燕尾定理詳細解析匯報.題庫教師版

1、且mi匸例題精講燕尾定理：在三角形ABC中，AD , BE , CF相交于同一點 0，那么S abo ：S aco BD : DC .上述定理給出了一個新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因為ABO和ACO的形狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑 通過一道例題證明一下燕尾定理：如右圖，D是BC上任意一點，請你說明：S6 S2 ：S3 BD: DCD【解析】三角形BED與三角形CED同高，分別以BD、DC為底，所以有S：S4 BD:DC ;三角形 ABE與

2、三角形EBD同高，S： S2 ED :EA ；三角形 ACE與三角形CED 同高，S4：S3 ED : EA，所以 S : & 3 : S3 ;綜上可得 S ：S4 3 :隹 BD : DC .【例1 （2009年第七屆希望杯五年級一試試題）如圖，三角形ABC的面積是1 , E是AC的中點，點D在BC上，且BD:DC 1:2 , AD與BE交于點F .則四邊形 DFEC的面積等于 C【解析】方法一：連接CF ,根據(jù)燕尾定理，Sa abfBD1Sa abfAE1ECSa acfDC2，S CBF設(shè)Sa BDF1份，則S DCF 2份， SA ABF3 份，Sa aef2 Sa ABC12

3、Sa efc3份，如圖所標(biāo)所以Sdcef121 1方法二：連接DE ,由題目條件可得到Sa ABD -Sa ABC丄，33【鞏固】如圖，已知BDDC , EC2AE，三角形ABC的面積是30，求陰影部分面積112BFSa ABD1Sa ADESa adcSa ABC-，所以2233FESa ADE1Sa def1s. DEB11Sa1 1BEC1S Sa abc10 , Sa ABD Sa ABC2232 3212而 Sa CDE21Sa ABC1所以則四邊形DFEC的面積等于532312【解析】判斷這道題不應(yīng)該通過面積公式求面積題中條件只有三角形面積給出具體數(shù)值，其他條件給出的實際上是比例的

4、關(guān)系，由此我們可以初步.又因為陰影部分是一個不規(guī)則四邊形，所以我們需要對它進行改造，那么我們需要連一條輔助線,（法一）連接CF，因為BD DC ,EC 2AE，三角形 ABC的面積是30 ,所以Sa ABE1SS ABC2根據(jù)燕尾定理，Sa abfAESa ABFBDSa cbfECCD1,所以Sa abf丄 Sa abc47.5 , Sa bfd15 7.57.5 ,所以陰影部分面積是30 10 7.5 12.5 .（法二）連接DE ,由題目條件可得到Sa ABE1 cSa ABC 10 ,3Sa bdeIsa bec2-Sa ABC310，所以AFSA ABEFDSa bdeSa defS

5、a DEASa adc1一 Saabc2.5 ,2而Sa CDESa ABC10 所以陰影部分的面積為12.5.2【鞏固】如圖，三角形 ABC的面積是200 cm , E 在AC上，點D在BC上，且AE: EC 3:5,BD:DC 2:3 ,AD與BE交于點F 則四邊形 DFEC的面積等于 AAA/TAE/EE/FFFB.B 一LCBCDCDD【解析】連接CF ,根據(jù)燕尾定理，SA ABFBD26SA ABFAE 36Sa acfDC39SCBFEC 510設(shè) SA ABF6 份，則 Sa acf9 份，Sa bcf10份,Sa efc9份 Sacdf106 份3 58 2 :所以 Sdcfe

6、200(6 910)（蘭6)458 (26)93 (cm )88【鞏固】如圖，已知BD 3DC , EC2AE , BE與CD相交于點O,則厶ABC被分成的4部分面積各占 ABC面積的幾分之幾?【解析】連接CO,設(shè)Saaeo1份，則其他部分的面積如圖所示，所以Sa abc 12 918 30份，所以四部分按從小到大各占 ABC面積的30,寸13 93 13.59603010 3020【鞏固】（2007年香港圣公會數(shù)學(xué)競賽1）如圖所示，在 ABC中，CP CB , CQ 21-CA , BQ與AP相交于3點X，若 ABC的面積為6，則 ABX的面積等于 【解析】方法一：連接PQ 由于 CP 1c

