第二章環(huán)境系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

1、某實(shí)驗(yàn)室正在研究一種污染物在某一處理過某實(shí)驗(yàn)室正在研究一種污染物在某一處理過程中的降解規(guī)律，希望其降解規(guī)律的研究能程中的降解規(guī)律，希望其降解規(guī)律的研究能對(duì)工程實(shí)際有指導(dǎo)意義，對(duì)工程實(shí)際有指導(dǎo)意義，討論討論 ： 其研究結(jié)果的最佳表達(dá)形式是什么？為什么？其研究結(jié)果的最佳表達(dá)形式是什么？為什么？根據(jù)所觀察到的現(xiàn)象，及實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，歸結(jié)成一套反映根據(jù)所觀察到的現(xiàn)象，及實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，歸結(jié)成一套反映其數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)關(guān)系式與算法，用以描述對(duì)象的運(yùn)其數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)關(guān)系式與算法，用以描述對(duì)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，這套公式和算法稱為數(shù)學(xué)模型。廣義的數(shù)學(xué)動(dòng)規(guī)律，這套公式和算法稱為數(shù)學(xué)模型。廣義的數(shù)學(xué)模型既包含由數(shù)學(xué)符號(hào)組成的數(shù)學(xué)公式

2、，也包括用框模型既包含由數(shù)學(xué)符號(hào)組成的數(shù)學(xué)公式，也包括用框圖或文字表達(dá)的計(jì)算方法和計(jì)算過程。圖或文字表達(dá)的計(jì)算方法和計(jì)算過程。1抽象性、系抽象性、系統(tǒng)性統(tǒng)性2發(fā)現(xiàn)事物的發(fā)現(xiàn)事物的本質(zhì)特征本質(zhì)特征3速度快、費(fèi)速度快、費(fèi)用低用低延續(xù)上一個(gè)討論問題，延續(xù)上一個(gè)討論問題，問題：?jiǎn)栴}：如何建立這種污染物的降解規(guī)律的數(shù)學(xué)模如何建立這種污染物的降解規(guī)律的數(shù)學(xué)模型？型？1、準(zhǔn)備階段、準(zhǔn)備階段2、系統(tǒng)認(rèn)識(shí)階段；、系統(tǒng)認(rèn)識(shí)階段；3、系統(tǒng)建模階段；、系統(tǒng)建模階段；4、模型參數(shù)估計(jì)；、模型參數(shù)估計(jì)；5、模型求解階段；、模型求解階段；6、模型檢驗(yàn)階段；、模型檢驗(yàn)階段；觀測(cè)數(shù)觀測(cè)數(shù)據(jù)組據(jù)組模型結(jié)模型結(jié)構(gòu)選擇構(gòu)選擇模型模型

3、應(yīng)用應(yīng)用觀測(cè)數(shù)據(jù)組觀測(cè)數(shù)據(jù)組參數(shù)參數(shù)估計(jì)估計(jì)檢 驗(yàn) 與 驗(yàn)檢 驗(yàn) 與 驗(yàn)證證建立數(shù)學(xué)模型的步驟建立數(shù)學(xué)模型的步驟建模者要在弄清問題的社會(huì)背景、建模的目的或目標(biāo)的前提下，盡可能詳細(xì)而又全面的收集和建模有關(guān)的資料。例：我們要建一個(gè)工業(yè)園區(qū)的工業(yè)污水集中處理廠，需要收集哪些相關(guān)資料。1、分析系統(tǒng)有關(guān)成分和因素；2、對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理與分析，通常要繪制變量的時(shí)間過程線，空間關(guān)系曲線或表格，從中考察和分析事物的時(shí)空變化規(guī)律。1、狀態(tài)空間法(質(zhì)量平衡法)2、量綱分析法；3、概率統(tǒng)計(jì)法；4、數(shù)量化理論法；5、灰色系統(tǒng)建模法；6、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)；7、層次分析法；8、投影尋蹤法；模型的結(jié)構(gòu)選擇模型的結(jié)構(gòu)選擇(1)(1

