分?jǐn)?shù)階Fourier變換理論及應(yīng)用

1、分?jǐn)?shù)階分?jǐn)?shù)階FourierFourier變換理論及應(yīng)用變換理論及應(yīng)用小組成員：杜光龍、程海全、劉學(xué)鋒、郭軍偉Fourier變換處理平穩(wěn)信號全局譜為了分析和處理非平穩(wěn)信號，人們提出了一系列新的信號分析理論： 分?jǐn)?shù)階Fourier變換、短時(shí)Fourier變換、Wigner分布、Gabor變換、小波變換等19291980 早期未被人們重視的研究。1980年，V.Namias 從特征值和特征函數(shù)的角度提出了 分?jǐn)?shù)階傅立葉變換的概念。定義為傳統(tǒng)傅立葉變換的分?jǐn)?shù)冪形式。1994年， L.B.Ameida將分?jǐn)?shù)階傅立葉變換解釋為時(shí)頻面上的坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)。1( ) ( )( )2j tSF s ts t edt1

2、1( ) ( )( )2j ts tFSSedFourier變換的對稱形式 Fourier變換的多次復(fù)合運(yùn)算2()1 ( ) ( )( )21 =( )()2j tjtFs tF F s tSedSedst321 ( ) ( )()21 =( )()2j tjF s tF Fs tst edtsedS431 ( ) ( )()21 =( )( )2j tj tFs tF F s tSedSeds tFourier變換多次復(fù)合后有如下規(guī)律1 ( ) ( )( )F s tF s tS2 ( )()Fs tst3 ( )()F s tS4 ( )( )Fs ts t規(guī)定： 恒等算子 當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)

3、時(shí)有：0FI4nnFF0 ( )( )Fs ts t( )s t()st( )S()S “ 旋轉(zhuǎn)”思想的引入 每次的Fourier變換都可看作是坐標(biāo)軸的/2旋轉(zhuǎn)， 在旋轉(zhuǎn)的同時(shí)變化信號的表示形式。 當(dāng)n為非負(fù)整數(shù)時(shí) 均有了定義。nF同理可引入“順時(shí)針”旋轉(zhuǎn)11 ( )( )( )2j tFSSeds t211 ( ) ( )( )()2j tFSFs ts t edtS321 ( ) ( ) ()()FSFs tFSst411 ( ) ()()( )2j tFSFstst edtS當(dāng)n為負(fù)整數(shù)是 也有了定義。nF旋轉(zhuǎn)具備如下性質(zhì)：(1)零度旋轉(zhuǎn)對應(yīng)于信號自身：F0=I(2)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)/2對應(yīng)于

4、Fourier變換：F 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)/2對應(yīng)逆Fourier變換：F-1(3)旋轉(zhuǎn)具有連續(xù)可加性: FmFn = Fm+n ( ) ( )( , ) ( )pppX uF x tuK t u x t dt)2211(cotcsccot )221cot,2( , )(),2(),(21)uuttjpjenK t ut unt un若若若2p其中：設(shè)p為任意實(shí)數(shù)，定義廣義Fourier變換:其中22( )=1cot( )exp(cot)22sin( )2()(21)=2pX ujtutus tjjdtns uns unp其中：注意：當(dāng)p=1時(shí)，即為傅立葉變換；P=0，即為函數(shù)本身核函數(shù)具有以下性質(zhì):

5、1.互換性2.p共軛對稱性3.4.積分相加性（完備性）5.正交性),(),(tuKutKpp),(),(*utKutKpp),(),(utKutKpp),(),(),(utKdzuzKztKqpqp) () ,(),(*uudtutKutKppduutKuXtxpp),()()( ) ( )( , ) ( )pppX uF x tuK t u x t dt)分?jǐn)?shù)階傅立葉變換變換對下面給出幾個(gè)常見信號的不同下面給出幾個(gè)常見信號的不同p下的傅立葉變換仿真圖下的傅立葉變換仿真圖方波脈沖各分?jǐn)?shù)階下的傅立葉變換演示圖0246810-2-1012-10123北 郵 現(xiàn) 代 信 號 處 理 第 六 章 演

