兩條異面直線所成的角和距離教案講解(共12頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上兩條異面直線所成的角和距離教案  北京師大二附中  古永喜  教學(xué)目標(biāo)1運(yùn)用類(lèi)比推理，理解引入有關(guān)概念的必要性、重要性；2理解、掌握有關(guān)概念的定義，并會(huì)初步應(yīng)用有關(guān)概念的定義來(lái)解題教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)這節(jié)課的重點(diǎn)與難點(diǎn)都是異面直線所成的角和距離這兩個(gè)概念的引入，和使學(xué)生真正地理解、掌握這兩個(gè)概念教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程一、引入有關(guān)概念的必要性師：我們都知道空間的兩直線的位置關(guān)系有三種：相交、平行、異面這只是“定性”來(lái)研究對(duì)象，當(dāng)我們要“定量”來(lái)研究對(duì)象時(shí)就必需要引入一些有關(guān)的新概念（這時(shí)教師拿出兩根小棍做平行直線演示并說(shuō)）例如ab， cd（如圖1），雖然它

2、們都是平行直線，但是它們之間有什么區(qū)別呢？生：雖然它們都是平行直線，但是它們的之間的距離不同師：對(duì)，為了區(qū)別都是平行直線的不同情況，也就是說(shuō)為了“定量”的研究平行直線，就必須引入有關(guān)“距離”這個(gè)概念（這時(shí)教師又拿出兩根小棍做相交直線，并且使其角度各有不同，并說(shuō)）師：又例如a與b是相交直線，c與d也是相交直線（如圖2）雖然它們都是相交直線，但是它們之間有什么區(qū)別呢？生：雖然它們都是相交直線，但是它們的夾角大小不同師：對(duì)，為了區(qū)別兩相交直線的不同情況，也就是說(shuō)為了“定量”的研究相交直線就必須引入有關(guān)“角”的概念（這時(shí)教師又拿出兩根小棍做異面直線狀，并變動(dòng)其距離的大小演示給學(xué)生看，讓其觀察后，得出相

3、應(yīng)的結(jié)論）師：直線a，b是異面直線，直線c，d也是異面直線，它們之間有什么不同？生：雖然它們都是異面直線，但是它們之間的距離不同（這時(shí)教師又拿出兩根小棍做異面直線狀，并變動(dòng)其所成角的大小演示給學(xué)生看，讓其觀察后，得出相應(yīng)的結(jié)論）師：直線a，b是異面直線，直線c，d也是異面直線，它們之間有什么不同？生：雖然它們都是異面直線，但是它們之間所成的角大小不同師：對(duì)，通過(guò)觀察我們可以發(fā)現(xiàn)為了“定量”的研究異面直線，必須引入異面直線所成的角和異面直線的距離這兩個(gè)概念下面我們先來(lái)研究異面直線所成的角這個(gè)概念的定義二、異面直線所成的角的定義（教師拿出兩根小棍做異面直線狀，演示給學(xué)生看，使其觀察如何給異面直線所

4、成的角下定義）師：我們來(lái)看這模型，怎樣給異面直線a、b所成的角下定義？生：可以把直線a平移與b相交，這時(shí)由a平移而得的a與b相交所成的角，就可以定義為異面直線a與b所成的角師：對(duì)，但是為了使這個(gè)定義更有一般性，我們給異面直線所成的角做如下的定義定義  直線a，b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別引直線aa，bb，我們把直線a和b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角（如圖3）師：由定義來(lái)看，O是空間中任意一點(diǎn)，當(dāng)然我也可以在空間任意取一點(diǎn)O1，過(guò)O1分別引a1a，b1b，那么這時(shí)a1和b1所成的銳角與a和b所成的銳角是否相等呢？生：相等，因?yàn)橛械冉嵌ɡ淼耐普摗叭绻麅蓷l相交直

5、線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等”因?yàn)閍a，a1a可推出aa1，同理可推出bb1，所以可用等角定理的推論師：對(duì)，我們?cè)谏蟽晒?jié)課講的公理4和等角定理，在某種意義來(lái)說(shuō)都是為給異面直線所成的角下定義做理論上的準(zhǔn)備，正因?yàn)榻堑拇笮∨cO點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)，所以為了簡(jiǎn)便，點(diǎn)O常取在兩條異面直線中的一條上，所以你們一開(kāi)始給異面直線所成的角下的定義是對(duì)的師：我們?nèi)绾谓o兩條異面直線互相垂直下定義呢？生：如果兩條異面直線所成的角是直角，我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直師：設(shè)兩條異面直線所成的角為，問(wèn)角的取值范圍？生：（0°，90°，半開(kāi)、半閉區(qū)間師：角能否等于0

