點與直線的投影

1、教學(xué)要求教學(xué)要求： 1 1、熟練掌握點的三面投影規(guī)律及兩點的相熟練掌握點的三面投影規(guī)律及兩點的相對位置對位置； 2 2、掌握各種空間直線的投影特性及其基本、掌握各種空間直線的投影特性及其基本作圖方法；熟悉點與直線、直線與直線的相對作圖方法；熟悉點與直線、直線與直線的相對位置及其判別。位置及其判別。教學(xué)教學(xué)重點：重點：點的投影規(guī)律點的投影規(guī)律，點與點、，點與點、點與直線、點與直線、直線與直線的相對位置及其判別。直線與直線的相對位置及其判別。教學(xué)教學(xué)難點難點：相對位置及其判別相對位置及其判別教學(xué)方法：講授教學(xué)方法：講授+ +自學(xué)自學(xué)+ +實訓(xùn)實訓(xùn) 2.2 2.2 點與直線的投影點與直線的投影本節(jié)內(nèi)

2、容：本節(jié)內(nèi)容：X XY YZ ZO O直角坐標(biāo)系下的點直角坐標(biāo)系下的點 ：點點A A（x x，y y，z z）AX XY YZ ZO OAa aa （x，z）（x，y）（y，z） Pb AP采用三面投影采用三面投影。 B1B2B3 點在一個投影面上點在一個投影面上的投影不能確定點的空的投影不能確定點的空間位置。間位置。a 解決辦法？解決辦法？HWV投影面投影面正面投影面（簡稱正正面投影面（簡稱正 面或面或V V面）面）水平投影面（簡稱水水平投影面（簡稱水 平面或平面或H H面）面）側(cè)面投影面（簡稱側(cè)側(cè)面投影面（簡稱側(cè) 面或面或W W面）面）投影軸投影軸oXZOXOX軸軸 V V面與面與H H面

3、的交線面的交線OZOZ軸軸 V V面與面與W W面的交線面的交線OYOY軸軸 H H面與面與W W面的交線面的交線三投影面三投影面互相垂直互相垂直它與坐標(biāo)系有什么不同？它與坐標(biāo)系有什么不同？Y點點A A在三投影面體系中的投影在三投影面體系中的投影W WH HV VO OX XZ ZY Ya aa A Aa 點點A A的正面投影的正面投影a點點A A的水平投影的水平投影a 點點A的側(cè)面投影的側(cè)面投影規(guī)定：規(guī)定：空間點空間點用大寫字母表示用大寫字母表示，如，如A A、B B、C C 等，等，水平水平投影投影用相應(yīng)的小寫字母用相應(yīng)的小寫字母a a、b b、c c表示表示，正面投影正面投影用相應(yīng)用相應(yīng)

4、的小寫字母加撇表示的小寫字母加撇表示，如，如aa、bb、cc，側(cè)面投影側(cè)面投影用用相應(yīng)的小寫字母加兩撇表示相應(yīng)的小寫字母加兩撇表示，如，如aa、bb、cc。 投影面展開投影面展開 a aOX軸，軸，V、H投影投影長對正長對正； aaZ軸，軸，V、W投影投影高平高平齊齊； aayYH，aayYW即即H、W投影投影寬相等寬相等。 aax= a az=y=A到到V面的距離面的距離;a ax= a ay=z=A到到H面的距離面的距離;aay= a az=x=A到到W面的距離面的距離。YZaza XYayOaaxaya 點的點的投影規(guī)律投影規(guī)律：W WH HV VO OX XZ ZY Ya aa A A

