第八知識(shí)塊平面解析幾何初步、圓錐曲線與方程(第1課時(shí)-第5課時(shí)) (2)

1、第第2 2課時(shí)課時(shí) 兩條直線的平行與垂直、兩條直線兩條直線的平行與垂直、兩條直線 的交點(diǎn)、平面上兩點(diǎn)之間的距離、的交點(diǎn)、平面上兩點(diǎn)之間的距離、 點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直，能用解方程組的方法求兩直線的交能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直，能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直點(diǎn)坐標(biāo)，掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離線間的距離【命題預(yù)測(cè)【命題預(yù)測(cè)】 兩直線的位置關(guān)系在高考題中出現(xiàn)頻繁，且多在填空題中進(jìn)行考查，在兩兩直線的位置關(guān)系在高考題中出現(xiàn)頻繁，且多在填空題中進(jìn)行考查，在兩

2、條直線的位置關(guān)系中，討論最多的還是平行與垂直條直線的位置關(guān)系中，討論最多的還是平行與垂直【應(yīng)試對(duì)策【應(yīng)試對(duì)策】 1判斷兩直線平行或垂直時(shí)，要注意無(wú)斜率直線的情況；若采用直線的一判斷兩直線平行或垂直時(shí)，要注意無(wú)斜率直線的情況；若采用直線的一般式的系數(shù)進(jìn)行判斷，則可避免對(duì)斜率是否存在的討論般式的系數(shù)進(jìn)行判斷，則可避免對(duì)斜率是否存在的討論2求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程必須化成一般式，求兩平行線的距離求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，直線方程必須化成一般式，求兩平行線的距離時(shí)，直線方程應(yīng)化為一般式，且使時(shí)，直線方程應(yīng)化為一般式，且使x，y的系數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等，兩平行線的距的系數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等，兩平行線的距離與在其中一條

3、直線上的點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)離與在其中一條直線上的點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)3合理利用直線系方程合理利用直線系方程(如過(guò)定點(diǎn)、平行、垂直如過(guò)定點(diǎn)、平行、垂直)可簡(jiǎn)化解題過(guò)程數(shù)形結(jié)合是可簡(jiǎn)化解題過(guò)程數(shù)形結(jié)合是解析幾何的突出特點(diǎn)，在求解解析幾何問(wèn)題時(shí)，要充分利用平面幾何知識(shí)使解析幾何的突出特點(diǎn)，在求解解析幾何問(wèn)題時(shí)，要充分利用平面幾何知識(shí)使解題過(guò)程簡(jiǎn)化解題過(guò)程簡(jiǎn)化4中點(diǎn)公式和兩條直線垂直的條件是解決對(duì)稱問(wèn)題的重要工具，解析幾何中的中點(diǎn)公式和兩條直線垂直的條件是解決對(duì)稱問(wèn)題的重要工具，解析幾何中的中心對(duì)稱與軸對(duì)稱問(wèn)題最終都?xì)w結(jié)為關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的問(wèn)題解決巧用對(duì)稱思想中心對(duì)稱與軸對(duì)稱問(wèn)題最終都?xì)w結(jié)為關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的問(wèn)題解決巧用對(duì)稱思

4、想解題往往能使問(wèn)題得到快速、簡(jiǎn)捷的解答解題往往能使問(wèn)題得到快速、簡(jiǎn)捷的解答【知識(shí)拓展【知識(shí)拓展】 兩直線的夾角兩直線的夾角兩條直線兩條直線l1和和l2相交構(gòu)成四個(gè)角，它們是兩對(duì)對(duì)頂角，相交構(gòu)成四個(gè)角，它們是兩對(duì)對(duì)頂角，為了區(qū)分這些角，我們把直線為了區(qū)分這些角，我們把直線l1按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與l2重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角，叫做重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角，叫做l1到到l2的角，如圖的角，如圖，l1到到l2的角的角是是1，l2到到l1的角是的角是2(10，20，且且12)設(shè)設(shè)l1的斜率為的斜率為k k1，l2的斜率為的斜率為k k2，l1到到l2的角為的角為，l1、l2的傾斜角分別為的傾斜角分別為1

