集合論-集合恒等式

1、復(fù)習(xí)上次課內(nèi)容復(fù)習(xí)上次課內(nèi)容 一、集合的基本概念一、集合的基本概念( (不可精確定義的概念不可精確定義的概念) ) 1 1、集合定義：具有某種特殊性質(zhì)的個(gè)體的聚合、集合定義：具有某種特殊性質(zhì)的個(gè)體的聚合 集合的成員可以是另一個(gè)集合集合的成員可以是另一個(gè)集合 元素元素b b屬于集合屬于集合S bS S bS 元素元素b b不屬于集合不屬于集合S S （bSbS） 2 2、集合的表示形式、集合的表示形式 列舉法：列舉法：1 1）集合的元素是無序的（）集合的元素是無序的（無序性無序性） 2) 2) 重復(fù)的元素應(yīng)該認(rèn)為是一個(gè)元素（重復(fù)的元素應(yīng)該認(rèn)為是一個(gè)元素（互異性互異性） 3 3）集合中的元素可以是

2、一個(gè)集合，但不能是該集合本身）集合中的元素可以是一個(gè)集合，但不能是該集合本身 描述法描述法（謂詞表示法）：是用謂詞來概括集合中元素的屬性謂詞表示法）：是用謂詞來概括集合中元素的屬性 3 3、集合之間的關(guān)系、集合之間的關(guān)系 包含關(guān)系：包含關(guān)系：設(shè)設(shè)A A，B B為集合，為集合，如果如果B B中的每個(gè)元素都是中的每個(gè)元素都是A A中的元素中的元素，則稱，則稱B B是是A A的子集合，簡(jiǎn)稱子集這時(shí)也稱的子集合，簡(jiǎn)稱子集這時(shí)也稱B B被被A A包含，或包含，或A A包含包含B B，記作，記作B BA A B BA A x ( x ( x B x Ax B x A ) ) 隸屬關(guān)系和包含關(guān)系隸屬關(guān)系和包

3、含關(guān)系都是兩個(gè)集合之間的關(guān)系，對(duì)于某些集合可以同時(shí)都是兩個(gè)集合之間的關(guān)系，對(duì)于某些集合可以同時(shí)成立這兩種關(guān)系成立這兩種關(guān)系 相等關(guān)系：相等關(guān)系：設(shè)設(shè)A A，B B為集合，如果為集合，如果A A B B且且B B A A，則稱，則稱A A與與B B相等，相等， 記作記作 A AB B A AB B x ( x A x B )x ( x A x B ) x ( x B x A )x ( x B x A ) 注：判斷兩個(gè)集合的相等應(yīng)從注：判斷兩個(gè)集合的相等應(yīng)從相互包含相互包含來證明來證明真包含關(guān)系真包含關(guān)系: :設(shè)設(shè)A A，B B為集合，如果為集合，如果B B A A且且B AB A，則稱，則稱B

4、B是是A A的真子集，記作的真子集，記作B BA A x ( x ( x B x A )x B x A ) x ( x A x B )x ( x A x B ) 4 4、空集、空集 （非常重要的集合）（非常重要的集合） 不含任何元素的集合稱為空集，記為不含任何元素的集合稱為空集，記為 性質(zhì)：性質(zhì)： | | | |0 0 空集是任何集合空集是任何集合A A的子集的子集: : x ( x x ( x x A ) x A ) 空集是唯一的空集是唯一的 5 5、全集、全集 E:E:任何集合看成是全集任何集合看成是全集E E的子集，的子集， A A E E二、集合的冪集二、集合的冪集 冪集定義：設(shè)冪集定

5、義：設(shè)A A為集合，把為集合，把A A的全體子集構(gòu)成的集合的全體子集構(gòu)成的集合叫做叫做A A的冪集，的冪集， 記作記作P(A)(P(A)(或或2 2A A) ) 冪集的符號(hào)化表示為：冪集的符號(hào)化表示為： P(A) P(A) x | x x | x A A P(A) P(A) 2 2|A| |A| 二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理 任何集合任何集合A A一定有二個(gè)平凡子集一定有二個(gè)平凡子集 ： 和和 A A 冪集是以冪集是以子集合子集合為元素的集合為元素的集合 任何集合任何集合A A一定有二個(gè)平凡子集一定有二個(gè)平凡子集 ： 和和 A A 例：設(shè)例：設(shè) S Sa,a, a,a, 求求P(S)P(S)對(duì)于隸屬關(guān)

