求由極坐標(biāo)表示的平面圖形的面積

1、 1 平面圖形的面積 本節(jié)介紹用定積分計(jì)算各種表示方法一、求由直角坐標(biāo)方程表示的平面圖形二、求由參數(shù)方程表示的平面圖形的面三、求由極坐標(biāo)表示的平面圖形的面積的面積積下的平面圖形的面積.一、求由直角坐標(biāo)方程表示的12( ),( ) , fxfxa b其其中中是是定定義義在在上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù). .12( , )|( )( ), , ,xAx yfxyfxxa b型型區(qū)區(qū)域域: :12( , )|( )( ), , ,yBx ygyxgyyc d型型區(qū)區(qū)域域: :用用定定積積分分求求由由直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程表表示示的的平平面面圖圖形形的的面面xy積積, ,通通常常把把它它化化為為型型和和

2、型型區(qū)區(qū)域域上上的的積積分分來(lái)來(lái)計(jì)計(jì)算算. .12( ),( ) , gygyc d其其中中是是定定義義在在上上的的連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù). .平面圖形的面積通過(guò)上移通過(guò)上移xA型型區(qū)區(qū)域域abxyO2( )yfx1( )yfxAxyOab2( )yfxM1( )0yfxMA由定積分的幾何意義，可知由定積分的幾何意義，可知 A 的面積為的面積為例例1 1228.yxxyA求求由由拋拋物物線(xiàn)線(xiàn)和和所所圍圍圖圖形形 的的面面積積解解21221204,.028xxyxyyxy的的解解為為21()( )d( )dbbaaS AfxMxfxMx21( )( )d .bafxfxx21( )( )( )d .d

3、cS BgygyyyB同同理理, , 型型區(qū)區(qū)域域的的面面積積為為于是于是 0424132d8323402 xxxxxAS.382464316Axy圖圖形形既既是是型型區(qū)區(qū)域域又又是是型型區(qū)區(qū)域域212( ),( ),8xAxfxfxx把把看看作作型型區(qū)區(qū)域域, ,則則24xy 2yx82 (4, 2)xyOA212( ),( )8 ,Aygyygyy把把看看作作為為型型區(qū)區(qū)域域， 則則33222022( )88330yS Ayydyy于是于是.38388328例例222.yxxyA求求由由和和圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積解解22(1, 1)(4,2).yxxy和和的的交交點(diǎn)點(diǎn)為為和和圖圖

4、形形A如如下下圖圖. .1,01( ),2 ,14xxfxxx . 40,2 xxxf,Ax若若把把看看作作型型區(qū)區(qū)域域 則則24xy 2(4, 2)xyO2xy(1, 1)A421()(2) dS Axxx113 210044()() d.33S Axxxx 112,fAAA由由于于分分段段定定義義分分為為二二圖圖形形和和1241439()()().3322S AS AS A423 2121432.3232xxx則則.29123122132yyy顯然顯然, ,由于由于g1(y), g2(y) 非分段定義的函數(shù)非分段定義的函數(shù), ,計(jì)算比計(jì)算比Ay若若把把看看作作為為型型區(qū)區(qū)域域，則則212(

5、 ), 12,( )2, 12.gyyygyyy 221( )(2)dS Ayyy較容易較容易.二、求由參數(shù)方程表示的圖形的面積設(shè)曲線(xiàn)設(shè)曲線(xiàn)C 形由參數(shù)方程形由參數(shù)方程( ), ,( )xx ttyy t 表示表示,( ),( ).y tx t連連續(xù)續(xù)連連續(xù)續(xù)可可微微( ), ( ), ( ) ,xa xb x t 若若在在上上單單調(diào)調(diào)增增, ,則則,Cxa xbx由由曲曲線(xiàn)線(xiàn)及及直直線(xiàn)線(xiàn)和和軸軸所所圍圍圖圖形形的的面面積為積為( )d( )( )d .baS Ayxy t x tt (), ( ), ( ) ,xa xb x t 若若在在上上單單調(diào)調(diào)減減時(shí)時(shí)，()d( )( )dbaS Ay

6、xy t x tt ( )d .S Ay t x tt 因此因此, ,不論不論 x(t)遞遞增或遞減增或遞減, ,( )( )d .y t x tt 若上述曲線(xiàn)若上述曲線(xiàn)C 是封閉的，即是封閉的，即( )(),( )(),xxyy 則由則由C 所圍的平面圖形所圍的平面圖形 A的面積同樣是的面積同樣是 ( )d .S Ay t x tt ( )d.S Ax t y tt 或或22220(1cos ) d3.atta 解解20( )(1cos ) (sin )dS Aat a ttt 所圍圖形的面積所圍圖形的面積. .aa2xyO2 a A與與 x 軸軸例例3 3(sin ),0, 2 (1cos

7、 )xa tttyat 求求由由擺擺線(xiàn)線(xiàn)三、求由極坐標(biāo)表示的平面圖形的面積01,nT 作作分分割割 ：射射線(xiàn)線(xiàn)1,2,iinAn 把把扇扇形形分分割割成成個(gè)個(gè)小小xO A rr 圖形圖形 A 由曲線(xiàn)由曲線(xiàn) C . 和和兩兩條條射射線(xiàn)線(xiàn)= =與與 = =圍圍成成xOi 0 n1i i 1 i 設(shè)曲線(xiàn)設(shè)曲線(xiàn)C 的極坐標(biāo)方程為的極坐標(biāo)方程為( ), ,.rr 從而從而2211111().22nnniiiiiiiimS AM 由于由于2220011111limlim( )d ,222nniiiiTTiimMr .21nAAA，扇扇形形，設(shè)設(shè)1inf ( )|,iiimr1sup ( )|,1,2, .

8、iiiMrin 2211(),22iiiiimS AM則則因此因此例例4(1cos ).ra 由由心心臟臟線(xiàn)線(xiàn)所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積解解2201() (1cos ) d2S Aa 23.2a 21( )( )d .2S Ar 220(1cos ) da Oxya2a例例522cos2.ra 求求雙雙紐紐線(xiàn)線(xiàn)所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積由圖形的對(duì)稱(chēng)性由圖形的對(duì)稱(chēng)性,2401( )4cos2 d2S Aa 解解20,r 因因?yàn)闉樗砸缘牡娜∪≈抵?5,.4444 范范圍圍是是與與2240sin2.aa a/2 aOyx解解22240411( )sindcosd22S A .d22cos121d22