5、點的三面投影點的三面投影和和坐標(biāo)坐標(biāo)的的關(guān)系關(guān)系（x，z）（x，y）（y，z）A（x，y，z）a aa（x，y）（x，z）（y，z） 若把三個投影面當(dāng)作空間若把三個投影面當(dāng)作空間直角坐標(biāo)面直角坐標(biāo)面，投影軸當(dāng)作，投影軸當(dāng)作直角坐標(biāo)軸直角坐標(biāo)軸，則點的空間位置可用其（，則點的空間位置可用其（X X、Y Y、Z Z）三個）三個坐標(biāo)來確定，坐標(biāo)來確定，點的投影就反映了點的坐標(biāo)值點的投影就反映了點的坐標(biāo)值，其投影，其投影與坐標(biāo)值之間存在著與坐標(biāo)值之間存在著對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系。a aaxa a aaxazaz解法一解法一: :通過作通過作45線線使使a az=aax解法二解法二: :用分規(guī)直接量用分規(guī)直接

6、量取取a az=aaxa 例例2 2：已知點：已知點A A（1010，1212，1515），），求作求作它的三面影。它的三面影。XZYHYWO分析：分析：A（10，12，15）a aa（10，15）（10，12）（12，15）aa a d d e e f f e f d zxYW YH0 d a a a 點的投影規(guī)律點的投影規(guī)律: : aax= a az=y（A到到V面的距離面的距離）a ax= a ay=z（A到到H面的距離面的距離）aay= a az=x（A到到W面的距離面的距離） a aOX軸，軸，V、H投影投影長對正長對正； aaZ軸，軸，V、W投影投影高平齊高平齊； aayYH，aa

7、yYW即即H、W投影投影寬寬相等相等。 空間點空間點 點的點的X X、Y Y、Z Z三個坐標(biāo)均不為零，其三三個坐標(biāo)均不為零，其三個投影都不在投影軸上。個投影都不在投影軸上。投影面上的點投影面上的點 點的某一個坐標(biāo)為零，其一個點的某一個坐標(biāo)為零，其一個投影與投影面重合，另外兩個投影分別在投影投影與投影面重合，另外兩個投影分別在投影軸上。軸上。投影軸上的點投影軸上的點 點的兩個坐標(biāo)為零，其兩個投點的兩個坐標(biāo)為零，其兩個投影與所在投影軸重合，另一個投影在原點上。影與所在投影軸重合，另一個投影在原點上。與原點重合的點與原點重合的點 點的三個坐標(biāo)為零，三個投點的三個坐標(biāo)為零，三個投影都與原點重合。影都與

8、原點重合。 各種位置點的投影各種位置點的投影 兩點的相對位置指兩點兩點的相對位置指兩點在空間的在空間的上下、前后、左右上下、前后、左右位置關(guān)系。位置關(guān)系。判斷方法：判斷方法：兩點間的相對位置可通兩點間的相對位置可通過它們的過它們的坐標(biāo)差坐標(biāo)差來確定。來確定。x x坐標(biāo)坐標(biāo)大大的在的在左左 y y坐標(biāo)坐標(biāo)大大的在的在前前z z坐標(biāo)坐標(biāo)大大的在的在上上B B點在點在A A點之點之左左、之、之前前、之、之下下。無軸投影圖無軸投影圖 不畫投影軸的投影圖，稱為不畫投影軸的投影圖，稱為無無軸投影圖軸投影圖。 無軸投影圖無軸投影圖是根據(jù)是根據(jù)相對坐標(biāo)相對坐標(biāo)來繪制的，其投來繪制的，其投影圖仍符合點的影圖仍符

9、合點的投影規(guī)律。投影規(guī)律。 例例4 4：已知點已知點A A的三投影，又知另一點的三投影，又知另一點B B對點對點A A的相的相對坐標(biāo)對坐標(biāo)X=X=1212，Y=Y=8 8，Z=10Z=10，求點，求點B B的三的三投影投影 。點點A A是參考點，根是參考點，根據(jù)相對坐標(biāo)據(jù)相對坐標(biāo)X X、Y Y、Z Z的正負值，的正負值，可判定點可判定點B B在點在點A A的的右方、后方和上方。右方、后方和上方。 側(cè)面投影側(cè)面投影Y Y的量取方向的量取方向 兩點的相對位置是根據(jù)兩點相對于兩點的相對位置是根據(jù)兩點相對于投影面的距離遠近（或投影面的距離遠近（或坐標(biāo)大小坐標(biāo)大?。﹣泶_）來確定的。定的。X X坐標(biāo)值大的