6、76;生：不能，因?yàn)楫?dāng)=0°時(shí)，異面直線就轉(zhuǎn)化為平行直線師：對(duì)，0°，否則，量變就轉(zhuǎn)化為質(zhì)變，異面直線就轉(zhuǎn)化為平行直線了至于異面直線所成的角規(guī)定為銳角或直角，則是為了所成的角是唯一確定的三、練習(xí)例  正方形ABCDA1B1C1D1求：（1）A1B與CC1所成的角是多少度？為什么？（2）A1B1與CC1所成的角是多少度？為什么？（3）A1C1與BC所成的角是多少度？為什么？（4）在正方體ABCDA1B1C1D1的棱中，與棱B1B垂直的棱有幾條？（如圖4）師：請(qǐng)你們依次回答上述的四個(gè)問(wèn)題生：（1）因?yàn)锳BCDA1B1C1D1為正方體，CC1BB1，所以A1B與CC1所

7、成的角為B1BA1，而B(niǎo)1BA1=45°，所以A1B與CC1所成的角為45°師：請(qǐng)回答第（2）問(wèn)生：因?yàn)镃C1BB1，所以A1B1與CC1所成的角為BB1A1，而B(niǎo)B1A1=90°，所以A1B1與CC1所成的角為90°師：請(qǐng)回答第（3）問(wèn)生：因?yàn)锽CB1C1，所以A1C1與BC所成的角就是B1C1A1，而B(niǎo)1C1A1=45°，所以A1C1與BC所成的角為45°師：請(qǐng)回答第（4）問(wèn)生：與棱B1B垂直的棱有8條師：有哪幾條是與B1B相交垂直？有哪幾條是與B1B異面垂直？生：與B1B相交垂直的棱有4條，為AB，A1B1，BC，B1C1；與B

8、1B異面垂直的棱也有4條，為AD，A1D1，CD，C1D1師：對(duì)這里我們需要指出，在立體幾何中“垂直”、“相交垂直”、“異面垂直”這三個(gè)不同概念的聯(lián)系和區(qū)別以后我們講兩直線垂直，則是指這兩直線可能是相交垂直，也可能是兩直線異面垂直這里我們要破除在平面幾何中形成的思維定式，就是一說(shuō)兩直線垂直就是指兩直線相交垂直而要了解：“垂直”=“相交垂直”+“異面垂直”四、異面直線的距離的定義師：和兩條異面直線都垂直的直線有多少條？（同時(shí)拿出兩根小棍做為異面直線a，b，再拿出一根小棍c擺出與a、b都垂直狀，而小棍c在保持與a、b都垂直的情況下可平行移動(dòng)，用這樣的模型讓學(xué)生觀察，再讓學(xué)生回答）生：有無(wú)數(shù)條師：對(duì)

9、現(xiàn)在再問(wèn)與這兩條異面直線都相交垂直的直線有幾條？生：只有一條師：對(duì)，由對(duì)模型的觀察我們知道和兩條異面直線都相交垂直的直線有而且只有一條，現(xiàn)在可以給出下面兩個(gè)定義定義  和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線定義  兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離要注意這兩個(gè)定義之間的聯(lián)系與區(qū)別，公垂線是一條直線，這直線在這兩條異面直線間（兩垂足間）的線段的長(zhǎng)度是這兩條異面直線的距離五、練習(xí)例  在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB=4cm，BC=3cm，B1B=2cm。求：（1）異面直線A1A與BC的距離；（2）異面直

10、線A1A與C1D1的距離；（3）異面直線A1B1與BC的距離（如圖5）師：在第（1）問(wèn)中A1A與BC的距離等于多少？為什么？生：因?yàn)锳BCDA1B1C1D1是長(zhǎng)方體，ABA1A于A，ABBC干B所以AB的長(zhǎng)度就是異面直線A1A與BC的距離，因?yàn)锳B=4cm，所以A1A與BC的距離為4cm師：在第（2）間中，A1A與C1D1的距離等于多少？為什么？生：因?yàn)锳1D1A1A于A1，A1D1C1D1于D1，A1D1的長(zhǎng)度就是異面直線A1A與C1D1的距離，因?yàn)锳1D1=BC=3cm，所以A1A與C1D1的距離為3cm師：在第（3）問(wèn)中，A1B1與BC的距離等于多少？為什么生：因?yàn)锽1BA1B1于B1，

