九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《全等三角形和軸對(duì)稱》知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)

1、復(fù)習(xí)部分第一講全等三角形和軸對(duì)稱【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、全等三角形的判定與性質(zhì)一般三角形直角三角形判定邊角邊(SAS) 角邊角(ASA) 角角邊(AAS) 邊邊邊(SSS)兩直角邊對(duì)應(yīng)相等一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等斜邊、直角邊定理(HL)性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等(其他對(duì)應(yīng)元素也相等.加對(duì)應(yīng)邊上的高相等)備注判定三角形全等必須有一組對(duì)應(yīng)邊相等要點(diǎn)二、全等三角形的證明思路找夾角f SAS已知兩邊找直角1 HL找另一邊f(xié)SSS邊為角的對(duì)邊f(xié)找任一角f AAS尸知一力一角找夾角的另一邊-SAS已 以一角邊為角的鄰邊J找夾邊的另一角tASA找邊的對(duì)角tAAS己知兩角找夾邊. AS A找任一邊t A A

2、S要點(diǎn)三、角平分線的性順1 .角的平分線的性質(zhì)定理角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.2 .角的平分線的判定定理角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.3 .三角膨的角平分線三角形角平分線交于一點(diǎn)，且到三邊的距陞相等.4 .與角平分線有關(guān)的輔助線在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形；在角的平分線上取一點(diǎn)向角的兩邊作垂線段.要點(diǎn)四、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切?、四邊形?相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具.是解決與線段、角相關(guān)問題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).運(yùn)用全等 三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的

3、幾何 問題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1 .證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等.(2)利用角平分線的性偵證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的坨離相等.(3)等式性質(zhì).2 .證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2)證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等.(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明.(4)同角(等角)的余角(補(bǔ)角)相等.(5)對(duì)頂角相等.3 . iE明兩條線段的位置關(guān)系(平行、垂直)的方法：可通過證明兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4 .輔助線的添加：(D作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長中線法;（3）作以角平分線為對(duì)稱軸的翻折變換全等

4、三角形:利用截長（或補(bǔ)短）法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5 .證明三角形全等的思維方法：（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個(gè)角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā) 現(xiàn)兩條線段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí),則應(yīng)根據(jù) 圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件.（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置輔助線，使之 出現(xiàn)全等三角形，通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì).【鞏固練習(xí)】一.選擇題1 .下列命題中，錯(cuò)誤的命題是（）A,兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等B,兩

5、邊和第三邊上的高對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等C.兩邊和第三邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等D,兩邊和其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)二角形全等2 .如圖，在NAOB的兩邊上截取AO = BO, CO = DO,連結(jié)AD、BC交了點(diǎn)P.則下列結(jié)論正確的是（）ZUOD望BOG APCg/XBPD： 點(diǎn)P在/AOB的平分 線上A,只有 B.只有 C.只有D.3 .如圖，ABCD, ACBD, AD與BC交于0, AE_LBC于E, DF_LBC于F,那么圖中全等的三角形有（）A. 5對(duì) B. 6對(duì) C. 7對(duì)D. 8對(duì)）.4 .如圖，ABLBC 于 8, BELAC 于 E, Z1 = Z2, D 為 AC 上一

6、點(diǎn)，AD=AB,則（A. Z1 = ZEFD B. FD/7BC C. BF=DF=CD D. BE=EC5 .如圖，ABCgAFDE, ZC=40 , ZF=UO ,則/B等于（）A. 20B. 30C. 40 D. 1306 .根據(jù)下列條件能畫出唯一確定的ABC的足()A. AB=3, BC=4, AC=8B. AB=4, BC=3, ZA=30C. ZA=60 ， ZB=45 , AB=4 D. NC=90 , AB=AC=67 .如圖.已知AB=AC, PB=PC,且點(diǎn)A、P、D、E在同一條直線上.下面的結(jié)論：EB=EC；ADLBC：EA平分NBEC：NPBC=NPCB.其中正確的有(

