高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥 直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式教材解讀（人教課標(biāo)A版必修2）

1、直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式教材解讀一、要點(diǎn)點(diǎn)撥 1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo) （1）基本知識(shí)點(diǎn)與坐標(biāo)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示點(diǎn)直線：點(diǎn)在直線上直線與的交點(diǎn)是方程組的解是 （2）兩直線的交點(diǎn) 一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組。 若方程組有唯一解，則兩直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩直線平行。 說(shuō)明：判斷兩條直線的位置關(guān)系，除了用直線的斜率外，還可以利用直線的方程進(jìn)行判斷。 當(dāng)兩條直線的方程組成的方程組無(wú)解時(shí)，兩條直線無(wú)交點(diǎn)，所以兩直線平行；當(dāng)兩條直線的方程組成的方程組有唯一解時(shí)，兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)，所以兩直線相交；當(dāng)兩條直線的方程組成的方程組有無(wú)數(shù)

2、個(gè)解時(shí)，兩條直線有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，所以兩直線重合。 求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是將直線的方程聯(lián)立，解方程組即可，體現(xiàn)了用方程思想研究曲線，用代數(shù)研究幾何的思想。與相交的條件是或。 2兩點(diǎn)間距離公式 設(shè)、，則兩點(diǎn)間的距離公式為。 說(shuō)明：（1）特別地，原點(diǎn)與任一點(diǎn)的距離。 （2）公式中，、的位置沒(méi)有先后之分。 （3）當(dāng)軸時(shí)，；當(dāng)軸時(shí)，。若能確定、的次序，可直接去掉絕對(duì)值。 3點(diǎn)到直線的距離 點(diǎn)到直線：的距離為。 說(shuō)明：（1）使用點(diǎn)到直線的距離公式的前提條件是把直線方程化為一般式方程。 （2）點(diǎn)到直線的距離是點(diǎn)與直線上點(diǎn)的最短距離。 （3）若直線平行于軸，即時(shí)，直線方程為，所以；若直線平行于軸，即時(shí)，直線

3、方程為，所以。 4兩條平行線間的距離 兩條平行直線間的距離可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離。 說(shuō)明：（1）兩條平行線間的距離，就是在其中一條直線上任取一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到另一條直線的距離，此點(diǎn)一般可以取直線上的特殊點(diǎn)，該方法體現(xiàn)了化歸思想，即由線線距離到點(diǎn)線距離的轉(zhuǎn)化，當(dāng)然點(diǎn)線距離也可以化歸為點(diǎn)點(diǎn)間的距離來(lái)求解。（2）一般地，兩平行直線：，：，則與的距離為，在應(yīng)用該公式時(shí)，一定先將兩條直線方程化為一般形式，且兩條直線中，的系數(shù)要保持一致。 二、范例點(diǎn)悟 例1 求過(guò)點(diǎn)且與點(diǎn)和距離相等的直線的方程。 分析1：利用點(diǎn)到直線的距離公式建立等式求斜率。 解析1：設(shè)直線的方程為，即。 由題意知，即，。 直線的方程為，即

4、； 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，也適合題意。 故所求直線的方程為或。 分析2：、兩點(diǎn)到直線的距離相等，有兩種情況：/；過(guò)中點(diǎn)。 解析2：當(dāng)/時(shí)，有，直線的方程為，即。 當(dāng)過(guò)中點(diǎn)時(shí)，中點(diǎn)為，直線的方程為。 故所求直線的方程為或。 評(píng)注：按常規(guī)解法已知一點(diǎn)求直線方程，通常會(huì)設(shè)點(diǎn)斜式方程，但要注意斜率不存在的情況本題解析2利用數(shù)形結(jié)合的思想使運(yùn)算量大為減少。 例2 已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且被兩平行直線：和：截得的線段長(zhǎng)為5，求直線的方程。 分析：可直接設(shè)點(diǎn)斜式方程，求與兩直線的交點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求解，但要注意斜率不存在的情況。 解析：若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時(shí)與的交點(diǎn)分別為和，截

5、得的線段長(zhǎng)，符合題意。 若直線的斜率存在，則設(shè)直線的方程為。 解方程組得； 解方程組得。 由得，解之得，所求的直線方程為。 綜上可知，所求的方程為或。 評(píng)注：該例應(yīng)用了直線的點(diǎn)斜式方程，但要考慮到斜率的存在性，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行分類討論，這是解決這類問(wèn)題最容易忽略的地方。 例3 已知三條直線：，：，：，且與的距離為。 （1）求的值； （2）能否找到一點(diǎn)，使得點(diǎn)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：是第一象限的點(diǎn)；點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到距離的；點(diǎn)到的距離與點(diǎn)到的距離之比是：。若能，求點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由。 分析：求解本題的必須工具是幾個(gè)公式：平行直線間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式。對(duì)于第（2）問(wèn)，應(yīng)解一個(gè)由三個(gè)條件建立起來(lái)的方程組。 解析：（1）可化為，與的距離。 ，。 （2）設(shè)點(diǎn)，若點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)在與、平行的直線：上，且，即，或。 ，或。 若點(diǎn)滿足條件，由點(diǎn)到直線的距離公式有， 即。 ，或。 由在第一象限，不合題意，舍去。 聯(lián)立方程和，解得 不合題意，舍去。 由 解得。 即為同時(shí)