橢圓離心率求法總結(jié)材料

1、橢圓離心率的解法一、運用幾何圖形中線段的幾何意義。基礎題目：如圖，0為橢圓的中心，F(xiàn)為焦點，A為頂點，準線L交0A于B, P、Q在橢圓上,PDL L于D, QF丄AD于 F,設橢圓的離心率為 e,則ej 黒 ej QJe=A0I PD |I BF 丨 I BO|I AF|FBAe=I F0|I A0|DB評：AQP為橢圓上的點，根據(jù)橢圓的第二定義得，。a2丨 A0| =a, I 0F| =c, 有；：T AO| =a, I BO| =二有。c題目1橢圓x2- +2-=1(ab 0)的兩焦點為F1F2，以F1F2為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的兩邊，則橢圓的離心率e ?思路：A點在橢圓外

2、，找a、b、c的關系應借助橢圓，所以取 已知條件放在橢圓，構(gòu)造 F1BF2分析三角形的各邊長及關系。解：TI F仆2| =2c | BF1 | =c | BF2| = 3cAF2的中點B,連接BF1 ,把c+ ,3c=2a變形1：橢圓x2a2+ ;|=1(ab 0)的兩焦點為F1、F2 ,點P在橢圓上，使 0PF1為正 b2三角形，求橢圓離心率？解：連接 PF2 ,則丨 0F2| = | OF1 | = | 0P| , / F1PF2 =90 圖形如上圖，e=, 3-1變形2:x2橢圓-+ y2=1(ab 0)的兩焦點為F1、F2，AB為橢圓的頂點, b2P是橢圓上一解：T| PF1 |b2a

3、I F2 F1 | =2c | OB| =b | 0A| =aPF2 / AB| PF1 |= b| F2 F1 | = o又/ b=a2-c2-a2=5c2 e=,55a與c的方程點評：以上題目，構(gòu)造焦點三角形，通過各邊的幾何意義及關系，推導有關 式，推導離心率。、運用正余弦定理解決圖形中的三角形題目2：橢圓X2- +號廠=l(ab 0) , A是左頂點，F(xiàn)是右焦點，B是短軸的一個頂點，/ a2 b2ABF=90，求 e?解：| A0| =a | 0F| =ca2I BF | =a | AB | = a2+b2 a2+b2+a2 =(a+c)2 =a2+2ac+c2 a2-c2-ac=0兩邊

4、同除以-1+-1入e2+e-仁0 e= 2 e= 2(舍去)變形:頂點，點評：案：90橢圓X2- + 嘗=1(ab 0)，e】1；5 , A 是左頂點,求/ ABF?此題是上一題的條件與結(jié)論的互換，解題中分析各邊，OF是右焦點，B是短軸的一個由余弦定理解決角的問題。答引申：此類e= 的橢圓為優(yōu)美橢圓。性質(zhì)：1、/ ABF=90 2、假設下端點為 B1 ,則ABFB1四點共圓。3、焦點與相應準線之間的 距離等于長半軸長。總結(jié)：焦點三角形以外的三角形的處理方法根據(jù)幾何意義，找各邊的表示，結(jié)合解斜三角形公式，列出有關e的方程式。2一=1(ab 0)，過左焦點F1且傾斜角為60的直線交橢圓與 AB兩占

5、八、：若|F1A| =2 |BF1 |,求e?解:設|BF1 | =m則|AF2 | =2a-am| BF2|+=2a-mx2題目3：橢圓-在厶AF1F2及厶BF1F2中，由余弦定理得:a2 - c2=m(2a-c)2(a2-c2)=m(2a+c)兩式相除-2a-c2a+ce=3題目x2 y24:橢圓02一 +，b5_=1(ab 0)的兩焦點為 F1(-C, 0)、F2 (c,0), P是以 | F仆2|為直徑的圓與橢圓的一個交點，且/ PF1F2 =5 / PF2F1 ,求 e?分析：此題有角的值，可以考慮正弦定理的應用。解：由正弦定理:| F1F2 | F1P |sin F1PF2 = s