10、點在左；坐標(biāo)值大的點在左；Y Y坐標(biāo)值大坐標(biāo)值大的點在前；的點在前；Z Z坐標(biāo)值大的點在上。坐標(biāo)值大的點在上。 根據(jù)一個點相對于另一點上下、左根據(jù)一個點相對于另一點上下、左右、前后右、前后坐標(biāo)差坐標(biāo)差，可以確定該點的空間，可以確定該點的空間位置并作出其三面投影。位置并作出其三面投影。例例5 5：已知點已知點B B的投影和點的投影和點A A 的兩個投影，的兩個投影，求點求點A A的第三個投影。的第三個投影。b bb a a解法一：解法一：a b bb a aa yy解法二：解法二：例例5 5：已知點已知點B B的投影和點的投影和點A A 的兩個投影，的兩個投影，求點求點B B的第三個投影。的第三

11、個投影。重影點：重影點： 空間兩點在某一投空間兩點在某一投影面上的影面上的投影重合為一投影重合為一點點時，則稱此兩點為時，則稱此兩點為該該投影面投影面的的重影點重影點。A A、C C為為H H面的面的重影點重影點A A、C C為哪個投為哪個投影面的影面的重影點重影點呢？呢？a a c c ( )a c ( )被擋住的投被擋住的投影加影加( ) 重影點在三對坐標(biāo)值中，必定有兩對相等。重影點在三對坐標(biāo)值中，必定有兩對相等。從投影方從投影方向觀看，重影點必有一個點的投影被另一個點的投影遮住而向觀看，重影點必有一個點的投影被另一個點的投影遮住而不可見。判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影不可見

12、。判斷重影點的可見性時，需要看重影點在另一投影面上的投影，面上的投影，坐標(biāo)值大的點的投影可見，反之不可見，坐標(biāo)值大的點的投影可見，反之不可見，不可不可見點的投影加見點的投影加括號括號表示。表示。 兩點確定一條直線兩點確定一條直線，將兩，將兩點的點的同面投影用直線連接同面投影用直線連接，就，就得到直線在該投影面上的得到直線在該投影面上的投影投影直線對一個投影面的投影特性直線對一個投影面的投影特性ABab直線直線垂直垂直于投影面于投影面投影重合為一點投影重合為一點 積聚性積聚性直線直線平行平行于投影面于投影面投影反映線段實長投影反映線段實長 ab=ABab=AB 實形性實形性直線直線傾斜傾斜于投影

13、面于投影面投影比空間線段短投影比空間線段短ab=ABcosab=ABcos類似性類似性ABabAMBabmaa a b b b直線投影的基本特性直線投影的基本特性 一般情況下，一般情況下， 直線的投直線的投影仍然為直線，特殊情況積影仍然為直線，特殊情況積聚為一點。聚為一點。二、直線在三個投影面中的投影特性二、直線在三個投影面中的投影特性投影面平行線投影面平行線平行于某一投影面而平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜與其余兩投影面傾斜投影面垂直線投影面垂直線正平線（平行于面）正平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面）水平線（平行于面）水平線（平行于面）正垂線（垂直于面）正垂線（垂直于面

14、）側(cè)垂線（垂直于面）側(cè)垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）一般位置直線一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面垂直于某一投影面而而與其余兩投影面平行與其余兩投影面平行 規(guī)定：規(guī)定：與與H H面面的夾角為的夾角為；與與V V面面的夾角為的夾角為；與；與W W面面的夾角為的夾角為。b b a a a ab ba a b b 正平線正平線水平線水平線b ba a a aa a b b b b b b a aa a b b b ba a 側(cè)平線側(cè)平線投影面平行線的投影特性：投影面平行線的投影特性：在與線段平行的投影面上

