相似三角形與圓綜合題

1、1、已知：如圖，AB是。的直徑，E是AB延長線上一點(diǎn)，過E作。的 切線ED,切點(diǎn)為C, AD1.ED交ED于點(diǎn)D,交。0于點(diǎn)F, CG_LAB交AB于 點(diǎn)G.求證：BGAG=DFDA.2、已知：如圖，AB為。的直徑，AB±AC, BC交。0于D, E是AC的 中點(diǎn)，ED與AB的延長線相交于點(diǎn)F.(1)求證：DE為。0的切線.(2)求證：AB： AC=BF： DF.w3、()已知：如圖，AB是。0的直徑，AB=AC, BC交。0于點(diǎn)D, DEJ_AC, E為垂足.(1)求證：ZADE=ZB：(2)過點(diǎn)0作OFAD,與ED的延長線相交于點(diǎn)F,求證:FDDA=FODE.4、如圖，AB為。的

2、直徑，BF切。0 F點(diǎn)B, AF交。0 F點(diǎn)D,點(diǎn)C在DF匕BC 交。0 廣點(diǎn) E,且NBAF二2NCBF, CG_LBF 廣點(diǎn) G,連接 AE.(1)直接寫出AE與BC的位置關(guān)系；(2)求證:ABCGAACE；若NF=60。，GF=1,求。0的半徑長.5、如圖，AB、AC分別是。的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DE_LAB分別交。于E,交AB于H,交AC于F. P是ED延長線上一點(diǎn)且PC=PF.(1)求證：PC是。0的切線;點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時，才能使ADJDEDF,為什么？(3)在的條件下,若OH=L AH=2,求弦AC的長.6、如圖，AB、AC分別是。0的宜徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC

3、上一點(diǎn)，弦DE J_AB分別交。0 F E,交AB于H,交AC于F.P是ED延長線上一點(diǎn)且PC二PF.(1)求證:PC是00的切線；(2)點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時，才能使AD；=DEDF,為什么？(3)在(2)的條件下,若OH，AH=2,求弦AC的長.7、如是。的直徑，CB、CD分別切。于B、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E在CD的延長線上，且CE=AE+BC； (1)求證：AE是。0的切線：過點(diǎn)D作DFLAB于點(diǎn)F,連接BE交DF于點(diǎn)M,求證：DM=MF.8、已知：如圖，AB是。的直徑，D是。上一點(diǎn)，連結(jié)BD并延長，使CD=BD,連結(jié)AC。過點(diǎn)D作DEJ_AC,垂足是點(diǎn)E.過點(diǎn)B作交ED延長線于點(diǎn)F,連結(jié)OF。

4、求證：(1)EF是的切線；裨步 ,(2) AOBFADECo9、如圖，已知AB是。的直徑，C是。上一點(diǎn)，ODLBC于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作。0切線，交0D的延長線于點(diǎn)E,連結(jié)BE.(1)求證：BE與。0相切；2連結(jié)AD并延長交BE于點(diǎn)F,若0B=6,且sin/ABC= ,求BF的長.310、如圖，AB是。0的直徑，AC是弦，NBAC的平分線AD交O0于點(diǎn)D, DEJ_AC交AC的延長線于點(diǎn)E, 0E交AD于點(diǎn)F。(1)求證:DE是。的切線;若把AB求VDF的值;(3)在(2)的條件下，若。0直徑為10,求EFD的面積.11、已知：如圖，在RtABC中，NA=90° ,以AB為直徑作。0, B

5、C交。0于點(diǎn)D, E是邊AC的中點(diǎn)，ED、AB的延長線相交于點(diǎn)F.求證：(DDE為。0的切線.(2)AB*DF=AC*BF.12、如圖，以AABC的邊AB為直徑的。0與邊BC交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE_LAC,垂足為E,延長AB、ED交 于點(diǎn)F, AD平分NBAC.(1)求證：EF是。0的切線；(2)若AE=3, AB=4,求圖中陰影部分的而積.13、知AB是。的直徑，直線1與。0相切于點(diǎn)C且= 弦CD交AB于E, BF±b垂足為F, BF交。0于G.(1)求證:CE =FG FB；若tanNCBF二L, AE二3,求。0的直徑。214.如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC平分/BCD

