廣東省深圳市樂而思教育高一數(shù)學(xué)必修4平面向量的實際背景及基本概念講義

1、.平面向量的實際背景及基本概念知識梳理1、向量和數(shù)量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量(2)數(shù)量：只有大小，沒有方向的量稱為數(shù)量2、有向線段(1)有向線段是帶有方向的線段，如圖所示，通常在有向線段的終點處畫上箭頭表示它的方向以A為起點，B為終點的有向線段記作 .(2)有向線段包含三個要素：起點、方向、長度，知道了有向線段的起點、長度和方向，它的終點就唯一確定3、向量的表示(1)幾何表示：向量可以用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量的方向(2)字母表示：通常在印刷時用黑體小寫字母a，b，c表示向量，書寫時用，表示向量；也可以用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，例如，.4、向量

2、的模及兩個特殊向量(1)向量的長度(模)：向量的大小，也就是向量的長度(或模)，記作|.(2)兩個特殊向量：零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作0，零向量的方向是任意的；零向量的起點與終點是同一點，故不能用有向線段表示出來單位向量：長度等于1個單位的向量，叫做單位向量5、相等向量與共線向量(1)相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量a與b相等，記作ab.任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān)因為向量完全是由它的方向和模確定(2)平行向量：定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a與b平行，通常記作ab.規(guī)定：零向量與任一向量平行，即

3、對于任意的向量a，都有0a.共線向量：任意一組平行向量都可以移動到同一直線上，因此平行向量也叫做共線向量常考題型題型一、向量的有關(guān)概念例1、下列說法正確的是()A向量與是共線向量，則A，B，C，D必在同一直線上B向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反C向量與向量是兩平行向量D單位向量都相等變式訓(xùn)練給出命題：零向量的長度為零，方向是任意的；若a，b都是單位向量，則ab；向量與向量相等以上命題中，正確命題的序號是()AB C D題型二、向量的表示例2、(1)如圖，B，C是線段AD的三等分點，分別以圖中各點為起點和終點，可以寫出_個向量(2)在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)

4、畫出下列向量：，使|4，點A在點O北偏東45°；，使|4，點B在點A正東；，使|6，點C在點B北偏東30°.用有向線段表示向量的方法用有向線段表示向量時，先確定起點，再確定方向，最后依據(jù)向量模的大小確定向量的終點必要時，需依據(jù)直角三角形知識求出向量的方向(即夾角)或長度(即模)，選擇合適的比例關(guān)系作出向量變式訓(xùn)練中國象棋中規(guī)定：馬走“日”字如圖是中國象棋的半個棋盤，若馬在A處，可跳到A1處，也可跳到A2處，用向量或表示馬走了“一步”試在圖中畫出馬在B，C處走了“一步”的所有情況題型三、共線向量或相等向量例3、如圖所示，四邊形ABCD與ABDE是平行四邊形(1)找出與向量共線

5、的向量； (2)找出與向量相等的向量尋找共線向量或相等向量的方法(1)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量(2)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線變式訓(xùn)練如圖，ABC和ABC是在各邊的處相交的兩個全等的等邊三角形，設(shè)ABC的邊長為a，圖中列出了長度均為的若干個向量，則(1)與向量相等的向量有_；(2)與向量共線，且模相等的向量有_；(3)與向量共線，且模相等的向量有_課堂小測 1、有下列物理量：質(zhì)量；速度；力；加速度；路程；功其中，不是向

6、量的個數(shù)是()A1B2 C3 D42、如圖所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分別是AB、BC、AC的中點，則與向量相等的向量是()A.與 B.與 C.與 D.PA與3、當(dāng)向量a與任一向量都平行時，向量a一定是_4、已知在邊長為2的菱形ABCD中，ABC60°，則|_.5、如圖，O是正方形ABCD的中心(1)寫出與向量相等的向量；(2)寫出與的模相等的向量同步練習(xí)1、下列各量中不是向量的是（）A浮力 B風(fēng)速 C位移 D密度2、在下列判斷中，正確的是()長度為的向量都是零向量；零向量的方向都是相同的；單位向量的長度都相等；單位向量都是同方向；任意向量與零向量都共線A B C D3、若且

7、，則四邊形的形狀為（）A平行四邊形 B矩形 C菱形 D等腰梯形4、已知：如圖，依次是等邊三角形的邊，的中點，在以，為起點或終點的向量中，與向量共線的向量有（）A個 B個 C個 D個5、下列說法正確的有()方向相同的向量叫相等向量；零向量的長度為；共線向量是在同一條直線上的向量；零向量是沒有方向的向量；共線向量不一定相等；平行向量方向相同A個 B個 C個 D個6、給出下列說法：和的模相等；方向不同的兩個向量一定不平行；向量就是有向線段；，其中正確說法的個數(shù)是()A.B.C. D.7、若四邊形是矩形，則下列說法中不正確的是 （）A與共線 B與共線C與是相反向量 D與的模相等8、下列說法正確的是()A有向線段與表示同一向量B兩個有公共終點的向量是平行向量C零向量與單位向量是平行向量D對任一向量，是一個單位向量9、如圖，正六邊形中，點為中心，以為起點與終點的向量中，與向量平行的向量有 個（含）10、給出下列四個條件：；與的方向相反；或，其中能使成立的條件有_11、下列說法中，正確的是 向量的長度與的長度相等； 向量與向量平行，則與的方向相同或相反；兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同；向量與向量是相等向量，則、能構(gòu)成平行四邊形12、如圖，分別是的邊，的中點，在以，為起點和終點的向量中：（1）找出與向量相等的向量； （2）找