6、系和包含關(guān)系要明確對(duì)于隸屬關(guān)系和包含關(guān)系要明確 例：證明例：證明 A A B B 的的充要條件是充要條件是 P P（A A） P P（B B） 注意注意包含包含和和隸屬隸屬的轉(zhuǎn)換的轉(zhuǎn)換 例：設(shè)：例：設(shè)：A A B B P P（P P（A A） 判斷真假判斷真假: : B B 、 B B 、 B B 、 B B 、 B B 、 B B ， B B 、 ， B B 三、三、 集合的基本運(yùn)算集合的基本運(yùn)算1、交運(yùn)算、交運(yùn)算 1） 定義：定義： 任何兩個(gè)集合任何兩個(gè)集合A和和B的的AB，是由集合，是由集合A和和B所共有的全部元素構(gòu)所共有的全部元素構(gòu)成的集合，并可規(guī)定成成的集合，并可規(guī)定成 A B =

7、x| （x A）（x B） 2）性質(zhì)）性質(zhì) （a）A B = B A （b）（）（AB） C = A（B C） （c）A A = A （d） A = (e ) A B = 表示表示A與與B無公共元素?zé)o公共元素 3) 交運(yùn)算的文氏圖表示交運(yùn)算的文氏圖表示2、并運(yùn)算、并運(yùn)算 1）定義）定義2 設(shè)設(shè)A和和B是兩個(gè)任何集合。是兩個(gè)任何集合。A和和B的并集的并集AB，是由那些或?qū)儆冢怯赡切┗驅(qū)儆贏或?qū)儆诨驅(qū)儆贐或同時(shí)屬于二者的所有元素構(gòu)成的集合，并可規(guī)定成或同時(shí)屬于二者的所有元素構(gòu)成的集合，并可規(guī)定成 A B = x |（xA）（xB） 2）性質(zhì)）性質(zhì) （a）A B = B A （b）（）（A B）C

8、 = A （B C） （c）A A = A, A = A , A E = E （d）A （B C）=（A B）（A C） （e）A （B C）=（A B）（A C） 3) 并運(yùn)算的文氏圖表示并運(yùn)算的文氏圖表示 證明：證明：P P（ A B A B ） P P（A A） P P（B B） 對(duì)于并運(yùn)算也成立嗎？對(duì)于并運(yùn)算也成立嗎？ P P（A A） P P（B B） ？ P P（ A A B B ） 3 3、相對(duì)補(bǔ)集、相對(duì)補(bǔ)集 全稱量詞對(duì)析取可合并全稱量詞對(duì)析取可合并 1 1）定義）定義3 3 設(shè)設(shè)A A和和B B是任何兩個(gè)集合。是任何兩個(gè)集合。B B 對(duì)對(duì)A A的的相對(duì)補(bǔ)集相對(duì)補(bǔ)集 AB， 是由

9、屬于集合是由屬于集合A A的但不屬的但不屬 于集合于集合B B的所有元素構(gòu)成的集合，并可規(guī)定成：的所有元素構(gòu)成的集合，并可規(guī)定成： A B = x |（xA）（x B） = x|（xA） （xB） 2 2）相對(duì)補(bǔ)集的文氏圖表示）相對(duì)補(bǔ)集的文氏圖表示 3 3）性質(zhì)）性質(zhì) （a）A = A （b）A （B-A）= （c）A（BA）= AB （d）A（BC）=（AB）（A C） （e）A（BC）=（AB）（AC） （f）A （AB）= A B (g) A B的等價(jià)形式：的等價(jià)形式： A BA AB AB B 可以循環(huán)證明可以循環(huán)證明 利用：利用： 主要證明主要證明 A A B A-B=A-(AB)

10、A - A= AB=(A-B)B A AB = B4 4、補(bǔ)集、補(bǔ)集 1 1）定義）定義4 4 給定全集給定全集E E，對(duì)于任何集合，對(duì)于任何集合A A來說，來說，A A對(duì)對(duì)E E的相對(duì)補(bǔ)集，的相對(duì)補(bǔ)集，稱為稱為A A的絕對(duì)補(bǔ)集或簡(jiǎn)稱為的絕對(duì)補(bǔ)集或簡(jiǎn)稱為A A的補(bǔ)集，并記作的補(bǔ)集，并記作A A。對(duì)于。對(duì)于E E和和A A所進(jìn)所進(jìn)行的差分運(yùn)算通常稱為求補(bǔ)。行的差分運(yùn)算通常稱為求補(bǔ)。 A x | x A） = E -A = x|（x E） （x A） = x | （x A） 2）補(bǔ)集的文氏圖：）補(bǔ)集的文氏圖： 3）性質(zhì)）性質(zhì) （a）AA=E （b）AA = （c）（）（AB）=AB （d）（）（A

