nnDD21邊界條件:當(dāng)兩種介質(zhì)分界面上沒有自由電荷, 即s=0, 則-靜電場(chǎng)的折射定理第21頁/共32頁第二十一頁，共33頁。邊界條件 構(gòu)成邊值問題必不可少(b b k sho)的條件; 判斷不同媒質(zhì)界面兩側(cè)場(chǎng)量的大小、方向及連續(xù)、突變;第22頁/共32頁第二十二頁，共33頁。 例 1 同心球電容器的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為b，其間填充兩種介質(zhì)，上半部分的介電常數(shù)為1，下半部分的介電常數(shù)為2，如圖 所示。設(shè)內(nèi)、外導(dǎo)體帶電(di din)分別為q和-q， 求內(nèi)外導(dǎo)體之間空間的電位移矢量和電場(chǎng)強(qiáng)度。 Er1Er2Er2Er

11、1第23頁/共32頁第二十三頁，共33頁。解： reEEE21在半徑(bnjng)為r的球面上作電位移矢量的面積分，有 2212222111221221222121)(2)(2)(2)(222rqeDrqeDerqEqErErErrrrSqSdD第24頁/共32頁第二十四頁，共33頁。 例 3.11 如圖所示,兩個(gè)無限長(zhǎng)同軸圓柱, 內(nèi)、 外導(dǎo)體(dot)半徑分別為a和b, 兩導(dǎo)體(dot)間部分填充介電常數(shù)為的電介質(zhì), 內(nèi)外導(dǎo)體(dot)間的電壓為U0。圖(a)中電介質(zhì)與空氣分界面的半徑為c; 圖(b)中01間部分填充電介質(zhì)。試對(duì)該二同軸線分別求出: (1) 內(nèi)、 外導(dǎo)體(dot)間的電場(chǎng)強(qiáng)度

12、E及電通量密度D; ; (2) 導(dǎo)體(dot)表面上單位長(zhǎng)度的帶電量l。 第25頁/共32頁第二十五頁，共33頁。 解 因?yàn)橥S圓柱是軸對(duì)稱結(jié)構(gòu), 故只有沿半徑方向的電場(chǎng)。圖(a) 結(jié)構(gòu)中, 電場(chǎng)垂直于介質(zhì)與空氣的交界面, 根據(jù)兩介質(zhì)交界面上法向分量電通量密度相等的邊界條件, 可知道不同介質(zhì)內(nèi)D的表示式相同(xin tn)。而在圖(b)結(jié)構(gòu)中, 電場(chǎng)平行于介質(zhì)與空氣交界面, 由交界面上電場(chǎng)強(qiáng)度切向分量連續(xù)的邊界條件, 得知不同介質(zhì)內(nèi)E的表示式相同(xin tn)。 (1) 圖(a)結(jié)構(gòu)(jigu): 當(dāng)=c時(shí), 2121DDDDnn 令內(nèi)、外導(dǎo)體表面上單位長(zhǎng)度電量(dinling)分別為+l、

13、-l(C/m), 根據(jù)高斯定理可得 第26頁/共32頁第二十六頁，共33頁。ac時(shí), cb時(shí), )/(2)/(21121mVDEmCDll)/(2)/(2002222mVDEmCDll第27頁/共32頁第二十七頁，共33頁。cbnacndddlEdlEUllbclcabcca11112220021所以(suy)/(111120mCcbnacnUl內(nèi)導(dǎo)體(dot)帶電量為+l ，外導(dǎo)體(dot)帶電量為-l 第28頁/共32頁第二十八頁，共33頁。(2) 圖(b)結(jié)構(gòu)(jigu): 當(dāng)=0時(shí), 1111111llDED21EE當(dāng)0 1當(dāng)1 360。時(shí)dlEdlEUDEDbaball210012022122)2()2(第29頁/共32頁第二十九頁，共33頁。所以(suy) 因而(yn r)得 abnUDabnUDabnUEE1,1102121abnUdUabnUdUllballba1)2(,)2(1,0120121111第30頁/共32頁第三十頁，共33頁。作業(yè)作業(yè)(zuy)(zuy)： 2-82-8 2-17 2-17第31頁/共32頁第三十一頁，共33頁。謝謝您的觀看(gunkn)！第32頁/共32頁第三十二頁，共33頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)2.5