6、示 圖)()()()(2121tgFctfFctgctfcFpppqpqpFFF)()(1txFFtxFPP)()(11txFFtxFPP(1)線性性質(zhì)這是一個(gè)非常有用的性質(zhì), 用它實(shí)現(xiàn)濾波具有更好的效果。(2)算子可加性特別)()()(40txtxFtxF)()()(51XtxFtxF)sincossin2exp()cos()(2ajuaajauXtxFpp)sincossin2exp()sin(e )(2jajuvaavjavuXtxFpvtp(3)恒等變換(4)標(biāo)準(zhǔn)Fourier變換(5)時(shí)移性質(zhì)(6)頻移性質(zhì)22221cotcossin ( )exp(cot 1)()cot2cossi

7、npqjauFx ctjaX ucjaca2)tanarctan(2qac(7)尺度性質(zhì)式中注：變量u的尺度改變，函數(shù)幅值改變，旋轉(zhuǎn)角改變。 在傳統(tǒng)的Fourier變換中，時(shí)間變量t的變化只是使其頻譜的頻率變量w的其的尺度和幅度發(fā)生相應(yīng)的變化，而在FRFT中，時(shí)間變量t的變化不僅使FRFT的變量u發(fā)生尺度和幅度的變化，更重要的是旋轉(zhuǎn)角度也發(fā)生變化。duuYuXdttytxpp)()()()(duuXdttxp22| )(| )(|(8)Parseval等式能量守恒特性：數(shù)值離散化是一個(gè)變換或算子能夠被實(shí)際應(yīng)用的前提對于時(shí)頻表示f(t,w)引入尺度參數(shù)s，做線性變換x=t/s, v=ws其中s=

8、(t/w)1/2, t和w為函數(shù)f(t,w)的“支撐寬度”絕大部分能量在區(qū)間-t/2, t/2與-w/2, w/2內(nèi)變換后的f(x,v)“支撐區(qū)間”長度都變成x=v= (tw) 這里N=tw為時(shí)間-帶寬積(N1)算法步驟如下1.確定足夠大的時(shí)間頻率帶寬x= (tw) ，對信號抽樣2.線性調(diào)頻信號乘法，其中的線性調(diào)頻函數(shù)g1(x)的時(shí)間帶寬積為f(x)的兩倍，因而的采樣間隔為1/(2x)；3.線性調(diào)頻信號卷積；經(jīng)過數(shù)學(xué)處理后，此式離散形式為其中4.線性調(diào)頻信號乘法：顯然，此時(shí)得到的fp(u)的采樣值)()()2tan(12xfexgxjdxxgeAygxyj)()(1)(22)()(2)2tan

9、(2ygeufujpNNnxngxnmhAxmg)2()2()2(12xxvxjvjjdveeexh2421)()2(xmfp信號一：高斯信號信號二：線性調(diào)頻信號241)(1tjetx2)4(2)(tetx時(shí)域信號功率譜P=0.7時(shí)二者可完全分開分?jǐn)?shù)階傅立葉域p=0.7時(shí)分?jǐn)?shù)階傅立葉變換濾波效果時(shí)域混疊信號P=0.7分?jǐn)?shù)階傅里葉域?yàn)V波信號匹配濾波變換域?yàn)V波：1. 線性變換變換域2. 與濾波器相乘，濾除不需要的信號3. 逆變換電路實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)如下圖所示經(jīng)過推導(dǎo)，可得信號x(t)與y(t)的分?jǐn)?shù)階傅里葉變換為G(w)為g(t)的傅里葉變換，可用于控制濾波器通帶)csc()()(uGuXuYpp任意完備變換域均可進(jìn)行信號的多路傳輸（多路復(fù)用），如時(shí)域、頻域（FDMA） 并