6、in F1F2P| PF2|sin PF1F2| F1F2| F1P| + | PF2 |sin F1PF2 =sinF1F2P+sin PF1F2根據(jù)和比性質(zhì):變形得:| F1F2| PF2 | + | F1P|sin F1PF2sin F1F2P +sin PF1F22c =e2a/ PF1F2 =75PF2F1=15 =上3sin 90e=sin75 +sin15 點評：在焦點三角形中，使用第一定義和正弦定理可知sin F1PF2e=一sin F1F2P +sin PF1F2變形1：橢圓X2 + y2=1(ab 0)的兩焦點為F1 (-c , 0)、F2 (c,0) , P是橢圓上一點,

7、 a2 b2且/ F1PF2 =60。，求e的取值圍？分析：上題公式直接應用。解：設/ F1F2P=a,則/ F2F1P=120 - asin F1PF2sin60e=sin F1F2P +sin PF1F2 sin a +sin(120 - a )1 e0) F1F2為橢圓兩焦點，M為橢圓上任意一點(M不與R 1tan 2，求e的取值圍?1a長軸兩端點重合)設/ PF1F2 = a , / PF2F1 = R若ytan 分析：運用三角函數(shù)的公式，把正弦化正切。解；根據(jù)上題結(jié)論sin F1PF2e=sin F1F2P +sin PF1F2sin( a + R ) sin a +sin Ra +

8、 Ra + R2sin 2 cos -a + Ra - R2sincos -2 2acos 2 cosRa . R2-sin 2-sinaRaRcos cos +sin -sinaR1- tan tan 2 2=eaRtan 2 21- tan1 1-e13 1+e21 13eb 0)，斜率為1,且過橢圓右焦點 F的直線交橢圓于 A、Ba2 b2兩點，OAOB與a =(3,-1)共線，求e?法一：設 A(x1,y1) ,B(x2,y2)b2x2+a2y2=a2b2y=x-c(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0x1+x2=2a2ca2+b2y1+y2=2a2c -2b2ca2+

9、b2-2C= a2+b2OA+OB=(x1+x2,y1+y2)與(3, -1 )共線，則(x1+x2) =3(y1+y2)既 a2=3b2e=法二：設AB的中點N,則 2ONLOAhOBx12+a2x22+a2y12T2 =1 旦=1b2-得:b2a2由圖形中暗含的不等關系，求離心率的取值圍。x2 y2y1_y2 x1-x2四、+x2y1+y2x1b2仁莎(-3)既 a2=3b2e=題目6:橢圓a? +=1(ab 0)的兩焦點為F1 (-c ,0 )、F2 (c,0),滿足 iMF MF2 =0的點M總在橢圓部，貝U e的取值圍?=0 以F1F2為直徑作圓,M在圓0上，與橢圓沒有交點。解： c

10、2c20eb 0)的兩焦點為F1(-c, 0)、F2 (c,0)，P為右準線 L 上一點，F(xiàn)1P的垂直平分線恰過 F2點，求e的取值圍?思路1,如圖F1P與F2M垂直，根據(jù)向量垂直，找 思路2:根據(jù)圖形中的邊長之間的不等關系，求 分析:a、b、c的不等關系。解法a2F1 (-c , 0) F2 (c,0) P( ,y0 )cM(ea2 c -c y0 廠)丹b2既(27vp_,2ta2) 則 PF1 =-(+c, y0 )cMF2 =-(b22T-c，=0/ b2(2T-c，（a+c，y0）a2（嚴）（a2-3c2 w 0b2 y022c-c)+ y-=w e a2-cc3c2 a2* e -

11、cc，求離心率e的取值圍。解法1：利用曲線圍，則設P（x, y），又知將這個方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可解得解法2:利用二次方程有實根 由橢圓定義知解法3:利用三角函數(shù)有界性記解法4 :利用焦半徑 由焦半徑公式得解法5:利用基本不等式由橢圓定義，有平方后得解法6:巧用圖形的幾何特性由，知點P在以為直徑的圓上。又點P在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點P故有離心率的五種求法橢圓的離心率0 e 1，雙曲線的離心率 e 1，拋物線的離心率 一、直接求出a、c，求解已知圓錐曲線的標準方程或a、c易求時，可利用率心率公式c來解決。a例1：已知雙曲線2x2a0)的一條準線與拋物線y26x的準線重合，則該雙曲