4、)白箱模型白箱模型根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的了解根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的了解, ,以客觀事物變化遵循的物以客觀事物變化遵循的物理化學(xué)定律為基礎(chǔ)，經(jīng)邏輯演繹而建立起的模型是機(jī)理模型。理化學(xué)定律為基礎(chǔ)，經(jīng)邏輯演繹而建立起的模型是機(jī)理模型。這種建立模型的方法叫演繹法。機(jī)理模型具有唯一性。這種建立模型的方法叫演繹法。機(jī)理模型具有唯一性。(2)(2)灰箱模型灰箱模型即半機(jī)理模型。在建立環(huán)境數(shù)學(xué)模型的過程中即半機(jī)理模型。在建立環(huán)境數(shù)學(xué)模型的過程中, ,幾乎每個(gè)模幾乎每個(gè)模型都包含一個(gè)或多個(gè)待定參數(shù)型都包含一個(gè)或多個(gè)待定參數(shù), ,這些待定參數(shù)一般無法由過這些待定參數(shù)一般無法由過程機(jī)理來確定。通常要借助于觀測(cè)數(shù)

5、據(jù)或?qū)嶒?yàn)結(jié)果。程機(jī)理來確定。通常要借助于觀測(cè)數(shù)據(jù)或?qū)嶒?yàn)結(jié)果。(3)(3)黑箱模型黑箱模型即輸入即輸入- -輸出模型。需要大量的輸入輸出模型。需要大量的輸入, ,輸出數(shù)據(jù)以獲得經(jīng)驗(yàn)?zāi)］敵鰯?shù)據(jù)以獲得經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。它們可在日常例行觀察中積累型。它們可在日常例行觀察中積累, ,也可由專門實(shí)驗(yàn)獲得。也可由專門實(shí)驗(yàn)獲得。根據(jù)對(duì)系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)的觀測(cè)根據(jù)對(duì)系統(tǒng)輸入輸出數(shù)據(jù)的觀測(cè), ,在數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)上建立起在數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)上建立起經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆椒ㄓ纸袣w納法。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ筒痪哂形ㄒ恍?。?jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆椒ㄓ纸袣w納法。經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ筒痪哂形ㄒ恍?。由于環(huán)境模型使用的一般都是灰箱模型，其中至少存在一個(gè)待定參數(shù)，需要通過實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。

6、1、經(jīng)驗(yàn)公式法；2、圖解法；3、最小二乘法；4、網(wǎng)格法；5、最速下降法；6、遺傳算法；是人們?cè)谘芯磕骋痪唧w問題時(shí)，有些參數(shù)的使用頻率很高，研究者在積累了大量數(shù)據(jù)后提出的經(jīng)驗(yàn)計(jì)算方法。如布里吉斯提出的計(jì)算大氣污染物擴(kuò)散參數(shù)的冪函數(shù)表達(dá)式2121 ,xxzy經(jīng)驗(yàn)公式法即時(shí)通過對(duì)所估計(jì)參數(shù)對(duì)相關(guān)因素的關(guān)系曲線進(jìn)行函數(shù)選配，并擬合而得。在使用經(jīng)驗(yàn)公式時(shí)，要求系統(tǒng)的條件與總結(jié)經(jīng)驗(yàn)公式時(shí)的系統(tǒng)條件相近，否則會(huì)有較大偏差。如果系統(tǒng)模型公式可以直接描述為一條直如果系統(tǒng)模型公式可以直接描述為一條直線，或經(jīng)變量變換后能轉(zhuǎn)換為直線時(shí)，均線，或經(jīng)變量變換后能轉(zhuǎn)換為直線時(shí)，均可用圖解法估計(jì)參數(shù)。可用圖解法估計(jì)參數(shù)。1.