5、、2.如果如果k k1k k21則則l1到到l2的角為的角為90.當(dāng)當(dāng)k k1k k21時(shí)，則時(shí)，則21或或(12)(21)tan tan(21) 因?yàn)橐驗(yàn)閘2到到l1的角等的角等 于于，所以當(dāng)直線，所以當(dāng)直線l1與與l2相交但不垂直時(shí)，在相交但不垂直時(shí)，在和和中中有且僅有一個(gè)角是銳角，我們把其中的銳角叫做兩條直線的夾角，記夾角為有且僅有一個(gè)角是銳角，我們把其中的銳角叫做兩條直線的夾角，記夾角為，則則tan ，當(dāng)，當(dāng)l1l2時(shí)，就說(shuō)時(shí)，就說(shuō)l1和和l2的夾角為的夾角為 90.1兩條直線平行與垂直的判定兩條直線平行與垂直的判定(1)兩條直線平行兩條直線平行對(duì)于兩條不重合的直線對(duì)于兩條不重合的直線

6、l1，l2，其斜率分別為其斜率分別為k k1，k k2，則有則有l(wèi)1l2 .特特別地，當(dāng)直線別地，當(dāng)直線l1、l2的斜率都不存在時(shí)的斜率都不存在時(shí)l1與與l2的關(guān)系為的關(guān)系為 k k1k k2平行平行(2)兩條直線垂直兩條直線垂直如果兩條直線如果兩條直線l1，l2斜率存在，設(shè)為斜率存在，設(shè)為k k1，k k2，則，則l1l2k k1k k21.探究：探究：兩條直線兩條直線l1，l2垂直的充要條件是斜率之積為垂直的充要條件是斜率之積為1，這句話正確嗎？，這句話正確嗎？提示：提示：不正確由兩直線的斜率之積為不正確由兩直線的斜率之積為1，可以得出兩直線垂直，反過(guò)，可以得出兩直線垂直，反過(guò)來(lái)，兩直線垂

7、直，斜率之積不一定為來(lái)，兩直線垂直，斜率之積不一定為1.如果如果l1，l2中有一條直線的斜率不存中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為在，另一條直線的斜率為0時(shí)，時(shí)，l1與與l2互相垂直互相垂直2兩直線的交點(diǎn)兩直線的交點(diǎn)一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組 若方程組有唯一解，則兩條直線若方程組有唯一解，則兩條直線 ，此解就是此解就是 的坐標(biāo)；若方程組的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線無(wú)解，則兩條直線 ，此時(shí)兩條直線，此時(shí)兩條直線 相交相交交點(diǎn)交點(diǎn)無(wú)公共點(diǎn)無(wú)公共點(diǎn)平行平行3三種距離三種距離(1)兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離平面上的兩點(diǎn)平面上的兩點(diǎn)P1(x1

8、，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式間的距離公式|P1P2| .特別地，原點(diǎn)特別地，原點(diǎn)(0,0)與任一點(diǎn)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離的距離|OP| .(2)點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)點(diǎn)P0(x0，y0)到直線到直線l：AxByC0的距離的距離d .(3)兩條平行線的距離兩條平行線的距離兩條平行線兩條平行線AxByC10與與AxByC20間的距離間的距離d .思考：思考：在應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式和兩平行線之間的距離公式時(shí)應(yīng)注意什么？在應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式和兩平行線之間的距離公式時(shí)應(yīng)注意什么？提示：提示：(1)應(yīng)將方程化成一般式；應(yīng)將方程化成一般式；(2)在求兩平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)使兩

