17.1　等腰三角形（第1課時(shí)）

1、 八年級數(shù)學(xué)八年級數(shù)學(xué)上上 新課標(biāo)新課標(biāo) 冀教冀教 第十七章特殊三角形第十七章特殊三角形 學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知檢測反饋檢測反饋17.1等腰三角形等腰三角形（第（第1課時(shí)）課時(shí)）如圖所示，如圖所示，哪些是軸對稱圖形哪些是軸對稱圖形？ 什么是軸對什么是軸對稱圖形稱圖形？什么樣的三角形才是軸對稱圖形什么樣的三角形才是軸對稱圖形？觀察思考觀察思考如圖所示如圖所示,把一張長方形紙按圖中虛線對折把一張長方形紙按圖中虛線對折,并并剪去陰影部分剪去陰影部分,再把它展開再把它展開,得到的得到的 ABC有什有什么特點(diǎn)么特點(diǎn)? 學(xué)學(xué) 習(xí)習(xí) 新新 知知AB=AC復(fù)習(xí)舊知復(fù)習(xí)舊知什么是什么是等腰三角形等腰三角形？有兩邊相等

2、的三角形叫做等腰三角形有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形.在在等腰三角形中等腰三角形中,相等的兩邊叫做腰相等的兩邊叫做腰,另一邊另一邊叫做底邊叫做底邊,兩腰的夾角叫做頂角兩腰的夾角叫做頂角,腰和底邊腰和底邊的夾角叫做底角的夾角叫做底角. 如圖所示如圖所示,在在ABC中中,若若AB=AC,則則 ABC是等腰三角形是等腰三角形,AB,AC是腰是腰,BC是底邊是底邊,A是頂角是頂角,B和和C是底角是底角. 如圖所示如圖所示, ABC是等腰三角形是等腰三角形,其中其中AB=AC.(1)我們知道線段我們知道線段BC為軸對稱圖形為軸對稱圖形,中垂線為它的中垂線為它的對稱軸對稱軸,由由AB=AC,可知點(diǎn)可知點(diǎn)

3、A在線段在線段BC的中垂線上的中垂線上.據(jù)此據(jù)此,你認(rèn)為你認(rèn)為 ABC是軸對稱圖形嗎是軸對稱圖形嗎?如果是如果是,對對稱軸是哪條直線稱軸是哪條直線?(2)B和和C有怎樣的關(guān)系有怎樣的關(guān)系?(3)底邊底邊BC上的高、中線及上的高、中線及A的平分的平分 線有怎樣的關(guān)系線有怎樣的關(guān)系?是是相等相等同一條線同一條線性質(zhì)性質(zhì)1等腰三角形的兩個(gè)底角相等等腰三角形的兩個(gè)底角相等 (簡稱簡稱“等邊對等角等邊對等角”).等腰三角形的等腰三角形的“等邊對等角等邊對等角”的特征是用來的特征是用來說明兩角相等、計(jì)算角的度數(shù)的常用方法說明兩角相等、計(jì)算角的度數(shù)的常用方法.性質(zhì)性質(zhì)2等腰三角形的頂角平分線、底邊上的等腰三

4、角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合中線、底邊上的高重合(簡稱簡稱“三線合一三線合一”).知識(shí)拓展知識(shí)拓展如圖所示如圖所示,在在 ABC中中,AB=AC.求證求證B=C. 證明證明:作作BC邊上的中線邊上的中線AD,如圖所示如圖所示, 則則BD=CD, AD=AD，AB=AC，BD=CD，所以所以 ABD ACD(SSS),所以所以B=C.這樣這樣,就證明了性質(zhì)就證明了性質(zhì)1.類比性質(zhì)類比性質(zhì)1的證明你能證明性質(zhì)的證明你能證明性質(zhì)2嗎嗎?在在ABC和和ACD中，中，由由 ABD ACD,還可得出還可得出BAD=CAD,ADB=ADC=90.從而從而ADBC,這也就證明了等腰三角形這也

