物理競(jìng)賽中的數(shù)學(xué)知識(shí)

1、物理競(jìng)賽中的數(shù)學(xué)知識(shí)、重要函數(shù)y=sinx-52-4 7 -3 _ /-2 -3 -22y37-21 f , 2 A 20<72 5 -1 25y=cosx-5，一 .-3 N .一- 2 ： -4-7.y -2-3.725-15yy=tanx3.反三角函數(shù)反正弦Arcsin x ,反余弦Arccos x ,反正切Arctan x ,反余切Arccot x這些函數(shù)的統(tǒng)稱, 各自表示其正弦、余弦、正切、余切為 x的角。二、數(shù)列、極限1 .數(shù)列：按一定次序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列， 數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。 排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第 1項(xiàng)(通常也叫做首項(xiàng))，排在第二位的數(shù)稱為這

2、個(gè)數(shù)列 的第2項(xiàng)排在第n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第 n項(xiàng)。數(shù)列的一般形式可以寫成a1, a2, a3,，an, a(n+1), 簡(jiǎn)記為 an,通項(xiàng)公式：數(shù)列的第 N項(xiàng)an與項(xiàng)的序數(shù)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，這個(gè)公式 就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。2 .等差數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。通項(xiàng)公式 an=a1+(n-1)d ,前 n 項(xiàng)和 Sn a一an n na1 n(n-1)d22等比數(shù)列：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第 2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一 個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做

3、等比數(shù)列。這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示。通項(xiàng)公式an=a1q (n-1),前n項(xiàng)和Snaianqa(q1)所有項(xiàng)和Sn(|q1)3 .求和符號(hào)匯符 LJ表疝的是求利(fium.SuinmaUnn* Aalitinn ),讀法如gmji或sumrnabnn川27涓打是被求，相的參數(shù)(1加而。©卜函數(shù)(FiindJnn)、卜杯(Superscript) .下標(biāo)(Wuhscripl) *彩表加第舞項(xiàng)(*舊曬)；方=1表示求和的第一項(xiàng):” =N示求和的最后 r項(xiàng):上標(biāo)、卜,標(biāo)，一般只川八人上、入 a 這六個(gè)字母表城，具體情況舉例如HM(ci) £ft h 5 +

4、6 + 丁 +(1+9+1。+ 11 +12 + 13 + 】4+15+16 *17 + 1芯 + 19+2口+21+22+2力+24(02) 萬sin"摩斗玷n。4+ sincr, + sin&r6 +stTiiaj7 +ssina景+%iiii a.,"hxiiiq4 + Mm建”十端口31T jitU3J 乙sul 0r. =stii cr3 4-sin a4 + 3Hl er” + »in <-sm oT + san "胃 + xin 弓 + sin + &ii trH*T，、W 1 I I I I 1 L I 1 I LI

5、 (141 7 :；r 4+ii*4 i e'm(m+2) 6xK 7x9 8x10 9x1 1012 11x13 12x14 13x15 14x16 15x174 .數(shù)列的極限：設(shè)數(shù)列an ,當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，若通項(xiàng)an無限接近某個(gè)常數(shù)A,則稱數(shù)列an收斂于A,或稱A為數(shù)列an的極限，記作lim anAn否則稱數(shù)列 an發(fā)散或lim an不存在.n三、函數(shù)的極限：在自變量 x的某變化過程中，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限接近于常數(shù) A,則稱常數(shù)A是函數(shù)f(x)當(dāng)自變量x在該變化過程中的極限。設(shè)f(x)在x>a(a>0)有定義，對(duì)任意>0,總存在X>0,當(dāng)x>

6、X時(shí)，恒有| f(x) A|< ,則稱常數(shù)A是函數(shù)f(x)當(dāng)x +時(shí)的極限。記為lim f(x)=A,或f(x) A(x + )。運(yùn)算法則lim f(x) g(x)= lim f(x) lim g(x)X x0X x0X xolim f(x) g(x)= lim f(x) lim g(x)x %x %x xof(x) lim f (x)lim -,其中 lim g(x) o.x 小 g(x) lim g(x) x x°x Xo四、無窮小量與無窮大量1.若lim f(x) 0,則稱 “*)是*Xo時(shí)的無窮小量。x xo(若lim g(x)，則稱“*)是*x0時(shí)的無窮大量)。x x