9、平行線方程中在求兩平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)使兩平行線方程中x，y的系數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等的系數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等4中點(diǎn)公式中點(diǎn)公式對(duì)于平面上的兩點(diǎn)對(duì)于平面上的兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，線段線段P1P2的中點(diǎn)是的中點(diǎn)是M(x0，y0)，則則1(江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷江蘇省高考命題研究專家原創(chuàng)卷)經(jīng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)(2,3)且與直線且與直線2x xy y50 0垂直的垂直的直線的方程為直線的方程為_(kāi)解析解析：設(shè)設(shè)所求直線的方程為所求直線的方程為x2yc0 0 ，由題知由題知26c0，c8，故故所求直線的方程為所求直線的方程為x2y80 0.答案答案：x2y80 02若經(jīng)過(guò)點(diǎn)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，a)、

10、(2,0)的直線與經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3，4)且斜率為的直線垂直，且斜率為的直線垂直，則則a的值為的值為_(kāi)解析：解析： 2，a10.答案：答案：103已知點(diǎn)已知點(diǎn)(a,2)(a0)到直線到直線l：xy30的距離為的距離為1，則，則a等于等于_答案：答案： 14(江蘇樣題江蘇樣題)已知已知A(0,6)，B(a，2)兩點(diǎn)間距離是兩點(diǎn)間距離是10，則實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)a_.解析：解析：a2(26)2102，a262，a6.答案：答案：6或或65兩平行線兩平行線3x2y10,6xayc0之間的距離為之間的距離為 ，則，則 _.解析：解析：由題意，由題意， ，a4，c2.則則6xayc0可化為可化為3x2y

11、 0.由兩平行線距離得由兩平行線距離得 ，得，得c2或或c6， 1.答案：答案：1用斜率來(lái)判斷兩直線的平行或垂直時(shí)，應(yīng)分有無(wú)斜率兩種情況加以討論，而用斜率來(lái)判斷兩直線的平行或垂直時(shí)，應(yīng)分有無(wú)斜率兩種情況加以討論，而用一般式用一般式AxByC0判斷時(shí)，要注意判斷時(shí)，要注意A或或B為零時(shí)的特殊情況，即方程中為零時(shí)的特殊情況，即方程中x和和y的系數(shù)有字母參數(shù)時(shí)，應(yīng)分等于零或不等于零兩種情況加以討論，以避免的系數(shù)有字母參數(shù)時(shí)，應(yīng)分等于零或不等于零兩種情況加以討論，以避免遺漏特殊情況遺漏特殊情況【例【例1】 當(dāng)當(dāng)a為何值時(shí)為何值時(shí)，(1)直線直線l1：x2ay10與直線與直線l2：(3a1)xay10平

12、行平行？(2)直線直線l1：(a2)x(1a)y10與直線與直線l2：(a1)x(2a3)y20互相互相垂直垂直？ 思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：兩直線平行的條件是兩直線平行的條件是k k1k k2且且b1b2，垂直的條件是，垂直的條件是k k1k k21，但，但這都是在兩條直線都有斜率的條件下成立的本題的直線方程中這都是在兩條直線都有斜率的條件下成立的本題的直線方程中y的系數(shù)都的系數(shù)都含有字母參數(shù)，其斜率不一定存在，故應(yīng)對(duì)含有字母參數(shù)，其斜率不一定存在，故應(yīng)對(duì)y的系數(shù)是否為零進(jìn)行討論的系數(shù)是否為零進(jìn)行討論解：解：(1)當(dāng)當(dāng)a0時(shí)，兩直線方程此時(shí)分別為時(shí)，兩直線方程此時(shí)分別為l1：x10和和l2：x10

