高等數(shù)學導數(shù)的概念教案

1、坡新貢耕4教學 對象合班1: 專業(yè)班合計人合班2: 專業(yè)班合計人合班3: 專業(yè)班合計人授課 日期 地點教學 內(nèi)容 （課題）第二章導數(shù)與微分第一節(jié)導致的概念計劃 學時2教學 目的通過學習，學生能夠：1 .理解導數(shù)概念，會用定義求函數(shù)在一點處的導數(shù)；2 .理解導數(shù)的幾何意義，會求曲線的切線；3 .理解可導與連續(xù)的關(guān)系。具體目標如下：知識目標：1 .理解導數(shù)的概念；2 .理解導數(shù)的幾何意義；3 .把握可導與連續(xù)的關(guān)系。技能目標：1 .會用定義求函數(shù)在一點處 的導數(shù)：2 .會求曲線的切線。素養(yǎng)目標：1 .培養(yǎng)學生的教學思維 能力和解決問題的能 力；2 .培養(yǎng)學生嚴謹、求實 的作風。教學 重點 難點重點

2、：導數(shù)的定義。難點：理解導數(shù)的幾何意義。教學 資源教材、例子（幻燈片）、課件。教學后記對培養(yǎng)方案、大綱修改意見對授課計劃修改意見對本教案修改意見需增加資源其他教研室主任：系主任：教務(wù)處：教學活動流程教學步驟與內(nèi)容教學目標教學方法時間A.復習內(nèi)容1 .極限的定義2 .極限的計算方法對前面的知 識進行復習 與鞏固，并 為新知識和 新技能的學 習奠定必要 的基礎(chǔ)。簡述6minsB.板書課題，明確學習目標及主要學習內(nèi)容（略。詳見教案首頁）板書（或PPT展 示）課題 明確本次課的 內(nèi)容重點及目 標簡介 輔以PPT展示2minsC.講授新知導數(shù)與微分是微積分的基本概念，要更好地理解導數(shù) 的概念，應從解決實

3、際問題的背景出發(fā)，在解決問題的過 程中自然抽象出導數(shù)的概念。導數(shù)與微分在理論上和實踐 中都有非常廣泛的應用。一、瞬時速度、曲線的切線斜率1.變速直線運動的瞬時速度設(shè)一質(zhì)點作變速直線運動，質(zhì)點的運行路程$與時間f的 關(guān)系為S = 5（/）,求質(zhì)點在時刻的瞬時速度.分析：如果質(zhì)點做勻速直線運動，給時間一個增量/， 那么質(zhì)點在時刻與時刻fo+Af間隔內(nèi)的平均速度也就是質(zhì)點在時刻。的瞬時速度為% = M= s（S+j j'5）Ar在勻速直線運動中，這個比值是常數(shù)，但是如果質(zhì)點作 變速直線運動，它的運行速度時刻都在發(fā)生變化，為了計算 瞬時速度，首先在時刻小任給時間一個增量/,考慮質(zhì)點由%到% +

4、，這段時間的平均速度：A/引入導數(shù)概念講解捕以PPT展示20mins2 / 52 / 52 /5城新資料推薦當時間間隔I&I很小時，其平均速度就可以近似地看作 時刻的瞬時速度.且I&I越小，接近的程度就越好.因此, 當I&If0時，如果平均速度考的極限存在，那么，就把 這個極限稱為物體在10時刻的瞬時速度，即：.一. 5（r0+Ar）-5（r0）vn = lim v = lim2.曲線切線的斜率定義 設(shè)點P。是曲線上上的一個定點，點P是曲線£ 上的動點，當點P沿曲線£趨向于點P。時，如果割線PP。 的極限位置P°T存在，則稱直線P°

