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1、高等數(shù)學教研室高等數(shù)學教研室 物理樓物理樓E1223主主 講講宋宋 枚枚 枚枚一、三重積分的概念 二、三重積分的計算二、三重積分的計算三重積分 熟練掌握直角坐標系下三重積分的計算方法。熟練掌握直角坐標系下三重積分的計算方法。 熟練掌握交換積分次序確定積分限的方法與步驟。熟練掌握交換積分次序確定積分限的方法與步驟。 熟練掌握柱面坐標和球面坐標下計算三重積分。熟練掌握柱面坐標和球面坐標下計算三重積分。一、三重積分的概念一、三重積分的概念 類似二重積分解決問題的思想, 采用kkkkv),(),(kkkkv引例引例: 設在空間有限閉區(qū)域設在空間有限閉區(qū)域 內(nèi)分布著某種不均勻

2、的內(nèi)分布著某種不均勻的物質,),(Czyx求分布在 內(nèi)的物質的nk 10limM“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限”解決方法解決方法:質量 M .密度函數(shù)為定義定義. 設設,),(,),(zyxzyxfkkknkkvf),(lim10存在,),(zyxfvzyxfd),(稱為體積元素, vd.dddzyx若對 作任意分割: 任意取點任意取點則稱此極限為函數(shù)在 上的三重積分.在直角坐標系下常寫作三重積分的性質與二重積分相似.性質性質: 例如 ),2,1(nkvk,),(kkkkv以下“乘中值定理中值定理.),(zyxf設在有界閉域 上連續(xù),則存在,),(使得vzyxf

3、d),(Vf),(V 為 的體積, 積和式” 極限記作記作二、三重積分的計算二、三重積分的計算1. 利用直角坐標計算三重積分利用直角坐標計算三重積分方法方法1 . 投影法投影法 (“先一后二先一后二”)方法方法2 . 截面法截面法 (“先二后一先二后一”) 方法方法3 . 三次積分法三次積分法 ,0),(zyxf先假設連續(xù)函數(shù) 并將它看作某物體 通過計算該物體的質量引出下列各計算最后, 推廣到一般可積函數(shù)的積分計算. 的密度函數(shù) , 方法:zxyDDyxdd 方法方法1. 投影法投影法 (“先一后二先一后二” ) Dyxyxzzyxz),(),(),(:21yxzzyxfyxzyxzddd),

4、(),(),(21該物體的質量為vzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxfDyxzyxzzzyxfyx),(),(21d),(ddyxzyxfdd),(細長柱體微元的質量為),(2yxzz ),(1yxzz 微元線密度記作記作yxddOab方法方法2. 截面法截面法 (“先二后一先二后一”)bzaDyxz),(:為底, d z 為高的柱形薄片質量為zD以該物體的質量為vzyxfd),(bazDyxzyxfdd),(zDbayxzyxfzdd),(dzdzzDzDyxzyxfdd),(zzyxfd),(面密度zd記作記作xyzO投影法方法方法3. 三次積分法三次積分法設區(qū)域

5、:利用投影法結果 ,bxaxyyxyDyx)()(:),(21),(),(21yxzzyxz把二重積分化成二次積分即得:vzyxfd),(),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(),(),(21d),(yxzyxzzzyxf)()(21dxyxyybaxd當被積函數(shù)在積分域上變號時, 因為),(zyxf2),(),(zyxfzyxf),(1zyxf),(2zyxf均為為非負函數(shù)根據(jù)重積分性質仍可用前面介紹的方法計算.2),(),(zyxfzyxf小結小結: 三重積分的計算方法三重積分的計算方法方法方法1. “先一后二先一后二”方法方法2. “先二后一先二后一”

6、方法方法3. “三次積分三次積分”),(),(21d),(ddyxzyxzDzzyxfyxvzyxfd),(zDbayxzyxfzdd),(d),(),()()(2121d),(ddyxzyxzxyxybazzyxfyx具體計算時應根據(jù)vzyxfd),(vzyxfd),(三種方法(包含12種形式)各有特點,被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇. z =0y = 0 x =00y xx0z y1121Dxy121 yxxzyxx21021 010ddd481 .x + 2y + z =1Dxy yxDzxyxxy210dddI =x+2y =1其中 為三個坐標例例1. 計算三重積分計算三重積分,ddd

7、zyxx12zyx所圍成的閉區(qū)域 .解解: :yxz210)1(021xy10 x面及平面y2=xxyzo.例例2. 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域。與與平平面面拋拋物物柱柱面面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 計算計算 zx2 2 2 y2=xxyzo.例例2. 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域。與與平平面面拋拋物物柱柱面面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 計算計算z = 0y=0 2 2 xyzo zzyxfyxIxxd),(dd2 002 0 。 Dxzz , y,xfyxI2 0)d(dd0y x 2 xy y2=x.D例例

8、2. 所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域。與與平平面面拋拋物物柱柱面面 zx,z,yxy2 0 0 : zyxz , y,xfIddd )( 計算計算xyz2. 利用柱坐標計算三重積分利用柱坐標計算三重積分 ,),(3RzyxM設,代替用極坐標將yx),z（則就稱為點M 的柱坐標.z200sinyzz cosx直角坐標與柱面坐標的關系:常數(shù)坐標面分別為圓柱面常數(shù)半平面常數(shù)z平面z),(zyxM)0 ,(yxOxz y0 d ddz平面z 元素區(qū)域由六個坐標面圍成：元素區(qū)域由六個坐標面圍成：半平面半平面 及及 +d ; 半徑為半徑為及及 +d 的園柱面；的園柱面； 平面平面 z及及 z+dz；柱面坐標下的