13、，顯然平行顯然平行當(dāng)當(dāng)a0時(shí)，直線時(shí)，直線l1：x2ay10與直線與直線l2：(3a1)xay10的方程可變形為的方程可變形為y 與與y ，因此，直線因此，直線l1與與l2的斜率與截距分別為的斜率與截距分別為：k k1 ，b1 ，k k2 ，b2 ，所以所以，當(dāng)當(dāng) 且且 時(shí)兩直線平行，即時(shí)兩直線平行，即a時(shí)兩直線時(shí)兩直線l1與與l2平行綜上所述，當(dāng)平行綜上所述，當(dāng)a0或或a 時(shí)，時(shí)，兩直線兩直線l1與與l2平行平行(2)當(dāng)當(dāng)1a0，即，即a1時(shí)，直線時(shí)，直線l1：3x10與直線與直線l2：5y20顯然垂直；顯然垂直；當(dāng)當(dāng)2a30，即，即a 時(shí)，直線時(shí)，直線l1：x5y20與直線與直線l2：5x

14、40不垂直；不垂直；當(dāng)當(dāng)1a0且且2a30，即，即a1且且a 時(shí)，時(shí)，則直線則直線l1，l2的斜率的斜率k k1，k k2都存在，且都存在，且k k1 ，k k2 ，由由l1l2，得，得k k1k k21，即，即 1.解得解得a1.綜上可知，當(dāng)綜上可知，當(dāng)a1或或a1時(shí)，兩直線時(shí)，兩直線l1與與l2互相垂直互相垂直 變式變式1：已知兩條直線已知兩條直線l1：xysin 10和和l2：2xsin y10，試求試求的值，使得的值，使得(1)l1l2；(2)l1l2.解：解：(1)解法一：解法一：當(dāng)當(dāng)sin0時(shí)時(shí)，l1的斜率不存在的斜率不存在，l2的斜率為的斜率為0，l1顯然顯然不平行于不平行于l2

15、.當(dāng)當(dāng)sin 0時(shí)時(shí)，k k1 ，k k22sin ，欲使欲使l1l2，只要只要 2sin ，即即sin ，k k ，k kZ，此時(shí)兩直線截距不相等此時(shí)兩直線截距不相等當(dāng)當(dāng)k k ， k kZ時(shí)時(shí)，l1l2.設(shè)兩條直線的方程是設(shè)兩條直線的方程是l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20.兩條直線是兩條直線是否有交點(diǎn)，就要看這兩條直線的方程所組成的方組否有交點(diǎn)，就要看這兩條直線的方程所組成的方組 ， 是否有唯一解是否有唯一解注意：注意：(1)若方程組若方程組 無(wú)解，則直線無(wú)解，則直線l1和和l2平行；反之，亦成立平行；反之，亦成立 . (2)若方程組若方程組 有無(wú)窮多解，則直線有無(wú)窮多解

16、，則直線l1與與l2重合；反之，也成立重合；反之，也成立 (3)當(dāng)有交點(diǎn)時(shí)，方程組的解就是交點(diǎn)坐標(biāo)當(dāng)有交點(diǎn)時(shí)，方程組的解就是交點(diǎn)坐標(biāo) (4)l1與與l2相交的條件是相交的條件是A1B2A2B10或或 . 【例【例2】 已知已知(k k1)x(k k1)y2k k0為直線為直線l l的方程的方程，求證：不論求證：不論k k取何實(shí)取何實(shí)數(shù)，直線數(shù)，直線l必過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)必過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：把含有把含有k的項(xiàng)放在一起并提出公因式的項(xiàng)放在一起并提出公因式k，解，解x、y的方程組求定點(diǎn)的方程組求定點(diǎn)或?qū)懗苫驅(qū)懗葾(xx0)B(yy0)0的形式求的形式求(x0，

17、y0)解：解：解法一解法一：整理直線：整理直線l l 的方程，得的方程，得(xy)k(xy2)0.不論不論k k取何實(shí)數(shù)取何實(shí)數(shù)值，直線值，直線l l的方程為直線系的方程為直線系l1l20的形式，因此必過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)可的形式，因此必過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)可由方程組由方程組 解得解得直線直線l l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)是M(1，1)解法二：解法二：由直線由直線l的方程的方程，得得(k k1)x(k k1)y2k k，變形為變形為(k k1)x(k k1)(k k1)y(k k1)，即即(k k1)(x1)(1k k)(y1)0.直線直線l的方程為過(guò)定點(diǎn)的方程為過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)的直線系方程的直線系