7、0或：若lim (x)=o，則稱(x)當(dāng)x xo時(shí)為無窮小。 x xo在自變量某變化過程中，|f(x)|無限增大，則稱f(x)在自變量該變化過程中為無窮大。記為lim f (x).2 .無窮小量與無窮大量的關(guān)系無窮小量的倒數(shù)是無窮大量；無窮大量的倒數(shù)是無窮小量。3 .無窮小量的運(yùn)算性質(zhì)(i)有限個(gè)無窮小量的代數(shù)和仍為無窮小量。(ii)無窮小量乘有界變量仍為無窮小量。(iii)有限個(gè)無窮小量的乘積仍為無窮小量。4 .無窮小的比較定義：設(shè) lim (x)=o, lim (x)=o, x 0x O(x)1)若lim工=。，則稱當(dāng)x xo時(shí)(x)是比(x)局階無窮小。x o (x)、，、，(x)2)右

8、lim=,則稱當(dāng)x xo時(shí)(x)是比(x)低階無劣小。x o (x).一(x)3)若hm=C(C o),則稱當(dāng)x xo時(shí)(x)與(x)是同階無窮小，x o (x).一(x)4)右lim=1,則稱當(dāng)x xo時(shí)(x)與 (x)是等價(jià)無否小。x o (x)5.常用的等價(jià)無窮小為：1 12 n當(dāng) x o 時(shí)： sin x x, tan x x, arcsin x x, arctan x x, 1 cos x xn'1 x 1 x°2n等價(jià)無窮小可代換五、二項(xiàng)式定理1 .階乘： n!=1 X 2X 3XXn2 . 組合數(shù)：從 m個(gè)不同元素中取出 n (nwm)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫

9、做從 m 個(gè)不同元素中取出n個(gè)元素的組合數(shù)pii _ . _ pm-Nn! O -m!一曬3.二項(xiàng)式定理n0 + " H £ C7i -口川冥中黑一下I(n 一 ”!H六、常用三角函數(shù)公式2sin (兀 + a ) = sin asin (兀 /2 + a ) = cos asin( A B) sin AcosBcos(A B) cos AcosBcos (兀 + a ) = cos acos (兀 /2 + a ) = sin acos Asin Bsin( A B)sin Asin Bcos(A B)tan (兀 + a ) = tan atan (兀 /2 + a )

10、 = cot asin AcosB cos Asin Bcos A cos B sin Asin Bsin2A 2sin AcosAcos2A22_2_2cos A sin A 1 2sin A 2cos A 1tan2A.Asin 一 22 tan A1 tan2 A1 cos A2A cos 21 cos A2tan£21 cos A,1 cos Asin A1 cos A和差化積公式sin a sinbcosa cosb八.a b a b2sin cos22c a b a b2cos cos22sinasinb2cossincosa cosba b ._a b2sin sin2

11、2sin a btana tanb cosa cosb積化和差公式sinasinb cos a b cos a b 21 sin acosb - sin a b sin a b2萬能公式cosacosbcosasin b1 cos a21.一 sin a2cos a bsin a bc, a2 tan2 sin a J2 a1 tan -2 a tan - a2 tan-2tana 2-2 a.2 atan 1 tan -221cosa 一1典型物理問題數(shù)列極限等應(yīng)用1 .螞蟻離開巢穴沿直線爬行，它的速度與到蟻巢中心的距離成反比，當(dāng)螞蟻爬到距巢中心距離Li=im的A點(diǎn)處時(shí)，速度是 Vi=2cm

12、/s。試問螞蟻繼續(xù)由 A點(diǎn)到距巢中心 L2=2m的B 點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？2.a3常見近似處理2 .人在岸上以V0速度勻速運(yùn)動(dòng)，如圖位置時(shí)，船的速度是多少?M推動(dòng)，凸輪繞O軸以勻 n與OA之間的夾角為 “ )3 .如圖所示，頂桿 AB可在豎直滑槽K內(nèi)滑動(dòng)，其下端由凹輪 角速度3轉(zhuǎn)動(dòng).在圖示的瞬時(shí)，OA=r,凸輪輪緣與 A接觸，法線 試求此瞬時(shí)頂桿 AB的速度.(第十一屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽預(yù)賽試題妙 (.1當(dāng)I4 .三個(gè)芭蕾舞演員同時(shí)從邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正三角形頂點(diǎn) A,B,C出發(fā)，速率都是 v,運(yùn)動(dòng)方向始終保持著A朝著B,B朝著C,C朝著A經(jīng)過多少時(shí)間三人相遇？每人經(jīng)過多少路程？5 .如圖所示，半徑為 R

