二次函數(shù)翻折規(guī)律和題目

1、翻折規(guī)律1 二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1. 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)2 2y =axbx c 關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解讀式是y - -ax -bx - c ;2 2y =a x h i 亠 k 關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解讀式是y - -a x h -k ;2. 關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)2 2y =axbx c 關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解讀式是 y =ax -bx c；2 2y =a x h j 亠 k 關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解讀式是y = a x h- k ；3. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)y =ax2 bx - c 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解讀式是y = -ax2bx-c ；2 2y =a

2、x - hk 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解讀式是y - -a x h -k ；4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)= ax2bx c 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解讀式是2 2y =a x -h 亠 k 關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解讀式是y - -a x - h 亠 k5.關(guān)于點(diǎn) m , n 對(duì)稱(chēng)2 2y=ax-hLk 關(guān)于點(diǎn) m ,n 對(duì)稱(chēng)后，得到的解讀式是y =-a x h-2m 廠2n-k根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱(chēng)變換，拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生 變化，因此a永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對(duì)稱(chēng)拋物線的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或 方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線(或表達(dá)式已知 的拋物線)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向

3、，再確定其對(duì)稱(chēng)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方 向，然后再寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)拋物線的表達(dá)式.操練：5. (2014?婁底 27.( 10 分)如圖甲，在 ABC 中，/ ACB=90 AC=4cm，BC=3cm .如果點(diǎn) P 由點(diǎn) B 出發(fā)沿 BA 方向向點(diǎn) A 勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn) Q 由點(diǎn) A 出發(fā)沿 AC 方向向點(diǎn) C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為1cm/s .連接 PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t (s)( 0vtv4)，解答下列問(wèn)題：(1 )設(shè)厶 APQ 的面積為 S，當(dāng) t 為何值時(shí)，S 取得最大值？ S 的最大值是多少？(2) 如圖乙，連接 卩 6 將厶 PQC 沿 QC 翻折，得到四邊形 PQP C，當(dāng)四邊形 P

4、QP C 為菱形時(shí)，求 t 的值；(3) 當(dāng) t 為何值時(shí)， APQ 是等腰三角形？2b2y _ax - - bx c _ 2a相似形綜合題(1)過(guò)點(diǎn) P 作 PH 丄 AC 于 H，由 APH sABC，得出，從而求出 AB，再BC AB根據(jù).=，得出 PH=3 - t，則 AQP 的面積為：AQ?PH=t (3 - t),最后進(jìn)行35整理即可得出答案；(2) 連接 PP交 QC 于 E,當(dāng)四邊形 PQP C 為菱形時(shí)，得出 APEABC , ，求出 AE= - t+4，再根據(jù) QE=AE - AQ , QE=QC 得出-t+4= - t+2，再求 tAC AB即可；(3)由( 1) 知,

5、PD= - t+3，與(2)同理得：QD= - t+4，從而求出PQ=在厶 APQ 中，分三種情況討論：當(dāng)AQ=AP，即 t=5 - t,當(dāng) PQ=AQ，即- =t，當(dāng) PQ=AP，即=5 - t,再分別計(jì)算即可.解解：(1)如圖甲，過(guò)點(diǎn) P 作 PH 丄 AC 于 H ,答：/ C=90 AC 丄 BC , PH / BC , APH ABC ,PR=APBC AB/ AC=4cm , BC=3cm , AB=5cm ,P H_t5， PH=3-t, AQP 的面積為：2S= AQ PH=X X(3-t)= -yr(t-)+ 芳,丄 Uo當(dāng) t 為秒時(shí)，S 最大值為 cm2.8(2)如圖乙，

6、連接 PP , PP交 QC 于 E ,當(dāng)四邊形 PQP C 為菱形時(shí)，PE 垂直平分 QC ,即 PE 丄 AC , QE=EC , APEABC ,.AE_AP反-逅， AEU= 二-1+4AB5QE=AE AQ- t+4 t= t+4 ,QE=QC= (4 - t) = t+2 , t+4= t+2 ,解得：t=,139(/ Ov二v4,13當(dāng)四邊形 PQP C 為菱形時(shí)，t 的值是丄 s;13此題主要考查了相似形綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定 理、三角形的面積公式以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題， 關(guān)鍵是根據(jù)題意做出輔助線， 利 用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行解答.217.( 2014

7、年河南)(23. 11 分)如圖，拋物線 y= x +bx+c 與 x 軸交于 A(-1,0),B(5,0)兩3點(diǎn)，直線 y=x+3 與 y 軸交于點(diǎn) C,與 x 軸交于點(diǎn) D.點(diǎn) P 是 x 軸上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 PF 丄 x 軸于點(diǎn) F，交直線 CD 于點(diǎn) E.設(shè)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 m。(3)由(1)知，PD= t+3，與(2)同理得： QD=AD AQ= t+4_PQ=- i二 | - = i-一在厶 APQ 中，當(dāng)AQ=AP ,當(dāng)PQ=AQ,即 t=5 - t 時(shí)，解得：ti=；即當(dāng) PQ=AP，| : - - .-.t 時(shí)，解得：t2= , t3=5 ；5_即：.=5

8、- t時(shí)，解得：t4=0, t5=；/ Ovtv4,二t3=5 , t4=0 不合題意，舍去,是等腰三角形.(1)求拋物線的解讀式;(2)若 PE =5EF,求 m 的值;(3)若點(diǎn) E/是點(diǎn) E 關(guān)于直線 PC 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、是否存在點(diǎn) P,使點(diǎn) E，落在 y 軸上？若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：拋物線 y= x2+bx+c 與 x 軸交于 A (-1,0) , B(5,0)兩點(diǎn),0= _(_ 1)2_b+c2I 0= -5 5b+cb=4c=5拋物線的解讀式為2 . -y=x+4x+5.(2)點(diǎn) P 橫坐標(biāo)為 m.23則 P(m, m + 4m+ 5) ,E

9、(m,m+3), F(m,0),4點(diǎn) P 在 x 軸上方，要使 PE=5EF,點(diǎn) P 應(yīng)在 y 軸右側(cè),0mv5.23219PE=m+4m+5(4m+3)=一m+J +2分兩種情況討論:3當(dāng)點(diǎn) E 在點(diǎn) F 上方時(shí)，EF= 3m+ 3.42193-PE=5EF，一m + m+ 2=5(m+ 3)44213即 2m 17m + 26=0，解得 m1=2, m2=(舍去)23當(dāng)點(diǎn) E 在點(diǎn) F 下方時(shí)，EF= m 3.4,2193-PE=5EF，一m + m+ 2=5( m 3),44即 m2 m 17=0，解得 m3= -69, m4=1-69(舍去)，2 21 + m 的值為 2 或-2111I,(3),點(diǎn) P 的坐標(biāo)為P1(，一 ),P2(4 , 5), P3(311, 2、113)24【提示】 E 和匕關(guān)于直線 PC 對(duì)稱(chēng)，/ E/CP= / ECP。又 PE / y 軸，EPC= / E/CP= / PCE