18、方程A(xx0)B(yy0)0的形式的形式直線直線l必過(guò)定點(diǎn)必過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)可由方程組定點(diǎn)坐標(biāo)可由方程組 解得解得不論不論k取何實(shí)數(shù)取何實(shí)數(shù)，直線直線l恒過(guò)定點(diǎn)恒過(guò)定點(diǎn)M(1，1)變式變式2：求過(guò)兩直線求過(guò)兩直線x2y40和和xy20的交點(diǎn)，且滿足下列條件的直線的交點(diǎn)，且滿足下列條件的直線l的的方程：方程： (1)過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)(2,1)；(2)和直線和直線3x4y50垂直垂直解：解：(1)設(shè)經(jīng)兩直線交點(diǎn)的直線方程為設(shè)經(jīng)兩直線交點(diǎn)的直線方程為x2y4(xy2)0，把把(2,1)代入方代入方程，得程，得224(212)0，解得解得4.故直線方程為故直線方程為x2y40.(2)將將( (1)中所設(shè)的方

19、程變?yōu)橹兴O(shè)的方程變?yōu)?1)x(2)y(42)0，可得其斜率為可得其斜率為k k ，由已知由已知 111，則所求直線方程為則所求直線方程為4x3y60.(1)用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，直線方程必須化為一般式，還要注意公式中用點(diǎn)到直線的距離公式時(shí)，直線方程必須化為一般式，還要注意公式中的分子含有絕對(duì)值符號(hào)，分母含有根號(hào)的分子含有絕對(duì)值符號(hào)，分母含有根號(hào)(2)求兩平行線間的距離時(shí)，可轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的點(diǎn)到另一條直線的求兩平行線間的距離時(shí)，可轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的點(diǎn)到另一條直線的距離，也可以代入公式求解，但此時(shí)必須先將兩直線方程轉(zhuǎn)化為一般形式距離，也可以代入公式求解，但此時(shí)必須先將兩直線方程轉(zhuǎn)化為

20、一般形式且且x、y的系數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等的系數(shù)分別對(duì)應(yīng)相等(3)點(diǎn)到幾種特殊直線的距離，可不套公式而直接求出：點(diǎn)到幾種特殊直線的距離，可不套公式而直接求出：點(diǎn)點(diǎn)P(x0，y0)到到x軸的距離軸的距離d|y0|；點(diǎn)點(diǎn)P(x0，y0)到到y(tǒng)軸的距離軸的距離d|x0|；點(diǎn)點(diǎn)P(x0，y0)到與到與x軸平行的直線軸平行的直線ya的距離的距離d|y0a|；點(diǎn)點(diǎn)P(x0，y0)到與到與y軸平行的直線軸平行的直線xb的距離的距離d|x0b|.【例【例3】 已知直線已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3,1)，且被兩條平行直線且被兩條平行直線l1：xy10和和l2：xy60截得的線段長(zhǎng)為截得的線段長(zhǎng)為5，求直線求直線l l

21、 的方程的方程思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：采用數(shù)形結(jié)合，先求夾角再求直線的斜率和傾斜角，采用數(shù)形結(jié)合，先求夾角再求直線的斜率和傾斜角，或采用設(shè)而不求，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用整體思想處理或采用設(shè)而不求，設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用整體思想處理解：解法一解：解法一：如圖，由題意，直線：如圖，由題意，直線l1、l2之間的距離為之間的距離為d ，且直線且直線l被平行直線被平行直線l1、l2所截得的線段所截得的線段AB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為5，設(shè)直線設(shè)直線l與直線與直線l1的夾角為的夾角為，則則sin ，故故45.由直線由直線l1：xy10的傾斜角為的傾斜角為135，知直線知直線l l的傾斜角為的傾斜角為0或或90.又由直線又由直線l

