高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的概念教案

1、坡新貢耕4教學(xué) 對(duì)象合班1: 專業(yè)班合計(jì)人合班2: 專業(yè)班合計(jì)人合班3: 專業(yè)班合計(jì)人授課 日期 地點(diǎn)教學(xué) 內(nèi)容 （課題）第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)致的概念計(jì)劃 學(xué)時(shí)2教學(xué) 目的通過學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠：1 .理解導(dǎo)數(shù)概念，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；2 .理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線的切線；3 .理解可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。具體目標(biāo)如下：知識(shí)目標(biāo)：1 .理解導(dǎo)數(shù)的概念；2 .理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義；3 .把握可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。技能目標(biāo)：1 .會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處 的導(dǎo)數(shù)：2 .會(huì)求曲線的切線。素養(yǎng)目標(biāo)：1 .培養(yǎng)學(xué)生的教學(xué)思維 能力和解決問題的能 力；2 .培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、求實(shí) 的作風(fēng)。教學(xué) 重點(diǎn) 難點(diǎn)重點(diǎn)

2、：導(dǎo)數(shù)的定義。難點(diǎn)：理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。教學(xué) 資源教材、例子（幻燈片）、課件。教學(xué)后記對(duì)培養(yǎng)方案、大綱修改意見對(duì)授課計(jì)劃修改意見對(duì)本教案修改意見需增加資源其他教研室主任：系主任：教務(wù)處：教學(xué)活動(dòng)流程教學(xué)步驟與內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)教學(xué)方法時(shí)間A.復(fù)習(xí)內(nèi)容1 .極限的定義2 .極限的計(jì)算方法對(duì)前面的知 識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí) 與鞏固，并 為新知識(shí)和 新技能的學(xué) 習(xí)奠定必要 的基礎(chǔ)。簡(jiǎn)述6minsB.板書課題，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)及主要學(xué)習(xí)內(nèi)容（略。詳見教案首頁）板書（或PPT展 示）課題 明確本次課的 內(nèi)容重點(diǎn)及目 標(biāo)簡(jiǎn)介 輔以PPT展示2minsC.講授新知導(dǎo)數(shù)與微分是微積分的基本概念，要更好地理解導(dǎo)數(shù) 的概念，應(yīng)從解決實(shí)

3、際問題的背景出發(fā)，在解決問題的過 程中自然抽象出導(dǎo)數(shù)的概念。導(dǎo)數(shù)與微分在理論上和實(shí)踐 中都有非常廣泛的應(yīng)用。一、瞬時(shí)速度、曲線的切線斜率1.變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度設(shè)一質(zhì)點(diǎn)作變速直線運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)行路程$與時(shí)間f的 關(guān)系為S = 5（/）,求質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻的瞬時(shí)速度.分析：如果質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，給時(shí)間一個(gè)增量/， 那么質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻與時(shí)刻fo+Af間隔內(nèi)的平均速度也就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻。的瞬時(shí)速度為% = M= s（S+j j'5）Ar在勻速直線運(yùn)動(dòng)中，這個(gè)比值是常數(shù)，但是如果質(zhì)點(diǎn)作 變速直線運(yùn)動(dòng)，它的運(yùn)行速度時(shí)刻都在發(fā)生變化，為了計(jì)算 瞬時(shí)速度，首先在時(shí)刻小任給時(shí)間一個(gè)增量/,考慮質(zhì)點(diǎn)由%到% +

4、，這段時(shí)間的平均速度：A/引入導(dǎo)數(shù)概念講解捕以PPT展示20mins2 / 52 / 52 /5城新資料推薦當(dāng)時(shí)間間隔I&I很小時(shí)，其平均速度就可以近似地看作 時(shí)刻的瞬時(shí)速度.且I&I越小，接近的程度就越好.因此, 當(dāng)I&If0時(shí)，如果平均速度考的極限存在，那么，就把 這個(gè)極限稱為物體在10時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即：.一. 5（r0+Ar）-5（r0）vn = lim v = lim2.曲線切線的斜率定義 設(shè)點(diǎn)P。是曲線上上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P是曲線£ 上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿曲線£趨向于點(diǎn)P。時(shí)，如果割線PP。 的極限位置P°T存在，則稱直線P°