13、的勻質(zhì)圓柱體置于水平放置的、半徑為R的圓柱上，母線互相垂直，設(shè)兩圓柱間動(dòng)摩擦因數(shù)足夠大，不會(huì)發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)， 試問穩(wěn)定平衡時(shí)，R與R應(yīng)滿足什么條件？6 .一只狐貍以不變的速度 i沿著直線 AB逃跑，一只獵犬以不變的速率 2追擊，其運(yùn)動(dòng)方 向始終對(duì)準(zhǔn)狐貍.某時(shí)刻狐貍在F處，獵犬在 D處，F(xiàn)DXAB ,且FD=L,如圖14 1所示, 求獵犬的加速度的大小.解析：獵犬的運(yùn)動(dòng)方向始終對(duì)準(zhǔn)狐貍且速度大小不變，故獵犬2做勻速率曲線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)向心加速度a 一,r為獵犬所在處的曲r率半徑，因?yàn)閞不斷變化，故獵犬的加速度的大小、方向都在不斷變化，題目要求獵犬在 D處的加速度大小，由于2大小不變，如果求出D點(diǎn)的曲率

14、半徑，此時(shí)獵犬的加速度大小也就求得了獵犬做勻速率曲線運(yùn)動(dòng)，其加速度的大小和方向都在不斷改變.在所求時(shí)刻開始的一段很短的時(shí)間 t內(nèi)，獵犬運(yùn)動(dòng)的軌跡可近似看做是一段圓弧，設(shè)其半徑為R,則加速度其方向與速度方向垂直，如圖141 一甲所示.在t時(shí)間內(nèi)，設(shè)狐貍與獵犬分別到達(dá)而狐貍跑過的距離是：i t= L因而 2 t/R= 1 t/L, R=L 2/ 12所以獵犬的加速度大小為a = 1 2/LR6.如圖所示，半徑為 R,質(zhì)量為m的圓形繩圈，以角速率繞中心軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，繩中的張力為多大？解析取繩上一小段來研究，當(dāng)此段弧長(zhǎng)對(duì)應(yīng)的圓心角很小時(shí)，有近似關(guān)系式 sin .若取繩圈上很短的一小段繩 AB= L為研

15、究對(duì)象，設(shè)這段繩所對(duì)應(yīng)的圓心角為 ，這段繩兩端所受的張力分別為TA和TB （方向見圖14O在光滑水平面上3一甲），因?yàn)槔K圈勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，無切向加速度，所以TA和TB的大小相等，均等于T. TA和TB在半徑方向上的合力提供這一段繩做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，設(shè)這段繩子的質(zhì)量為據(jù)牛頓第二定律有：2T sin m 2R ；2因?yàn)?L段很短，它所對(duì)應(yīng)的圓心角將此近似關(guān)系和 m R 2 R很小所以sin 2m2代入上式得繩中的張力為T2 _m 2RF與D ,獵犬的速度方向轉(zhuǎn)過的角度為2 t/R7.在某鉛垂面上有一固定的光Vt直角三角形細(xì)管軌道ABC ,光滑小球從頂點(diǎn)A處沿斜邊軌道自靜止出發(fā)自由地滑到端點(diǎn)C處所需

16、時(shí)間，恰好等于小球從頂點(diǎn) A處自靜止出發(fā)自由地經(jīng)兩直角邊軌道滑到端點(diǎn)C處所需的時(shí)間.這里假設(shè)鉛垂軌道 AB與水平軌道BC的交接處B有極小 的圓弧，可確保小球無碰撞的拐彎，且拐彎時(shí)間可忽略不計(jì)在此直角三角形范圍內(nèi)可構(gòu)建一系列如圖144中虛線所示的光滑軌道，每一軌道是由若干鉛垂線軌道與水平軌道交接而成，交接處都有極小圓弧（作用同上），軌道均從A點(diǎn)出發(fā)到C點(diǎn)終止，且不越出該直角三角形的邊界，試求小球在各條軌道中，由靜止出發(fā)自由地從 A點(diǎn)滑行到C點(diǎn)所經(jīng)時(shí)間的上限與下限之比值 解析 直角三角形AB、BC、CA三邊的長(zhǎng)分別記為“卜、圖14-4-甲11、12、I3 ,如圖14 4一甲所示，小球從 A至IJB

17、的時(shí)間 記為Ti ,再從B到C的時(shí)間為T2,而從A直接沿斜邊到C 所經(jīng)歷的時(shí)間記為 T3,由題意知Ti T2 T3 ,可得11 : 12 ： 13=3: 4: 5,由此能得Ti與T2的關(guān)系.A因?yàn)?li igTi2li gTiT22T2 b因?yàn)?li ： 12 =3 ： 4,所以 T2Ti3小球在圖i4 4乙中每一虛線所示的軌道中，經(jīng)各垂直線段所需時(shí)間之和為ti Ti,經(jīng)各水平段所需時(shí)間之和記為 t2,則從A到C所經(jīng)時(shí)間總和為t Ti t2 ,最短的t2對(duì)應(yīng)t 的下限tmin ,最長(zhǎng)的t2對(duì)應(yīng)t的上限tmax.小球在各水平段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)分別為勻速運(yùn)動(dòng)，同一水平段路程放在低處運(yùn)動(dòng)速度大，所需時(shí)間短，

