高中數(shù)學(xué)專(zhuān)題講義-函數(shù)的單調(diào)性

1、典例分析題型一：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，常用以下四種方法。1.定義法【例1】 試用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f(x) 二在區(qū)間(0, 1)上的單調(diào)性.x 1【例2】 證明函數(shù)y X3在定義域上是增函數(shù).【例3】 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)f(x) X3 1在(,)上是減函數(shù).【例4】 證明函數(shù)f(x) 4在定義域上是減函數(shù).【例5】 討論函數(shù)f(x) -2( 1 x 1)的單調(diào)性.x 11【例6】 求函數(shù)f(x)=x+'的單調(diào)區(qū)間。【例7】 求證：函數(shù)f(x) x a(a 0)在函,)上是增函數(shù). xx a【例8】(春季北樂(lè)、安徽，12)設(shè)函數(shù)f (x) = (a>b>0),求

2、f (x)的單調(diào)x b區(qū)間，并證明f (x)在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性。x【例9】(天津，19)設(shè)a 0, f (x)。是R上的偶函數(shù)。 a e(1)求a的值；(2)證明f(x)在(0,)上為增函數(shù)?！纠?0】已知f(x)是定義在R上的增函數(shù)，對(duì) xC R有f(x)>0,且f(5)=1 ,設(shè)F(x尸f(x)+ -1-,討論F (x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。f(x)【例11】已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x, y均有f(x y) f (x) f(y),且當(dāng)x >0時(shí),f(x) 0,試判斷f(x)的單調(diào)性，并說(shuō)明理由.【例12 已知給定函數(shù)f(x)對(duì)于任意正數(shù)x, y都有f(xy)= f (

3、x) f (y),且f(x) WQ當(dāng)x 1時(shí)，f(x) 1 .試判斷f(x)在(0,)上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由.2.圖象法【例13 如圖是定義在區(qū)間5, 5上的函數(shù)y f(x),根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間, 以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？【例14 求函數(shù)y 1 2x 2 x的單調(diào)減區(qū)間【例15 【例16 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：1 y | x 1| ； y x 一( X 0). x求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： y |x 1| |2x 4| ; yx2 2|x| 3【例17作出函數(shù)y |x2 x|的圖象，并結(jié)合圖象寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間.【例18】畫(huà)出下列函數(shù)圖象并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2 y x 2

4、|x| 1一2 一 一(2) y | x 2x 3|3.求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2【例19】函數(shù)y人(x R, xwl)的遞增區(qū)間是( x 1A. x > 2 B. x<0 或 x>2C. x< 0【例20】已知y f x是偶數(shù)，且在 0,上是減函數(shù)，求f 1 x2單調(diào)增區(qū)間【例21】求函數(shù)y一一的單調(diào)區(qū)間. x x 2【例22】討論函數(shù)y Jx2 2x 3的單調(diào)性.【例23】求函數(shù)f(x) log0.5(x2 8x 7)的單調(diào)區(qū)間【例24】(1)求函數(shù)y log o.7(x2 3x 2)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知f(x) 8 2x x2,若g(x) f(2 x2)試確定g(x

5、)的單調(diào)區(qū)間和單 調(diào)性。題型二：利用單調(diào)性求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍【例25 設(shè)函數(shù)f(x) (2a 1)x b是R上的減函數(shù)，則a的范圍為()B.C.D. a【例26】函數(shù)y x2 bx c(x 0,)是單調(diào)函數(shù)的充要條件是()A. b 0 B. b 0C. b 0D. b 0【例27】已知f(x) T- (ax a 2范圍是().A. (0,1)C.板,ax)(a 0且aw1)是R上的增函數(shù).則實(shí)數(shù)a的取值B. (0 , 1)U 友,D. (0, 1)U 衣，【例28】設(shè)2是實(shí)數(shù)，f (x) a r2(x R), 21試證明對(duì)于任意a, f(x)為增函數(shù);試確定a值，使f(x)為奇函數(shù).【例2