5、;T為曲線L在點P。處的切 線設(shè)曲線方程為y ="）在點P氐,%）處的附近取一點P（x° + 凡 + Ay）那么割線尸。尸的斜率為tan 0 =坦=/（、二八以如果當點P沿曲線趨zkvAx向于點p。時，割線 V 的極限位置存在，即點尸。處的切 線存在，此刻8 - 0,夕-2,割線斜率tan。趨向切線 Po T 的斜率 tan”，即，tana = lim 八”二、導數(shù)的定義定義：設(shè)函數(shù)y = /（x）在點與的一個鄰域內(nèi)有定 義。在/處給4以增量zU （Ar仍在上述鄰域內(nèi)），函數(shù)y 相應地有增量Ay = fxQ + At）- f（xQ）,如果lim 存 A7 Ax 在，則稱此極

6、限值為函數(shù)y = /（x）在點孔處的導數(shù).記作： 外幻或兒" 或半,即人 *'0/ VX=XO&）=lim /（%+ -） AMZkV此時也稱函數(shù)/ G）在點xo處可導.如果上述極限不存在，則稱f Cr）在4處不可導.例1、求函數(shù)fa）=/在A-o = 1處的導數(shù)，即/（1）.總結(jié)概括導數(shù) 定義講解5mi ns解:第一步求:y = /(I + Ar)-/=(1 + Av)2 -I2 = 2Av + (Av)2第二步求苴： Av會用定義求函 數(shù)在一點處的 導數(shù)講解7mi nsAy 2Ax + （Ax）2A /A 小= 2 +Ax （Ar * 0）.AxZk¥第

7、三步求極限：lim2=lim（2 + 8） = 2所以， ADr（i）=2三、導數(shù)的幾何意義函數(shù)y =f （x）在點沏處的導數(shù)的幾何意義就是曲理解導數(shù)的幾講解10mi ns線），=/ G）在點Cr0 , f ）處的切線的斜率,即：tana = f'（x ,圖 P46由此可知曲線y = f（x）上點P。處的切線方程為： 丁一%=/'（XoXx-x。）法線方程為：，。一« X。）（/（Xo）W03 其中%/（/）J（X。）例2求曲線），=,在點（1, 1）處的切線和法線方程.解：從例1知（丁）式=2即點（1,1）處的切線斜率何意義會求曲線的切 線講練結(jié)合7mi ns為2

8、,所以，切線方程）-1=2（“ 1）.,即y = 2x-l.法線方程113y-1 = 一一（工_1）.，HP y = -x + 222四、導數(shù)的物理意義對于不同的物理量有著不同的物理意義.例如變速直了解導數(shù)的物簡單介紹3mi ns線運動路程s = s（r）的導數(shù)，就是速度，即s«o）= u«o）.我們也常說路程函數(shù)s（t）對時間的導數(shù)就是速度.五、導函數(shù)一般地，函數(shù)/（A）的導函數(shù)r0）=iin""a理意義理解導函數(shù)的講解5mi ns例4求/(x) = sin x的導函數(shù)(x e (*+s).定義版A)'/(x + Av)-/(x)解：/ (x)

9、 = lim =limAs。Avsin(x + zkr)-sinx=lim a-oAx導函數(shù)的計算講解10mi ns2cos x + sir=lim27AyAx1一 2r/M=lim cos x + 3 12 ；.At sin2 - res r .Rf方法zkv2(sin x)=cosx.類似可得：(cosx) = "sin x.定義 如果liin 迎十”【)一/('、存在,則稱此極 Ax限值為了。,)在點與處的左導數(shù)，記作尸_(%)；同樣，如講解果lini一.二/(.以存在,則稱此極限值為f(x)A(rAt理解左導數(shù)和 右導數(shù)的概念8m ins在點與處的右導數(shù)，記作/+(.%).顯然，/(A)在Xo '+(%)存在且相等.處可導的充要條件是ff .(x0)及/定義 如果函數(shù)/(X)在區(qū)間/上每一點可導，則稱/ (X)在區(qū)間/上可導.如果/是閉區(qū)間則端點處可 導是指廠+3)、f(b)存在.六、可導與連續(xù)的關(guān)系講解定理 如果函數(shù)y=f(x)在點XQ處可導，