11、B1BBC于BB1B的長(zhǎng)度就是異面直線A1B1與BC的距離，因?yàn)锽1B=2cm，所以A1B1與BC的距離等于2cm師：現(xiàn)在你們自己看課本第15頁(yè)到第16頁(yè)的例，看完后你們自己來(lái)講可根據(jù)課本來(lái)回答例  設(shè)圖6中的正方體的棱長(zhǎng)為a（1）圖中哪些棱所在的直線與直線BA成異面直線？（2）求直線BA和CC所成的角的大??；（3）求異面直線BC和AA的距離（可根據(jù)課堂情況靈活掌握讓學(xué)生看35分鐘后，叫學(xué)生回答）師：現(xiàn)在你們先回答第（1）問(wèn)生：因?yàn)锳 平面BBCC，而點(diǎn)B、直線CC都在平面BBCC內(nèi)，且B CC所以直線BA與CC是異面直線同理，直線CD，DD，DC，AD，BC都和直線BA成異面直線師

12、：剛才回答是正確的，但它們的理論根據(jù)是什么呢？生：是根據(jù)課本第10頁(yè)例，過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線師；對(duì)，過(guò)去我們已經(jīng)講過(guò)，課本第10頁(yè)上的例，應(yīng)該明確把它“升格”為定理這定理有的書(shū)上叫它為異面直線存在定理，有的書(shū)上把它叫做異面直線判定定理以后，我們叫這定理為異面直線判定定理過(guò)去我們還小結(jié)過(guò)，證明兩條直線是異面直線的方法有兩個(gè)，是哪兩個(gè)方法生：一是用反證法，二是用異面直線的判定定理師：現(xiàn)在回答第（2）問(wèn)生：因?yàn)镃CBB，所以BA和BB所成的銳角就是BA和CC所成的角因?yàn)锳BB=45°，所以BA和CC所成的角是45°師：現(xiàn)在回答第（3）

13、問(wèn)生：因?yàn)锳BAA于A，ABBC于B所以AB是BC和AA的公垂線段，因?yàn)锳B=a，所以BC和AA的距離是a師：今天我們講了兩個(gè)很重要的概念，兩條異面直線所成的角和距離，我們一定要很好的理解、掌握這兩個(gè)概念并能應(yīng)用它們來(lái)解有關(guān)的題作業(yè)課本第17頁(yè)，第9，10兩題補(bǔ)充題1正方體12條棱中，組成異面直線的對(duì)數(shù)是多少？242空間四邊形的對(duì)角線互相垂直，順次連結(jié)這個(gè)四邊形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形是矩形，試證明提示：證有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形3空間四邊形ABCD，AB，BC，CD的中點(diǎn)分別是P， Q和R，90°4在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AD，CD和C

14、C1的中點(diǎn)，求異面直線EF和GH所成的角是多少度？60°課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明1為了使學(xué)生理解引入異面直線所成的角和距離這兩個(gè)概念的必要，一定要運(yùn)用類(lèi)比推理的思想，從平面幾何為了區(qū)別不同的平行直線要有距離的概念，為了區(qū)別不同的相交直線要有角的概念這樣為了區(qū)別不同的異面直線要引入異面直線所成的角和距離就是很自然很合理的了例 （）由（I）可得AEB 是二面角 AEB1B 的平面角，在 RtABE 中，由 AB= 2 ， BE=1，得 tanAEB= 2 . 又由已知得平面 A1B1E平面 BB1C1C， 故二面角 AEB1A1 的平面角 = 2 AEB ，故 tan = tan( 解法三： 2

15、 AEB = cot AEB = 2 . 2 （I）以 B 為原點(diǎn)， BB1 、 BA 分別為 y、z 軸建立空間直角坐標(biāo)系. 由于 BC=1，BB1=2，AB= 2 ，BCC1= 在三棱柱 ABCA1B1C1 中有 B（0，0，0） ，A（0，0， 2 ） 1（0，2，0） ，B ， 3 ， C( 3 1 3 3 , ,0, C1 ( , ,0 2 2 2 2 設(shè) E( 3 , a,0,由EA EB1 , 得 EA EB1 = 0, 即 2 3 3 , 2 a ,0 , a , 2 ( 2 2 0 = ( = 3 3 + a ( a 2 = a 2 2 a + , 4 4 1 3 1 3 3