12、線的離心率為2B.D.解：拋物線y26x的準線是3，即雙曲線的右準線22. 333，則22c2 3c 20，解得 c 2, a變式練習1:若橢圓經(jīng)過原點，且焦點為F1 1,0、3 2A.B. 一4 3F2 3,0C.，則其離心率為(12D.1, ac a 2, c 1，所以離心率e -a解:由 F1 1,0、F2 3,0 知 2c 3 1, c 1 ,又橢圓過原點， a c1故選C.2變式練習2:如果雙曲線的實半軸長為 2，焦距為6，那么雙曲線的離心率為(A.-6廠3B.C.22解：由題設a 2, 2c 6，則c 3, e - a2，因此選c變式練習3:點P (-3, 1)在橢圓2x2a2y2

13、1 ( a b 0)的左準線上，過點 P且方向b2為a 2, 5的光線，經(jīng)直線y2反射后通過橢圓的左焦點，則這個橢圓的離心率為1.已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于2.已知橢圓兩條準線間的距離是焦距的2倍，則其離心率為().3A 31B -321D -2解:由題意知，入射光線為y1 5x23，關于y2的反射光線(對稱關系)為2 a35x2y 50，則 c解得a、3 , c1，則e，故選A0a 35c513.若橢圓經(jīng)過原點，且焦點為F1 (1,0), F2(3,0),則橢圓的離心率為 一24.已知矩形ABCD AB= 4, BC= 3,則以A B為焦點，且過 C D兩點的橢圓的離

14、心率為2 2PF2，則橢圓的離心率為5.若橢圓 篤 占 1,(a b 0)短軸端點為P滿足PF1a b126.已知1 (mmn0.n0)則當mn取得最小值時，橢圓2 2篤茲 1的的離心率為m n2 27.橢圓篤楚 1(aa bb 0)的焦點為F1 , F2，兩條準線與x軸的交點分別為M , N ,若MN b0)a2 b2FfF23 ,橢圓的離心率為 e10. 已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，；6橢圓的離心率為63上一點，F(xiàn)2是橢圓的左右焦點，已知PFF2P是橢圓上一點，若 PF1F215 , PF2F111.在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為.2，焦點到相應準線的距離為J2橢圓的離心率為

15、-22y亍=1 (a b 0)的右焦點為Fi，右準線為I1,若過F1且垂直于bX212.設橢圓二a的長等于點F1到11的距離，則橢圓的離心率是-。213.橢圓等于2 X 2 a1122 y b2AFI,14.橢圓2y_PFF 2 ,75，則1,則該x軸的弦1 (ab0)的兩頂點為 A (a,0 )B(O,b),若右焦點F到直線AB的距離則橢圓的離心率是竺。31 (ab0)的四個頂點為 A、B、C D,若四邊形ABCD勺切圓恰好過焦點，則橢圓的離心率是215.已知直線2占 1 (ab0)的頂點 A (a,0 )、B(0,b),如果坐標原點到直b2線L的距離為 旦，則橢圓的離心率是216.在平面直

16、角坐標系中,1( a b 0)的焦距為2,以O為圓心，a為半徑作圓，過點2,0作圓的兩切線互相垂直，則離心率ce=)二、構(gòu)造a、c的齊次式，解出e根據(jù)題設條件，借助 a、b、c之間的關系，構(gòu)造 a、c的關系(特別是齊二次式)，進而 得到關于e的一元方程，從而解得離心率 e。22例2：已知F1、F2是雙曲線 訂打 1（ a 0,b 0）的兩焦點, a b三角形MF1F2，若邊MF1的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（C. 42A. 4 2 ,3 B. 31解：如圖，設MF i的中點為P ,P的橫坐標為以線段Fi F2為邊作正PFiexp.3舍去），故選變式練習21:設雙曲線篤a點.已知原點到直

17、線的距離為A. 2B. 、3c,由焦半徑公式2解得（0 a b）的半焦距為則雙曲線的離心率為（C. 2解：由已知，直線L的方程為bx ay abab. a2b24又c22 ab2,3e4216e16得e24或e2 e2，故選A0， 4ab , 3c2，兩邊平方，得變式練習2:雙曲線虛軸的一個端點為曲線的離心率為（解：如圖所示，不妨設M 0,b，F(xiàn)1c,0C，直線L 過 a,0， 0,b 兩2 3D.30,由點到直線的距離公式，得16a43c，整理得2c2aa2b22a兩個焦點為F1、.6C 一3，F(xiàn)2 c,0，則F2，f1mf21200，則雙MF1mf2在F1MF2中,，又 F1F2由余弦定理