5、就證明了等腰三角形ABC底底邊上的中線平分頂角邊上的中線平分頂角A并垂直于底邊并垂直于底邊BC.說明說明:經(jīng)過以上證明也可以得出等腰三角形底經(jīng)過以上證明也可以得出等腰三角形底邊上的中線的左右兩部分經(jīng)翻折可以重合邊上的中線的左右兩部分經(jīng)翻折可以重合,等等腰三角形是軸對稱圖形腰三角形是軸對稱圖形,底邊上的中線底邊上的中線(頂角平頂角平分線、底邊上的高分線、底邊上的高)所在直線就是它的對稱軸所在直線就是它的對稱軸.等腰三角形還有以下性質(zhì)等腰三角形還有以下性質(zhì):知識(shí)拓展知識(shí)拓展(1)等腰三角形兩腰上的中線、高線相等等腰三角形兩腰上的中線、高線相等;(2)等腰三角形兩個(gè)底角平分線相等等腰三角形兩個(gè)底角平

6、分線相等;(3)等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰的距離之等腰三角形底邊上任一點(diǎn)到兩腰的距離之 和等于一腰上的高和等于一腰上的高.已知已知:如圖所示如圖所示,在在 ABC中中,AB=BC=AC. 求證求證:A=B=C=60證明證明:在在 ABC中中,由由AB=AC,得得B=C.由由AC=BC, 得得A=B.所以所以A=B=C.由三角形內(nèi)角和定理可得由三角形內(nèi)角和定理可得A=B=C=60. 等邊三角形是特殊的等腰三角形等邊三角形是特殊的等腰三角形,除了具除了具有等腰三角形的性質(zhì)外有等腰三角形的性質(zhì)外,等邊三角形還具有自等邊三角形還具有自己特有的性質(zhì)己特有的性質(zhì):(1)等邊三角形有三條對稱軸等邊三角形有

7、三條對稱軸(等邊三角形三條等邊三角形三條 邊都相等邊都相等,都可以作為底邊都可以作為底邊);知識(shí)拓展知識(shí)拓展(2)作等邊三角形各邊的高線、中線、各角的作等邊三角形各邊的高線、中線、各角的 平分線一共有三條平分線一共有三條.例例1：已知已知:如圖所示如圖所示,在在 AB中中,AB=AC,BD,CE分別為分別為ABC,ACB的平分線的平分線. 求證求證:BD=CE.解析解析根據(jù)角平分線定義得到根據(jù)角平分線定義得到ABD= ABC,ACE= ACB,再根據(jù)等邊對等角得到再根據(jù)等邊對等角得到ABC=ACB,從而得從而得到到ABD=ACE,然后通過然后通過ASA證得證得 ABD ACE,就可以得到就可以

8、得到BD=CE.1212 例例2：(補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題)如圖所示如圖所示,在在 ABC中中,AB=AC,點(diǎn)點(diǎn)D在在AC上上,且且BD=BC=AD,求求 ABC中各角的度數(shù)中各角的度數(shù). 解析解析根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)根據(jù)等邊對等角的性質(zhì), ,可得可得A A= =ABDABD, ,ABC=C=BDC,再由再由BDC=A+ABD, ,就可得到就可得到ABC=C=BDC=2A . .再由三角形內(nèi)角和為再由三角形內(nèi)角和為180180, ,就可求出就可求出 ABC的三個(gè)角的度數(shù)的三個(gè)角的度數(shù). .解解:因?yàn)橐驗(yàn)锳B=AC,BD=BC=AD,所以所以ABC=C=BDC,A=ABD，設(shè)設(shè)A=x,則則BDC=A+

9、ABD=2x,從而從而ABC=C=BDC=2x.在在 ABC中中,A+ABC+C=x+2x+2x=180,解得解得x=36.所以所以A=36,ABC=C=72.課堂小結(jié)課堂小結(jié)1.等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡簡 稱稱“等邊對等角等邊對等角”).注意注意:等邊對等角只限于在同一個(gè)三角形中使用等邊對等角只限于在同一個(gè)三角形中使用.2.等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底等腰三角形的頂角平分線、底 邊上的中線、底邊上的高重合邊上的中線、底邊上的高重合(簡稱簡稱“三線合一三線合一”).說明說明:等腰三角形是軸對稱圖形