6、, BD交AC于點(diǎn)F,過點(diǎn)A作圓的切線AE交CB的延長線于E.求證：©AE/7BD：AD' = DF AE15、已知：口ABCD,過點(diǎn)D作直線交AC于E,交BC于F,交AB的延長線于G,經(jīng)過B、G、F三點(diǎn)作。0,過E作。0的切線ET, T為切點(diǎn).求證：ET = ED16、如圖，AABC中，AB=AC, 0是BC上一點(diǎn)，以0為圓心，0B長為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)A,過點(diǎn)C 作CDLBA,垂足為D.求證：(1) ZDAC = 2ZB；(2) CA2 = CD CO相似三角形與圓的綜合考題（教師版）1、已知：如圖，AB是。的直徑，E是AB延長線上一點(diǎn)，過E作。0的切線ED,切點(diǎn)為C

7、, ADDLED交ED 于點(diǎn)D,交。0于點(diǎn)F, CG_LAB交AB于點(diǎn)G.求證:求AG=DFDA.證明：連接BC, FC, CO, 過E作00的切線ED,，NDCF=NCAD,ND 二 ND,AACDFAADC,CD DF AD = CD ,CDjADXDF, CG1AB, AB 為直徑，A ZBCA=ZAGC=ZBGC=90° ,A ZGBC+ZBCG=90° , NBCG+NGCA=90° ,/. ZGBC=ZACG,.-.BGCACGA,CG BG，AC = CC t .-.CG：=BGXAG, :過 E 作。0 的切線 ED,，OC_LDE, AD IDE

8、,，C0AD,，Z0CA=ZCAD,'AO = CO,，Z0AC=Z0CA,，NOAC二NCAD,在4AGC和 ADC中， fzCCA=zD( GAC = DACLac=ac ,：.AAGCAADC (AAS),，CG 二 CD,ABGXAG=ADXDF.2、已知：如佟I, AB為。0的宜徑，AB±AC, BC交。0 F D, E是AC的中點(diǎn)，ED與AB的延長線相交于點(diǎn)F.(1)求證:DE為00的切線.(2)求證：AB： AC=BF： DF.證明：(1 )連結(jié)。Q DA .,AS為。直徑， CDA=zBDA = 9O9 e-CE = EA fs.DE-EA f/.Z1=Z4

9、r-OD=()A ,/2=n3 rvz4+z3=9O° r/.Z1+Z2=9O° r即；foa是半徑,BE為。的切愛；(2 ) vz3+z/?Byl = 90° , z3+z4=90° ,/.z4=zrs?i,CDA=BDA = QQ0 ,. ABD-CAD t.AB_RD"AC-AD，nF0N +乙召DO=90。f /。BO+/3=90。，又. QD=OB ./EDO=EO ,./3="Z)B fZF=zFfFAD3FDB . BD _BF"ADDFr.AB_RF"AC -DF r即/IN ； AC=EF； DF

10、.A3、()已知：如圖,AB是。0的宜徑,AB=AC, BC交00 3點(diǎn)D, DE1AC, E為垂足.(1)求證：ZADE=ZB； 過點(diǎn)0作0FAD,與ED的延長線相交于點(diǎn)F,求證：FD>DA=F0-DE. 。解：(1)方法一: 證明：連接0D,V0A=0D, ：.N0AD=N0DA.TAB是。0的直徑，NADB=90° ,即 AD_LBC.又,AB =AC,，AD 平分NBAC,即 NOADNCAD.，NODA二NDAE=NOAD.V ZADE+ZDAE=90° ,Z. ZADE+Z0DA=90° ,即 NODE=90° , 0D1DE.OD是。

11、0的半徑，.EF是。0的切線.，ZADE=ZB.方法二：AB是。0的直徑，/. ZADB=90° ,又 DE_LAC,A ZDEA=90° ,/. NADB=NDEA,ABC 中，AB=AC, AD±BC,，AD 平分NBAC,即/DAE=NBAD.AADAEABAD.Z. ZADE=ZB.(2)證明:V0F/7AD,，NF二NADE.XV ZDEA=ZFDO (已證)，AAFDOADEA.AFD： DE=FO： DA,即 FDDA=FODE.點(diǎn)評：本題主要考查了切線的判定、弦切角定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)：(2)題乘積的 形式通?？梢赞D(zhuǎn)化為比例的形

12、式，通過相似三角形的性質(zhì)得以證明.4、如圖，AB為。0的直徑，BF切。0于點(diǎn)B, AF交。0于點(diǎn)D,點(diǎn)C在DF上,BC 交。0 于點(diǎn) E,且NBAF=2NCBF, CGLBF F點(diǎn) G,連接 AE.直接寫出AE與BC的位置關(guān)系；(2)求證:ABCGAACE；若NF=60° , GF=L求。的半徑長.解：（1）如圖1, AB是。的直徑，A ZAEB=900 .AAE1BC.（2）如圖b BF與。0相切，/. ZABF=900 .A ZCBF=90° -NABE二 NBAE. ； NBAF=2NCBF./. NBAF=2/BAE. ZBAE=ZCAE.，ZCBF=ZCAE.VC

