化歸思想在三角中的應(yīng)用

1、化歸思想在三角中的應(yīng)用高考試題中的三角函數(shù)題主要考查特殊角的三角函 數(shù)值、三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角 公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生的運(yùn)算求解能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決 實(shí)際問(wèn)題的能力， 考查函數(shù)與方程思想、 化歸與轉(zhuǎn)化的思想近幾年， 三角函數(shù)試題相對(duì)比較傳統(tǒng)， 難度均為中低檔， 位置靠前， 重點(diǎn)突出 .因此， 在復(fù)習(xí)過(guò)程中既要注重三角知識(shí) 的基礎(chǔ)性， 突出三角函數(shù)的圖象、 周期性、 單調(diào)性、 奇偶性、 對(duì)稱性等性質(zhì)，以及化簡(jiǎn)、求值和最值等重點(diǎn)內(nèi)容的復(fù)習(xí)， 又要注重三角知識(shí)的工具性，突出三角與代數(shù)、幾何、向量 的綜合聯(lián)系，以及三角知識(shí)

2、的應(yīng)用意識(shí) .數(shù)學(xué)中的化歸法，是把待解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為一 類(lèi)已經(jīng)解決或比較容易解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題， 最終使原問(wèn)題獲解 化歸思想是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的思想方法.化歸思想解題的過(guò)程就是把復(fù)雜的、生疏的、抽象的、困難的、未知 的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的、熟悉的、具體的、容易的、已知的問(wèn) 題來(lái)解決， 所以解決數(shù)學(xué)問(wèn)題處處離不開(kāi)化歸 .因此， 它是數(shù) 學(xué)中最典型、最基本和最富有數(shù)學(xué)特色的方法之一 .本文就解三角函數(shù)有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要把所給定的三 角式化歸為 “一角一名一函數(shù)” 的形式， 對(duì)三角函數(shù)的圖象、 周期性、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性等性質(zhì)，以及化簡(jiǎn)、求值 和最值等問(wèn)題進(jìn)行淺析 .例題某實(shí)驗(yàn)室一天的溫

3、度(單位：C)隨時(shí)間 t (單位：h)而變化，近似滿足函數(shù)關(guān)系：f (t) =10-3cos n 12t-sin n12t，t 0 , 24).(I)求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差；(H)若要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于11 C，則在哪段時(shí)間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？解題思路(I)先通過(guò)三角恒等變換將已知的關(guān)系式化為“一角一名一函數(shù))的形式，然后求出f (t)的最值，即得最大溫差；(H)在 t 0 , 24)內(nèi)解三解不等式 f (t) =10-2sin ( n12t+ n 3) 11,即可得解.解(I) f (t) =10-3cos n 12t-sin n 12t=10-2 (32cos n 12t+12sin n 1

4、2t)=10-2sin ( n 12t+ n 3).又 0W t24，所以 n 3W n 12t+ n 37 n 3,即-1 sin ( n 12t+ n 3)11時(shí)實(shí)驗(yàn)室需要降溫.由(I)得 f(t)=10-2sin( n 12t+ n 3)11 ,即 sin ( n 12t+ n 3) v-12,又 0t24 ,因此 7n 6 n 12t+ n 311 n 6,得 10t0 , 3 0)的單調(diào)性的求 解，其基本方法是將3 x+ $看作一個(gè)整體代入正弦函數(shù)的增 區(qū)間(或減區(qū)間)，解出x,求出的x的區(qū)間即為y=Asin ( 3 x+ $ ) +b的增區(qū)間(或減區(qū)間).但是當(dāng)A0 , 3 0 ,

5、 3 0)的 圖象來(lái)求解析式時(shí)，常采用待定系數(shù)法，由圖中最高點(diǎn)、最 低點(diǎn)或特殊點(diǎn)求 A ;由函數(shù)的周期確定 3；由圖象上的關(guān)鍵 點(diǎn)確定$ .( 2)函數(shù)求周期時(shí)，注意以下規(guī)律：相鄰的最高點(diǎn)與 最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為半個(gè)周期；最高點(diǎn)(或最低 點(diǎn))的橫坐標(biāo)與相鄰零點(diǎn)差的絕對(duì)值為 14個(gè)周期 .解題者必須具有化歸思維的意識(shí)，利用已知條件，將問(wèn) 題進(jìn)行一連串的轉(zhuǎn)化，化歸為熟知的 y=Asin ( 3 x+$ ) +b 的形式，再利用 y=sinx 的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解決 .解決數(shù)學(xué)問(wèn)題 就其過(guò)程而言就是不斷轉(zhuǎn)化問(wèn)題：使不熟悉向熟悉、使抽象 向具體、使綜合向基本、使不規(guī)范向規(guī)范、使未知向已知轉(zhuǎn) 化.化歸思想是分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一個(gè)極其重要的思想， 因?yàn)榛瘹w思想，數(shù)學(xué)才有理由建立盡可能少的規(guī)范化形式解 決無(wú)窮的數(shù)學(xué)問(wèn)題，才善于處理較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，只有處 理若干典型的簡(jiǎn)單的方面，而讓其他方面都化歸為已處理好 的情況，才能大大加速數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決 .以往的數(shù)學(xué)教學(xué)往往著眼于具體的定義、法則、性質(zhì)、 公式、公理、定理，而忽視其中所反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想和方 法，就沒(méi)有揭