7、b，CQ1一 CA，所以 Svabq32SvABC , Svbpq3丄Svbcq21Svabc 6所以SvabxSvaBPSvabcSvabc52-62.4 方法二：連接CX設(shè)Sacpx 1份，根據(jù)燕尾定理標(biāo)出其他部分面積，所以 Saabx 6 (1 14 4) 42.4【鞏固】如圖，三角形 ABC的面積是1, BD 2DC , CE 2AE , AD與BE相交于點F，請寫出這4部分 的面積各是多少？【解析】連接CF,設(shè)Sa aef1份，則其他幾部分面積可以有燕尾定理標(biāo)出如圖所示，所以Sa aef,Sa abf216282 42,Sa bdf, Sfdce21721217【鞏固】如圖，E在AC

8、上,D在BC上，且AE:EC2:3 , BD: DC1:2 , AD與BE交于點F .四邊形 DFEC的面積等于22 cm2，則三角形ABC的面積SA ABFBD1Sa abfAE2Sa acfDC2Sa cbfEC3,【解析】連接CF ,根據(jù)燕尾定理，【鞏固】三角形ABC中，C是直角，已知 AC2 , CD2 , CB 3, AMBM，那么三角形AMN (陰影部分)的面積為多少?設(shè) Sabdf1份5則Sa dcf2 份，Sa abf2份,Sa afc 4份，小2Sa aef41.62 3份,Sa EFC34 -2.4份，如圖所標(biāo),所以Sefdc22.44.4 份,Saabc2 34 9份23

9、所以Saabc224.4945 (cm2)【解析】連接BN . ABC的面積為3 2 2 3根據(jù)燕尾定理， ACN:AABN CD: BD 2:1 ;同理 ACBN : CAN BM : AM 1:1設(shè) AMN面積為1份，貝V MNB的面積也是1份，所以 ANB的面積是1 12份，而 ACN的面積就是2 2 4份，ACBN也是4份，這樣 ABC的面積為4 4 11 10份，所以 AMN的 面積為3 10 10.3 【鞏固】如圖，長方形 ABCD的面積是2平方厘米,EC 2DE , F是DG的中點陰影部分的面積是多少平方厘米？【解析】DEC設(shè)def 1份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示S陰影S

10、BCD125-平方厘米.12【例2】如圖所示，在四邊形ABCD 中，AB 3BE , AD3AF ,四邊形AEOF的面積是12，那么平行四邊形BODC的面積為【解析】 連接 AO, BD，根據(jù)燕尾定理 Sabo ：S°bdo AF : FD 1： 2,SAOD : SBODAE : BE 2 ：1，設(shè) S4BEO 1 ,則其他圖形面積，如圖所標(biāo)，所以Sbodc 2Saeof2 12 24.【例3】ABCD是邊長為12厘米的正方形,F分別是AB、BC邊的中點,AF與CE交于G，則四邊形AGCD的面積是方厘米.AEB【解析】連接AC、GB，設(shè)Sa agc1份，根據(jù)燕尾定理得 SA AGB

11、1 份，Sa BGC 1份，則 s正方形(1 1 1) 2 62 2份，Sadcg 3 1 4 份，所以 Sadcg 126 4 96 (cm )【例4】如圖，正方形 ABCD的面積是120平方厘米，E是AB的中點，F(xiàn)是BC的中點，四邊形 BGHF的 面積是方厘米.1份，根據(jù)燕尾定理【解析】連接BH ,根據(jù)沙漏模型得BG:GD 1:2,設(shè)SBHCCHD 2 份，S BHD2 份，因此S正方形（12 2） 2 10 份，Sbfhg127，所以Sbfhg236120 10 -14（平方厘米）.63:1， D是AE的中點，那么AF :FC【例5】如圖所示，在 ABC中，BE : EC【解析】連接CD

12、 .由于 S ABD : S BED1:1 ,S4BED : S BCD3: 4，所以 S ABD : S BCD3: 4 ,根據(jù)燕尾定理，AF : FCS ABD : S BCD 3: 4 .【鞏固】在 ABC 中，BD: DC 3: 2 , AE : EC 3:1，求 OB:OE ?【解析】連接OC .因為BD: DC 3: 2，根據(jù)燕尾定理， S ao4又AE: EC 3:1，所以則3:S AOCBD : BC3: 2，即S AOB3S ；S AOC ；2334S AOBS AOCS AOE2 S AOE223所以 OB : OE S aob : S AOE 2:1 .【鞏固】在 ABC