13、G1BF, AE1BC,A ZCGB=ZAEC=90° .V ZCBF=ZCAE, NCGB二NAEC,AABCGAACE.（3）連接BD,如圖2所示.V ZDAE=ZDBE, NDAE=NCBF,/. ZDBE=ZCBF. AB是。的直徑，A ZADB=900 .ABD1AF.V ZDBC=ZCBF, BD±AF, CG±BF»ACD=CG.V ZF=60° , GF= 1, NCGF=90° , CGAtanZF= GF =CG=tan600 =V3VCG=V3t.CD=V3.V ZAFB=60° , NABF=900

14、,，NBAF=30° .V ZADB=90° , ZBAF=30° , AAB=2BD.V ZBAE=ZCAE, ZAEB=ZAEC, / N ABE: NACE.AAB=AC.設(shè)。的半徑為r,則AC=AB二2r, BD=r.V ZADB=90° ,AAD=V3r.DC=AC-AD=2r-V3r= (2-V3) r=V3.Ar=2V3+3.的半徑長為2vq'+3.解析：(1)由AB為。0的直徑即可得到AE與BC垂直.(2)易證NCBF二NBAE,再結(jié)合條件NBAF=2NCBF就可證到NCBF=NCAE,易證NCGB=NAEC,從而證到4 BCGA

15、ACE.(3)由NF=60° , GF=1可求出CG=V3；連接BD,容易證到NDBC二NCBF,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得 DC=CG*丐；設(shè)圓 0 的半徑為 r,易證 AC=AB, ZBAD=30° ,從而得到 AC=2r, ADh/5t, fI=| DC=AC-AD=V3 可求出00的半徑長.5、如圖，AB、AC分別是。0的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DE_LAB分別交。于E,交AB于H, 交AC于F. P是ED延長線上一點(diǎn)且PC二PF.P(1)求證：PC是00的切線；點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時，才能使ADJDEDF,為什么？(3)在(2)的條件下，若0H=l, AH

16、=2,求弦AC的長.J分析：(1)連接0C,證明N0CP=90°即可.k ° H J(2)乘積的形式通?？梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式，通過證明三角形相似得出.'(3)可以先根據(jù)勾股定理求出DH,再通過證明OGAgOHD,得出AC=2AG=2DH,求出弦AC的長.解答：(1)證明：連接0C.PC=PF, OA=OC,炎 PNPCA:NPFC, ZOCA=ZOAC,.- NPFC:NAFH, DE1AB,A ZAHF=90° ,NPCO=NPCA+NACO=/AFH+NFAH=900 , 二PC是。0的切線.(2)解：點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置時，才能使ADJDEDF,理

17、由如下: 連接AE.點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置，NDAF=NDEA,V ZADE=ZADE,AADAFADEA,AAD： ED=FD： AD,AAD=DE*DF.(3)解：連接OD交AC于G.V0H=b AH=2,A0A=3,即可得 OD二3,二.DHf。-。/二昭二2區(qū).點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置，AAC1DO.，NOGA二NOHD=90° ,在aOGA和OHD中，< ZDOA=AODOA = ODAAOAOHD (AAS),/AG=DH,AC=4p.點(diǎn)評：本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑）, 再證垂直即可.同時考查了相似三角形的

18、性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì).6、如圖，AB、AC分別是。0的宜徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DEJ_AB分別交。于E,交AB于H,交AC于F.P是ED延長線上一點(diǎn)且PC二PF.(1)求證：PC是。0的切線：(2)點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時，才能使ADJDEDF,為什么？(3)在(2)的條件下,若OH=L AH=2,求弦AC的長.(1)證明：連接0CVPC=PF, OA=OC,，NPCA=NPFC, NOCA=NOAC,NPFC二NAFH, DE_LAB,A ZAHF=90° ,A ZPC0=ZPCA+ZAC0=ZAFH+ZFAH=90° ,，PC是OO的切線.(2)解：點(diǎn)D在劣

19、弧AC中點(diǎn)位置時，才能使ADJDEDF,理由如下: 連接AE.點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置，/DAF=NDEA,V ZADE=ZADE, AADAFADEA, AAD： ED=FD： AD, .-.AD=DE<DF.(3)解：連接OD交AC于G.V0H=b AH=2,.0A=3,即可得 OD二3, DH=VOD 2 - OH.點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置，AAC1DO.，N0GA二NOHD=90° , 在 AOGA 和()© 中，IzOCA=zOHDDOA=zAODLoa=od ,AAOGAAOHD （AAS）,AAG=DH,，AC = 4，解析：（1）連接OC,證明NOCP二9