9、體積元素柱面坐標下的體積元素xz y0 drrrddz底面積底面積 ：r drdr drddz平面平面z+dz. 元素區(qū)域由六個坐標面圍成：元素區(qū)域由六個坐標面圍成：半平面半平面 及及 +d ; 半徑為半徑為及及 +d 的園柱面；的園柱面； 平面平面 z及及 z+dz；柱面坐標下的體積元素柱面坐標下的體積元素xz y0 d ddz底面積底面積 ：dddddz ),sin,cos(zf dddzdxdydzdV =dddz .zyxzyxfddd ),( dV 柱面坐標下的體積元素柱面坐標下的體積元素將三重積分化為三次積分將三重積分化為三次積分zyxzIddd 0 , 1 :222 zzyx1z

10、zyxIxyDyxddd 4 . Dxy:221yxz ：下下底底122 yx：上上頂頂z = 0用哪種坐標？用哪種坐標？.柱面坐標柱面坐標0 xz yDxyzzrrrddd2101020 I =1例例3.計算計算zyxyxIddd1122 所所圍圍錐錐面面1 , :222 zzyx0 xz y1DxyzrrrIDrd11dd1 2 zrrrrdd1d1 1 0 22 0 )222(ln . Dxy:rz 1 rz = 1錐面化為錐面化為: r = z1.：下下底底：上上頂頂 102)d111(2rrr.例例4.計算計算 當被積函數(shù)是當被積函數(shù)是),(),(),(22xyzfxyzfyxzf

11、積分域積分域由圓柱面由圓柱面 (或一部分或一部分)、錐面、拋物面、錐面、拋物面用用所圍成的所圍成的.柱面坐標柱面坐標 計算三重積分較方便計算三重積分較方便.,),(3RzyxM設),(z其柱坐標為就稱為點M 的球坐標.直角坐標與球面坐標的關系, zOM),(r則0200rcossinrx sinsinry cosrz , rOM 令 SrM yz x0r =常數(shù)常數(shù): =常數(shù)常數(shù):球面球面S動點動點M(r,) r =常數(shù)常數(shù): =常數(shù)常數(shù):S球面球面半平面半平面P動點動點M(r,)M yz x0 =常數(shù)常數(shù):錐面錐面C. r drdrsinxz y0圓錐面圓錐面rd球面r圓錐面圓錐面+d球面球

12、面r+d r元素區(qū)域由六個坐標面圍成：元素區(qū)域由六個坐標面圍成：drsind球面坐標下的體積元素球面坐標下的體積元素半平面半平面 及及 +d ； 半徑為半徑為r及及r+dr的球面；的球面；圓錐面圓錐面 及及 +d r drdxz y0 ,sinsin,cossin( rrf drd元素區(qū)域由六個坐標面圍成：元素區(qū)域由六個坐標面圍成：rsind球面坐標下的體積元素球面坐標下的體積元素半平面半平面 及及 +d ； 半徑為半徑為r及及r+dr的球面；的球面；圓錐面圓錐面 及及 +d zyxzyxfddd ),( r 2sin drddsin drddr 2rcos )dVdV =例例4.ddddvV

13、sin2解：積。的錐面所圍成的立體體角為與半頂求球面)0(222zazyx20)1(：投影找向 XOY0)2(：投影找向 YOZaaO0020:0)3(：找點引直線穿越區(qū)域從)cos1(32sin302020adddIa故：當積分區(qū)域是球形域當積分區(qū)域是球形域或上半部是球面下半部是頂點在原點的錐面或上半部是球面下半部是頂點在原點的錐面, ,被積函數(shù)具有被積函數(shù)具有的形式時的形式時, , 用用球面坐標球面坐標 計算三重積分較簡便計算三重積分較簡便. .或是球的一部分或是球的一部分; ;)(222zyxf 2222,6),(yxzyxzdvzyxf：其中為三次積分，積分在三種坐標系下化三重2222

14、2264422),(yxyxxxdzzyxfdydxI解：由圖知：直角系：226yxz22yxz262020),sin,cos(rrdzzrrfrdrdI柱標系：的變化范圍與下面求球標系：r,20:226yxz22yxz222222sin6cos)(6404sincosrryxzrryxz由由drrrrrfddIrrsin)cos,sinsin,cossin(), 0(sin2sin24coscos2sin2sin24coscos04020222222舍去)(),(2),(),(),(),()2(0),(),(),(),() 1 (12121自己總結！面對稱時的結果面及關于同理，可寫出則：，的

15、偶函數(shù)，即：是關于若則：，的奇函數(shù)，即：是關于若坐標面對稱：關于與，且設積分區(qū)域XOZYOZdxdydzzyxfdxdydzzyxfzyxfzyxfzzyxfdxdydzzyxfzyxfzyxfzzyxfXOY解解積分域關于三個坐標面都對稱，積分域關于三個坐標面都對稱，被積函數(shù)是被積函數(shù)是 的奇函數(shù)的奇函數(shù),z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 其其中中yzxy 是是關關于于y的的奇奇函函數(shù)數(shù), 且且 關關于于zox面面對對稱稱, 0)(dvyzxy,zyxdddzrrddddddsin2rr積分區(qū)域多由坐標面被積函數(shù)形式簡潔, 或坐標系 體積元素 適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐標系* * 說明說明: :三重積分也有類似二重積分的換元積分公式:),(),(wvuzyxJ對應雅可比行列式為*ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf變量可分離.圍成 ;內(nèi)容小結內(nèi)容小結2,zxz1. 將. )(),(Czyxf用三次積分表示,2,0 xx,42,1yxy