22、過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)P(3,1)，故直線故直線l的方程為的方程為x3或或y1.解法二：解法二：設(shè)直線設(shè)直線l與與l1、l2分別相交于分別相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，則則x1y110，x2y260，兩式相減得兩式相減得(x1x2)(y1y2)5，又又(x1x2)2(y1y2)225，聯(lián)立聯(lián)立可得可得 ，或或由上可知，直線由上可知，直線l的傾斜角分別為的傾斜角分別為0或或90，故所求的直線方程為故所求的直線方程為x3或或y1.變式變式3：設(shè)一直線過(guò)點(diǎn)設(shè)一直線過(guò)點(diǎn)(1,1)，它被兩平行直線它被兩平行直線l1：x2y10，l2：x2y30所截的線段的中點(diǎn)在直線所截的線段的中點(diǎn)在直線l3：xy10上上

23、，求其方程求其方程解：解：與與l1、l2平行且距離相等的直線方程為平行且距離相等的直線方程為x2y20.設(shè)所求直線方程為設(shè)所求直線方程為(x2y2)(xy1)0，即即(1)x(2)y20.又直線過(guò)又直線過(guò)A(1,1)，(1)(1)(2)120.解得解得 .所求直線方程為所求直線方程為2x7y50.(1)中心對(duì)稱：若點(diǎn)中心對(duì)稱：若點(diǎn)M(x1，y1)及及N(x，y)關(guān)于關(guān)于P(a，b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得式得(2)軸對(duì)稱：關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，若兩點(diǎn)軸對(duì)稱：關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與與P2(x2，y2)關(guān)于直線關(guān)于直線l：AxByC0對(duì)稱，則線段對(duì)稱，則線段P

24、1P2的中點(diǎn)在對(duì)稱軸的中點(diǎn)在對(duì)稱軸l上，而且連接上，而且連接P1P2的直線垂直于對(duì)的直線垂直于對(duì)稱軸稱軸l，由方程組，由方程組可得到點(diǎn)可得到點(diǎn)P1關(guān)于關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)的坐標(biāo)(x2，y2)(其中其中A0，x1x2)【例【例4】 求直線求直線l1：2x3y10，關(guān)于直線關(guān)于直線l：xy20對(duì)稱的直線對(duì)稱的直線l2的的方程方程思路點(diǎn)撥：思路點(diǎn)撥：求出求出l1與與l的交點(diǎn)的交點(diǎn)P，在在l1上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)M，求，求M關(guān)于關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)N，利用利用P、N兩點(diǎn)寫直線的方程；兩點(diǎn)寫直線的方程；用距離公式列出用距離公式列出l2的斜率的斜率k的方程，求出的方程，求出k，根據(jù)點(diǎn)斜式求，根據(jù)

25、點(diǎn)斜式求l2的方程的方程解：解：解法一解法一：由由 得兩直線的交點(diǎn)得兩直線的交點(diǎn)P P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1,1)，在直線在直線l1上取一上取一點(diǎn)點(diǎn)M .設(shè)設(shè)M關(guān)于直線關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)N的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x0，y0)，則則解得解得x02，y0 .即即N ，由題意可知，直線由題意可知，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)N.直線直線l2的方程為的方程為 .即即3x2y10.解法二：解法二：由解法一得由解法一得P(1,1)，設(shè)直線設(shè)直線l2的方程為的方程為y1k k(x1)即即k kxy1k0.在直線在直線l上取一點(diǎn)上取一點(diǎn)Q(0,2)，則則Q到到l1的距離的距離d1 .Q到到l2的距離的距離d2 由題意

