高考數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 淺析高考題中求離心率的策略

1、淺析高考題中求離心率的策略求圓錐曲線的離心率近幾年來在高考中都有題目出現(xiàn).為此，本文結(jié)合高考題，介紹求圓錐曲線的離心率的幾種常用方法，以達(dá)到更好地理解和掌握解此類題的技巧和規(guī)律，提高分析問題和解決問題的能力.一、根據(jù)條件先求出a，c，利用e=求解例1 若橢圓經(jīng)過原點(diǎn)，且焦點(diǎn)為F1(1，0)，F(xiàn)2(3，0)，則其離心率為( )A. B. C. D.解析：由F1、F2的坐標(biāo)知 2c=31，c=1，又橢圓過原點(diǎn)，ac=1，a+c=3，a=2，c=1,所以離心率e=.故選C.例2 如果雙曲線的實(shí)半軸長為2，焦距為6，那么雙曲線的離心率為( )A. B. C. D2解析：由題設(shè)a=2，2c=6，則c=3

2、，e=,因此選C二、根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解圖1例3 設(shè)橢圓+1 (a>b>0)的右焦點(diǎn)為F1，右準(zhǔn)線為l1，若過F1且垂直于x軸的弦的長等于點(diǎn)F1到l1的距離，則橢圓的離心率是.解析：如圖1所示，AB是過F1且垂直于x軸的弦，ADl1于D，|AD|為F1到準(zhǔn)線l1的距離，根據(jù)橢圓的第二定義，e=， 即 e=.故填. 三、構(gòu)建關(guān)于a，c的齊次等式求解例4 設(shè)雙曲線1(0<a<b)的半焦距為c，直線L過(a,0)，(0,b)兩點(diǎn).已知原點(diǎn)到直線的距離為c，則雙曲線的離心率為( )A.2 B. C. D. 解析：由已知，直線L的方程為bx+ay -ab=0.由點(diǎn)到直線的距

3、離公式，得 c，又c2=a2+b2, 4ab=c2,兩邊平方，得16a2(c2a2)=3c4.兩邊同除以a4，并整理，得 3e4-16e2+16=0.解得 e24或e2.又0<a<b ，e2=1+>2，e24，e2.故選A.例5 雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為M，兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，F(xiàn)1MF2120°，則雙曲線的離心率為（ ）圖2 （A） （B） （C） （D）解析：如圖2所示，不妨設(shè)M(0，b)，F(xiàn)1(-c,0), F2(c,0),則|MF1|=|MF2|=.又|F1F2|2c，在F1MF2中， 由余弦定理，得cosF1MF2,即cos120°，b2c2a2，

4、3a22c2，e2，e.故選B.例6 雙曲線1的兩條漸近線互相垂直，那么該雙曲線的離心率為( )A.2 B. C. D.解析：由條件易知，雙曲線為等軸雙曲線，a=b，c=a，e.故選C.四、根據(jù)曲線方程列出含參數(shù)的關(guān)系式，求e的取值范圍例7 設(shè)(0，)，則二次曲線x2coty2tan=1的離心率的取值范圍為( )A.(0，) B.(，) C.(，) D.(，+)解析：由x2coty2tan=1，(0，)，得a2tan，b2= cot,c2a2+b2tan+ cot,e21+ cot2,(0，)，cot2>1,e2>2，e>.故選D.五、構(gòu)建關(guān)于e的不等式，求e的取值范圍例8 如圖，已知梯形ABCD中，AB2CD，點(diǎn)E分有向線段所成的比為，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率e的取值范圍圖3解析：以AB的垂直平分線為y軸，直線AB為x軸，建立如圖3所示的直角坐標(biāo)系xOy，則CDy軸.因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于y軸對(duì)稱依題意，記A(c，0)，C(，h),E(x0，y0)，其中c=AB為雙曲線的半焦距，h是梯形的高由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得 x0，y0設(shè)雙曲線的方程為1，則離心率e=. 由點(diǎn)C、E在雙曲線上，所以，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入雙曲線方程得 1 ，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入