等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)與例題解析

1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和例題解析一、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)：(1)Sn=a1+a2+ an-1+andl 可寫成Sn=an+an-1+a2+a1兩式相加得 2Sn= (a1+an)+(a2+an-1)+(an+a1)=n(a1+an)所以 Sn=n (a1+an) /2(公式一)(2)如果已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為al,公差為d,項(xiàng)數(shù)為n,則an=a1+(n-1)d代入公式公式一得Sn=na1+n(n+1)d/2 (公式二)二、對(duì)于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用【例11等差數(shù)列前10項(xiàng)的和為140,其中，項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的各項(xiàng)的和為125,求其第6項(xiàng).解依題意，得10 = 14012a1 + a3 + a5 +

2、a7+ a9 = 5al + 20d =125解得 a1=113, d=- 22.其通項(xiàng)公式為an=113+ (n -1) - ( -22)=-22n+135.a6=22X6+ 135=3說明 本題上邊給出的解法是先求出基本元素a1、d,再求其他的.這種先求出基本元素，再用它們?nèi)?gòu)成其他 元素的方法，是經(jīng)常用到的一種方法.在本課中如果注意 到a6=ai + 5d,也可以不必求出 an而、，一2a1+ 9d = 28, 一直接去求a6,所列方程組化簡(jiǎn)后可得1相減即得a1 + 5d = 3,a1 + 4d = 25即a6=3.可見，在做題的時(shí)候，要注意運(yùn)算的合理性.當(dāng) 然要做到這一點(diǎn)，必須以對(duì)知識(shí)

3、的熟練掌握為前提.【例2】在兩個(gè)等差數(shù)列2, 5, 8,，197與2,7, 12,，197中，求它們相同項(xiàng)的和.解 由已知，第一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為an = 3n1;第二個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為bN=5Nk 3若 am= bN,則有 3n-1 = 5NI- 3即 n=N+g） 3若滿足n為正整數(shù)，必須有N= 3k+1（k為非負(fù)整數(shù)）.又 2W5N 3W197,即 1WN<40,所以N= 1, 4, 7,，40 n=1 , 6, 11,，66兩數(shù)列相同項(xiàng)的和為2+17+ 32+- + 197=1393【例3】選擇題：實(shí)數(shù)a, b, 5a, 7, 3b,，c組 成等差數(shù)列，且 a+b + 5a+7+3b+

4、- + c = 2500,貝U a, b, c的值分別為A. 1, 3, 5 B. 1, 3, 7C. 1, 3, 99D. 1, 3, 9解 C由題設(shè)2b = a+ 5a b = 3a又 14 =5a+3b,a = 1, b = 3首項(xiàng)為1,公差為2pn(n 1)又 Sn = na+ 2-dn(n 1)二 2500= n+ - 2 = 50 2 a50=c=1 + (50 1) - 2=99a = 1, b=3, c= 99【例4】在1和2之間插入2n個(gè)數(shù)，組成首項(xiàng)為1、末項(xiàng)為2的等差數(shù)列，若這個(gè)數(shù)列的前半部分的和同后半 部分的和之比為9： 13,求插入的數(shù)的個(gè)數(shù).解依題意 2= 1 + (

5、2n + 2- 1)d前半部分的和Sn+1 = (n+1)+(n11nd后半部分的和S*+1 = (n+1) 2+%)n (d) 由已知，有nd(n 1)(1 萬)(nnd 131)(2 萬)nd291化簡(jiǎn)，得-f nd 132 2解之，得 nd =11由，有(2n +1)d=1- 11由，解得d=-, 11共插入10個(gè)數(shù).【例5】在等差數(shù)列a n中，設(shè)前m項(xiàng)和為Sm項(xiàng)和為Sn,且S7Sn? "n，求Sm+n.一 .1 . 一解 : Sm+n = (m + n)a1 + -(m+ n)(m+ n- 1)d1=(m + n)a 1 + (m + n 1)d且 SmF Sn, m n11

6、一 ma1 + 2 m(m 1)d = na1 + 2 n(n 1)dd整理得(m n)a1 + (m n)(m + n 1) =0r1即(m n)a1 + - (m+ n 1)d = 0r -1由m*n,知a1+2(m+n1)d= 0 Sm+n= 0【例6】已知等差數(shù)列an中，S3=21, S6=64,求數(shù)列|an| 的前n項(xiàng)和Tn.分析 等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn = na1+ n(n-)d,含有兩個(gè)未知數(shù)a1, 2d,已知S3和S6的值，解方程組可得a1與d,再對(duì)數(shù)列的前若干項(xiàng)的正負(fù)性進(jìn)行判斷，則可求出Tn來.解設(shè)公差為d,由公式Sn = n&+ n(； 1)d,口 3al + 3d