26、可知由題意可知d1d2即即 ，解得解得k k 或或k k (舍去舍去)直線直線l2的方程為的方程為y1 (x1)，即即3x2y10. 變式變式4：已知點(diǎn)已知點(diǎn)A(3,1)，在直線在直線xy0和和y0上分別有點(diǎn)上分別有點(diǎn)M和和N使使AMN 的周長(zhǎng)最短，求點(diǎn)的周長(zhǎng)最短，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)的坐標(biāo)解：解：A(3,1)關(guān)于關(guān)于yx的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A1(1,3)，A(3,1)關(guān)于關(guān)于y0的對(duì)稱點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)A2(3，1)，AMN的周長(zhǎng)最小值為的周長(zhǎng)最小值為|A1A2|，|A1A2|2 ，A1A2的方程的方程：2xy50.A1A2與與xy0的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為M，由由 ，A1A2與與y0的交點(diǎn)為的交點(diǎn)為N，由由【規(guī)律

27、方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)】1教材中的兩直線平行與垂直的條件都是在兩直線方程為斜截式的情況下教材中的兩直線平行與垂直的條件都是在兩直線方程為斜截式的情況下(即直線的斜率存在即直線的斜率存在)給出的，都有一定的局限性，因此，同學(xué)們?cè)趹?yīng)用這一給出的，都有一定的局限性，因此，同學(xué)們?cè)趹?yīng)用這一條件判斷兩直線的位置關(guān)系時(shí)，一定要注意斜率是否存在，否則很容易出條件判斷兩直線的位置關(guān)系時(shí)，一定要注意斜率是否存在，否則很容易出現(xiàn)失誤現(xiàn)失誤2求兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)就是解方程組即把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題求兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)就是解方程組即把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題3要理解要理解“點(diǎn)點(diǎn)距點(diǎn)點(diǎn)距”、“點(diǎn)線距點(diǎn)線距”、“線線距線線距”之間

28、的聯(lián)系及各公式的特之間的聯(lián)系及各公式的特點(diǎn)特別提示：求兩平行線間的距離時(shí)，一定化成點(diǎn)特別提示：求兩平行線間的距離時(shí)，一定化成l1：AxByC10，l2：AxByC20的形式的形式4點(diǎn)的對(duì)稱是對(duì)稱問(wèn)題的本質(zhì)，也是對(duì)稱的基礎(chǔ)只要搞清了點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)、點(diǎn)的對(duì)稱是對(duì)稱問(wèn)題的本質(zhì)，也是對(duì)稱的基礎(chǔ)只要搞清了點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)、直線的對(duì)稱規(guī)律，則曲線關(guān)于點(diǎn)、直線的對(duì)稱規(guī)律便不難而知直線的對(duì)稱規(guī)律，則曲線關(guān)于點(diǎn)、直線的對(duì)稱規(guī)律便不難而知5轉(zhuǎn)化思想是解決對(duì)稱問(wèn)題的基本思想，不僅在對(duì)稱之間需要轉(zhuǎn)化，其他問(wèn)題轉(zhuǎn)化思想是解決對(duì)稱問(wèn)題的基本思想，不僅在對(duì)稱之間需要轉(zhuǎn)化，其他問(wèn)題如角平分線、光線反射等問(wèn)題也可轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問(wèn)題如角平分線、光

29、線反射等問(wèn)題也可轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問(wèn)題. 【高考真題高考真題】【例【例5】 (2009全國(guó)卷全國(guó)卷)若直線若直線m被兩平行線被兩平行線l1：xy10與與l2：xy30所截得的線段的長(zhǎng)為所截得的線段的長(zhǎng)為2，則，則m的傾斜角可以是的傾斜角可以是1530456075其中正確答案的序號(hào)是其中正確答案的序號(hào)是_(寫出所有正確答案的序號(hào)寫出所有正確答案的序號(hào))分析：分析：先求出兩平行線間的距離，再根據(jù)已知就可以求出直線先求出兩平行線間的距離，再根據(jù)已知就可以求出直線m與這兩條平行線與這兩條平行線的夾角的夾角規(guī)范解答：規(guī)范解答：兩平行線間的距離為兩平行線間的距離為d ，如圖所示，如圖所示，可知直線可知直線m與與l

