復(fù)變函數(shù)及積分變換第二章ppt課件

1、2.1 復(fù)變函數(shù)的概念、極限與延續(xù)性 1. 復(fù)變函數(shù)的概念定義定義2.1 設(shè)設(shè)E為一復(fù)數(shù)集為一復(fù)數(shù)集.假設(shè)對(duì)假設(shè)對(duì)E中的每一個(gè)復(fù)數(shù)中的每一個(gè)復(fù)數(shù) ,按照某種法那么按照某種法那么f有確定的一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)有確定的一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù) 與之對(duì)應(yīng)，那么稱復(fù)變數(shù)與之對(duì)應(yīng)，那么稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)簡(jiǎn)稱的函數(shù)簡(jiǎn)稱復(fù)變函數(shù)，記作復(fù)變函數(shù)，記作 .通常也稱通常也稱w=f(z)為定義在為定義在E上的復(fù)變函數(shù)，其中上的復(fù)變函數(shù)，其中E稱為稱為定義域，定義域，E中一切的中一切的z對(duì)應(yīng)的一切對(duì)應(yīng)的一切w值構(gòu)成的集合值構(gòu)成的集合 稱稱為為f(z)的值域，記作的值域，記作 f(E) 或或G. zxiywuiv( )

2、wf z 假設(shè)z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著w的一個(gè)值，那么稱復(fù)變函數(shù) f(z)是單值的；假設(shè)z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著w的兩個(gè)或兩個(gè)以上的值，那么稱復(fù)變函數(shù) f(z)是多值的. 復(fù)數(shù)z=x+iy與 w=u+iv分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)對(duì) (x,y)和 (u,v)，對(duì)于函數(shù)w=f(z)，u、v為x、y 的二元實(shí)數(shù)函u(x,y)和v(x,y)，所以w=f(z)又常寫成w=u(x,y)+iv(x,y)。 函數(shù)w=z2+1.令z=x+iy，w=u+iv，那么w=u+iv=(x+iy)2+1=x2-y2+1+2xyi,w=z2+1對(duì)應(yīng)于兩個(gè)實(shí)函數(shù) u=x2-y2+1和v=2xy. 對(duì)于復(fù)變函數(shù)w=f(z)即u+iv=f(x+iy)，可以

3、了解為兩個(gè)復(fù)平面上的點(diǎn)集之間的映射，詳細(xì)地說，復(fù)變函數(shù)w=f(z)給出了z平面上的點(diǎn)集E到w平面上的點(diǎn)集f(E)(或G)之間的一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系：( )zEwf zG 其中w稱為z的像，z稱為w的原像. 例2.1 函數(shù) 將z平面上的直線 x=1變成w 平面上的何種曲線？ 1wz解： 2211,xiyzxiy wuivzxiyxy2222,xyuvxyxy z平面上的直線x=1對(duì)應(yīng)于w平面上的曲線 221,11yuvyy 222222221(1)(1)11yuvyyuy 2211()24uv 設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在E上，值域?yàn)镚.假設(shè)對(duì)于G中的任一點(diǎn)w,在E中存在一個(gè)或幾個(gè)點(diǎn)z與之對(duì)應(yīng)，那么在G上確

4、定了一個(gè)單值或多值函數(shù)，記作z=f-1(w)，它就稱為函數(shù)w=f(z)的反函數(shù). 2.復(fù)變函數(shù)的極限 定義2.2 設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在z0的去心鄰域0|z-z0|r內(nèi)，假設(shè)存在常數(shù)A，對(duì)于恣意給定0的,都存在一正數(shù) (0r),使得當(dāng)0|z-z0| r時(shí),有 ,那么稱函數(shù)f(z)當(dāng)zz0時(shí)的極限存在，常數(shù)A為其極限值.記作或 .( )f zA0lim( )zzf zA0( )()f zA zz幾何意義 當(dāng)變點(diǎn) z 進(jìn)入z0的充分小的去心鄰域時(shí)，它的象點(diǎn) f(z) 就落入A的一個(gè)預(yù)先給定的鄰域內(nèi). 定義中zz0的方式是恣意的，也就是說，z在z0的去心鄰域內(nèi)沿任何曲線以任何方式趨于z0時(shí)，f(z

5、)都要趨向于同一個(gè)常數(shù)A. 定理2.1 設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y),z0=x0+iy0,A=a+ib，那么 000( , )(,)lim ( )lim( , ),zzx yx yf zAu x ya00( , )(,)lim( , ).x yx yv x yb證明：先證必要性. 0lim( )zzf zA即對(duì) ,必 ,當(dāng) 0022000000()()()()zzxiyxiyxxyy時(shí)， 有22()()( )()()uavbf zAuivaib2222()() ,()() .uavbuavbuavb 當(dāng) 時(shí)，有 22000()()xxyy,uavb 成立. 0000( , )(,)

6、( , )(,)lim( , ),lim( , ).x yxyx yxyu x yav x yb 再證充分性. 當(dāng) 時(shí)，有 22000()()xxyy,.22uavb 因此.( )()()f zAuai vbuavb所以，當(dāng)220000()()zzxxyy( )f zA有0lim( )zzf zA即定理2.2 (極限運(yùn)算法那么) 假設(shè) 00lim( ),lim ( ),zzzzf zAg zB 000(1)lim( ( )( );(2)lim( )( );( )(3)lim(0).( )zzzzzzf zg zABf zg zABf zABg zB 那么 假設(shè)兩個(gè)函數(shù)f(z)和g(z)在點(diǎn)z0