20、0,即可.（2）乘枳的形式通常可以轉(zhuǎn)化為比例的形式，通過證明三角形相似得出.（3）可以先根據(jù)勾股定理求出DH,再通過證明OGAgaOHD,得出AC=2AG=2DH,求出弦AC的長。7、如圖，AB是。0的直徑，CB、CD分別切。于B、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E在CD的延長線上，且CE=AE+BC； (1)求證：AE是。0的切線；過點(diǎn)D作DF_LAB于點(diǎn)F,連接BE交DF于點(diǎn)M,求證：DM=MF.證明：(1)連接OD, 0E,VCB. CD分別切分。于B、D兩點(diǎn)，1NODE=90° , CD=CE,VCE=AE+BC, CE=CD+DE,，AE=DE,VOD=OA, OE=OE,AAODEAOAE (

21、SSS),A Z0AE=Z0DE=90° ,AOA1AE,，AE是。0的切線；(2) VDF1AB, AE_LAB, BC1AB,，AEDFBC,/.BNIFABEA,MF BF AE - BA tCD BF CB CE - BA - CE ,MF CB AE - CEVAEDMAECB>CB DM，CE - DE ,MF DM AE - DE ,= MF.解析：（1）首先連接OD, OE,由CB、CD分別切。于B、D兩點(diǎn)，即可得NODE=90°, CD=CE,又由CE=AE+BC,CE=CD+DE,即可證得AE=DE,則可得ODEgZkOAE,即可證得AE是00的切

22、線：（2）首先易證得AEDFBC,然后由平行線分線段成比例定理，求得比例線段，將比例線段變形，即可 求得DM=MF.8、已知：如圖，AB是。0的直徑，D是。0上一點(diǎn)，連結(jié)BD并延長，使CD=BD,連結(jié)AC。過點(diǎn)D作DE_LAC,垂足是點(diǎn)E.過點(diǎn)B作BE_LAB,交ED延長線于點(diǎn)F,連結(jié)0F。求證：（1）EF是。的切線；屋 .妞 .(2)A0BFADECo證明：(1)連結(jié)0D,VAB是。0的直徑，.OA=OB,又CD = BD,，ODAC,VDE1AC,A ZDEC=90° , /ODE=90° ,.點(diǎn)D是。0上一點(diǎn)，.EF是。的切線。(2) VBF1AB, AB 是。0 的

23、直徑, BF是。0的切線， EF是。0的切線， NBF0= NDFO, FB=FD,A0F1BD,? NFDB= NCDE,N0FD=NC,/.ZC=Z0FB,XVZCED=ZFB0=90° ,/.OBFADEC.9、如圖，已知AB是。的直徑，C是。上一點(diǎn)，0DLBC于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作。0 切線，交0D的延長線于點(diǎn)E,連結(jié)BE.(1)求證：BE與。0相切；2連結(jié)AD并延長交BE于點(diǎn)F,若0B=6,且sin/ABC= ,求BF的長.解：(1)連結(jié) CO, V0D±BC, AZ1 = Z2,再由 CO=OB, 0E 公共, /OCEAOBE (SAS ) ，Z0CE=Z0BE&g

24、t; 又 CE 是切線，Z0CE=90° , .Z0BE=90°，BE 與。0 相切(2)備用圖中,作DHJ_OB于H, H為垂足,2在 RtZkODB 中，0B=6,且 sinNABC= ,，0D=4,3同理 RtZkODHsRtODB,，DH=*色，0H=-33又班ABFsRtZAHD, AFB ： DH=AB ： AH,考點(diǎn)：切線定義，全等三角形判定，相似三角形性質(zhì)及判定。點(diǎn)評：熟知以上定義性質(zhì)，根據(jù)已知可求之，本題有一定的難度，需要做輔助線。但解法不唯一，屬于中檔題。10、如圖，AB是。0的直徑，AC是弦，NBAC的平分線AD交。0于點(diǎn)D, DEJ_AC交AC的延長

