第五兩個重要極限與無窮小的比較ppt課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 兩個重要極限與兩個重要極限與 無窮小的比較無窮小的比較一、極限存在準(zhǔn)那么一、極限存在準(zhǔn)那么二、兩個重要極限二、兩個重要極限三、無窮小的比較三、無窮小的比較注：準(zhǔn)那么1 夾逼準(zhǔn)那么對 A=也成立。一、極限存在準(zhǔn)那么準(zhǔn)那么準(zhǔn)那么1 (1 (夾逼準(zhǔn)那夾逼準(zhǔn)那么么) ) 假設(shè)對自變量x的某個變化過程， f (x)、g (x)和h(x) 滿足以下條件: :)(；從某時辰起)()()(xhxfxg (1)(1),)(lim)(limAxhxg= = =有，對此過程(2)(2) 那末Atf= =)(lim例1).12111(lim222nnnnn 求求解,11112222 nnnnnnnnnn

2、nnnn111limlim2 = = 又又, 1= =22111lim1limnnnnn = = , 1= =由夾逼定理得. 1)12111(lim222= = nnnnn二、兩個重要極限二、兩個重要極限第一個重要極限第一個重要極限1sinlim0= =xxx)00( 型型)20 (,p p = = xxAOB圓心角證：證：,O設(shè)單位圓ACxoBD作單位圓的切線,AOCD D，得于是由AOBxsin21的面積D DOBAx21的面積扇形,tan21xAOC的面積D D 證畢。證畢。, cos sintansinxxxxx=得, 1sincosxxx即也成立,此式對于x 02 p p- -時成立

3、。從而當(dāng)20p px,xcoslimx10= =又又所以. 1sinlim0= =xxx注：在求與三角函數(shù)比有關(guān)的 極限時常用到此極限。)00(型型220)2(2sinlim21xxx= =20)22sin(lim21xxx= =.21= =解例6 求)n(m, nm tanlim 0 Zxxx解= = nm tanlim 0 xxx nm /cosm sinlim0 xxxxxxxxx coslim /nm sinlim00= =xxxxx coslim /mm sinlimnm00= =。nm= =)00( 型型)00( 型型例5.cos1lim20 xxx- -求x2202sin2lim

4、xx= =原式例7 求 arcsinlim 0 xxx解 sinlim0yyy arcsinlim 0 xxx. 1= =xy sin arc= =例8 求解 2sin2lim 1nnnx- - 0lim n.2x ) 2 /2sinlim2 nnnxxx( ; 0= = ).( 2 2sin2lim 1xxxnnn = =- - )00( 型型)0(型型 00= =, 0 時當(dāng)= =x= =原式, 0 時當(dāng) x= =原式x1x2x3x1 nxnx定義：定義：滿滿足足條條件件如如果果數(shù)數(shù)列列nx,121 nnxxxx單調(diào)添加單調(diào)添加,121 nnxxxx單調(diào)減少單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列幾何解釋

5、幾何解釋:AM注注: : 此準(zhǔn)那么只給出了極限存在的充分性條件，并此準(zhǔn)那么只給出了極限存在的充分性條件，并沒有給出極限是什么。但是，在知極限存在時?？梢詻]有給出極限是什么。但是，在知極限存在時常可以經(jīng)過一些方法求出極限特別是由遞推公式給出的數(shù)經(jīng)過一些方法求出極限特別是由遞推公式給出的數(shù)列的極限問題。列的極限問題。exxx= = )11(lim第二個重要極限第二個重要極限)(1 型型 請共同看第請共同看第17頁的表格，察看其趨勢。頁的表格，察看其趨勢。tttxxtxx)11(lim)1(lim110 = = = =exxx= = 10)1(lim. e= =此外，因此外，因故還有故還有注：注：