13、 中，BD: DC 2:1 , AE : EC 1:3，求 OB : OE ?1所以AE 丄EB22EH ,AG:GFAE: EH 2，即 AG2GF ,所以S AEG 12S ABF231Sxabcd 10 33942廠2且 EG HF2-ECEC ,故 CG GE，貝U S cgf1小1S AEG 533422所以兩三角形面積只之和為10515 .（法1）如圖，過F做CE的平行線交 AB于H，貝U EH : HB【解析】 題目求的是邊的比值，一般來說可以通過分別求出每條邊的值再作比值，也可以通過三角形的面積 比來做橋梁，但題目沒告訴我們邊的長度，所以應(yīng)該通過面積比而得到邊長的比本題的圖形一

14、看 就聯(lián)想到燕尾定理，但兩個燕尾似乎少了一個，因此應(yīng)該補全，所以第一步要連接0C 連接0C 因為 BD:DC 2:1，根據(jù)燕尾定理，Saob：Saoc BD :BC 2:1，即 Saob 2S aoc又 AE : EC 1:3，所以 S aoc 4S aoe .則 S aob 2s AOC 2 4S aoe 8S aoe , 所以 OB : OE S aob : S aoe 8:1 .【例6】（2009年清華附中入學(xué)測試題）如圖，四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、BC上的點，且11AE -AB , CF -BC , AF與CE相交于G，若矩形 ABCD的面積為120，貝U AEG與 CG

15、F的 34面積之和為【解析】CF : FB 1:3 ,（法2）如上右圖,連接AC、BG .根據(jù)燕尾定理，S ABG :S ACGBF:CF1而 S abc Sxabcd601231S abc60所以s ABG32 123:1, S bcg : S ACG BE : AE 2 ：1 ,2130 , S bcg, S abc60 20,3 2 13AEG3Sabg 10，ScfgS BCG4所以兩個三角形的面積之和為15 .【例7】如右圖，三角形 ABC中，BD: DC 4:9 , CE :EA 4:3，求AF : FB .【解析】根據(jù)燕尾定理得Saaob：Saaoc BD :CD 4:912:2

16、7s aob : Sa boc AE ： CE 3: 4 12:16（都有 AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以 Sa aoc : Saboc 27 :16 AF : FB【點評】本題關(guān)鍵是把 AOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果 能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！【鞏固】如右圖，三角形 ABC中，BD: DC 3:4 , AE:CE 5:6，求AF : FB.【解析】根據(jù)燕尾定理得Sa aob : Saaoc BD : CD 3: 4 15: 20Sa aob : Saboc AE ： CE 5: 6 15:18（都有

17、AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以 saoc : Saboc 20:1810:9 AF :FB【鞏固】如圖，BD:DC 2:3 , AE:CE 5:3 ,則 AF : BF 【解析】根據(jù)燕尾定理有 Sa ABG : Sa ACG2 : 3 10:15 , Saabg : Sabcg 5:310:6,所以Sa acg : Sa bcg 15: 65: 2 AF : BF【鞏固】如右圖，三角形ABC 中，BD: DC2:3 , EA:CE 5:4，求 AF : FB .【解析】根據(jù)燕尾定理得aob：Sa aoc BD：CD 2:3 10:15S aob : Sboc AE ： CE 5:

18、410:8（都有 AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以 AOC : S BOC 15:8 AF : FB【點評】本題關(guān)鍵是把 AOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果 能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！【例8】（2008年“學(xué)而思杯”六年級數(shù)學(xué)試題）如右圖，三角形ABC中，AF:FB BD : DC CE: AE 3: 2， 且三角形ABC的面積是1，則三角形 ABE的面積為 三角形AGE的面積為三角形GHI的面積為:【分析】連接AH、BI、CG 222由于 CE : AE 3: 2，所以 AE AC，故 S abe S ab

19、c555根據(jù)燕尾定理，S acg ： S abg CD： BD 2:3 , S bcg : S abg CE : EA 3:2，所以S acg : S abg : S bcg 4:6:9 , 則 S ACG419S BCG919那么 S AGE S AGC -；5519959同樣分析可得S ach ，則 EG : EH S acg : S ach 4 : 9 , EG : EB S acg : S acb194:19，所以EG:GH : HB 4:5:10，同樣分析可得 AG:GI :ID 10:5: 4 ,5521所以 S BIES BAE,S GHI10105555 1 1S BIE 19