7、)8 .如圖. AELAB且AE二AB, BC1TD且BC=CD,請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)克圖中實(shí)線所二.填空題9 .在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A (1, 2), B (3, 5), C (5, 2),存在點(diǎn)E,使ACE和ACB全等，寫出所有滿足條件的E點(diǎn)的坐標(biāo).10 .如圖，ZXABC中，H是高AD、BE的交點(diǎn)，且BH=AC,則/ABC=.11 .在中，NC=90 , AC=BC, AD 平分 NBA3 DELAB 于 E.若 AB=20cm.則 ADBE 的周長為.12 .如圖，/XABC 中，/C=9(T , EDAB, Z1=Z2,若 CD=L3cm,則點(diǎn) D 到 AB 邊的 距離是

8、.11.如圖，BA1AC, CDAB, BC=DE,且 BCJ_DE.若 AB=2, CD=6,則 AE=15 . ZiiABC 中，/C=90 , BC=4O, AD 是/BAC 平分線，交 BC 于點(diǎn) D,且 DC： DB=3:3, 則點(diǎn)D到BA的距離是.16 .如圖，在aABC 中.AB=AC, ZBAC=90 ， AE 是過 A 點(diǎn)的一條直線，AE_LCE 于 E, BDJ_AE 于 D, DE=4cm , CE=2cw ,則 BD=三.解答題17 .如圖所示,已知在ABC中，/B60 , aABC的角平分線AD、CE相交于點(diǎn)0,求證：AE+CD=AC.18 .在四邊形 ABCP 中，

9、BP 平分NABC. PDLBC 于 D,且 AB+BC=2BD.求證：ZBAP+ZDCP=180a .19 .如圖？己知AD為ABC的中線，且/1 = /2, /3=/4,求證？ BE+CFEF.20 .己知：ABC 中，AD 平分NBAC 交 BC 于點(diǎn) D,且NACC = 60 .問題 1：如圖 1,若/ACB=90 , AC=/wAB, BD=DC,則加的值為, 的值為.問題2：如圖2,若NACB為鈍角.且ABAC. BDDC.(1)求證：BD-DCAB-AC：(2)若點(diǎn)E在AD上，HDE = DB,延長CE交AB于點(diǎn)F,求NBFC的度數(shù).【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】等腰三角形等邊三角形:中的軸對(duì)稱軸

10、對(duì)稱變換【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、軸對(duì)稱1 .軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱(1)軸對(duì)稱圖形如果一個(gè)困形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸 對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一 對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.(2)軸對(duì)稱定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩 個(gè)圖形關(guān)F這條直線對(duì)稱，這條宜線叫做對(duì)稱軸.成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)：關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形形狀相同，大小相等，是全等形：如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，則對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線;兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱,如果它們的對(duì)應(yīng)線段

11、或延長線相交，那么它們的交點(diǎn)在 對(duì)稱柏上.(3)軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形：軸 對(duì)稱涉及兩個(gè)國形，而軸對(duì)稱圖形是對(duì)一個(gè)圖形來說的.聯(lián)系：如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì) 稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條軸對(duì)稱：如果把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè) 整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形.2 .線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反 過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.要點(diǎn)二、作軸對(duì)稱圖形1 .作軸對(duì)稱圖形（1）幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，我們只要分別

12、作出這些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn),再 連接這些點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形：（2）對(duì)于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段 端點(diǎn)）的對(duì)稱點(diǎn)，連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形.2 .用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱點(diǎn)（x, y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（K, 一 y ）：點(diǎn)（工，y ）關(guān)于）,軸對(duì)稱的點(diǎn) 的坐標(biāo)為（一r，y ）:點(diǎn)（x, y ）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.要點(diǎn)三、等腰三角形1 .等腰三角形（1）定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等接三角形性質(zhì)等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”；等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重

13、合（簡稱“三 線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45 .（3）等腰三角形的判定如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（即“等角對(duì)等 邊”）.2 .等邊三角形（1）定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形.（2）等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60 .（3）等邊二角形的判定:三條邊都相等的三角形是等邊三角形:三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形:有一個(gè)角為60的等度三角形是等邊三角形.3 .直角三角形的性質(zhì)定理:在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30 ,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.【鞏固練習(xí)】選擇題1.如圖所示，將矩形紙片先沿直線AB按箭