15、的在與線段平行的投影面上的投影反映實長投影反映實長，該線段的投，該線段的投影為傾斜的線段（影為傾斜的線段（反映直線與另兩個投影面的反映直線與另兩個投影面的傾角傾角）。）。其余兩個投影分別其余兩個投影分別平行平行于相應(yīng)的于相應(yīng)的投影軸投影軸，且都，且都小于實長小于實長。 投影特性投影特性： 其余兩個投影分別平行于相應(yīng)的投影軸，其余兩個投影分別平行于相應(yīng)的投影軸，且都反映且都反映實長實長 。在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上， 投影投影積聚為一點積聚為一點。 投影特性：投影特性：三個投影三個投影都是都是傾斜線段傾斜線段，且都，且都小于實長小于實長。 如何求實長？如何求實長？ABbbaaCXO|

16、zA-zB|ABab|zA-zB|XaabbAB|zA-zB|abAB|zA-zB |ABbbaaCXO|YA-YB|aXabbabAB|YA-YB|AB|YA-YB|ABab|YA-YB|XZYOABbbabaaZXab”aOYHYWabb|XA-XB| |XA-XB|ABabb Xa bAB。a|zA-zB| ab|yA-yB|怎樣在怎樣在“原圖原圖”上求作？上求作？a有兩種方法，有兩解有兩種方法，有兩解|yA-yB|a b AB|zA-zB|空間直線上的點：空間直線上的點： 直線直線ABAB上上K K點的諸投影必在直線點的諸投影必在直線ABAB的同面的同面投影上，且投影上，且分直線及其投

17、影成定比分直線及其投影成定比。 AK：KB =a k ：k b =a k ：kb =a k ：k b 定比定理定比定理例例2 2：判斷點判斷點C C是否在線段是否在線段ABAB上。上。c abca b abca b c 在在不在不在a b c aa b c bc不在不在應(yīng)用定比定理應(yīng)用定比定理另一判斷法另一判斷法? ?bXaabc例例3 3：已知點已知點C C 在線段在線段ABAB上，求點上，求點C C 的正面的正面投影投影。cabacabac解法一：應(yīng)用解法一：應(yīng)用定比定理。定比定理。例例3 3：已知點已知點C C 在線段在線段ABAB上，求點上，求點C C 的正面的正面投影投影。解法一：應(yīng)

18、用解法一：應(yīng)用定比定理。定比定理。bXaabc解法二：應(yīng)用解法二：應(yīng)用第三投影。第三投影。a b k k bbXaaBC=L例例4 4：已知點已知點C C在線段在線段ABAB上，試作出點上，試作出點C C 的投影，的投影，使使BCBC 的實長等于已知長度的實長等于已知長度L L。cLczB - zAabABC平平行行相相交交交交叉叉垂垂直直相相交交空間兩直線的相對位置空間兩直線的相對位置平行平行相交相交交叉交叉同面直線同面直線異面直線異面直線垂直相交垂直相交一般相交一般相交垂直交叉垂直交叉一般交叉一般交叉兩直線平行兩直線平行投影特性：投影特性： 空間兩直空間兩直線平行，則其線平行，則其同面投影

19、同面投影必互必互相平行，反之相平行，反之亦然。亦然。aVHc bcdABCDb d a abcdc a b d 對于對于一般位置直一般位置直線線，只要有，只要有兩個兩個同面同面投影互相平行，空間投影互相平行，空間兩直線就兩直線就平行平行。AB/CDb d c a cbadd b a c 對于對于特殊位置直特殊位置直線線，只有兩個同面投，只有兩個同面投影互相平行，空間直影互相平行，空間直線線不一定平行。不一定平行。求出側(cè)面投影后可知：求出側(cè)面投影后可知：ABAB與與CDCD不平行。不平行。例例6 6：判斷圖中兩條直線是否平行。判斷圖中兩條直線是否平行。作出側(cè)面投影作出側(cè)面投影如何判斷？如何判斷？