16、 1 得(a (a = 0,即a = 或a = (舍去, 故E ( , ,0 2 2 2 2 2 2 3 1 3 3 3 3 BE EB1 = ( , ,0 ( 0 = + = 0,即BE EB1 . 2 2 2 2 4 4 又 AB面 BCC1B1，故 ABBE. 因此 BE 是異面直線 AB、EB1 的公垂線， 則 | BE |= 3 1 + = 1 ，故異面直線 AB、EB1 的距離為 1. 4 4 （II）由已知有 EA EB1 , B1 A1 EB1 , 故二面角 AEB1A1 的平面角 的大小為向量 B1 A1與EA 的夾角. 1 由A1 (2,0, 3 , C1 (0,2 3 ,

17、 3 , 3 3 , ,0, 2 2 1 3 3 3 3 , 3 , EC1 = ( , 得 EA1 = ( , , 3 , 2 2 2 2 E( 3 9 EA1 EC1 = + 3 = 0, 4 4 EA1 EC1 , 即EA1 EC1 . 二面角A1 BD C1的大小為90 o. （）如圖，由 D（0，0，0） ，A（2，0，0） 1（0， 2 3 ， 3 ，B（3， 3 ，0） ，C ） 得 AD = (2,0,0, BC1 (3, 3 , 3 , AD = BC1 = 6, | AD |= 2, | BC1 |= 15, cos( AD, BC1 = AD BC1 | AD | BC1

18、 | = 6 2 15 = 15 . 5 15 . 5 異面直線 AD 與 BC1 所成角的大小為 arccos 解法三： （I）同解法一. （II）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為 E. 連結(jié) A1E，C1E，A1C1. 與（I）同理可證，BDA1E，BDC1E， A1EC1 為二面角 A1BDC1 的平面角. 由 E（0，0，0） 1（0，1， 3 , C1 (0,3, 3 , ，A 得 EA1 = (0,1, 3 , EC1 = (0,3, 3 . Q EA1 EC1 = 0 EA1 EC1 , 即EA1 EC1 . 二面角A1 BD C1的大小為90 o . （）如圖，由 A（0，

19、1，0） ，D（ 3 ，0，0） ，B（ 3 ，0，0） 1（0，3， 3 ）. ，C 得 AD = ( 3 ,1,0, BC1 = ( 3,3, 3 . AD BC1 = 3 + 3 = 6, | AD |= 2, | BC1 |= 15 , cos AD , BC1 = AD BC1 | AD | BC1 | = 6 2 15 = 15 , 5 在正方體ABCDA1B1C1D1中（1）求AD1與B1B所成的角是多少度？（45°）（2）問(wèn)與AD1異面，且所成的角是45°的正方體的棱有哪幾條？（4條即為B1B，C1C，B1C1，BC）（3）問(wèn)AD1與B1C所成的角是多少度？

20、（90°）（4）如果M，N分別是B1C1，C1C的中點(diǎn)，問(wèn)MN與AD1所成的角是多少度？（90°）由第（4）問(wèn)這個(gè)特殊的題，用一般化的方法得出定理：一直線垂直于平行直線中的一條，也垂直于另一條例2  在正方體ABCDA1B1C1D1中（1）求AD1與A1C1所成的角的度數(shù)？（D1AC為等邊三角形，D1AC=60°）（2）如果M，N分別為A1B1，B1C1的中點(diǎn)，求MN與BC1所成的角的度數(shù)？（60°）（3）如果P，Q分別是A1A，A1D1的中點(diǎn)，求PQ與MN所成的角的度數(shù)？（60°）例3  在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=3，B1B=2求：（1）AB與A1C1所成的角的正切？（2）A1A與BC1所成的角的正弦？（3）A1C1與AD1所成的角的余弦？這叫余弦定理，我們補(bǔ)充的定理詳見(jiàn)代數(shù)課本第239頁(yè)二 解斜三角形中的35余弦定理在講完這三個(gè)例題后，可做如下總結(jié)小結(jié)（1）以概念為指導(dǎo)作出異面直線所成的角；（2）找出這個(gè)角所在的三角形（直角三角形或斜三角形）；（3）解這個(gè)三角形，求出所要求的角在求異面直線所成的角的三個(gè)步驟中，關(guān)鍵是第（1）步，即把空間角（異面直線所成的角）轉(zhuǎn)化為平面角，