10、等腰三角形是軸對稱圖形,底邊上的中線底邊上的中線(底邊上底邊上的高、頂角平分線的高、頂角平分線)所在的直線是它的對稱軸所在的直線是它的對稱軸.3.等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角都相等等邊三角形的三個(gè)角都相等,并并 且每一個(gè)角都等于且每一個(gè)角都等于60. 檢測檢測反饋反饋1.若等腰三角形的頂角為若等腰三角形的頂角為40,則它的底角度數(shù)則它的底角度數(shù) 為為 () A.40 B.50C.60D.70D解析解析: :因?yàn)榈妊切蔚膬蓚€(gè)底角相等因?yàn)榈妊切蔚膬蓚€(gè)底角相等, ,頂角是頂角是4040, , 所以其底角為所以其底角為 (180 -40 ) =70.故選故選D.D.12

11、2.一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是一個(gè)等腰三角形的兩邊長分別是3和和7,則它的則它的周長為周長為()或或17A解析解析:當(dāng)?shù)妊切蔚难鼮楫?dāng)?shù)妊切蔚难鼮?,3,底邊為底邊為7 7時(shí)時(shí), ,3+37,3+37,不能構(gòu)成三角形不能構(gòu)成三角形; ;當(dāng)?shù)妊切蔚难?dāng)?shù)妊切蔚难鼮闉?,7,底邊為底邊為3 3時(shí)時(shí), ,周長為周長為3+7+7=173+7+7=17. .故這個(gè)等腰故這個(gè)等腰三角形的周長是三角形的周長是1717. .故選故選A.A.3.如圖所示如圖所示,AD是等邊三角形是等邊三角形ABC的中線的中線,AE=AD, 則則EDC等于等于( ) A.30B.20C.25D.15 D 解析解析

12、: ABC是等邊三形是等邊三形,AB=AC,BAC=C=60,AD是是 ABC的中線的中線,DAC= BAC=30,ADBC,ADC=90,AE=AD,ADE=AED= (180 - DAC)=75,EDC=ADC-ADE=90-75=15.12124.如圖所示如圖所示,lm,等邊三角形等邊三角形ABC的頂點(diǎn)的頂點(diǎn)B在直在直線線m上上,邊邊BC與直線與直線m所成的銳角為所成的銳角為20,則則的度數(shù)為的度數(shù)為 () A.60B.45C.40D.30C解析解析: :如圖所示如圖所示, ,過過C作作CE直線直線m, ,lm,lmCE, ,ACE=,BCE=CBF=20 ABCABC是等邊三角形是等邊

13、三角形,ACB=60,+CBF=ACB=60,=40. .故選故選C.C.5.如圖所示如圖所示,在在 ABC中中,AB=AC,ADBC于點(diǎn)于點(diǎn)D,若若AB=6,CD=4,則則 ABC的周長是的周長是. 解析解析: :在在 ABC中中,AB=AC, ABC是等腰三是等腰三角形角形,又又ADBC于于D,BD=CD.AB=6,CD=4, ABC的周長的周長=6+4+4+6=20.故填故填20.206.如圖所示如圖所示,在在 ABC中中,A=70,AB=AC,CD平分平分ACB.求求ADC的度數(shù)的度數(shù). 解析解析: :由由AB=AC及頂角及頂角A的度數(shù)的度數(shù), ,利用等邊對利用等邊對等角得到兩底角相等

14、等角得到兩底角相等, ,再利用三角形內(nèi)角和定理再利用三角形內(nèi)角和定理求出底角的度數(shù)求出底角的度數(shù), ,再由再由CD為底角的平分線為底角的平分線, ,求出求出DCB的度數(shù)的度數(shù), ,由由ADC為三角形為三角形BCD的的外角外角,利用外角性質(zhì)即可求出利用外角性質(zhì)即可求出ADC的度數(shù)的度數(shù).解解:在在 ABC中中,A=70, AB=AC,B=ACB= (180 -70 ) = 55,12又又CD平分平分ACB,DCB=ACD=27.5,ADC為為 BCD的外角的外角,ADC=B+DCB=82.5.7.如圖所示如圖所示,等邊三角形等邊三角形ABC中中,D為為AC邊的中點(diǎn)邊的中點(diǎn),過過C作作CEAB,且且AECE,那么那么CAE=ABD嗎嗎?請說明理由請說明理由. 解析解析: :根據(jù)根據(jù) ABC為等邊三角形為等邊三角形,D為為AC邊上的邊上的中點(diǎn)得到中點(diǎn)得