高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)中的典型錯(cuò)誤分類辨析

1、指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)中的典型錯(cuò)誤分類辨析指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是函數(shù)這一章的重點(diǎn)內(nèi)容，也是學(xué)習(xí)中的一個(gè)難點(diǎn)內(nèi)容，初學(xué)這部分知識(shí)如果沒有掌握指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，常會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，下面就錯(cuò)誤所在進(jìn)行分類辨析.一求解函數(shù)定義域中的錯(cuò)誤例1已知函數(shù)f(x)loga(x2log2ax)的定義域?yàn)?0,)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.錯(cuò)解：函數(shù)f(x)loga(x2log2ax)的定義域?yàn)?0,)，即當(dāng)x(0,)時(shí)，x2log2ax0恒成立，即關(guān)于x的不等式log2axx2在(0,)上恒成立，令y1log2ax，y2x2，如圖，y2過(guò)點(diǎn)P(,)，因y1y2在(0,)上恒成立，故應(yīng)有y1、y2在(0,)

2、上的圖象的位置關(guān)系為y1在y2上方，2a1，即a，a的取值范圍是,).辨析：產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因在于對(duì)定義域的定義的理解.當(dāng)a的范圍確定時(shí)，f(x)的定義域?yàn)?0,)，與x2log2ax0互為充要條件，并非僅僅是充分條件而已.當(dāng)a變化時(shí)，函數(shù)定義域也隨之變化，此題定義是確定的，因此a的值也是一個(gè)確定的值.正解：由條件知，log2axx2的解集為(0,)，令y1log2ax，y2x2，如圖，由圖易知y2過(guò)點(diǎn)P(,)，因?yàn)樵?0,)上y1y2，則在(0,)上y1的圖象在y2的圖象上方，所以，log2a()2，即a.特別提醒：要注意區(qū)分“函數(shù)定義域?yàn)閰^(qū)間A”與“函數(shù)在區(qū)間A上恒成立”：兩個(gè)概念十分相似，易

3、誤認(rèn)為是同一個(gè)問(wèn)題，事實(shí)上“函數(shù)在A上恒有意義”中的A是f(x)的定義域的一個(gè)子集，是不等式恒成立問(wèn)題；而“函數(shù)的定義域?yàn)锳”中的A是函數(shù)的定義域，其解法是已知不等式解集求參數(shù)問(wèn)題.二、求解函數(shù)值域中的錯(cuò)誤例2若函數(shù)ylg(x2ax1)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.錯(cuò)解：因函數(shù)ylg(x2ax1)的值域?yàn)镽，故x2ax10對(duì)xR恒成立，而f(x)x2ax1是開口向上的拋物線，從而0，即a240，解得2a2，它便是所求的a的取值范圍.辨析：以上解答與下列問(wèn)題混為一談：若函數(shù)ylg(x2ax1)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.事實(shí)上，當(dāng)值域?yàn)镽時(shí)，它表示函數(shù)值x2ax1可取遍全體正實(shí)數(shù)，因而函

4、數(shù)x2ax1的最小值不大于0；而當(dāng)函數(shù)ylg(x2ax1)的定義域?yàn)镽時(shí)，它表示對(duì)一切實(shí)數(shù)x，函數(shù)值x2ax1恒正，因而它們是兩類不同的問(wèn)題.正解一：函數(shù)ylg(x2ax1)的值域?yàn)镽，x2ax1當(dāng)xR時(shí)，可取遍全體正實(shí)數(shù)，x2ax1的最小值不大于0，a240，即a2或a2，這就是所求a的取值范圍.正解二：同上，x2ax1的最小值不大于0，x2ax1(x)21，x2ax1的最小值為10，解得a2或a2，這就是所求a的取值范圍.特別提醒：破解問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意問(wèn)題的細(xì)微區(qū)別，防止犯似曾相識(shí)的錯(cuò)誤.“函數(shù)的值域?yàn)锳”與“f(x)A恒成立”與上題有類似的地方.這兩例的辨析啟示我們，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，應(yīng)認(rèn)真

5、比較各種問(wèn)題間的區(qū)別，防止就題論題且不加區(qū)別.例3已知函數(shù)f(x)log2x3(x1,8)，則函數(shù)yf(x)2f(x2)的最大值是_.錯(cuò)解：x1,8，故log2x0,3，yf(x)2f(x2)(log2x3)2(log2x23)logx8log2x212(log2x4)24，而log2x44,7，則(log2x4)2412,45，yf(x)2f(x2)的最大值為45.辨析：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,8，則f(x2)的定義域應(yīng)為1,2，上面的解法忽視了定義域的變化，從而擴(kuò)大了值域.正解：函數(shù)yf(x)2f(x2)的定義域是由Þ1x2確定，yf(x)2f(x2)(log2x4)24，而l