11、B）= A B （e）AB A B5、對(duì)稱差、對(duì)稱差 1） 定義定義5 設(shè)設(shè)A和和B是任何兩個(gè)集合。是任何兩個(gè)集合。 A和和B的是集合的是集合 A B，并可規(guī)定成，并可規(guī)定成 A B =x|（xA）（xB） 排斥或（異或）排斥或（異或） 或或 A B=（A- B）（B - A） 2）對(duì)稱差的文氏圖表示）對(duì)稱差的文氏圖表示 3）性質(zhì)：）性質(zhì)： （a）A B=B A （b）（）（A B） C=A （B C） 結(jié)合律成立結(jié)合律成立 （c）A B=（AB）（BA） （d）A A= （e）A = A (f) A B= A C B=C 利用結(jié)合律利用結(jié)合律 6.3 6.3 集合恒等式集合恒等式 集合運(yùn)算的

12、恒等式與命題公式的等值式有非常類同地方集合運(yùn)算的恒等式與命題公式的等值式有非常類同地方 即將：即將： 看成看成 、看成看成 、 看成看成 空集空集看成看成 F F 、全集、全集E E看成看成 T T 那么那么命題公式的等值式可表示為集合運(yùn)算的恒等式命題公式的等值式可表示為集合運(yùn)算的恒等式一、下面給出對(duì)照的公式：一、下面給出對(duì)照的公式： 1）等冪律）等冪律 AA= A PP P AA= A PP P2）結(jié)合律）結(jié)合律（AB）C=A（BC） （PQ）R P（QR）（AB）C=A（BC） （PQ）R P（QR）3）交換律）交換律 AB=BA PQ QP AB=BA PQ QP4）分配律）分配律 A（

13、BC）=（AB）（AC） A（BC）=（AB）（AC） P（QR） （PQ）（PR） P（QR） （PQ）（PR）5）同一律）同一律 A =A PF P AE=A PT P 6）零律）零律 AE=E PT T A = PF F 7）補(bǔ)余律）補(bǔ)余律 AA=E PP T AA= PP F 8）吸收律）吸收律 A（AB）=A P（PQ） P A（AB）=A P（PQ） P 例：證明例：證明:AB= AC AB=AC B=C 由由B= B(AB） 9）德）德摩根定律摩根定律 （AB）= AB （PQ） PQ （AB）= AB （PQ） PQ 10）雙重否定律）雙重否定律 （A）=A P P 11） =

14、 E F T E = T F 12） AB A P Q P AB B P Q Q A AB P P Q B AB Q P Q A-B A13） AB A B 二、證明方法介紹二、證明方法介紹 集合部分的證明內(nèi)容一般為：集合的包含關(guān)系集合部分的證明內(nèi)容一般為：集合的包含關(guān)系和集合的相等關(guān)系和集合的相等關(guān)系 A AB B 和和 A AB B 證明證明 AB任取任取 x A 利用所給的性質(zhì)利用所給的性質(zhì) xB 1、采用謂詞演算方法采用謂詞演算方法 x(xAxB )成立成立 例：已知例：已知 AB ，證證明明 B A 證：證：x xB xB 因?yàn)橐驗(yàn)閤 ( x A x B ) xB xA xA x A

15、 2、利用、利用AB的等價(jià)形式的等價(jià)形式 ABB 、 ABA 、 AB 例：例： 證明：證明： A C 且且B C的充要條件是的充要條件是A B C 證：必要性證：必要性 利用利用1將將（A B） C （A C )( B C）C C C 充分性：看充分性：看A C與與 B C是否是是否是C的子集（的子集（ A C c ？）？） A C （A C ) B （A B ) C C CC B C （ B C ) A （A B ) C C CC證明證明:A:AB B A A 的充要條件是的充要條件是 AB AB 充分性：充分性： 必要性：必要性：化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) (A B C) (A B) ) - (A (B -C)A) 3.3.利用集合的運(yùn)算和恒等式利用集合的運(yùn)算和恒等式例：證明：例：證明：已知已知A BA C 且且 AB AC 則則 BC 利用恒等變形利用恒等變形 B B(B A) 利用吸收律利用吸收律 B(A B) B(A C) (BA)(BC) (AC)(BC) (A B)C (A C)C C 證明證明 (AB)C （AC)(BC) 利用謂詞演算利用謂詞演算x （AB）C x （AB） x C（x A