20、HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d b c d a kk k 若空間兩直線相若空間兩直線相交，交，則其同面投影必則其同面投影必相交，且交點的投影相交，且交點的投影必符合空間點的投影必符合空間點的投影規(guī)律規(guī)律。交點交點是兩直是兩直線的線的共有點共有點cabb a c d k kd例例7 7：過過C C點點作水平線作水平線CDCD與與ABAB相交。相交。先作正面投影先作正面投影d b a abcdc 1 (2 )3(4 ) 同面投影可能相交，同面投影可能相交，但但 “交點交點”不符合空不符合空間點的投影規(guī)律間點的投影規(guī)律。 “交點交點”是兩直線是兩直線上的一對上的一

21、對重影點的投影重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線用其可幫助判斷兩直線的空間位置。的空間位置。、是面的是面的重影點重影點，、是是H H面的面的重影點重影點。為什么？為什么？兩直線相交嗎兩直線相交嗎？123 4 投影特性投影特性：例例8 8：判斷圖中兩直線的相對位置判斷圖中兩直線的相對位置baacddcbX11直線直線ABAB與與CDCD交叉！交叉！可否作側(cè)面投影來判別可否作側(cè)面投影來判別？XOBDACbb aa c cdd (3 )4 1(2)431 2 判斷兩直線重影點的判斷兩直線重影點的可見性可見性 判斷判斷重影點重影點的的可見性可見性時，需時，需要看重影點在另要看重影點在另一投影面上的投一

22、投影面上的投影，影，坐標(biāo)值大的坐標(biāo)值大的點投影可見點投影可見，反，反之不可見，之不可見，不可不可見點的投影加見點的投影加括括號號表示表示。例例9 9：判斷兩直線重影點的可見性判斷兩直線重影點的可見性bbcddcXaa、是是H H面的面的重影點重影點、是是V V面的面的重影點重影點121(2)3(4)34 直角投影定理：直角投影定理：若直角有一邊平行于投影面，若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為則它在該投影面上的投影仍為直角直角。設(shè)設(shè) 直角邊直角邊BC/H面面因因 BCAB, 同時同時BCBb所以所以 BCABba平面平面直線在直線在H面上的面上的投影互相垂直投影互相垂直即即 a

23、bc為直角為直角因此因此 bcab故故 bc ABba平面平面又因又因 BCbcABCabcHa c b abc.證明：證明：d abca b c dABAB為正平線為正平線, , 正面投影反映正面投影反映直角直角。例例11:11:已知直線已知直線ABAB的兩面投影和的兩面投影和C C點的水平投影點的水平投影, ,試過試過C C點作一條直線點作一條直線CECE垂直于垂直于ABAB。 cbabaOXeece1e1c1作法一：作法一：作法二：作法二：想一想，想一想，CECE是是不是不是點點C C到直到直線線ABAB的距離的距離？再想想，再想想，為什么為什么有兩個距離有兩個距離？因為有兩解：因為有兩

24、解：點點C C與點與點C C1 1。ffOcbaabXcddee例例1212：過點過點E E 作線段作線段ABAB、CD CD 的公垂線的公垂線EFEF。Xa ab be eLf f ZFE ZFEf 0Lc0cc dd 例例1313：已知菱形已知菱形ABCDABCD的對角線的對角線ABAB的兩投影，另一的兩投影，另一對角線對角線CDCD長為長為2L,2L,且知其正面投影且知其正面投影的方向，求作菱的方向，求作菱形的兩投影。形的兩投影。小小 結(jié)結(jié) 點與直線的投影特性，尤其是點與直線的投影特性，尤其是特殊位特殊位置直線的投影特性置直線的投影特性。 點與直線及兩直線的相對位置的點與直線及兩直線的相對位置的判斷判斷方法及投影特性方法及投影特性。 定比定理。定比定理。 直角投影定理直角投影定理，即兩直線垂直時的投，即兩直線垂直時的投影特性。影特性。重點掌握：重點掌握：一、各種位置直線的投影特性一、各種位置直線的投影特性 一般位置直線一般位置直線三個投影都是傾斜線段，且都小于實長。三個投影都是傾斜線段，且都小于實長。 投影面平行線投影面平行線 在其平行