30、1、l2的夾角為的夾角為30，l1、l2的傾斜角為的傾斜角為45，所以直線，所以直線m的傾斜角的傾斜角等于等于304575或或453015.故填故填. 【全解密全解密】【命題探究【命題探究】本題的目的是考查考生利用直線的斜率、直線的傾斜角、兩條平行線間本題的目的是考查考生利用直線的斜率、直線的傾斜角、兩條平行線間 的距離等基礎(chǔ)知識(shí)靈活解決問(wèn)題的能力及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用的距離等基礎(chǔ)知識(shí)靈活解決問(wèn)題的能力及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用【知識(shí)鏈接【知識(shí)鏈接】解析幾何中的距離公式解析幾何中的距離公式(1)點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)P(x0，y0)到到直線直線l：AxByC0的距離的距離d ；(2)兩平

31、行線間的距離公式：兩平行線間的距離公式：AxByC10，AxByC20之間的距離之間的距離d . 該類問(wèn)題的一般解決方法是通過(guò)數(shù)形結(jié)該類問(wèn)題的一般解決方法是通過(guò)數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為兩直線的夾角問(wèn)題如圖所示，設(shè)直線合轉(zhuǎn)化為兩直線的夾角問(wèn)題如圖所示，設(shè)直線m被兩被兩條平行線條平行線l1、l2所截得的線段長(zhǎng)度為所截得的線段長(zhǎng)度為l，兩平行線間的距，兩平行線間的距離是離是d.當(dāng)當(dāng)ld時(shí)，直線時(shí)，直線m與與l1、l2垂直，根據(jù)垂直關(guān)系解垂直，根據(jù)垂直關(guān)系解決；當(dāng)決；當(dāng)ld時(shí)，根據(jù)圖中的直角三角形可以求出直線時(shí)，根據(jù)圖中的直角三角形可以求出直線m與與直線直線l1、l2的夾角，根據(jù)這個(gè)夾角和直線的夾角，根據(jù)這個(gè)夾

32、角和直線l1、l2的傾斜角的傾斜角就可以求出直線就可以求出直線m的傾斜角的傾斜角【方法探究【方法探究】【技巧點(diǎn)撥【技巧點(diǎn)撥】 一條直線被兩條平行線所截得的線段和這兩條平行線間的垂線段一條直線被兩條平行線所截得的線段和這兩條平行線間的垂線段可以放到一個(gè)直角三角形中，這時(shí)這個(gè)直角三角形是完全已知的，可以通過(guò)這可以放到一個(gè)直角三角形中，這時(shí)這個(gè)直角三角形是完全已知的，可以通過(guò)這個(gè)直角三角形和已知直線的傾斜角解決這類問(wèn)題數(shù)形結(jié)合是解決解析幾何問(wèn)個(gè)直角三角形和已知直線的傾斜角解決這類問(wèn)題數(shù)形結(jié)合是解決解析幾何問(wèn)題的有效手段題的有效手段 本題也可以直接設(shè)出直線方程求解：當(dāng)直線本題也可以直接設(shè)出直線方程求解

33、：當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線不妨設(shè)直線m的方程為的方程為x0，此時(shí)直線，此時(shí)直線m與直線與直線l1、l2的交點(diǎn)是的交點(diǎn)是(0,1)，(0,3)，這兩，這兩點(diǎn)之間的距離為點(diǎn)之間的距離為2，不等于，不等于2 ，故直線，故直線m的斜率一定存在設(shè)直線的斜率一定存在設(shè)直線m：yk kx(這這樣設(shè)不失一般性樣設(shè)不失一般性)，與，與l1的方程聯(lián)立得交點(diǎn)坐標(biāo)是的方程聯(lián)立得交點(diǎn)坐標(biāo)是 ，與，與l2的方程聯(lián)立的方程聯(lián)立得交點(diǎn)坐標(biāo)是得交點(diǎn)坐標(biāo)是 ，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得 ，化簡(jiǎn)，得，化簡(jiǎn)，得k k24k k10，解得，解得k k2 ，故直線，故直線m的傾斜角是的傾斜角是1