高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題[1]

1、最新高中數(shù)學(xué)奧數(shù)競(jìng)賽決賽試題、選擇題（本大題共6小題，每小題6分，共36分.每小題各有四個(gè)選擇支，僅有一個(gè)選擇支正確.請(qǐng)把正確選擇支號(hào)填在答題表的相應(yīng)位置.若集合M a,b,c中的元素是 ABC的三邊長(zhǎng)，則 ABC 一定不是（A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形2.設(shè) cos100 k則 tan80 =(3.A.一,1 k21 k2k如圖，一個(gè)空間幾何體的正視圖，左視圖，俯視圖均為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長(zhǎng)都為1 ,那么這個(gè)幾何體的體積為（)正視圖左視圖俯視圖A. 164.若A、B兩點(diǎn)分別在圓16y482y 4x 8y 44 0上運(yùn)動(dòng)，則5.| AB |

2、的最大值為（A. 13設(shè)*12是函數(shù)f（x）列不等式恒成立的是（A. | f (a)f (X1) |C | f(a) f(xj|6.已知函數(shù)f （n）A. 12008x定義域內(nèi)的兩個(gè)變量，且-1，、x2,若a 2（為 Xz）,那么，下| f(x2)| f(X2)n /cos (n5f (a)|B.D.f(1)2f(x1)f(x2) f (a)| f(a) f(x1)| | f(x2) f(a)|f(2)f (10) f (21)f(32) f (43)f(2008)()-1D. 4二、填空題(本大題共6小題，每小題6分，共36分.請(qǐng)把答案填在答題卡相應(yīng)題的橫線上.)7 .右圖的發(fā)生器對(duì)于任意函

3、數(shù)f x , x D可制造出一系列的數(shù)據(jù)，其工作原理如下：若輸入數(shù)據(jù)x0 D ,則發(fā)生器結(jié)束工作；若輸入數(shù)據(jù)x0 D時(shí)，則發(fā)生器輸出不，其中xif xo ,并將X反饋回輸入端.現(xiàn)定義f x 2x 1 , D (0,50).若輸入x0 1,那么，當(dāng)發(fā)生器結(jié)束工作時(shí)，輸出數(shù)據(jù)的總個(gè)數(shù)為.8 .若點(diǎn)(1,1 )到直線xcos ysin2的距離為d ,則d的最大值是.9 .從0, 1之間選出兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的平方和小于0.25的概率是.2110 .函數(shù)y x2 x ( x n,n 1 ,其中n為正整數(shù))的值域中共有 2008個(gè)整數(shù)，則正整數(shù) 2n 11 .把1, 2, 3,，100這100個(gè)自然數(shù)任意

4、分成 10組，每組10個(gè)數(shù)，將每組中最大的數(shù)取出來(lái)， 所得10個(gè)數(shù)的和記為S.若S的最大值為M ,最小值為N ,則M N .12 .設(shè)集合 A xx2x 2 , B xx 2 ,其中符號(hào)x表示不大于 x的最 大整數(shù)，則A B .三、解答題(本大題共6小題，共78分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)13 .(本小題滿分12分)已知向量 AB (1 tanx,1 tanx), AC (sin(x ),sin(x ).(1)求證：BAC為直角；(2)若x 一,一,求 ABC的邊BC的長(zhǎng)度的取值范圍.4 414 .(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x) ax2 (a 2)x 1.若a為整數(shù)，且

5、函數(shù)f(x)在(2, 1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值.15 .(本小題滿分12分)設(shè)A、B是函數(shù)y log 2 X圖象上兩點(diǎn),其橫坐標(biāo)分別為a和a 4 ,直線l : x a 2與函數(shù) y log 2 x的圖象交于點(diǎn) C ,與直線AB交于點(diǎn)D .(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)當(dāng) ABC的面積大于1時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.DA上的點(diǎn)，最終又回到點(diǎn) F ,指出整個(gè)16 .(本小題滿分14分)如圖，在正方體 ABCD AB1clD1中，E、F分別為棱AD、AB的中點(diǎn).(1)求證：EF /平面 CB1D1 ；(2)求證：平面 CAA1C1,平面CB1D1 ；(3)如果AB 1, 一個(gè)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn) F出發(fā)在正方體的

6、表面上依次經(jīng)過(guò)棱 BB1、B1c1、C1D1、D1D、路線長(zhǎng)度的最小值并說(shuō)明理由17 .(本小題滿分14分)2、，已知以點(diǎn)C(t,)(t R,t 0)為圓心的圓與x軸交于0、A兩點(diǎn)，與y軸交于0、B兩點(diǎn)，其中。為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求證：OAB的面積為定值；2)設(shè)直線 y 2x 4與圓 C 交于點(diǎn) M、 N ，若 | OM | | ON | ，求圓 C 的方程 .18 (本小題滿分14 分)對(duì)于函數(shù)f (x),若f (x) x,則稱x為f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”，若f(f x ) x ,則稱x為f (x)的“穩(wěn)定點(diǎn)” . 函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為 A 和 B ，即 A x| f x x