18、因此，所有水平段均處在最低位置（即與 BC重合）時(shí)t2最短，其值即為T2,故mint2的上限顯然對(duì)應(yīng)各水平段處在各自可達(dá)到的最高位置，實(shí)現(xiàn)它的方案是垂直段每下降小量li ,便接一段水平小量12 ,這兩個(gè)小量之間恒有l(wèi)2li COt ，角 即為/ ACB ,水平段到達(dá)斜邊邊界后，再下降一小量并接一相應(yīng)的水平量，如此繼續(xù)下去，構(gòu)成如圖所示的微齒形軌道，由于L、 l2均為小量，小球在其中的運(yùn)動(dòng)可處理為勻速率運(yùn)動(dòng)，分別所經(jīng)的時(shí)間小量ti與t2（i）之間有如下關(guān)聯(lián):t2(i)而cot ll于是作為t2(i)之和的t2上限與作為ti(i)之和的Ti之比也為cot .故t2的上限必為，即得：tmaxT1T1

19、8t7ti這樣 tmax ： tmin =7：5求導(dǎo)與微分、導(dǎo)數(shù)的概念1.導(dǎo)數(shù)定義設(shè)y=f(x)在xo的某鄰域內(nèi)有定義，在該鄰域內(nèi)給自變量一個(gè)改變量x,函數(shù)值有一相應(yīng)改變量 yf (xox) f(xo),若極限.y.f (xolimlim0x oxx oX) f (Xo)存在，則稱此極限值為函數(shù)y=f(x)在xo點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，此時(shí)稱y=f(x)在xo點(diǎn)可導(dǎo)，用f (xo)或，或xxodydyx x x0或df(x)dx表本.x xo若y f (x)在集合D內(nèi)處處可導(dǎo)(這時(shí)稱 f(x)在D內(nèi)可導(dǎo))，則對(duì)任意xo D ,相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)f (x0)將隨x°的變化而變化，因此它是x的函數(shù)，稱其為y=

20、f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記作f (x)或y，或曳或 , dxdf (x)dx2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義若函數(shù)f(x)在點(diǎn)xo處可導(dǎo)，則f(xo)就是曲線y=f(x)在點(diǎn)(xo,yo)處切線的斜率，此時(shí)切線方程為 y yo f (xo)(xxo).當(dāng)f (xoAo,曲線y=f(x)在點(diǎn)(xo,yo)處的切線平行于x軸，切線方程為yy°f(x°).若f(x)在點(diǎn)xo處連續(xù)，又當(dāng)xxo時(shí)f (x)，此時(shí)曲線y=f(x)在點(diǎn)(xo,yo)處的切線垂直于x軸，切線方程為x=xo.1.幾個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1 c 0 x x sin x cosx cosx sin x2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算(1) c u

21、(x) c u (x)；(2) u(x) v(x) u (x) v(x)；(3) u(x) v(x) u (x) v(x) u(x) v(x)；(4)u(x)v(x)u (x)v(x) u(x)v (x)v2(x)二、微分1.微分的概念設(shè)y f(x)在xo的某鄰域內(nèi)有定義，若在其中給 量y可以表示為x0 改變量x，相應(yīng)的函數(shù)值的改變y f (xox) f (xo) Ax 0( x) ( x 0).其中A與x無關(guān)，則稱f (x)在x0點(diǎn)可微，且稱Ax為f (x)在x0點(diǎn)的微分 記為dyx x0df A x. xx0A x是函數(shù)改變量 y的線性主部y f (x)在xq可微的充要條件是f (x)在x

22、O可導(dǎo)，且dyf (x0 x).當(dāng)f (x) x時(shí)，可得dx x,因此dy f (x0)dx,dyf (x)dx.x x0由此可以看出，微分的計(jì)算完全可以借助導(dǎo)數(shù)的計(jì)算來完成.(2)微分的幾何意義當(dāng)x由x0變到x0x時(shí)，函數(shù)縱坐標(biāo)的改變量為y，此時(shí)過x0點(diǎn)的切線的縱坐標(biāo)的改變量為dy.如圖2-1所示.當(dāng)dy< y時(shí)，切線在曲線下方，曲線為凹弧.當(dāng)dy> y時(shí)，切線在曲線上方，曲線為凸弧.圖2T2 .微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)可微，則d(cu(x) cdu(x), d(c) 0. du(x) v(x) du(x) du(x). du(x) v(x) u(x)dv(x) v(x)