20、19 5 19【鞏固】 如右圖，三角形 ABC中，AF : FB BD:DC CE : AE 3:2，且三角形GHI的面積是1，求三角形ABC的面積.【解析】6份連接 BG, Saagc根據(jù)燕尾定理，Sa AGC : Sa BGCAF : FB3: 26: 4 ,Sa ABG : Sa AGCBD : DC3: 29:6得 Sa bgc4（份）,Sa abg9（份），則Sa ABC 19（份）,因此SSA ABC19s同理連接AI、CH得愛Sa ABC6SA BIC19 Sa ABC19所以SA ABC19 6 6 61919三角形GHI的面積是1，所以三角形 ABC的面積是19【鞏固】（20

21、09 年第七屆“走進美妙的數(shù)學(xué)花園”初賽六年級）如圖， ABC 中 BD 2DA, CE 2EB ,【分析】AF 2FC，那么 ABC的面積是陰影三角形面積的倍.如圖，連接AI根據(jù)燕尾定理， 所以，S ACI : SS BCI : S ACI BD : AD2 :1 , S BCI : S ABICF : AF 1: 2 ,那么，SBCI : S ABI 1:2:4 ,2小2小BCIS ABC S1247ABC -同理可知ACG和 ABH的面積也都等于 ABC面積的，所以陰影三角形的面積等于ABC面積71丄，所以 ABC的面積是陰影三角形面積的77倍.【鞏固】如圖在A ABC中,DCDBEAE

22、CFBFA1求AGHI的面積2，求 A ABC的面積【解析】連接 BG,設(shè) Sabgc 1 份，根據(jù)燕尾定理 Saagc : Sabgc AF : FB 2:1 , Saabg : Saagc BD : DC 2:1 ,文檔得 Sa agc2（份），Sa abgs4（份）,則 Saabc 7（份），因此 AAGCSA ABCSa ABH2Sa bic2SA ABC7SA ABC7,Sa GHI7 22 21SA ABC772,同理連接AI、CH得7【點評】如果任意一個三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上的圖形，雖然形狀千變?nèi)f化， 但面積是相等的，這在這講里面很多題目都是用“同理得到

23、”的，即再重復(fù)一次解題思路，因此我 們有對稱法作輔助線【鞏固】如圖在 ABC中,DCDBEAECFB 1,求° GHI的面積FA 3 ABC的面積【解析】連接BG,設(shè)SBGC1份，根據(jù)燕尾定理 SAGC : SBGCAF : FB得 Sa AGC3（份）， Sa abg 9（份）,則Sa ABC13（份），因此Sa AGCSa ABC3:1 , SaABG : Sa AGC BD : DC3同理連接AI、CH得133:1 ,3_13Sa ghi 所以sSA ABC13 3 3 341313SA ABHSA ABCSA BICSA ABC【鞏固】如右圖，三角形ABC中，AF : FBB

24、D: DCCE: AE4:3 ,且三角形ABC的面積是74，求角形GHI的面積.【解析】連接BG, Saagc 12份根據(jù)燕尾定理，Sa AGC : Sa BGCAF : FB 4:312 :9 , Sa abg : SaagcBD : DC 4:316:12得 SA BGC9 （份）,SA ABG 16（份），則 SA ABC9 121637（份）,因此Sa agcSa ABC1237同理連接AI、CH得-A嚳Sa ABC12 Sa bic37 Sa abc1237Sa ghiSa ABC37 12 12 12137371三角形ABC的面積是74,所以三角形 GHI的面積是74237【例9】

25、兩條線段把三角形分為三個三角形和一個四邊形,則陰影四邊形的面積是多少？如圖所示，三個三角形的面積分別是3，7，7，【解析】方法一：遇到?jīng)]有標(biāo)注字母的圖形，我們第一步要做的就是給圖形各點標(biāo)注字母，方便后面的計算再看這道題，出現(xiàn)兩個面積相等且共底的三角形.設(shè)三角形為 ABC , BE和CD交于F，貝U BF FE，再連結(jié)DE .所以三角形DEF的面積為3.設(shè)三角形ADE的面積為x ,則x: 3 3 AD : DB x 10 :10，所以x 15，四邊形的面積為18 .方法二：設(shè)adf X ,根據(jù)燕尾定理 S ABF : S BFC S AFE : S EFC ，得到Sa AEF x 3，再根據(jù)向右

