數(shù)學(xué)分析(二)期末試題

1、數(shù)學(xué)分析(2)期末試題課程名稱 數(shù)學(xué)分析(R)適 用 時(shí) 間試卷類別1 適用專業(yè)、年級(jí)、班 應(yīng)用、信息專業(yè)、單項(xiàng)選擇題(每小題3分，3X6= 18分)1、下列級(jí)數(shù)中條件收斂的是A.( 1)nB .n 1C(1)n1D .(1 -)n 1 n2、 若£是(，)內(nèi)以2 它的間斷點(diǎn)x處(A.收斂于f(x)C.發(fā)散為周期的按段光滑的函數(shù)，則f的傅里葉()級(jí)數(shù)在).1B.收斂于(f (x 0) f (x 0)2D.可能收斂也可能發(fā)散3、函數(shù)f(x)在a,b上可積的必要條件是().A.有界連續(xù) C .單調(diào) D3 / 144、設(shè)f(x)的一個(gè)原函數(shù)為lnx,則f (x)()A 11AB. x In

2、 x C ,-2-Dxx5、已知反常積分-dxy (k 0)收斂于1 ,匚2收斂，則()x為任意實(shí)數(shù)0 1 kxA.B .C226、In x (In x)2 (In x)3 L ( 1)n 1(ln x)n LA.x e B . x e C、填空題(每小題3分，3X6= 18分)1、已知幕級(jí)數(shù)axn在x 2處條件收斂，則它的收斂半徑為 .n 12、若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Un的第n個(gè)部分和& 包,則其通項(xiàng)Un ，和S n 1n 11 .3、曲線y 1與直線x 1, x 2及x軸所圍成的曲邊梯形面積為 . x1b4、已知由定積分的換元積分法可得，0e'f(eX)dxa f (x)dx ,則a

3、, b 5、數(shù)集(1)n°n 1, 2 , 3, L的聚點(diǎn)為. 26、函數(shù)f(x) ex的麥克勞林()展開(kāi)式為 65二、計(jì)算題（每小題6分，6X5 = 30分）1、dxx (1 x)3、° Va_x2 dx (a 0).x 2 cos t dtlim -x 0 sin x5、02 J1 sin2xdx-四、解答題（第1小題6分，第2、3小題各8分，共22分）1、討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)嗎竺在區(qū)間（，）上的一致收斂性.n 1 nn2、求幕級(jí)數(shù)人的收斂域以及收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù).n 1 n3、設(shè)f（x） x,將£在（，）上展為傅里葉（）級(jí)數(shù).五、證明題（每小題6分，6X2=12分

4、）1、已知級(jí)數(shù)an與 cn都收斂，且n 1n 1an bn cn, n 1, 2, 3 5 L證明：級(jí)數(shù)bn也收斂.n 12、證明：2sinnxdx2 cosn x dx .0066試題參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)課程名稱 數(shù)學(xué)分析（U） 適 用 時(shí) 間試卷類別1 適用專業(yè)、年級(jí)、班應(yīng)用、信息專業(yè)4 / 14單項(xiàng)選擇題（每小題3分，3X6= 18分）14 / 141. B2. B3. A4. C5. D6. D填空題（每小題3 分，3X6=18 分）1.2.un2,S=2n（n 1）3.ln24. a 1, b e5.6.1 2nxn 0 n!計(jì)算題（每小題6分，6X5 = 30分）1.解（3分）x（1

5、 x）1x（1dx x）1（一x1）dxxln x ln 1C.（3分）2.解In xdx3由分部積分公式得21x ln xdx 一3（3分）（3分）x3ln 313 .-x ln31 3-x ln31 3 -x3In x3 .x d ln x3131 -x9-dx xdx3.解令 x asint, t 0,-2由定積分的換元積分公式,（3分）67a2 x2dxo2 22a 2 cos tdt0（3分）4.解（4分）（2分）5.解27(t(1 cos2t)dt1-sin2t)由洛必達(dá)（L / ）法則得lxmolxm0x 2cos tdt0sin x2cos xcosxllmcos xx 01

6、021 sln2xdx2 "(sinxcosx)2 dx(2 分)0、 ''sin x cosxdx04(cosx sin x)dx2 (sin x cosx)dx4(2分)4(sin x cosx)02.2 2.2(sin x cosx)4(2分)四、解答題（第1小題6分，第2、3小題各8分，共22分）1 .解 x （, + ）, n （正整數(shù)）sin nx2n(3分)而級(jí)數(shù) 2收斂，故由M判別法知， n 1 n斂.空x 在區(qū)間（，）上一致收 n 1 n（3 分）2.解1F 1'lim nn ； nn窯級(jí)數(shù)上的收斂半徑Rn 1 n收斂區(qū)間為(1,1).分)(

7、2n易知 土在x 1處收斂，而在x 1發(fā)散, n 1 n n故土的收斂域?yàn)閚 1 n1,1).(2分)(1, 1) 一(2分)逐項(xiàng)求積分可得(2分)3.解x 1 dt01 t即 ln(1 x)x nt dt, xo 1n 1x(1,1)-nX,X ( 1,1).1 n函數(shù)f及其周期延拓后的圖形如下(2分)函數(shù)f顯然是按段光滑的，故由收斂性定理知它可以展開(kāi)為級(jí)數(shù)。由于“*）在（，）為奇函數(shù),an0, n 0, 1,2,，bn - xsin nxdx1x cos nx1一cosnxdx(1)n 1 2n(4分)i sin nxn所以在區(qū)間(，)上，f(x) X 2( 1)nn 1(2分)69五、證明題（每小題5分，5X2 = 10分）1.證明由an與Cn都收斂知, n 1n 1級(jí)數(shù)（Cn an）也收斂。n 1（1分）又由anbnCn, n可知,0 bn aCnan, n1, 2, 3, L1,2,3,L從而由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知（bn an）n 1（2分）于是由 bn （bnan） an, n 1,