23、du(x). ,u(x) v(x)du(x) u(x)dv(x)d2v(x)v (x)三、不定積分1 .不定積分概念【定義】(原函數(shù))若對(duì)區(qū)間I上的每一點(diǎn)x,都有F (x) f(x)或dF(x) f(x)dx,則稱F (x)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).原函數(shù)的特性若函數(shù)f(x)有一個(gè)原函數(shù)F(x)，則它就有無窮多個(gè)原函數(shù)，且這無窮多個(gè)原函數(shù)可表示為 F (x) +C的形式，其中C是任意常數(shù).【定義】(不定積分)函數(shù)f(x)的原函數(shù)的全體稱為f(x)的不定積分，記作 f(x)dx.若F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則f(x)dx F(x) C(C是任意常數(shù))2 .不定積分的性質(zhì)(1)積

24、分運(yùn)算與微分運(yùn)算互為逆運(yùn)算. f (x)dxf (x)或df (x)dx f (x)dx,dxF (x)dx F(x) C或 dF(x) F(x) C.(2) kf (x)dx k f (x)dx(常數(shù)k 0)(3) f (x) g(x)dx f (x)dxg(x)dx3.基本積分公式kdx kx ccosxdx sin x ci, xx dx c1sin xdx cosx c四、定積分【定義】(定積分)函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上的定積分定義為ba f(x)dxlimnf( i) xi ,x 0 i i【定理】(牛頓-萊布尼茨公式)若函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)在a,b

25、上的一個(gè)原函數(shù)，則bbf(x)dx F(x) F(b) F(a).aa上述公式也稱為微積分基本定理，是計(jì)算定積分的基本公式.常見應(yīng)用1. 一石砌堤，堤身在基石上，高為 h,寬為b,如圖所示。堤前水深等于堤高h(yuǎn),誰和堤身的單位體積重量分別為 q和丫，問欲防止堤身繞 A點(diǎn)翻倒，比值b/h應(yīng)等于多少？h2. 一個(gè)半徑為四分之一的光滑球面置于水平桌面上.球面上有一條光滑均勻的勻質(zhì)鐵鏈，一端固定于球面頂點(diǎn) A,另一段恰好與桌面不接觸，且單位長(zhǎng)度鐵鏈的質(zhì)量為p,求鐵鏈A端所受到拉力以及鐵連所受球面的支持力.3. 質(zhì)量為m的均勻橡皮圈處于自然狀態(tài)下的半徑為ri,彈性系數(shù)為ko現(xiàn)將它保持水平套在半彳5為2的豎

26、直圓柱上（r2>ri）,套上后橡皮圈的質(zhì)量分布仍是均勻的，橡皮圈與柱面 之間的靜摩擦因數(shù)為 重現(xiàn)在圓柱體繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)起來，如圖所示：?jiǎn)栆３窒鹌とΣ换?，圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度 3不能超過多少？常用數(shù)學(xué)知識(shí)匯總、三角函數(shù)公式 1.兩角和公式sin(A B) sin AcosB cosAsin Bsin(A B) sin A cos B cosAsin Bcos(A B) cosAcosB sin Asin B cos(A B) cos A cos B sin Asin Btan(A B)cot(A B)2.二倍角公式tan(A B)cot(A B)tan A tanB1 tan Atan B

27、cot A cotB 1cot B cot Atan A tanB1 tan AtanBcot A cotB 1cot B cot Asin2A 2sin AcosAcos2A22_2_2cos A sin A 1 2sin A 2cos A 12 tan Atan2A 21 tan2 A3.半角公式.A sin21 cos AA cos 21 cos Atan公21 cos A1 cos A4.和差化積公式sin asinb2sin asin A1 cos Acot a21 cos A1 cos Asin Acos Acosacosb2a b 2cos2b a b一 cos2a b cos2sina sinb 2cosacosa cosbtanatan bsin a bcosa cosb5.積化和差公式sin asin bsinacosb21 . sin2coscosacosb6.萬能公式sin a -1c, a2 tan2tan27.平方關(guān)系2sin x2cos xsin acosacosasin b2 a tan -22 a tan sec2 x ta n2si*2.a b sintanacos asin a a2 tan 22 a1 tan2 2csc2 x cotcos a bsin a8 .倒數(shù)關(guān)系tanx cotx 19 .商數(shù)關(guān)系,