7、4.3 最小二乘法又稱線性回歸分析，適合于自變量又稱線性回歸分析，適合于自變量 與因變量與因變量 y 之間呈線性關(guān)系的情況，或通過數(shù)學(xué)變之間呈線性關(guān)系的情況，或通過數(shù)學(xué)變換后可轉(zhuǎn)換為線性關(guān)系的情況。換后可轉(zhuǎn)換為線性關(guān)系的情況。線性回歸分析的原理基于以下兩點(diǎn)假設(shè)：線性回歸分析的原理基于以下兩點(diǎn)假設(shè)：(1) 所有自變量的值均不存在誤差，因變量的值所有自變量的值均不存在誤差，因變量的值 則含有測(cè)量誤差；則含有測(cè)量誤差；(2) 與各測(cè)量值與各測(cè)量值 擬合得最好的線性方程擬合得最好的線性方程是能使各測(cè)量值是能使各測(cè)量值 與線性方程各計(jì)算值與線性方程各計(jì)算值 的偏的偏差的平方和差的平方和)1(nixiiy

8、iyiyiy最小的線性方程。因此，根據(jù)極值存在條件，對(duì)一元線性分析，有212211minnib)xm.xmx(myz網(wǎng)格搜索。格內(nèi)，用更細(xì)的則可以在當(dāng)前最優(yōu)的網(wǎng)參數(shù)值還不夠精確，作為最優(yōu)估計(jì)值。如果值所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值值，并選取其中最小的頂點(diǎn)上的目標(biāo)函數(shù)可以通過計(jì)算所有網(wǎng)格個(gè)網(wǎng)格。被劃分成，于是，參數(shù)空間其中等分，分點(diǎn)為，如果把區(qū)間分成的搜索區(qū)間為個(gè)待定參數(shù)，其中假定有1211)()0()(.),.,(,),.,1 , 0(,),.,2 , 1(mmmbamkmbaninniimiiiikiiiii選定一初始點(diǎn)，從此點(diǎn)出發(fā)，沿其負(fù)梯度選定一初始點(diǎn)，從此點(diǎn)出發(fā)，沿其負(fù)梯度方向取一定步長(zhǎng)進(jìn)行尋查，求得

9、在此方向方向取一定步長(zhǎng)進(jìn)行尋查，求得在此方向上的近似極小點(diǎn)，上的近似極小點(diǎn)， 然后再?gòu)拇它c(diǎn)出發(fā)，沿然后再?gòu)拇它c(diǎn)出發(fā)，沿新的負(fù)梯度方向也取一定的步長(zhǎng)進(jìn)行尋查，新的負(fù)梯度方向也取一定的步長(zhǎng)進(jìn)行尋查，如此繼續(xù)，直到滿足給定的精度。如此繼續(xù)，直到滿足給定的精度。傳統(tǒng)解析方法計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬1.6.1 模型的精確度檢驗(yàn)，1.6.2 模型的可靠性檢驗(yàn)。1、圖形表示法2、相關(guān)系數(shù)法3、相對(duì)誤差法niniiiniiiyyyyyyyyr11221)()()(相對(duì)誤差的定義如果有n組觀測(cè)值與相應(yīng)的計(jì)算值，可得到n個(gè)相對(duì)誤差值，將這n個(gè)誤差值從小到大排列，可以求得小于某一誤差值的誤差出現(xiàn)的頻率，以及累積頻率為10%，

10、50%，90%的誤差，通過分析這三個(gè)誤差的數(shù)值，可以確定模型的精度。iiiiyyye中值誤差與統(tǒng)計(jì)學(xué)上的的概率誤差是一致的，因此中值誤差的數(shù)值既可以從誤差分布的累積曲線上求出，也可以按下式計(jì)算：16745. 0215 . 0nyyyeniiii任何數(shù)學(xué)模型都是建立在一些參數(shù)基礎(chǔ)上任何數(shù)學(xué)模型都是建立在一些參數(shù)基礎(chǔ)上的，尤其是灰箱模型和黑箱模型。這些參的，尤其是灰箱模型和黑箱模型。這些參數(shù)多是用一組或幾組輸入、輸出數(shù)據(jù)來確數(shù)多是用一組或幾組輸入、輸出數(shù)據(jù)來確定。定。而任何數(shù)據(jù)的獲取都會(huì)存在一定的誤差，而任何數(shù)據(jù)的獲取都會(huì)存在一定的誤差，這樣必然會(huì)導(dǎo)致所估計(jì)的參數(shù)存在一定的這樣必然會(huì)導(dǎo)致所估計(jì)的參