26、下飛的燕子，有（x 3 7）:7x:3，解得x 7.5四邊形的面積為7.5 7.5 3 18【鞏固】右圖的大三角形被分成5個小三角形，其中 4個的面積已經(jīng)標(biāo)在圖中，那么，陰影三角形的面積是.【解析】方法一：整個題目讀完，我們沒有發(fā)現(xiàn)任何與邊長相關(guān)的條件，也沒有任何與高或者垂直有關(guān)系的字眼，由此，我們可以推斷，這道題不能依靠三角形面積公式求解.我們發(fā)現(xiàn)右圖三角形中存在一個比例關(guān)系：2 : S陰影1 3 : 4，解得S陰影2 .方法二：回顧下燕尾定理，有 2:（S陰影4） 1:3，解得S陰影2.【例10】如圖，三角形 ABC被分成6個三角形，已知其中4個三角形的面積，問三角形 ABC的面積是多少？

27、【解析】設(shè)Sa bof x，由題意知BD:DC 4:3根據(jù)燕尾定理，得Sa ABO : s ACObdo : Sa CDO4:3，所以 Sa aco-(84 x) 63 -x ,443再根據(jù)Sa abo : Sa bcoSa aoe : Sa coe , 列方程(84 x): (40 30) (63 - x 35) :35 解得 x 564Sa aoe : 35（5684）: （4030）所以 S AOE 70所以三角形ABC的面積是84 40 30 35 56 70 315【例111三角形ABC的面積為15平方厘米，D為AB中點，E為AC中點，F(xiàn)為BC中點，求陰影部分的面積.11所以Sa b

28、cnSa BCE-s24所以Sa bmn2SSa BNE233所以陰影1 1 ss,A ABC12 8【例121如右圖, ABC中，G是AC的中點,E、F是BC邊上的四等分點,AD與BG交于M ,【解析】 令BE與CD的交點為 M , CD與EF的交點為N，連接AM，BN .在 ABC中,根據(jù)燕尾定理，Sa abm : Sa bcmAE : CE 1:1,Sa acm : Sa bcmAD1 : BD 1:1所以SaabmSa acmSa bcn1SSa ABC3由于Sa aem11SaamcSaabm S,所以 BM22:ME 2:1在 EBC中，根據(jù)燕尾定理，Sa BEN : SacenB

29、F :CF 1:12 CEN : SACBNME :MB 1:2設(shè) Sa cen1 （份），則 Sa ben1 （份）,Sa bcn2 （份）,SA BCE4（份）,11ABC , Sa BNES BCESA ABC , 因為BM : ME 2:1 ,F為BC中點,4 8111111 Sa ABCSA ABC , BFN BNC ABC ,81222 485 5Saabc15 3.125 （平方厘米）2424AF與BG交于N ,已知 ABM的面積比四邊形 FCGN的面積大7.2平方厘米，則 ABC的面積是多少平方厘米?【解析】連接CM、CN 1根據(jù)燕尾定理，Sa abm:SacbmAG : G

30、C 1:1 ,Sa abm: Sa acmBD : CD 1：3 ,所以Sa ABM_ Sa ABC ；5再根據(jù)燕尾定理，Sa ABN : SacbnAG:GC 1:1，所以 Sa abn : Sa fbnSa CBN:Sa fbn4:3，所以AN: NF 4:3，那么Sa ang14225所以 SFCGN1 SA AFC丄sA ABC5SA ABCSA AFC243 7774281根據(jù)題意，有丄Sa ABC色 Sa ABC7.2，可得Sa abc 336（平方厘米）528【鞏固】（2007年四中分班考試題）如圖,【解析】若ABC的面積為1，那么四邊形由于點D是邊AC的中點，點E、CDMF的面

31、積是F是邊BC的三等分點，如果能求出BN、 NMMD三段的比,ABC中，點D是邊AC的中點，點 E、F是邊BC的三等分點,那么所分成的六小塊的面積都可以求出來，其中當(dāng)然也包括四邊形CDMF的面積.連接CM、CN 【例13】如圖，三角形 ABC的面積是1 , BDDE EC , CFFG GA，三角形 ABC被分成9部分,根據(jù)燕尾定理，SABM :S ACMBF :CF2:1，而 S ACM2S .ADM，所以 S ABM2S ACM4S ADM，那么BM 4DM，即BM45BDBMBF42 14147那厶S BMFS BCD,S四邊形CDMFBDBC53 21521530另解：得出S ABM2