7、=21ba + 15d = 24解方程組得：d= 2, a= 9.，an=9 + (n 1)(n 2) = 2n+1111由an = 2n+11>0得n< = 5.5,故數(shù)列a n的前5項(xiàng)為正, n2n其余各項(xiàng)為負(fù).數(shù)列an的前n項(xiàng)和為:n(n 1)2Sn = 9n+2-(-2) = - n + 10n當(dāng) nW 5 時(shí)，Tn=-n2+10n當(dāng) n>6 時(shí)，Tn = S5+|Sn S5I =S5(Sn S5)=2S5一Sn. Tn= 2( 25+ 50) ( n2+ 10n) = n2 10n+ 50口 Tn = - n2 + 10nn0 5即 2nCN*n2T0n+50 n&

8、gt;6說明 根據(jù)數(shù)列a n中項(xiàng)的符號(hào)，運(yùn)用分類討論思想可求|a n| 的前n項(xiàng)和.【例7】 在等差數(shù)列an中，已知a6 + a9 + a12 + a15= 34,求前20項(xiàng)之和.解法 由 a6 + ag + ai2 + a15 = 34得 4ai +38d=34又 S20= 20al +20X 19 kd=20al+ 190d=5(4al+38d)=5X 34=170族讓一 Q _ (a1 + a20 )20斛法.S20 =2= 10(a1 + a20)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a6+a15=a9+a12 = a1 +a20 a1 + a20=17S20=170【例8】已知等差數(shù)列a n的公差是

9、正數(shù)，且a3 -a7= 12, a4+a6= 4,求它的前20項(xiàng)的和 &0的值.解法一 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則d>0,由已知 可得(a1 + 2d)(a1+bd) = - 12a1 + 3d + a1 + 5d = - 4由，有a1 = 2 4d,代入，有d2=4再由 d>0,得 d = 2 . 1=-10最后由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，可求得S20= 180解法二由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：a4+a6=a3+a7 即 a3+a7= 4又a3 - a7=12,由韋達(dá)定理可知：a3, a7 是方程 x2 + 4x12 = 0 的二根解方程可得xi=6, x2 = 2: d &g

10、t;0 .aa是遞增數(shù)列.a3= 6, a7=2a7 a 3d = 2, a1 = i0, S20=i807 3【例9】等差數(shù)列an、bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,SnT二則照今3n 1bi。A.C.i992992B . 一3200D. 一30ia“c 分析該題是將詈 bi00S-2nT；小發(fā)生聯(lián)系，可用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn = 把前n項(xiàng)和的值與項(xiàng)的值進(jìn)行聯(lián)系.解法一 .Snn(aian)，TnSnaianTnbibnai anbi bnn(bi bn)22n3n i,2ai00 = ai+ai99，2bioo=bi + bi99ai00bi00aibia= 2xi99 =wgbi99

11、3Xi99+i299解法二利用數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件：Sn =an2 +bn. Sl2n. Tn 3n 1可設(shè) Sn = 2n2k, Tn = n(3n + 1)k22,包SnSn12nk 2(n 1) k"bnTnTn1n(3n 1)k(n 1)3(n 1)1k4n 2 2n 16n 2 3n 1,aw02X 100 1199.b1003X 100 1299說明該解法涉及數(shù)列a n為等差數(shù)列的充要條件Sn=an2+bn,由.Sc 2n已知，將Sn和Tn與成什么？右與成 Sn =2nk, Tn = (3n + 1)k,Tn 3n 1k是常數(shù)，就不對(duì)了.【例10解答下列各題：(1

12、)已知：等差數(shù)列 但吊中22=3, 06=17,求a9；(2)在19與89中間插入幾個(gè)數(shù)，使它們與這兩個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，并且此數(shù)列各項(xiàng)之和為1350,求這幾個(gè)數(shù)；(3)已知：等差數(shù)列an中，a4+a6+ a15+ 017=50,求 S20；(4)已知：等差數(shù)列an中，an=33 3n,求Sn的最大值.分析與解答17 3(1)a 6 = a2 + (6 2)d d = - 54a9=a6 + (9 6)d= 17 + 31 ( 5)= 32(2)ai=19, an+2=89,、+2= 1350- Sn+2(ai +an+2)(n +2)' n+ 2 =22X1350cc =25 n =

13、2319 + 8935an+2 = a25 = a1 + 24d d =不一、 11,故這幾個(gè)數(shù)為首項(xiàng)是 21,末項(xiàng)是1286,公差為 35的23個(gè)數(shù). 1212(3) J a4 + a6 + ai5+ a17=50又因它們的下標(biāo)有4+17 = 6+15=21二 a4+ a17=a6+ a15=25。 (a1 + a20)X20S20 = 210X(a4 a17) 250(4) van=33- 3n.*.a1 = 30(a +an) - nSn =n 2321 22(n 7)63一 n2(63 3n)n23X 2128n 6 N, 當(dāng) n=10或 n=11 時(shí),Sn取最大值165.【例11】