14、頭方向向右/折，接著對(duì)折后的紙片沿虛線CD明打開后的展開圖是（向下對(duì)折，然后剪下一個(gè)小三角形，再將紙片打開, BA2.如圖.將正方形紙片ABCD折疊.使邊AB、CB均落在對(duì)角線BD匕 得祈痕BE、BF,則NEBF的大小為（）A. 15 B, 30 C. 45 D. 603.在下列說法中，正確的是（）A.如果兩個(gè)三角形全等，則它們必是關(guān)于宜線成軸對(duì)稱的圖形：B.如果兩個(gè)三角形關(guān)于某直線成軸對(duì)稱，那么它們是全等三角形:C.等援三角形是關(guān)于底邊中線成軸對(duì)稱的圖形：D. 一條線段是關(guān)于經(jīng)過該線段中點(diǎn)的直線成軸對(duì)稱的圖形.4 .小明從鏡中看到電子鐘示數(shù)是L1M，則此時(shí)時(shí)間是()A. 12： 01 B.

15、10： 51C. 11： 59 D. 10： 215 .已知A (4, 3)和B是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)，且它們關(guān)于直線、=-3軸對(duì)稱，則平面內(nèi)點(diǎn)B的坐標(biāo)是()A. (1, 3) B. (-10, 3) C. (4, 3) D. (% 1)6.如圖，已知AABC 中，AC+BC=24 BC于V,則的周長為(A. 12B. 24叢B MC7 .如圖，將沿D、1IG、 Z2的度數(shù)為()A. 49B. 50A片3GF8 .如圖，AABC 中，ZACB=90 , E,已知DE=2.AC的長為(；A.2B.3,AO、B0分別是角平分線，且MNBA,分別交AC于心)C. 36D.不確定上萬翻折，三個(gè)頂點(diǎn)均落在

16、點(diǎn)。處.若Nl = 129,則C. 51 *D. 52、一 CZABC=60 , AB的中垂線交BC的延長線于D,交AC于C. 4D.5二.填空題9.如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=2cm,點(diǎn)E在BC上，且AE=CE.若將紙片沿AE折疊,點(diǎn)B恰好與AC上的點(diǎn)4重合.則AC=cm.10 .在同一直角坐標(biāo)系中，A(a + 1,8)與B(-5, 63)關(guān)于K軸對(duì)稱，則, b=11 .如圖所示，AABC中，已知NB和/C的平分線相交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作DEBC，交AB于 點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,若BD+CE = 9,線段DE=.12 .如圖所示，/AOP=/BOP=15 , PCOA, PD1OA,若 PC

17、=4, PD 的長為13 .如圖所示，在ABC 中，AB=AC,點(diǎn) 0 在物 內(nèi)，&N0BC= ZOCA, ND0C = 110 , 求/A的度數(shù)為.14 .如圖，在四邊形 ABCD 中，ZA = 90 , AD=4,連接 BD, BD1CD, /ADB = /C.若 P 是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則DP長的最小值為.15 .如圖，在ABC 中，AB=AC, D、E 是ABC 內(nèi)兩點(diǎn)，AD 平分NBAC, ZEBC=ZE=60 ,若 BE=6 cm ， DE=2 cm ,則 BC=16 .婦圖，六邊形ABCDEF的六個(gè)內(nèi)角都相等.若AB=1, BC=CD=3, DE=2,則這個(gè)六邊形的周長等于-三.解答題17 .如圖所示，ABC中，D, E在BC上，且DE=EC,過D作DFBA,交AE于點(diǎn)F, DF=AC,求證AE平分NBAC.18 .如圖所示，等邊三角形ABC中，AB=2,點(diǎn)P是AB邊上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)P可以與點(diǎn)A 重合，但不與點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作PE_LBC,垂足為E,過