7、 ，B x|f f x x .( 1)求證： A B ；( 2)若f xax2 1 a R, x R ，且 A B ，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；(3)若f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，x0是函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，問(wèn)x0是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)嗎？若是， 請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明的理由 .2008年?yáng)|莞市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽參考答案一、選擇題D B A C D C二、填空題7. 58. 2 229 .一 10 . 100311. 1505 12 . 1,1613. (1)證明：因?yàn)?AB AC (1 tanx)sin(x )(1 tanx)sin(x )三、解答題442,cosx sin x z .、 cosx s

8、inx,(sin x cosx)(sin x cosx)2 cosxcosx0, 4 分所以 AB AC,即 BAC 90 . 5 分所以 ABC是直角三角形.6分(2)解：| AC | sin2(x ) sin2(x ) 1, 44因?yàn)锳BC是直角三角形，且 AB AC ,所以 |BC|2 |AB|2 | AC|2 3 2tan2 x 9 分又因?yàn)?x 一，一, 0 tan2 x 1 , 4 4所以 J3 |Bc | J5 .所以，BC長(zhǎng)度的取值范圍是 J3,J5 . 12分114.解：(1)a0時(shí)，令f (x) 2x10得x ,所以f (x)在(2, 1)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)；2分2(2)a0時(shí)，由

9、 f (x)ax2(a2)x1, (a2)2 4a a2 4 0恒成立，知f(x) ax2 (a 2)x 1必有兩個(gè)零點(diǎn).一節(jié)分53若 f( 2) 0 ,解得 a - Z ；若 f ( 1) 0,解得 a - Z , 62所以f ( 2)f ( 1) 0 .7分又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(2, 1)內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn)，所以 f( 2)f( 1) 0 即(6a 5)(2a 3) 0 . 10 分解得由 a Z, a 112分綜上所述，所求整數(shù) a的值為 1.15.解：(1)易知D為線段AB的中點(diǎn)，因A(a,log；)B(a 4,log2a 4)所以由中點(diǎn)公式得D(a 2,1og2m).16.(2)連接AB

10、 , AB與直線l ： X a 2交于點(diǎn)1yD -(log2 a 10g 2(a 4) 2所以 S ABC S ACD S BCD1 -21CD1(2 2)2|CD |D, D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為12 log 2 (a 2) (log 2 a log 2 (a 4) 2=10g2( a(a 4)2(a 2)：由 Saabc = log 2 - 1,a(a 4)因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是0 a 2.2 2.8分10分12分(1)證明：連結(jié)BD.在正方體 AC1中，對(duì)角線BD/B1D1.又Q E、F為棱AR AB的中點(diǎn)， EF/BD .EF /B1D1.又BD 平面CB1D1, EF 平面CBD ,EF /

11、平面 CBD.(2)證明：Q在正方體ACi中，AAL平面A1B1OD,而B(niǎo)Q平面A1B1CD,AAiXBiD.又Q在正方形 A1B1C1D中，AC1LBD, B1DL平面 CAAC1.又Q B1D1 平面 CBDi,F17.18.平面CAAO,平面CBD.(3)最小值為3鬼.如圖，將正方體六個(gè)面展開(kāi)成平面圖形,從圖中F到F,兩點(diǎn)之間線段最短,所求的最小值為3、, 2：(1)圓C過(guò)原點(diǎn)O設(shè)圓C的方程是-1S OAB OA2OC2(x t)2OB而且依次經(jīng)過(guò)棱t210分12分BB、BQ、CD、DD DA上的中點(diǎn)，14分 |OM | |ON |,|CM |kMN(y2)2 t2tt22, koc1

12、, -t ,解得:22時(shí)，圓心此時(shí)C到直線y圓C與直線y4申 |2t| 4,Xi即:|CN|, OC垂直平分線段直線OC的方程是yt 2或t2.C的坐標(biāo)為(2,1),2x 4的距離d2x 4相交于兩點(diǎn).當(dāng)t 2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為(2,此時(shí)C到直線y 2x 4的距離d圓C與直線y 2x 4不相交,t 2不符合題意舍去.圓C的方程為(x 2)2 (y 1)2：(1)若 A,則A B顯然成立；若At B,故 A B.OC0, X22t.OAB的面積為定值.MN .1), OC 卮5.10分13分14分，設(shè)t A,則 f t t, f f t f t t ,2122(2)QA , ax 1 x 有實(shí)根，a .又 A B,所以 a ax 11 x,4即a3x4 2a2x2 x a 10的左邊有因式ax2 x 1,從而有 ax2 x1 a2x2axa 10. 6 分2 2_ 2Q A B , ax axa 10要么沒(méi)有實(shí)根，要么實(shí)根是方程ax x 1 0的根.若a2x2 ax a 1 0沒(méi)有實(shí)根，則a ；若a2x2 ax a 1 0有實(shí)根且實(shí)根是方程4222 2. .2 2ax x 1 0的根，則由萬(wàn)程ax x 1 0,得a x ax a,代入a