分數(shù)階Fourier變換理論及應用

1、分數(shù)階分數(shù)階FourierFourier變換理論及應用變換理論及應用小組成員：杜光龍、程海全、劉學鋒、郭軍偉Fourier變換處理平穩(wěn)信號全局譜為了分析和處理非平穩(wěn)信號，人們提出了一系列新的信號分析理論： 分數(shù)階Fourier變換、短時Fourier變換、Wigner分布、Gabor變換、小波變換等19291980 早期未被人們重視的研究。1980年，V.Namias 從特征值和特征函數(shù)的角度提出了 分數(shù)階傅立葉變換的概念。定義為傳統(tǒng)傅立葉變換的分數(shù)冪形式。1994年， L.B.Ameida將分數(shù)階傅立葉變換解釋為時頻面上的坐標軸旋轉(zhuǎn)。1( ) ( )( )2j tSF s ts t edt1

2、1( ) ( )( )2j ts tFSSedFourier變換的對稱形式 Fourier變換的多次復合運算2()1 ( ) ( )( )21 =( )()2j tjtFs tF F s tSedSedst321 ( ) ( )()21 =( )()2j tjF s tF Fs tst edtsedS431 ( ) ( )()21 =( )( )2j tj tFs tF F s tSedSeds tFourier變換多次復合后有如下規(guī)律1 ( ) ( )( )F s tF s tS2 ( )()Fs tst3 ( )()F s tS4 ( )( )Fs ts t規(guī)定： 恒等算子 當n為非負整數(shù)

3、時有：0FI4nnFF0 ( )( )Fs ts t( )s t()st( )S()S “ 旋轉(zhuǎn)”思想的引入 每次的Fourier變換都可看作是坐標軸的/2旋轉(zhuǎn)， 在旋轉(zhuǎn)的同時變化信號的表示形式。 當n為非負整數(shù)時 均有了定義。nF同理可引入“順時針”旋轉(zhuǎn)11 ( )( )( )2j tFSSeds t211 ( ) ( )( )()2j tFSFs ts t edtS321 ( ) ( ) ()()FSFs tFSst411 ( ) ()()( )2j tFSFstst edtS當n為負整數(shù)是 也有了定義。nF旋轉(zhuǎn)具備如下性質(zhì)：(1)零度旋轉(zhuǎn)對應于信號自身：F0=I(2)逆時針旋轉(zhuǎn)/2對應于

4、Fourier變換：F 順時針旋轉(zhuǎn)/2對應逆Fourier變換：F-1(3)旋轉(zhuǎn)具有連續(xù)可加性: FmFn = Fm+n ( ) ( )( , ) ( )pppX uF x tuK t u x t dt)2211(cotcsccot )221cot,2( , )(),2(),(21)uuttjpjenK t ut unt un若若若2p其中：設p為任意實數(shù)，定義廣義Fourier變換:其中22( )=1cot( )exp(cot)22sin( )2()(21)=2pX ujtutus tjjdtns uns unp其中：注意：當p=1時，即為傅立葉變換；P=0，即為函數(shù)本身核函數(shù)具有以下性質(zhì):

5、1.互換性2.p共軛對稱性3.4.積分相加性（完備性）5.正交性),(),(tuKutKpp),(),(*utKutKpp),(),(utKutKpp),(),(),(utKdzuzKztKqpqp) () ,(),(*uudtutKutKppduutKuXtxpp),()()( ) ( )( , ) ( )pppX uF x tuK t u x t dt)分數(shù)階傅立葉變換變換對下面給出幾個常見信號的不同下面給出幾個常見信號的不同p下的傅立葉變換仿真圖下的傅立葉變換仿真圖方波脈沖各分數(shù)階下的傅立葉變換演示圖0246810-2-1012-10123北 郵 現(xiàn) 代 信 號 處 理 第 六 章 演

6、示 圖)()()()(2121tgFctfFctgctfcFpppqpqpFFF)()(1txFFtxFPP)()(11txFFtxFPP(1)線性性質(zhì)這是一個非常有用的性質(zhì), 用它實現(xiàn)濾波具有更好的效果。(2)算子可加性特別)()()(40txtxFtxF)()()(51XtxFtxF)sincossin2exp()cos()(2ajuaajauXtxFpp)sincossin2exp()sin(e )(2jajuvaavjavuXtxFpvtp(3)恒等變換(4)標準Fourier變換(5)時移性質(zhì)(6)頻移性質(zhì)22221cotcossin ( )exp(cot 1)()cot2cossi

7、npqjauFx ctjaX ucjaca2)tanarctan(2qac(7)尺度性質(zhì)式中注：變量u的尺度改變，函數(shù)幅值改變，旋轉(zhuǎn)角改變。 在傳統(tǒng)的Fourier變換中，時間變量t的變化只是使其頻譜的頻率變量w的其的尺度和幅度發(fā)生相應的變化，而在FRFT中，時間變量t的變化不僅使FRFT的變量u發(fā)生尺度和幅度的變化，更重要的是旋轉(zhuǎn)角度也發(fā)生變化。duuYuXdttytxpp)()()()(duuXdttxp22| )(| )(|(8)Parseval等式能量守恒特性：數(shù)值離散化是一個變換或算子能夠被實際應用的前提對于時頻表示f(t,w)引入尺度參數(shù)s，做線性變換x=t/s, v=ws其中s=

8、(t/w)1/2, t和w為函數(shù)f(t,w)的“支撐寬度”絕大部分能量在區(qū)間-t/2, t/2與-w/2, w/2內(nèi)變換后的f(x,v)“支撐區(qū)間”長度都變成x=v= (tw) 這里N=tw為時間-帶寬積(N1)算法步驟如下1.確定足夠大的時間頻率帶寬x= (tw) ，對信號抽樣2.線性調(diào)頻信號乘法，其中的線性調(diào)頻函數(shù)g1(x)的時間帶寬積為f(x)的兩倍，因而的采樣間隔為1/(2x)；3.線性調(diào)頻信號卷積；經(jīng)過數(shù)學處理后，此式離散形式為其中4.線性調(diào)頻信號乘法：顯然，此時得到的fp(u)的采樣值)()()2tan(12xfexgxjdxxgeAygxyj)()(1)(22)()(2)2tan

9、(2ygeufujpNNnxngxnmhAxmg)2()2()2(12xxvxjvjjdveeexh2421)()2(xmfp信號一：高斯信號信號二：線性調(diào)頻信號241)(1tjetx2)4(2)(tetx時域信號功率譜P=0.7時二者可完全分開分數(shù)階傅立葉域p=0.7時分數(shù)階傅立葉變換濾波效果時域混疊信號P=0.7分數(shù)階傅里葉域濾波信號匹配濾波變換域濾波：1. 線性變換變換域2. 與濾波器相乘，濾除不需要的信號3. 逆變換電路實現(xiàn)結(jié)構(gòu)如下圖所示經(jīng)過推導，可得信號x(t)與y(t)的分數(shù)階傅里葉變換為G(w)為g(t)的傅里葉變換，可用于控制濾波器通帶)csc()()(uGuXuYpp任意完備變換域均可進行信號的多路傳輸（多路復用），如時域、頻域（FDMA） 并