25、線于點(diǎn)E, 0E交AD于點(diǎn)F。小(1)求證：DE是。的切線;AC 4 AF (2)若萬一求后的值;w（3）在的條件下,若00直徑為10,求EFD的面積.試題分析：（1）連接0D,根據(jù)角平分線定義和等腰三角形的性質(zhì)可得NCAD=N0DA,推出ODAC,根據(jù)平行線性質(zhì) 和切線的判定推出即可:（2）先由（1）得ODAE,再結(jié)合平行線分線段成比例定理即可得到答案:（3）根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合圓的基本性質(zhì)求解即可.（1）連接0D因?yàn)?A=”0D 所以/OAD = ZODA 又已知NOAD = ZDAE 可得NODA = ZDAE ，所以 0D II AC , 又已知DE AC 可得DE_LOD 所以D

26、E是。的切線:(2)由(1)得 ODAE, *'DF'OD"AE _4 又知一 20D一 AE 8 4hAF 8ii0D-5,故而一百135 (3)28考點(diǎn)：圓的綜合題 點(diǎn)評：此類問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.11、已知：如圖，在RtaABC中，NA=90° ,以AB為直徑作。0, BC交。0于點(diǎn)D, E是邊AC的中點(diǎn),證明：（1）如圖，連接0D、AD.CEVOD=OA, ，Z2=Z3,AB是。的直徑，A ZBDA=90° , ，/CDA=900 .又二E是邊AC的中點(diǎn), 1.DE=AE=-AC, 2

27、AZ1=Z4,A Z4+Z3=Z1+Z2=9O°，即 ° .又.AB是。的直徑，二.DE為。的切線；(2)如圖，TABLAC, ADXBC,.Z3=ZC (同角的余角相等).XV ZADB=ZCDA=90° ,AAABDACAD,.AB _BD易證FADs/fdB, BD _ BF'addf'.AB BF'acdf'AAB<DF=AC>BF.解析：(1)連接 OD、AD, 求出CDA二NBDA=90°，點(diǎn) E 為 AC 中點(diǎn)，求出N1=N4, Z2=Z3,推出N4+N3=/l+N2=90° ,根據(jù)切線

28、的判定即可:(2)證ABDsCAD,推出"=處，再證FADs/FDB,推出些=尤，得"=竺1,即可得AC ADAD DF AC DF出ABDF=ACBF.12、如圖，以ABC的邊AB為直徑的。0與邊BC交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE_LAC,垂足為E,延長AB、ED交 于點(diǎn)F, AD平分NBAC.(1)求證:EF是。0的切線；(2)若AE=3, AB=4,求圖中陰影部分的而積.解：(1)連接0D.VOA=OD,，NOAD二NODA,AD 平分NBAC,/. NOAD二NCAD,，NODA二NCAD, ，ODAC,VDE1AC,A ZDEA=90" ,Z. Z0DF=ZDE

29、A=90° ,OD是半徑，EF是。0的切線.(2) TAB 為00 的直徑，DEXAC,A ZBDA=ZDEA=90° ,? NBAD=NCAD,BADsaDAE,.AB AD'adae'ni. 4 AD；=,AD 3.-.AD=2V3,.cosZBAD=AD _26小店一 r，NBAD=30° , ZB0D=2ZBAD=60° ,BDAB二2,2S-二-二-xl X 23 x 2=V3.22 2_ _ 60,x22 區(qū) 2 e S 困影=S 劃形58-S. .bocF5/3 = - TC -3603解析:(1)根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和角平分

30、線性質(zhì)得出NOAD二NODA=NDAE,推出ODAC,推出OD±EF,根據(jù)切 線的判定推出即可：(2)證BADs/DAE,求出AD長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出NBAD=3O° ,求出NB0D=60°和求出 BD=2=OB=0D,求出扇形BOD和aBOD的面積，相減即可.13、知AB是。的直徑，直線1與。0相切于點(diǎn)C且AC=AD,弦、cd交AB于E, BF11,垂足為F, BF交00 于 Go求證：CE:=FG FB；(2)若 tan/CBF=,，AE=3,求。的直徑,2解：(1)證明：連結(jié)AC,二AB 為直徑，NACB=90° ,/AC=aS,且AB是直徑，AAB1CD 即 CE 是 RtAABC 的高，A ZA=ZECB, ZACE=ZEBC, CE是。0的切線，/. ZFCB=ZA, CFFG FB,A NFCB二NECB, ZBFC=ZCEB=90° , CB=CB,.-.BCFABCE,，CE二CF, NFBC二NCBE,CE三FG FB：(2) V ZCBF=ZCBE, ZCBE=ZACE,； NACE 二 NCBF,1 AE：.tanZCBF=tanZACE=，2 CEVAE=3,31/.= -=>CE=6,CE 2在Rt/kABC中，CE是高，.CE3=AE EB,即 6J3EB,