6、og2x0,，則(log2x4)2412,，yf(x)2f(x2)的最大值為.特別提醒：復(fù)合函數(shù)導(dǎo)致定義域變化最容易被忽略，在解相關(guān)題目時(shí)，要重點(diǎn)先分析定義域，做到解題時(shí)無(wú)“后顧之憂”.三求函數(shù)的解析式中的錯(cuò)誤例4已知函數(shù)f(x23)lg，求f(x)的解析式.錯(cuò)解1：由0，得x2或x2，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x2或x2.錯(cuò)解2：令x23t，是x2t3，代入函數(shù)式可得：f(t)lg，由0，得t3或t1，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|t3或t1.辨析：錯(cuò)解1把函數(shù)f(x23)與f(x)混淆為同一函數(shù).若令F(x)f(x23)lg，令x23t，得f(t)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)F(x)與f(x)是兩個(gè)不同的函數(shù)，

7、它們具有不同的定義域和對(duì)應(yīng)法則，因此求的是F(x)的定義域，而不f(x)的定義域.錯(cuò)解2在用換元法時(shí)沒有考慮自變量t受到x23的取值范圍的限制.正解：正確的解法為：先求f(x)的表達(dá)式，令x23t，因0，故x2或x2，則x2t3，此時(shí)由拋物線性質(zhì)知t3，f(t)，由0，得t3或t1，此時(shí)f(x)的定義域就是t的取值范圍，故f(x)的定義域?yàn)閤|x1.特別提醒：本題所求復(fù)合函數(shù)外層函數(shù)定義域，根據(jù)復(fù)合規(guī)律知實(shí)質(zhì)上是求內(nèi)層函數(shù)的值域.因此，解答復(fù)合函數(shù)問(wèn)題時(shí)，分清內(nèi)、外層函數(shù)是關(guān)鍵.四判斷函數(shù)單調(diào)性中的錯(cuò)誤例6試求函數(shù)f(x)log4(76xx2)的單調(diào)遞增區(qū)間.錯(cuò)解：設(shè)ylog4u，ug(x)7

8、6xx2(x3)216，則對(duì)二次函數(shù)ug(x)，當(dāng)x3時(shí)為增函數(shù)；當(dāng)x3時(shí)為減函數(shù)，又ylog4u是增函數(shù)，故由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(,3.辨析：上述解答中就是忽視了原函數(shù)的定義域x|1x7，因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間.正解：設(shè)ylog4u，ug(x)76xx2(x3)216，則對(duì)二次函數(shù)ug(x)，當(dāng)x3時(shí)為增函數(shù)；當(dāng)x3時(shí)為減函數(shù)，又ylog4u是增函數(shù)，且由76xx20得函數(shù)的定義域?yàn)?1,7)，于是函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(1,3.特別提醒：由于函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)局部概念，單調(diào)區(qū)間是定義域的一個(gè)子區(qū)間，因此，在解答函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)必須首先考慮函數(shù)的定

9、義域，五、求解反函數(shù)問(wèn)題中的問(wèn)題例5已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，0)內(nèi)存在反函數(shù)，且f(x1)x22x，求f1()的值.錯(cuò)解：因?yàn)閒(x1)x22x(x1) 21，所以f(x)x21.由x21，得x±，故f1()±.辨析：上述解法忽視了“f1()就是原函數(shù)定義域中一個(gè)值”這一隱含條件.正解：因?yàn)閒(x1)x22x(x1) 21，所以f(x)x21.由x21，得x±，又x0，故f1().特別提醒：在求解反函數(shù)問(wèn)題時(shí)要注意原函數(shù)與反函數(shù)的定義域與值域的互換性.六作函數(shù)圖象法中的錯(cuò)誤例7作函數(shù)y2的圖象.錯(cuò)解：由y22,故函數(shù)y2的圖象如圖所示.辨析：本題函數(shù)的解析式

10、轉(zhuǎn)化為另一種解析式時(shí)定義域或值域發(fā)生了變化，作出的圖象當(dāng)然不是原函數(shù)要求的圖象了.原函數(shù)y2的定義域是x0的全體實(shí)數(shù)，值域是y0.化簡(jiǎn)后的函數(shù)y的定義域是x0，值域是y0，擴(kuò)大了值域，因而原函數(shù)的圖象顯然是錯(cuò)誤的.正解：原函數(shù)y22|，從而依據(jù)對(duì)稱變換可得原函數(shù)的圖象如右圖所示.特別提醒：在對(duì)函數(shù)式進(jìn)行變形時(shí)，必須注意定義域的變化以及一些恒等式成立的前提條件.七利用指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象判斷方程根中的錯(cuò)誤例8求方程x22x的解的個(gè)數(shù).錯(cuò)解：令yx2，y2x，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出它們的圖象，如圖所示，觀察圖象可得yx2與y2x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程共有兩個(gè)解.辨析：本題在畫圖時(shí)沒有將兩個(gè)圖象的交