11、數(shù)存在一定的不確定性。不確定性。模型的可靠性即是估計(jì)這種不確定性對(duì)模模型的可靠性即是估計(jì)這種不確定性對(duì)模型的精度有多大的影響。型的精度有多大的影響。參數(shù)的不確定性可通過對(duì)模型的靈敏度分參數(shù)的不確定性可通過對(duì)模型的靈敏度分析來實(shí)現(xiàn)。析來實(shí)現(xiàn)。通常，靈敏度是指一個(gè)系統(tǒng)的輸出對(duì)輸入通常，靈敏度是指一個(gè)系統(tǒng)的輸出對(duì)輸入的響應(yīng)程度。的響應(yīng)程度。如果輸入信號(hào)經(jīng)過系統(tǒng)輸出后被放大了，如果輸入信號(hào)經(jīng)過系統(tǒng)輸出后被放大了，那么這就是一個(gè)靈敏系統(tǒng)，反之，就不靈那么這就是一個(gè)靈敏系統(tǒng)，反之，就不靈敏。敏。通過對(duì)模型的靈敏度分析不僅可以估計(jì)模通過對(duì)模型的靈敏度分析不僅可以估計(jì)模型計(jì)算結(jié)果的偏差，同時(shí)還有助于建立低型計(jì)

12、算結(jié)果的偏差，同時(shí)還有助于建立低靈敏度系統(tǒng)，這種系統(tǒng)在運(yùn)行上比較可靠，靈敏度系統(tǒng)，這種系統(tǒng)在運(yùn)行上比較可靠，有助于確定合理的設(shè)計(jì)裕量，這比盲目地有助于確定合理的設(shè)計(jì)裕量，這比盲目地給定安全系數(shù)要合理多了。給定安全系數(shù)要合理多了。在環(huán)境系統(tǒng)的模擬、控制中，靈敏度的研究主要包在環(huán)境系統(tǒng)的模擬、控制中，靈敏度的研究主要包括兩個(gè)方面：括兩個(gè)方面：一是狀態(tài)與目標(biāo)對(duì)參數(shù)的靈敏度，即參數(shù)的估計(jì)誤一是狀態(tài)與目標(biāo)對(duì)參數(shù)的靈敏度，即參數(shù)的估計(jì)誤差對(duì)狀態(tài)和目標(biāo)產(chǎn)生影響，這種影響有多大？如何差對(duì)狀態(tài)和目標(biāo)產(chǎn)生影響，這種影響有多大？如何確定參數(shù)估計(jì)的必要精度？確定參數(shù)估計(jì)的必要精度？另一個(gè)是目標(biāo)對(duì)決策的靈敏度。在污染控

13、制規(guī)劃中，另一個(gè)是目標(biāo)對(duì)決策的靈敏度。在污染控制規(guī)劃中，決策變量的變化對(duì)目標(biāo)有很大影響，如何確定這種決策變量的變化對(duì)目標(biāo)有很大影響，如何確定這種影響的大小。如何決定合理的決策變量。影響的大小。如何決定合理的決策變量。1、單個(gè)變量時(shí)的靈敏度，xxxxSx00 度：狀態(tài)變量對(duì)參數(shù)的靈敏)( )( 000FZfxZxuu的函數(shù)：都可以表示為參數(shù)和目標(biāo)量保持不變，那么狀態(tài)變?nèi)绻麤Q策變量ZZZZSZ00度：目標(biāo)函數(shù)對(duì)參數(shù)的靈敏ZddZSxddxSZx00000得時(shí)，忽略高階微分項(xiàng)，當(dāng)為狀態(tài)變量和目標(biāo)變量對(duì)參數(shù)的一階靈敏度系統(tǒng)數(shù)。為狀態(tài)變量和目標(biāo)變量對(duì)參數(shù)的一階靈敏度系統(tǒng)數(shù)。00ddZddx和1、多變量時(shí)的靈敏度，設(shè)一個(gè)最優(yōu)化模型為式中，G為n維向量函數(shù)，0),( . . S),(Min uxGtuxfZ根據(jù)多元函數(shù)的微分方法，狀態(tài)變量(n維)對(duì)參數(shù)向量( p 維)