6、常用此極限求冪指型函數(shù)的常用此極限求冪指型函數(shù)的 極限。極限。例例1111.)11(limxxx- - 求求解解xxx- - - - = =)11(1lim1)11(lim- - - - - = =xxx原式原式.1e= =例例1212.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim- - = =xxxx原原式式.2e= =)(1 型型 )(1 型型 )(1 型型 例例1313xxx21lim0 求求解解= =原式原式xxx1)21(lim0 )(1 型型 2021)21(lim = =xxx20)21(lim(21xxx = =.2e= =例例1414xxx csc0)

7、sin1(lim 求求)(1 型型 解解= =原式原式xxx sin10) sin1(lim xt sin= =ttt10)1(lim . e= =三、無窮小的比較三、無窮小的比較無窮小之比的極限無窮小之比的極限0/0可以出現(xiàn)各種情況：可以出現(xiàn)各種情況：出現(xiàn)不同情況的緣由是無窮小趨向于零的速度不同出現(xiàn)不同情況的緣由是無窮小趨向于零的速度不同.例如例如,xxx20limxxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是無窮小都是無窮小時時當(dāng)當(dāng)xxxxxx ; 2快得多快得多比比 xx;sin大大致致相相同同與與xx不可比不可比., 0= =, 1= =xx1sinli

8、m0= =.不不存存在在察看各極限察看各極限型）型）（0020limxxx; 2慢慢得得多多比比 xx, = =；記記作作高高階階的的無無窮窮小小是是比比，稱稱如如果果)(,0lim)1( o= = =定義定義: :.,窮窮小小是是同同一一過過程程中中的的兩兩個個無無設(shè)設(shè) ;,0lim)3(是是同同階階的的無無窮窮小小與與稱稱如如果果 = = C.;1lim 記記作作是是等等價價的的無無窮窮小小與與，稱稱如如果果特特殊殊地地，= =;lim)(低低階階的的無無窮窮小小是是比比，稱稱如如果果 = =，03lim20= =xxx，1sinlim0= =xxx高高階階的的無無窮窮小小，是是比比時時，

9、當(dāng)當(dāng)xxx302；即即)0( )3(2= =xxox).0( sinxxx例例1例例.1lim0 xexx- -求求解解xexx1lim0- -1- -= =xeu)1ln(lim0uuu uuu10)1ln(lim1 = =eln1= =. 1= =常用等價無窮小常用等價無窮小: :時時，當(dāng)當(dāng) 0 x，xxxxxx)1ln(arctanarcsintansin )0(1)1(,21cos1,12 - - - - -aaxxxxxeax.1)1ln(0 xexxxx- - ，時時，當(dāng)當(dāng)例例3 3 求極限求極限解解30 xxxxsintanlim- -)cos1sincos1(lim20 xxx

10、xxx- - = =,21= =2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx- - = =30 xxxxsintanlim- -四、等價無窮小代換四、等價無窮小代換定理定理( (等價無窮小代換定理等價無窮小代換定理) ).limlim, = = 則則設(shè)設(shè)證證 lim)lim( = = = =limlimlim.lim = =證畢證畢注注 可利用這條性質(zhì)簡化一些極限的計算：求極限時可利用這條性質(zhì)簡化一些極限的計算：求極限時，分子、分母中的因子可用等價無窮小交換交換后，分子、分母中的因子可用等價無窮小交換交換后極限情況不變。極限情況不變。例例5 5.cos12tanlim20

11、xxx- -求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx- - 時時當(dāng)當(dāng)22021)2(limxxx= =原原式式. 8= =例例6 6.) cos1(2sin lim20 xxarcx- -求求解解 = =) cos1(2sin lim20 xxarcx- -) cos1(2lim20 sin arcxxxxx- -= =) cos)(1 cos1(2lim0 xxxx - -= =xxxxx cos11lim) cos1(2lim00 - -= =) cos1lim(1lim020 x cos1221xxxxxx = =- -例例7 7.2sinsintanlim30 xxxx- -求求解解.sin,tan,0 xxxxx時時當(dāng)當(dāng)30)2(limxxxx- -= =原原式式. 0= =解解)cos1(tansintanxxxx- -= =