5、;T為曲線L在點(diǎn)P。處的切 線設(shè)曲線方程為y ="）在點(diǎn)P氐,%）處的附近取一點(diǎn)P（x° + 凡 + Ay）那么割線尸。尸的斜率為tan 0 =坦=/（、二八以如果當(dāng)點(diǎn)P沿曲線趨zkvAx向于點(diǎn)p。時(shí)，割線 V 的極限位置存在，即點(diǎn)尸。處的切 線存在，此刻8 - 0,夕-2,割線斜率tan。趨向切線 Po T 的斜率 tan”，即，tana = lim 八”二、導(dǎo)數(shù)的定義定義：設(shè)函數(shù)y = /（x）在點(diǎn)與的一個(gè)鄰域內(nèi)有定 義。在/處給4以增量zU （Ar仍在上述鄰域內(nèi)），函數(shù)y 相應(yīng)地有增量Ay = fxQ + At）- f（xQ）,如果lim 存 A7 Ax 在，則稱此極

6、限值為函數(shù)y = /（x）在點(diǎn)孔處的導(dǎo)數(shù).記作： 外幻或兒" 或半,即人 *'0/ VX=XO&）=lim /（%+ -） AMZkV此時(shí)也稱函數(shù)/ G）在點(diǎn)xo處可導(dǎo).如果上述極限不存在，則稱f Cr）在4處不可導(dǎo).例1、求函數(shù)fa）=/在A-o = 1處的導(dǎo)數(shù)，即/（1）.總結(jié)概括導(dǎo)數(shù) 定義講解5mi ns解:第一步求:y = /(I + Ar)-/=(1 + Av)2 -I2 = 2Av + (Av)2第二步求苴： Av會(huì)用定義求函 數(shù)在一點(diǎn)處的 導(dǎo)數(shù)講解7mi nsAy 2Ax + （Ax）2A /A 小= 2 +Ax （Ar * 0）.AxZk¥第

7、三步求極限：lim2=lim（2 + 8） = 2所以， ADr（i）=2三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y =f （x）在點(diǎn)沏處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲理解導(dǎo)數(shù)的幾講解10mi ns線），=/ G）在點(diǎn)Cr0 , f ）處的切線的斜率,即：tana = f'（x ,圖 P46由此可知曲線y = f（x）上點(diǎn)P。處的切線方程為： 丁一%=/'（XoXx-x。）法線方程為：，。一« X。）（/（Xo）W03 其中%/（/）J（X。）例2求曲線），=,在點(diǎn)（1, 1）處的切線和法線方程.解：從例1知（?。┦?2即點(diǎn)（1,1）處的切線斜率何意義會(huì)求曲線的切 線講練結(jié)合7mi ns為2

8、,所以，切線方程）-1=2（“ 1）.,即y = 2x-l.法線方程113y-1 = 一一（工_1）.，HP y = -x + 222四、導(dǎo)數(shù)的物理意義對(duì)于不同的物理量有著不同的物理意義.例如變速直了解導(dǎo)數(shù)的物簡(jiǎn)單介紹3mi ns線運(yùn)動(dòng)路程s = s（r）的導(dǎo)數(shù)，就是速度，即s«o）= u«o）.我們也常說路程函數(shù)s（t）對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是速度.五、導(dǎo)函數(shù)一般地，函數(shù)/（A）的導(dǎo)函數(shù)r0）=iin""a理意義理解導(dǎo)函數(shù)的講解5mi ns例4求/(x) = sin x的導(dǎo)函數(shù)(x e (*+s).定義版A)'/(x + Av)-/(x)解：/ (x)

9、 = lim =limAs。Avsin(x + zkr)-sinx=lim a-oAx導(dǎo)函數(shù)的計(jì)算講解10mi ns2cos x + sir=lim27AyAx1一 2r/M=lim cos x + 3 12 ；.At sin2 - res r .Rf方法zkv2(sin x)=cosx.類似可得：(cosx) = "sin x.定義 如果liin 迎十”【)一/('、存在,則稱此極 Ax限值為了。,)在點(diǎn)與處的左導(dǎo)數(shù)，記作尸_(%)；同樣，如講解果lini一.二/(.以存在,則稱此極限值為f(x)A(rAt理解左導(dǎo)數(shù)和 右導(dǎo)數(shù)的概念8m ins在點(diǎn)與處的右導(dǎo)數(shù)，記作/+(.%).顯然，/(A)在Xo '+(%)存在且相等.處可導(dǎo)的充要條件是ff .(x0)及/定義 如果函數(shù)/(X)在區(qū)間/上每一點(diǎn)可導(dǎo)，則稱/ (X)在區(qū)間/上可導(dǎo).如果/是閉區(qū)間則端點(diǎn)處可 導(dǎo)是指廠+3)、f(b)存在.六、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系講解定理 如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)XQ處可導(dǎo)，