6、9】設(shè)定義域?yàn)镽上的函數(shù)f(x)既是單調(diào)函數(shù)又是奇函數(shù)，若f klog2t f log2t log2t 20對(duì)一切正實(shí)數(shù)t成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍【例30】已知f (x)是奇函數(shù)，在實(shí)數(shù)集 R上又是單調(diào)遞減函數(shù)且 0V 8 V 2時(shí)，f (Jsin231-tsin )f (-)0,求t的取值也圍【例31】已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f(x)在0, +8上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m,使 f(cos28 -3)+f(4m-2mcos>0 )>f(0)對(duì)所有 9 C ：0,-都成立？若存在, 求出符合條件的所有實(shí)數(shù) m的范圍，若不存在，說(shuō)明理由。題型三：函數(shù)的單調(diào)性與方程、不等式【例

7、32】比較log2(x 1)與log2(2x 3)的大小.【例33】已知f(x)在區(qū)間(，)上是減函數(shù)，a, b R且a b 0 ,則下列表達(dá)正確的是()A.f(a)f(b)f(a)f(b)B.f(a)f(b)f( a)f( b)C. f(a)f(b)f(a)f(b)D.f(a)f(b)f( a)f( b)【例34 若f(x)是R上的減函數(shù)，且f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0, 3)和點(diǎn)B(3, 1),則不等式| f(x 1) 1| 2的解集為().A. (,3)B. (,2)C. (0, 3) D. (1,2)【例35】解方程J3x 6 J9 5x ，2 x.【例36】設(shè)f(x)在R上是偶函數(shù)，在

8、區(qū)間(個(gè)0)上遞增，且有f(2a2+a+1)<f(3a 2-2a+1), 求a的取值范圍?！纠?7】設(shè)f (x)是定義在R上的函數(shù)，又m、n R恒有f (m n) f (m) f (n),且當(dāng)x 0時(shí)，0 f(x) 1。(1)求證：f(0) 1;(2)證明：x R時(shí)恒有 f(x) 0；(3)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(4)若f (x) f (2 x) 1 ,求x的范圍?！纠?8】設(shè)f(x)是定義在(0,)上的單調(diào)增函數(shù)，滿(mǎn)足 f(xy) f (x) f(y), f(3) 1求：(1) f (1); (2)當(dāng)f(x) f (x 8) 2時(shí)x的取值范圍.【例39】已知f(x)是定義在R上

9、的增函數(shù)，且f(?) f(x) f(y). y求證：f(1) 0, f(xy) f (x) f(y);若f (2) 1 ,解不等式f (x) f () 2 .x 3【例40】已知偶函數(shù)f(x)在(0, +8)上為增函數(shù)，且f(2)=0,解不等式f log2(x2+5x+4)>CL【例41】已知a、b、c R ,c【例42 已知 x>-1,且 xw0, n N,n 2,求證：（1 x）n 1 nx【例43】設(shè)門(mén)1, f(x)是定義在有限集合 A 1, 2, 3, L , n上的單調(diào)遞增函數(shù)，且對(duì)任何 x, y A,有f(x) f(x)f(y).那么，()f(y)A. n 2B. n 3 C. n 4 D. n > 5【例44】已知f(x)是je 乂在(0,)上的增函數(shù)，且當(dāng)n N時(shí)，f(n) N , ff(n) 3n ,則 f(1) f(2) .題型四：函數(shù)的最值【例45 求函數(shù)f(x) x - , x 0的最小值. x【例46 求函數(shù)y Vx1 瓜1的最小值.【例47 求函數(shù)y Jx1 vX1的最值.【例48(全國(guó)理，21)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f (x) =x2+|x a|+1, xC R(1)討論f (x)的奇偶性；(2)求f (x)的最小值?！纠?49設(shè) m