18、，得cos2 2 2 2b c b 4c222 c b2c,b2 b22a222c a2 ， 3a21.已知橢圓的焦距、2 以橢圓的右焦點的左焦點為Fi,|MF12MF22F1F222MF1MF21F1MF2短軸長、長軸長成等差數(shù)列，則橢圓的離心率是F2為圓心作圓，使該圓過橢圓的中心并且與橢圓交于直線MF與圓相切，則橢圓的離心率是.3 1M N兩點，橢圓3以橢圓的一個焦點 F為圓心作一個圓，使該圓過橢圓的中心 0并且與橢圓交于 MN兩點， 如果I MFI = I MO，則橢圓的離心率是 J314設橢圓的兩個焦點分別為R、F2,過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點 P,若AF 1PF2為等腰直角三角

19、形，則橢圓的離心率是2 1是正三角形，則這個橢圓的離心率是5.已知F1、F2是橢圓的兩個焦點，過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于 A、B兩點，若厶ABF326設F1 F2分別是橢圓篤ab 0的左、右焦點，P是其右準線上縱坐標為3c（c為半焦距）的點，且F1F2f2p，則橢圓的離心率是-2、采用離心率的定義以及橢圓的定義求解例3：設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，過F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若 F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是解: e c 2ca2c2c2a PF； |PF222c 2c 2J2 11四、根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解2例4:設橢圓%a0）的右焦點為F1，右準線

20、為且垂直于x軸的弦的長等于點 F1到11的距離，則橢圓的離心率是解：如圖所示， AB是過卩1且垂直于x軸的弦， AD 11于D , AD為F1到準線11的距離，根據(jù)橢圓的第二定義,AFiAD2ABAD變式練習：在給定橢圓中,過焦點且垂直于長軸的弦長為.2，焦點到相應準線的距離為 1，則該橢圓的離心率為()B1Z解：eAF2AD2 2 212五、尋找特殊圖形中的不等關系或解三角形。uuur uujur1 已知Fi、F2是橢圓的兩個焦點，滿足MFi MF20的點M總在橢圓部，則橢圓離心率的取值圍是2.已知F1取值圍為F2是橢圓的兩個焦點，2P是橢圓上一點，且F1PF290，橢圓離心率e的3.已知F

21、1F2是橢圓的兩個焦點，P是橢圓上一點，且F1PF260，橢圓離心率e的1取值圍為丄,122 24.設橢圓 篤 y2 1 (ab0)的兩焦點為F1、F2,若橢圓上存在一點 Q使/F1QF=120o, a b；a橢圓離心率e的取值圍為 e 15.在 ABC 中，AB BC , cos B3若以A, B為焦點的橢圓經(jīng)過點 C，則該橢183圓的離心率e -.826.設F1, F2分別是橢圓篤a2P,每 1 ( a b 0)的左、右焦點，若在其右準線上存在b使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓離心率的取值圍是配套練習1.設雙曲線2x2ab21 ( a 0,b0 )的離心率為,3，且它的一條準線與拋物線

22、2y 4x的準線重合，則此雙曲線的方程為A.2x122242xB.482962xC.32y2D.2 已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率等于()1A.-3、31C.23 D .2B .322x3.已知雙曲線y21的一條漸近線方程為 y4x ,則雙曲線的離心率為()ab35453A -BC -D -33424.在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為2，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為 A 25.在給定雙曲線中，過焦點垂直于實軸的弦長為2，焦點到相應準線的距離為，則該雙曲線的離心率為(D 2、26如圖，F(xiàn)1和F2分別是雙曲線2x2ayb2(a 0,b0)的兩個焦點，A和B是

23、以0為圓心，以 OR 為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且F?AB是等邊三角形,則雙曲線的離心率為()7.設F2分別是橢圓2 x 2 ab21 ( a b 0)的左、右焦點,P是其右準線上縱坐標為,3c （ c為半焦距）的點，且.31A -222&設F1、F2分別是雙曲線冷爲a bF1AF2900 ,且AF13AF2F2P，則橢圓的離心率是（D，21的左、右焦點，若雙曲線上存在點A，使，則雙曲線離心率為（、.5A -2、.10B -29.已知雙曲線2x 2 a(a 0,b0）的右焦點為F ,若過點F且傾斜角為60的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率的取值圍是（A 1,2B 1,2C 2,2,2x10橢圓飛a2 y b21 （ a b0 ）的焦點為F1、F2，兩條準線與x軸的交點分別為