32、SACM4SADM后，可得S ADMS ABD11 1552 10則S四邊形CDMFS ACFSADM11731030請寫出這9部分的面積各是多少？【解析】 設(shè)BG與AD交于點P, BG與AE交于點Q , BF與AD交于點M , BF與AE交于點N 連接CP,CQ, CM , CN 【鞏固】如圖,ABC的面積為1，點D、E是BC邊的三等分點，點 FG是AC邊的三等分點，那么四根據(jù)燕尾定理，S ABP : ScBPAG :GC 1:2 ,S ABP : S ACPBD:CD1: 2，設(shè)SA ABP1（份），則S ABC1225（份），所以S 1ABP52冋理可得，abq , abn1-,而 ab

33、g1所以Sa apq213Sa aqg12丄72375353721同理，SaBPM3Sa bdm1 、,所以s四邊形PQMN1 2335212 73570四邊形MNED135,2邊形NFCE1 丄_51廠1丄157 ,Si四邊形GFNQ3357042321426321642邊形JKIH的面積是多少?【解析】連接 CK、CI、CJ 根據(jù)燕尾定理，S ACK : S ABK CD : BD 1: 2 ,SABK : SCBKAG : CG 1:2 ,所以S ack : SABK : S CBK1:2:4，那么 S ACK11S AGKS ACK312 47類似分析可得S 2S AGI15又 S A

34、BJ : S CBJAF : CF2 :1 , S ABJ : S ACJBD:CD2:11，可得S ACJ4那么，SCGKJ1211丄 1742184，那么四邊形84JKIH周圍的圖形的面積之和為172161ScgKJ2 S AGI S ABE28415370根據(jù)對稱性，可知四邊形CEHJ的面積也為619所以四邊形JKIH的面積為1 7070【例14】如右圖，面積為 1 的厶ABC 中，BD:DE:EC 1:2:1 , CF:FG:GA1:2:1 , AH : HI : IB 1:2:1 ,【解析】求陰影部分面積.IG交HF于M , IG交HD于N ,DF交EI于P 連接 AM ,IF AI

35、 : AB 3:4 ,AF : AC 3:4 ,Sa aif-SA abc16-Sa FIM : Sa amfIH : HA 2Sa fim:SaaimFG:GA 2Sa aim Sa aif42 Sa ABC64 AH : AI 1:3- Saahm色 Sa abc ,64 AH : AB 1:4AF : AC3: 4Sa ahfASSa ABC16一3冋理Sa cfdSa bdhSa abc16-Sa fdhZ Sa ABC16HM : HF"1:4 ,64 16 AI : AB 3: 4, AF : AC 3: 4 ,-IF II BC ,又TIF : BC 3: 4, DE

36、: BC 1:2 , DE : IF 2:3, DP : PF 2:3 ,同理 HN : ND 2:3 HM : HF 1:4，- HN : HD 2:5 ,-hmn77S ABC160160Sa hdf10同理6個小陰影三角形的面積均為721陰影部分面積6 21 16080【例15】如圖，面積為I的三角形 ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA的三等分點，求陰影部分面積【解析】三角形在開會，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI與CD的交點為M ,AF與CD的交點為N ,BI與AF的交點為P,BI與CE的交點為Q,連接AM、BN、CP求Sg邊形ADMI :在

37、ABC中，根據(jù)燕尾定理，ABM :Sa CBMAI : CI1: 2 Sa acm : Sa cbmAD: BD 1:2設(shè)Sa ABM1（份），則Sa cbm2（份）, Sa ACM1 （份）,Sa ABC4 （份）,所以SaabmSa ACM1Sa ABC , 所以Sa ADM4Sa abm3Sa abc , Sa aim12Sa abc ,12所以Sg邊形 ADMI同理可得另外兩個頂點的四邊形面積也分別是1 ABC面積的6求 S五邊形DNPQE :在 ABC中，根據(jù)燕尾定理SA ABN : SA ACNBF : CF 1: 2 SA ACN : SABCNAD : BD 1:2,所以Sa adn1Sa ABN321SAABC'同理 SAbEQ丄Sa abc21在A ABC中，根據(jù)燕尾定理 Sa abp : Sa acpBF : CF1:2, Saabp : SacbpAI : CI1:2所以SaabpSa abc5所以S五邊形 DNPQESa abp11111Sa ABCSa ABC52121105Sa ADNSa BEP同理另