14、求證：前n項(xiàng)和為4n2 + 3n的數(shù)列是等差證 設(shè)這個(gè)數(shù)列的第 n 項(xiàng)為 an ，前 n 項(xiàng)和為 Sn 當(dāng)n>2時(shí), an = Sn-Sn-1.an=(4n2+3n) 4(n -1)2+3(n-1)=8n 1當(dāng) n=1 時(shí)， a1=S1=4 3=7由以上兩種情況可知，對(duì)所有的自然數(shù)n,都有an=8n1又 an+i an= 8(n +1) 1 (8n 1)=8.這個(gè)數(shù)列是首項(xiàng)為7,公差為8的等差數(shù)列.說明 這里使用了“ an=Sn Sn-1 ”這一關(guān)系使用這一關(guān)系時(shí)，要注意，它只在nA2時(shí)成立.因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí)， Sn-1=S0,而Sq是沒有定義的.所以，解題時(shí)，要像上邊 解答一樣，補(bǔ)上n=

15、1時(shí)的情況.【例12】證明：數(shù)列an的前n項(xiàng)之和Sn=an2 + bn(a、b為常數(shù))是這個(gè)數(shù)列成為等差數(shù)列的充分必要條件.證由 Sn = an2 + bn,得當(dāng)n>2時(shí), an = Sn-Sn-1=an2+ bn a(n 1)2 b(n 1)=2na b aa 1 S1 a + b.二對(duì)于任何 n6N, an=2na+b aJeL an an-1 =2na+ (b a) 2(n - 1)a - b+ a=2a(常數(shù))an是等差數(shù)列.若an是等差數(shù)列，則n(n 1)Sn = na1 +dn 12(1 n) , n=d . 2+ n(ad)d 2d=2n n(ai -)若令=ai,貝1J

16、a1 9 二 b,即212Sn=an2+bn綜上所述，Sn=an2+ bn是a n成等差數(shù)列的充要條件.說明 由本題的結(jié)果，進(jìn)而可以得到下面的結(jié)論：前 n 項(xiàng)和為Sn=an2+bn + c的數(shù)列是等差數(shù)列的充分必要條件 是c = 0.事實(shí)上，設(shè)數(shù)列為uQ,則：充分性c = 0 Sn = an2 + bnu n是等差數(shù)列.必要性u(píng)n是等差數(shù)列Sn = an2 + bn c=0.【例13】 等差數(shù)列a n的前n項(xiàng)和Sn=mi,前m項(xiàng)和Smj= n(m> n),求前 mn+ n 項(xiàng)和 Sm+n解法一設(shè)a n的公差d按題意，則有n(n 1)不Sn = na)+2-d = mm(m 1)Sm =

17、m&Hd;n2(m n)(m n 1)一，得(m n) - a1+ 2 - d = n m即a1 +Sm n(m n)(m n 1)(m n)a1 2 dm n 1(m n)(a1 - d)=(m+ n)解法二 設(shè) Sx = Ax2 + Bx(x 6 N)Am 2+ Bm= nAn2+ Bn= m一，得 A(m2 n2) + B(m n) = nm:n . A(m + n) + B= 1故 A(m+ n)2+ B(m+ n) = (m+ n)即 Sm+r (m+ n)說明a 1, d是等差數(shù)列的基本元素，通常是先求出基本元素，再解決其它問題，但本題關(guān)鍵在于求出了 a1+ m n 1d

18、= -1,這種設(shè)而不2解的“整體化”思想，在解有關(guān)數(shù)列題目中值得借鑒.解法二中，由于是等差數(shù)列，由例22,故可設(shè)Sx=Ax2+Bx. (x6 N)【例14在項(xiàng)數(shù)為2n的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項(xiàng)之和為75,各偶數(shù)項(xiàng)之和為90,末項(xiàng)與首項(xiàng)之差為27,則n之 值是多少？解.$偶項(xiàng)一S奇項(xiàng)=nd.nd=90 75=15又由 a2n a1 = 27,即(2n 1)d=27nd = 15 n = 5(2n- 1)d= 27【例15 在等差數(shù)列an中，已知a1 = 25, S9 = S17, 問數(shù)列前多少項(xiàng)和最大，并求出最大值.解法一 建立Sn關(guān)于n的函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)思想，求最 大值.17X169X8根據(jù)題意：S17=17al+2d, S9=9a1+2-d.