7、處有極限，那么其和、差、積、商(要求分母不為零)在點(diǎn)z0處的極限仍存在，并且極限值等于f(z)、g(z)在點(diǎn)z0處的極限值的和、差、積、商. 例2.2 判別以下函數(shù)在原點(diǎn)處的極限能否存在，假設(shè)存在，試求出極限值：Re( )(1) ( );zzf zz22Re()(2) ( ).zf zz解： (1)方法一 Re( )( )zf zzzz由于 所以 ，取 ，當(dāng) 時(shí)，總有 0 0z( )0( )f zf zz根據(jù)極限定義 0lim( )0zf z方法二 設(shè)z=x+iy,那么 2222222()( ),xiy xxxyf zixyxyxy22222( , ),( , ).xxyu x yv x yx

8、yxy 22222( , )(0,0)( , )(0,0)limlim0.x yx yxxyxyxy根據(jù)定理2.1，有 0lim( )0zf zRe( )(1) ( );zzf zz22Re()(2) ( ).zf zz(2)方法一.設(shè)z=x+iy,那么 2222222,.zxyxyixyz 222222Re()( ).zxyf zxyz2222( , ),( , )0.xyu x yv x yxy 讓z沿直線y=kx趨向于0，有22222222( , )(0,0)01lim( , )lim.1x yxxk xku x yxk xk( , )(0,0)lim( , )x yu x y所以不存在

9、 根據(jù)定理2.1，0lim( )zf z不存在. 方法二. 22cos2( )cos2rf zr那么e(cossin )izrri設(shè)讓z沿不同射線arg z趨向于0時(shí)，f(z)趨向于不同的值. 所以0lim( )zf z不存在. 22Re()(2) ( ).zf zz3.復(fù)變函數(shù)的延續(xù)性 定義2.3 假設(shè) ，那么說函數(shù) f(z) 在點(diǎn) z0 處延續(xù). 假設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D 內(nèi)每一點(diǎn)都延續(xù)，那么稱函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)延續(xù).00lim( )()zzf zf z定理2.3 假設(shè) f(z)、g(z) 在點(diǎn)z0延續(xù)，那么其和、差、積、商要求分母不為零在點(diǎn)z0處延續(xù).(1)多項(xiàng)式 在整個(gè)復(fù)平面上延續(xù)

10、；(2)任何一個(gè)有理分式函數(shù) 在復(fù)平面上除去使分母為零的點(diǎn)外處處延續(xù).1011nnnnwa za zaza10111011nnnnmmmma za zazawb zn zbzb 定理2.4 假設(shè)函數(shù)h=g(z)在點(diǎn)z0延續(xù)，函數(shù)=f(h)在h0=g(z0)延續(xù)，那么復(fù)合函數(shù)=f(g(z)在z0處延續(xù).定理2.5 設(shè)函數(shù) ,那么f(z)在點(diǎn)z0延續(xù)的充分必要條件是u(x,y)、v(x,y) 均在點(diǎn)(x0,y0)延續(xù). 000( )( , )( , ),f zu x yiv x y zxiy例2.3 討論函數(shù)argz的延續(xù)性.解：當(dāng)z=0時(shí), arg z無定義，因此不延續(xù).當(dāng)z0為負(fù)實(shí)軸上的點(diǎn)時(shí)，

11、即z0=x00), ()()eeeeecos( ).222i iyi iyyyyiy只需y充分大，cosy就可以大于一個(gè)預(yù)先給定的正數(shù).其它三角函數(shù)定義如下:sincos11tan, cot, sec, csc.cossincossinzzzzzzzzzz例2.14 求函數(shù)cosz在z=1+i的值. 解：(1)(1)1111cos(1)ee21e (cos1sin1)e(cos1sin1)21.(ee)cos1(ee)sin12iiiiiiii 三角函數(shù)可以用指數(shù)函數(shù)表示，由于對(duì)數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，所以反三角函數(shù)作為三角函數(shù)的反函數(shù)可以用對(duì)數(shù)表示.z=sinw ee2iwiwzie2e0

12、,iwiwzi2e2 e10,iwiwzi 2222e1,Ln,11LnLn.11iwizziwizzwiizzizzi 定義反正弦函數(shù)為 2ArcsinLn(1).wziizz 反余弦函數(shù)反余切函數(shù)反正切函數(shù)2Arccosln(1),zizz 1Arctanln,21iizziz Arccotln.2izizzi例2.15 求函數(shù)Arcsinz在z=5的值.Arcsin5Ln(52 6 )Ln(52 6) )ln(52 6)2 2ln(52 6)2 21ln(52 6). 0, 1,22iiiiiiik iikikk 解： 例2.16 求函數(shù)Arctanz在z=2+3i的值.解： 1(23 )3Arctan(23 )LnLn21(23 )2521ln(arctan2 )2532111ln. 0, 1,()arctan45223iiiiiiiiiik iikk 5.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)定義2.11 規(guī)定并分別稱它們?yōu)殡p曲正弦函數(shù)與雙曲余弦函數(shù). eeeesh, ch22zzzzzz性質(zhì) (1)周期性：shz和chz都是以2i為根本周期的周期函數(shù). 2(2 )22 )eee ee eeesh(2 )sh .222zizizizizzziz(2)奇偶性：shz